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in 2009 with funding from
University of Ottawa
http://www.archive.org/details/correspondancedh01herm
CORRESPONDANCE
D'HERMITE ET DE STIELTJES.
2S4'7 PARIS. — IMPRIMERIE G A l T H I E R -V I I. L A R S
Quai des Grands-Angustins, 55.
1851
CORRESPONDANCE
D'HERMITE ET DE STIELTJES
PUBLIÉE PAR LES SOINS
B. BAILLAUD,
Doyen honoraire do la Faculté
des Sciences,
Directeur de l'Observatoire de Toulouse.
H. BOUBGET,
Maître de Conférences à l'Université,
Astronome adjoint
à l'Observatoire de Toulouse.
Avec une préface de Emile PICARD,
Membre de l'Institut.
TOME I.
(8 NOVEMBRE 1882 — 22 JUILLET 1889.)
PARIS,
GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE
DU BL'REAl DES LONGITUDES, DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE,
Quai des Grands-Augustins, 55.
1905
(Tous droits réservé-
Engineering &
Mathernatical
Sciences
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8
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Eh
;
3
INTRODUCTION.
On sait quelle place tint dans la vie scientifique
d'Hennite sa correspondance avec des savants français
et étrangers. C'était pour lui un délassement que de
co se livrer en toute confiance à de longues causeries
en °
épistolaires, heureux tout à la fois de faire profiter
o ses amis et ses élèves des remarques suggestives aux-
quelles l'avaient conduit ses réflexions, et de solliciter
des éclaircissements en se faisant écolier. D'ailleurs,
même pour les Mémoires publiés dans les journaux
scientifiques, la forme épistolaire avait toujours eu
sa prédilection. Ses travaux ont souvent paru sous
forme de lettres, rappelant le nom de ses nombreux
correspondants; il trouvait ainsi moyen d'associer la
ce
U_l
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C/5
science et l'amitié.
Aucune correspondance d'il ermite ne fut plus
suivie ni plus abondante que celle qu'il avait com-
mencée en 1 88'2 avec un astronome adjoint de l'Obser-
vatoire de Leyde, Thomas Slieltjes. Le souci des
« :■
87219
> | INTRODUCTION.
mêmes problèmes el une même tournure d'esprit atti-
rèrent Hermite vers Stieltjes, et une vive sympathie
s'établil vite entre le jeune débutant et le vétéran de
hi Science. La mort de Stieltjes, arrivée prématu-
rément en 1894, |>"' seule interrompre cette corres-
pondance, unique peut-être dans l'histoire de la
Science. Relisant, après ce triste événement, la longue
série de lettres du géomètre éminent pour qui il avait
nue si affectueuse estime, Il ermite pensa qu'il impor-
tait a la mémoire de Stieltjes que ce témoignage de
son activité et de son génie mathématiques ne
disparût point. Il était impossible de publier les
lettres de Stieltjes sans publier celles d'Hermite,
tant leur collaboration avait été intime; les amis
de Stieltjes eurent iei à vaincre quelque résistance
d'Hermite. qui finit cependant par se décider à
laisser paraître l'ensemble de la Correspondance.
M. Gauthier- Villars voulut bien se charger de cette
publication.
ML Baillaud et M. H. Bourget, qui avaient beau-
coup connu et beaucoup aimé leur collègue de la
Faculté des Sciences de Toulouse, entreprirent tout
d'abord la collation des lettres et firent quelques
coupures nécessaires. Prenant à cœur la perfection
de cette édition, ils reprirent ensuite les calculs, là
où il leur parut nécessaire, et ajoutèrent des Notes
INTRODUCTION. Vil
et des éclaircissements. Le manuscrit était presque
entièrement prêt à la mort d'Hermite, qui avait sui\i
le travail de révision. Tous les amis et les admirateurs
d'Hermite et de Slielijes remercieront MM. Baillaud
et Bourget du soin et du dévouement (ju'ils ont
apportés à cette œuvre, qui comptera deux. Volumes.
11 manque, hélas! une chose au Volume qui va
paraître. Hermite avait promis d'écrire une Intro-
duction, où il eût mis sans doute en pleine lumière
l'originalité du talent de Stieltjes. Il n'appartient à
personne de tenir aujourd'hui la plume à sa place.
L'affinité mathématique était complète entre ces deux
grands esprits. Vue grande partie de la Correspon-
dance a un caractère arithmétique; c'est le vir
arithmeticus , comme aurait dit Jacobi, qu'Hermite
affectionnait surtout en Stieltjes. Cet arithméticien
ne reste pas seulement sur les sommets à contempler
les choses de loin et de haut; il descend dans le fond
des vallées et y recueille des applications numériques
d'où il sait ensuite tirer des remarques générales.
Quelle joie ce fut pour Hermite que de rencontrer
un correspondant si perspicace s'intéressant aux ques-
tions d'approximations, auxquelles il avait lui-même
consacré une grande partie de son labeur scienti-
fique, en particulier aux quadratures approchées et
aux fractions continues algébriques. On retrouve chez
VIII IMliUDl Cl ION.
Stieltjes, à l'apogée de son talent, le calculateur qu'il
avait été jadis à l'Observatoire de Leyde; c'est un des
côtés de son originalité.
On est émerveillé aussi de la rapidité avec laquelle
il répond aux questions que lui pose Hermite et
trouve des démonstrations ingénieuses et profondes
aux théorèmes qui lui sont énoncés. Nous voyons
en même temps le champ de ses études s'agrandir
peu à peu ; ses recherches sur une transcendante
envisagée par Riemann le font pénétrer profondément
dans la théorie des fonctions. Que de beaux travaux
il eût faits encore en portant dans cette voie ses
préoccupations arithmétiques et algébriques, si sa
carrière n'avait pas été si prématurément brisée!
(Test ce dont témoigne assez son dernier Mémoire,
sur les fractions continues algébriques, qui est assu-
rément un chef-d'œuvre.
La Correspondance d'Jlermite et de Stieltjes
n'intéressera pas seulement les analystes. En même
temps que deux géomètres de premier ordre, on y
voit deux beaux caractères. Quelle simplicité et
quelle franchise entre le maître et le disciple, ou
plutôt entre les deux amis! Quelle confiance affec-
tueuse chez l'un et chez l'autre! On est réconforté
par la lecture de ces pages, où. ne se mêle aucune
préoccupation personnelle, et où chacun va jusqu'au
INTRODUCTION. IX
bout de sa pensée. Il semble aussi, et c'est une
curieuse impression laissée par ces lettres, que sous
cette forme plus personnelle le langage abstrait de
l'Analyse perde de sa sécheresse et que la Mathé-
matique y devienne plus humaine. On n'oubliera
pas enfin que c'est à l'amitié développée par cette
correspondance que nous devons de pouvoir compter
Thomas Stieltjes parmi les géomètres français les plus
éminents de la seconde moitié du xix.e siècle.
Emile PICARD.
NOTICE SUR STIELTJES
Thomas-Jean Stieltjes naquit en Hollande, dans la petite
ville de Zwolle, le 29 décembre i8j6.
Son père, Thomas -Jean Stieltjes, était un homme de
haute valeur. D'esprit libre et indépendant, d'une volonté
inflexible, il avait une remarquable grandeur de vues. A
vingt-quatre ans, lieutenant du génie dans l'armée hollan-
daise, il publia, sous le couvert de l'anonymat, des conseils
touchant la défense stratégique des Pays-bas. La maturité
de ces conseils les fit attribuer à quelque clief de corps.
Stieltjes ne s'en déclara Fauteur que beaucoup plus lard,
dix-huit mois avant sa mort. Plus tard, ingénieur civil, il
fut chargé d'organiser la canalisation de la partie orientale
de la Hollande, puis d'une mission de deux ans et demi à
Java, pour étudier les moyens de transport et dresser le plan
du réseau des chemins de fer de l'île, plan entièrement
exécuté aujourd'hui. Sa forte personnalité s'accommoda mal
(') Je dois les éléments de cette Notice à l'extrême obligeance de
I\J""' Stieltjes.
Je tiens à remercier aussi M. E. F. van de Sande Bakhuyzen, qui lui l'ami
et le collègue de Stieltjes à l'Observatoire de Leyde, des renseignements
précieux qu'il m'a donnés.
Dans les pages qui suivent, j'ai systématiquement laissé de côté l'analyse
des travaux de Stieltjes, renvoyant le lecteur à l'excellente Notice publiée
sur ce sujet par M. E. Gosserat dans les Annales de la Faculté ries
Sciences de Toulouse, t. 1\. i8g5.
\H NOTICE SUR STIELTJES.
avec sa situation de fonctionnaire. Des intrigues politiques,
suscitées par son excès d'honnêteté, le firent tomber en
disgrâce el rappeler en Hollande, six mois avant la fin de
sa mission.
Les fonctions de député que lui confièrent successivement
les \ [lies de Zwolle et d'Amsterdam n'entravèrent en rien son
activité d'ingénieur. 11 fit, à cette époque, pour l'Allemagne,
un plan du canal reliant actuellement la mer du Nord à la
Baltique. II s'occupa d'un projet de dessèchement d'une
partie du Zuydersee et construisit, à Rotterdam, le beau port
de la rive gauche de la Meuse. Cette œuvre difficile et pleine
de hardiesse lui permit de donner toute la mesure de son
talenl d'ingénieur. Il mourut en [878. On peut voir dans la
Noordereiland, sur la Burgemeester Hoffman-Plein, au
centre du quartier qu'il a créé, le monument que lui ont
élevé ses amis et ses admirateurs. Il fut un type accompli de
la forte race hollandaise et son fils hérita de sa hauteur
d'espril et de ses principes inflexibles de droiture.
Thomas-Jean Stieltjes, junior (comme il signait ses
premiers Mémoires), passa ses années d'enfance avec ses
parents dans les villes où son père, alors ingénieur, fut obligé
de séjourner. Il acheva ses études au lycée de Delft et entra
en [873 à l'Ecole Polytechnique de cette ville. Malgré sa
supériorité, déjà reconnue par ses maîtres et ses condis-
ciples, il en sortit sans son diplôme d'ingénieur. Il n'avait
pu, à deux reprises (1870, 1876), surmonter l'aversion que
lui inspirèrent, toute sa vie, les concours.
M. H.-G. van de Sande Bakhuyzen, directeur de l'Obser-
vatoire de Leyde, ami de son père, le fit entrer à l'Obser-
vatoire en avril 18--. Il fut attaché officiellement à cet
NOTICE SDK STIELTJES. XIII
établissement comme « aide aux calculs astronomiques » le
ier décembre de la même année. Au mois de février 1878,
après le départ de M. J.-C. Kapteyn pour Groningue, il
fut convenu qu'il prendrait part aux observations. Stieltjes
enl ra donc au service méridien et collabora avec M VI. E. F.
van de Sandc Bakbuyzen et Wilterdinkaux travaux entrepris
par l'Observatoire à cette époque, à savoir : un catalogue
d'étoiles voisines du pôle, l'observation d'étoiles fondamen-
tales des zones sud et l'étude des erreurs systématiques du
cercle méridien. Il aidait, en même temps, à la réduction des
déclinaisons des étoiles fondamentales, observées de 1 864 a
1874? et prenait pari, en un mot, au travail général de l'Ob-
servatoire.
Tout d'abord il se sentit dans un milieu qui convenait
à son esprit, naturellement porté aux études particulières et
minutieuses qu'exige l'Astronomie. L'étonnante intensité de
travail dont il était capable le rendit bien vite maître des
procédés de calcul et des métbodes d'observations. L'étude
de la Mécanique céleste et des Matbématiques pures occupait
ses moments de liberté. Mais, à mesure que ses recberebes
personnelles se développaient, Stieltjes prenait de plus en
plus conscience de sa vocation exclusive pour les travaux
théoriques. L'Astronomie, qu'il avait jusqu'alors regardée
comme l'objet de sa vie scientifique, lui apparut insensible-
ment comme un obstacle au complet développement de ses
études préférées.
La nécessité pour son esprit de prendre une décision et
l'impossibilité où il était, sans doute, delà prendre conforme
à ses goûts, lui fit traverser une sorte de crise de réserve
extrême et d'inquiétude, hésitant sur ce qu'il devait faire,
\i\ VOTK l SI II STIELTJES.
parlanl même à ses collègues d'aller vivre pauvrement en
Amérique, pour étudier aux eûtes de Sylvester.
L'heureux événement de ses fiançailles avec Ml,e Elisabeth
[ntveld lii cesser ses hésitations, en ouvrant pour lui une
période de bonheur. Ses idées originales se développent et
1rs travaux se succèdent rapidement. L'Académie d'Am-
sterdam imprime, dans ses Mémoires, son étude sur la for-
mule d'interpolation de Lagrange; nos Comptes rendus
insèrent sa démonstration, si intéressante pour nous, des
propriétés des polynômes Hansen- Tisserand : Les proposi-
tions découvertes par Tisserand étaient cachées; il en a été
donné depuis des démonstrations simples; aucune n'est plus
ingénieuse que celle de Stielljes montrant le lien qui rattache
cette question à la théorie du potentiel dans un espace à
quatre dimensions. Cette démonstration le mit en rapport
avec Hermite, et la correspondance que nous publions,
\1. Baillaud et moi, montre mieux que je ne saurais le dire
quelle affinité mathématique ces deux esprits avaient l'un
pour l'autre. Ces relations furent l'origine d'une commune
amitié, très chère des deux côtés.
Le Ier janvier 1 883, son directeur, qui connaissait toute
sa valeur, le dispensa, sur sa demande, des observations. Il
s'occupa, chez lui, de la réduction des observations de la
différence de longitude Leyde-Greenwich, et commença
même la réduction de ses propres observations. De sep-
tembre à décembre i883, il suppléa van den Berg à l'École
Polytechnique de Délit. Enfin, le 1"' décembre 1 883, il
donna sa démission d'astronome à l'( observatoire.
Il était désormais tout aux Mathématiques.
I.<'s études qu'il fil pendant ce séjour de six années à
NOTICE SUR 8TIELTJES. XV
l'Observatoire semblent avoir exercé une influence prépon-
dérante sur la formation de son esprit. Il \ puisa cel attrait
pour l'examen approfondi des questions particulières, cette
habileté dans le maniement des formules algébriques et leur
adaptation au calcul numérique et l'art même de ce calcul
qui se manifestent dans tous ses travaux. Il prit l'habitude de
contrôler ses inductions par de nombreux exemples, déve-
loppés à fond, poussant parfois très loin et comme avec
amour les calculs numériques. Cette méthode de recherche,
que nous admirons chez Gauss, est d'une singulière puis-
sance quand celui qui l'emploie est assez clairvoyant pour
démêler les lois générales à travers les particularités de
l'exemple. Elle semble avoir été, chez Stieltjes, le nerf de la
découverte. On peut dire, sans exagération je crois, que
toutes les vérités analytiques qu'il a fait connaître ont été
découvertes avant d'être démontrées. Une démonstration
rigoureuse de la vérité, ainsi révélée par l'expérience, est le
complément nécessaire d'une telle méthode : Stieltjes ne l'a
jamais oublié. Son esprit si iin et si perspicace dans l'inven-
tion ne l'était pas moins dans l'examen de la rigueur d'une
démonstration. Maints passages des lettres à Hermite mon-
trent quels étaient ses scrupules et ses exigences en ces ma-
tières. Ses conversations faisaient deviner le grand nombre
des phénomènes mathématiques intéressants qu'avaient mis
en lumière ses patients calculs. Ne possédant pas de démons-
tration rigoureuse, mais seulement la conviction morale de
leur généralité, il ne les publiait pas. Il les conservait, cepen-
dant, soigneusement annotés. Cette réserve laisse soupçonner
les richesses contenues dans les papiers qu'il a laissés.
Cette méthode, qui implique un labeur éndrme, a imprimé
XVI Milieu SUR STIELTJES.
aux travaux de Stieltjes le cachet qui leur est propre. On
a, en le> lisanl. l'impression qu'on arrive, sans grand appareil
de formules e1 comme par le seul effort de la pensée, par la
voie la plus simple, à des propositions cachées.
Marié depuis le mois de mai [883 à une femme digne de
lui, stimulé par l'appui et les conseils d'Hermite, tout à ses
études favorites, son activité durant les années r 883, t 884/
t885 fut considérable. Les conceptions ingénieuses et les
idées neuves, germes des travaux qu'il aurait achevés sans sa
mort prématurée, se multiplient. Ses belles recherches sur
sidus cubiques et biquadratiques, sur la décomposition
d'un nombre en cinq carrés, sur la densité intérieure de la
Terre et le commencement de >c> études sur les quadratures
mécaniques et les fractions continues algébriques datent de
cette époque. Os travaux lui font conférer le grade de
docteur, honoris causa, de l'Université de Leyde. L'Aca-
démie d'Amsterdam lui ouvre ses portes.
Présenté en première ligne pour la chaire de calcul infi-
nitésimal de Groningue, il n'est cependant pas nommé. Avec
sa modestie extrême, il écrit à Hermite qu'il n'avait peut-
être pas les grades nécessaires. Il sentit pourtant très vive-
ment cet échec. La décision de son caractère lui fit prendre,
non sans quelque peine sans doute, le parti de quitter la
Hollande où tant de liens, cependant, le retenaient. Il vint
s installer à Paris au mois d'avril [885.
Devons-nous déplorer cet échec, malgré ce que nous en
pouvons penser"? Il nous a donné Stieltjes et contribué ainsi
<i I honneur de la science française de notre époque.
A Paris, il commence, en vue d'une thèse, l'élude de la
fonction -< s i de Riemann, puis, sans en donner les motifs,
NOTICE SUR STIELTJES.
l'abandonne, malgré l'importance des résultats obtenus.
Quelques points pestaient-ils dans l'ombre ou sans démons-
tration rigoureuse? Etait-ce plutôt la conséquence de l'opi-
nion qu'il me corrimuniqua un jour : Qu'en admettant même
l'exactitude de tous les résultats énoncés par Riemann, on
ne pouvait conclure de son Mémoire rien de définitif sur la
distribution des nombres premiers.
Il fut reçu docteur en juin [886 avec une thèse remar-
quable sur les séries semi-convergentes ( de la nature de la
série de Stirling), puis chargé de cours, la même année, à
l'Université de Toulouse et nommé titulaire trois ans après.
A la Faculté des sciences, Stieltjes fut chargé du cours de
Calcul différentiel et intégral, succédant dans ces fonctions
à MM. Picard, Goursat et Kcenigs. Un peu gêné au début
par la langue, il se montra vite professeur éminent. Ses
cours possédaient les qualités de ses mémoires. Une grande
clarté, reflet de sa lucidité d'esprit, lui permettait d'exposer
simplement les théories difficiles. Des exemples nombreux,
très instructifs, ayant toujours de la portée, faisaient péné-
trer dans l'esprit de ses auditeurs, presque à leur insu, les
notions les plus délicates. On sortait de ses leçons étonné
de la facilité d'acquisition des méthodes générales, émer-
veillé de leur fécondité et avec le sentiment que l'art consis-
tait plus à les bien appliquer qu'à les comprendre. Je n'ai
jamais connu de professeur donnant, autant que lui, à ses
élèves, conscience de la puissance des instruments qu'il leur
mettait en mains. Ce penchant à toujours faire comprendre
les théories par leurs usages, n'excluait pas chez lui la
rigueur, dont il avait Je plus scrupuleux souci. Mais il savait
admirablement distinguer ce qu'on devait enseigner, de ce
qu'on pouvait seulement signaler.
\\lll NOTICE SLR STIELTJES.
Chargé également de faire des conférences aux candidats
à l'agrégation, il pul \ déployer plus librement sa science. Je
me souviens notamment de deux de ces cours : l'un eut pour
objel la théorie des fonctions de variables Imaginaires. Il
m- ultra commenl les deux voies suivies par M. Méraj el
Weierstrass d'une part, par Riemann d'autre pari, abou-
tissenl au même point. Dans l'autre, il exposa la théorie
des fonctions elliptiques. 11 suivit, dans ses détails, une idée
ingénieuse de Riemann, consistant à étudier d'abord, etindé-
pendamment, les intégrales elliptiques et les fonctions thêta,
el à montrer ensuite qu'en remplaçant l'argument de la fonc-
tion thêta par l'intégrale on obtient une fonction algébrique.
L'inversion esl ainsi effectuée.
Ses devoirs de professeur n'absorbaient pas tout son
temps. Les mémoires sur les fonctions sphériques et les poly-
nomes de Legendre, la fonction gamma et l'équation d'Euler,
les soins pieux qu'il apporta à l'étude extraordinairement
difficile des fragments du troisième Volume du Traité des
fonctions elliptiques d'Halphen, sont la preuve de son
infatigable activité. Elle se manifeste encore mieux dans la
promptitude de ses réponses aux difficultés que lui signalait
Hermite, dont les questions et les réflexions suggestives
provoquaient ses recherches. Mais déjà, à cette époque, le
principal sujet de ses méditations fut les fractions continues.
Frappé, dès iSS,. en étudiant la méthode de quadrature de
Gauss, de l'étrange identité d'une intégrale définie et d'un
type spécial de fractions continues, il chercha pendant
dix ans à mettre en pleine lumière la généralité de ce fait.
I-'1 résultat de ses efforts fut le très beau mémoire qu'il
donna en r8g4, peu de temps avant sa mort.
An mois d'octobre [890, il sentit s'aggraver les symp-
NOTICE SUR STIELTJES. MX
tomes, tout d'abord anodins, du mal qui devait l'emporter.
Les fatigues du travail excessif et incessant qu'il s'était
imposé depuis 1 883 en précipitèrent les progrès. Ni les soins
affectueux dont l'entouraient les siens, ni les facilités de
repos et de bien-être que lui procurèrent ses amis et ses
collègues ne purent enrayer la marche de la maladie. Sur
les conseils d'Hermite, il passa en Algérie les hivers de rS<).>
et de 1893. Pendant son dernier séjour, il trouva la solution
de la difficulté qui arrêtait depuis si longtemps l'achèvement
de ses recherches sur les fractions continues. Il découvrit un
théorème remarquable lui permettant d'effectuer la conti-
nuation analytique de sa fraction continue dans tout le plan.
La joie qu'il en ressentit lui donna pour quelques mois des
forces nouvelles. La sollicitude d'Hermite durant sa maladie
fut admirable. Elle le suivit jusqu'à la fin, veillant sur lui et
sur son repos, pleine de délicates attentions. Stieltjes le sen-
tait. Le prix qu'il attachait à ses lettres, le soin avec lequel
il les avait conservées et classées montrent bien qu'elles
étaient, à ses yeux, une partie de son bonheur et de sa vie. Il
lutta quatre ans. Il se savait perdu. 11 attendit sa fin avec la
liberté d'esprit et de pensées, avec la fermeté de cœur qu'il
avait montrées dans les circonstances difficiles de sa vie. Par
un effort de volonté que peuvent seuls comprendre ceux qui
l'ont vu à cette époque, il trouva la force de rédiger, quelques
mois avant sa mort, son mémoire sur les fractions continues,
avec une hâte désolante pour ses amis, qui en voyaient,
hélas! bien la cause. Il mourut le 3t décembre 1894.
Les honneurs que lui réservait l'avenir étaient déjà venus
le trouver. L'Académie des Sciences, en 1892, le porta sur
la liste des candidats au fauteuil d'Ossian Bonnet; en 1893,
XX NOTICE SI K STIELTJKS.
elle lui décerna le prix Petit d'Ormoy. Le rapport élogieux
de M. Poincaré sur son dernier mémoire présenté pour le
prix Lecomte montre bien l'admiration que le monde savant
avait pour ses travaux. L'Académie de Saint-Pétersbourg
l'avait Qommé son correspondant.
Ses élèves et ses amis connaissaient son empressement à
rendre service et sa libéralité à les faire profiter de sa science
si vaste et de son érudition si sûre. Très exigeanl pour lui-
même, il jugeait librement les travaux des autres, aussi
joyeux de leurs découvertes que modeste vis-à-vis des
siennes. Ses jugements, sévères quelquefois, n'ont jamais
blessé, sa bonté s'efïbrçant toujours de trouver quelque
excuse aux faiblesses et aux erreurs. 11 exécutai I avec une
volonté inflexible les décisions que lui dictait sa droiture.
A la fois très ferme et très doux, personne ne sut. au même
degré que lui, conformer sa conduite à ses principes.
Ceux qui Font connu et aimé, devinant sous sa réserve
naturelle cette réunion, chose rare! des qualités du cœur,
du caractère et de l'esprit, ne l'oublieront jamais!
C'est sur le désir même d'Hermite que nous publions cette
correspondance. Elle montre l'affectueuse bonté d'Hermite
et son amour profond de la science, en même temps que
toute la dignité de la vie et le rare talent de Stieltjes.
Puissent ses amis y retrouver un peu la douceur et le
charme de cette nature d'élite que la mort a si prématuré-
ment anéantie!
Henry BOURGET.
i: h hâta.
Nous avons oubli»' d'indiquer par une ligne de points quelques-unes des
coupures que nous avons dû faire. Le lecteur est prié de rétablir cette
indication aux passages suivants :
Page
208 entre les li
214
»
•210'
»
2IT
»
219
»
•2 '21
»
221
»
226
»
248
»
253
»
260
»
261
»
261
»
266
»
268
»
270
»
278
»
281
»
I 1
4
2
y
15
3
et 1 >.
» j .
» 3
» 10.
» i(>.
» 4-
en bas.
2 » 3 en bas.
3 avant les mots « Vous lui ferez, etc. ».
3 » 4.
16 avant les mots « Je dois aussi, etc. ».
9 » 4 en bas.
10 » 11.
lettre 137, au début, après « Mon cher
a m i » .
10 et 11 en bas.
10 » 11 »
i3 » 14 »
10 » 11.
4 entre les mots « sur vos intérêts »
et « et dans l'espérance, etc. ».
Par contre il faut, page 220, ligne 7, supprimer les points au début
de la phrase.
CORRESPONDANCE
D'HERMITE ET DE STIELTJES.
1. _ HERMITE 1 STIELTJES.
Taris, 8 novembre iss.».
MoJSSIEl R .
Je m'empresse de vous accuser réception de La lettre que vous
m'avez fait l'honneur de m'adresser (') cl de \ous témoigner toul
le plaisir que j'ai eu en prenant connaissance des beaux résultats
auxquels vous êtes parvenu. Mes études ne m'ont point conduit
jusqu'à présent ;iuv questions d'analyse concernant les fonctions
de Legendre d'ordre supérieur, mais j'ai été lié avec l'illustre géo-
mètre (-) dont \ous avez suivi la trace, et je saisavec quelleadmi-
ration il a accueilli la belle découverte de M. Tisserand dont vous
vous êtes inspiré. Je ne puis douter. Monsieur, qu'au retour du
voyage qu'il fait pour l'observation aux Antilles du passage de
Vénus, M. Tisserand ne lise avec le plus grand intérêt, dans les
Comptes rendus, votre lettre dont je donnerai communication à
l'Académie dans sa prochaine séance (3). En attendant que son opi-
nion sur votre travail, à laquelle vous devez, surtout tenir, vous
parvienne, permettez-moi, Monsieur, de vous offrir en témoignage
de mes sentiments de haute estime quelques opuscules qui vous
parviendront avec cette lettre, et d'y joindre l'expression de toute
ma sympathie et de ma considération la plus distinguée.
(') La première lettre de Stielljes à Henni te manque.
(:) M. Heine, probablement.
(-1) Celte lettre a été communiquée à l'Académie le i3 novembre 1882. Elle se
trouve dans les Comptes rendus, t. XCV, p. 901-903, sous le titre : Sur un
théorème de M. Tisserand. Stieltjes y donne la démonstration d'une propriété
trouvée par Tisserand et relative à la forme analytique des coefficients du déve-
loppement de la fonction perturbatrice lorsque l'inclinaison mutuelle des orbites
est considérable.
2 CORRESPONDANCE D HERMITE I.T DE S 11 Kl. 1 .1 1 S.
2. _ STIELTJES I HERMITE.
Leyde, io novembre 1882.
M « 1 \ s 1 1 1 1; .
Je vous mh> très reconnaissant pour La manière trop bienveil-
lante avec laquelle vous avez bien voulu prendre connaissance de
ma lettre précédente, el de l'envoi de vos opuscules, qui sonl pour
moi d'un pris inestimable. Je ne peux que vous exprimer mon
chagrin que, pour le moment, mon peu de loisir ne permettra
pas < I < - les étudier comme je voudrais les étudier, car je suis très
convaincu de l'importance fondamentale de ces belles recherches
qui pénètrenl >i profondémenl dans la théorie générale des fonc-
tions.
J'aurais certainemenl fail communication de mes résultats à
M. Tisserand, mais je savais qu'il est allé observer le passage de
\ (''[111--.
Je hasarde encore à vous envoyer avec cette lettre une petite
Noir 1 ' 1 sur un sujet bien élémentaire qui aura besoin de toute
votre indulgence. Étant écrite en hollandais, je veux en exposer
l'esprit en quelques lignes.
\ 1 > 1 1 > avez fait connaître, dans le Tome Si du Journal de
Borchardt (2), l'expression analytique du reste de la formule
d'interpolation de Lagrange. J'avais pensé qu'il serait possible
d'arriver d'une manière élémentaire à une expression de ce reste,
analogue à celle de la formule de Taylor, donnée par Lagrange.
\ oici comme j \ arrn e :
Si la fonction Q[ z | s'annule pour c- - x el z ./•, i x x{ .
mi aura
(,"(;l = 0, X<1 ./■,.
Si maintenant Q{z) s'annule encore pour z = x.>>xt, on
aura <le même
(1,'(;,)=o, .r,<;,<x2.
Li Mémoire de Stieltjes a p ■ titre : Over Lagrange' s interpolatie-formule
1 Verslagen en Mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen
!<• Imsterdam, ■ série, 1. X.VII, p. i3g r>\: iv~
Le M moire d'Hermile esl intitulé : Sur la formule d'interpolation de
Lagrange (Extrait d'une lettre de M. Ch. H ermite à M. Borchardt).
LETTRE 2. 5
Donc
17(75)= o, x<r, </•,.
En général, si ()'(r. ) s'annule pour 5 = x, xl} x-2, ■ ■ -, xn
yx <C x 1 <d •£;> • • • <C ^« J)
(|"(-r))=o, x<n<x„,
à la condition que, pour toutes les valeurs de z entremet xn, les
fondions (/'(s), Çff(z), • ■■- ()'("_1)(^) soienl finies el continues,
et que, pour les mêmes valeurs de s, [\'"~l)(z-) admette une déri-
vée $ln)(z).
Soit maintenant # (^)le polynôme de Lagrange, qui pour a: = x{ ,
x2, • • -, x„ prend des valeurs /Y .-e, ), f(x2), . . ., f(xn), et posons
f(x)=3<(x)-h(x — .rl)(.r — T2)...(x — xn ) \\ ;
comme il s'agit d'obtenir une expression simple de /(x) — -"ï(.r').
nous pouvons supposera différent de xt, x2, • ■ •■>Xn, etalors la va-
leurde II est parfaitement déterminée par l'expression précédente.
Si l'on envisage maintenant la fonction
Ç( z ) = _/(*)+ #( z H-(s — ay, I {z — :r,).. .(z — x,,) H.
il est évident qu'on a
(](x)=o, (j(.ri)=o, ..., (,'(.<•„ 1 = 0,
donc
(,' "'( ï) 1 = o,
où 7) a une valeur entre la plus grande et la plus petite des quan-
tités x, xt, . . ., xn. Mais $(z) étant au plus du degré n — 1. on a
G<"'(-s ) = — /("' ( s)+ 1 . -2.3 . . . n R,
donc
R = --^ •
1 . 2 . 3 .. . . n
Il est facile d'étendre ce raisonnement au cas que plusieurs des
quantités x{, . . ., xn sont égales. La forme du reste, ainsi obtenue,
est aussi une conséquence immédiate de la belle formule que vous
avez fait connaître.
C'est avec le plus profond respect, Monsieur, que je signe votre
très reconnaissant.
I CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJES.
3. — HERMITE A STIELTJES.
I'iiri?, i > Dovembre 1882.
Monsieur,
Recevez tous mes remercîments pour la bonté que vous avez eue
de m'exposer !<• point principal de votre travail sur la formule
d'interpolation de Lagrange. L'extrême simplicité el l'élégance de
votre méthode m'ayanl fait penser qu'elle devait trouver place dans
l'enseignemenl des Mathématiques spéciales de nos lycées, je l'ai
communiquée dans cette intention à l'un de mes élèves, directeur
des «Inde- à l'école préparatoire du collège Stanislas. J'ai eu, Mon-
sieur, la surprise et le regret d'apprendre que vous avez été de-
vancé, et que dans son Traité élémentaire d'Algèbre, destiné
aux candidats à l'Ecole Polytechnique, M. Laurent propose comme
exercice de démontrer la proposition à laquelle vous êtes parvenu :
une fonction Q(z) s'annulant pour z = x, xl: ru, l'équation
l)'.'(|'(;) = o admet une racine s = 7) comprise entre X et Xn. Je
n'.ii point le traité de M. Laurent, el me trouvanl comme vous,
Monsieur, surchargé de travail, je n'ai pu encore vérifier ce dont
j'ai été informé, mais qui ne me laisse pas de doute.
aujourd'hui même je donnerai communication à 1" académie de
votre beau travail, et je ne pense pas avoir été contre vos inten-
tions en lui donnant pour titre Sur une formule de M. Tisserand.
\ euillez agréer, Monsieur, la nouvelle assurance de ma haute
estime et de mes sentiments dévoués.
4. — STIELTJES A HERMITE.
i3 novembre 1882.
MONSIEI R .
I.n lisant votre dernière lettre, je n'ai pu m'empêcher dem'ima-
giner que, peut-être, vous n'avez pas lu dans ma dernière lettre
V application de ce théorème 1 \
gi»)(i,)=0l
si
11' (>)="• (i '■■'•i'-o, Ç(xn)=o,
à la détermination du reste de la formule de Lagrange, que
LI'TTIii: .).
j'obtiens sous la forme
<\(x) = (x — Xx)(x — X%). . .(x — X„ |,
JK jLà{x — xp)y(xpy '' 1.7....//
Je n'écris ceci que pour m'excusçr, car il ne me sérail jamais venu
dans l'esprit d'abuser de voire temps pour nous annoncer seule-
ment ce théorème (A).
Mais aussi, si cette supposition est erronée, la chose est de trop
peu d'importance pour en parler plus.
Veuillez accepter l'assurance de mon profond respect et de
toute ma reconnaissance.
Monsieur,
HERM1TE A STIELTJES.
Paris, 17 novembre 1882.
Je n'avais pas été renseigné d'une manière suffisamment com-
plète lorsque j'ai eu l'honneur de vous écrire au sujet du point de
l' Algèbre de M. Laurent, q\ii se rapporte aux recherches dont vous
avez eu la bonté de me donner communication. Ayant maintenant
cette Algèbre sous les jeux, j'extrais des Exercices et Notes qui
font suite au Chapitre VII, à la page 222, ces énoncés que je
transcris textuellement.
16. Démontrer que, si f(x) s'annule pour x = a, b, . . . , /, les
quantités a, b, . . . , l étant au nombre de 7?, on a
fin)(X)
f(x) = {x — a)(x — b)...(x — l)J— ±— '-,
* I . 2 ... 71
X désignant une quantité comprise entre lapins grande et lapins
petite des quantités a, b, ...,/.
17. Si l'on pose
X — «!
f(ai,x) — f(ai, a.j)
x — a-i
/(ai, a2,x) — f(al,ai, a3)
x — a3
= f(aux),
f{aua,, x),
= /(«,, ai, a3, x)...,
6 CORRESPONDANCE D BERM1TE ET DE STIELTJES.
(ill a
f(x) = /(a{ i (x — «j l/(«i, a2)-l-(a? — ai)(a? — a»)/i a,, a*,a3 < — ...
-+-f> — «i) (x — a2). ■ .(x — aw)/"(X),
\ élanl compris cuire la plus grande el la plus petite des quan-
tités a:, a,, a-2 (in (Ampère). (On s'appuiera sur l'exercice
précédent.)
J'ignorais absolument le résultat qui est attribué à Ampère, el
je regrette que M. Laurent n'ait point indiqué dans <|uel Mémoire
mi pourrait en lire la démonstration ('). Autant que je puis le
présumer, c'esl sans doute dans \e Journal de V Ecole Polytech-
nique qu'on aurait eliauee de le trouver.
Je ne sais, Monsieur, si. sous différentes latitudes, à Leyde
comme à Paris, ce sont les mêmes devoirs universitaires qui
surchargenl les pauvres géomètres et entravenl leurs recherches.
\ la Sorbonne, nous avons maintenant une session d examens de
baccalauréat, et j'ai le regret de passer bien du temps à lire des
compositions et à interroger sur l'Arithmétique, la Géométrie élé-
mentaire, etc. Je revois cependant les épreuves d'un second tirage
lithographie de mon cours de cette année, dont la rédaction a été
faite par un de mes élèves, et qui a pour objel les intégrales
prises entre les limites imaginaires, puis quelques points de l'étude
des fonctions en général, et des fonctions elliptiques, .le me per-
mets, Monsieur, de vous annoncer l'envoi d'un exemplaire de ces
Leçons aussitôt qu'elles seront parues, et je saisis cette occasion
pour vous renouveler l'expression de ma haute estime et de mes
sent iments dé> oués.
(') Le Mémoire d'Ampère où se trouve la proposition citée par M. Laurent esl
dans le Tome XVI des Annales de Gergonne, p. 829; 1826, ci a pour titre : Essai
sur un nouveau mode, d'exposition des principes du calcul différentiel, du
calcul aux différences et de l'interpolation des suites, considérées comme
dérivant d'une source commune.
Mojvsieuiï,
LETTRE (i.
STIELTJES A HERMITE.
Leyde, >.!\ novembre 1882.
Je vous prie encore de vouloir bien faire insérer La Note ci-
jointe dans les Comptes rendus (').
Dès que j'avais trouvé la formule que je vous ai communiquée
dans ma première lettre, je soupçonnais qu'il devait exister une
généralisation, que je suis heureux d'avoir obtenue maintenant,
après bien d'inutiles efforts.
Vous savez que M. Tisserand avait originairement à développer
cos/iy, et c'est seulement plus lard qu'il a reconnu qu'il fallail
chercher le développement de : — • Ma formule générale
montre qu'on peut, en effet, développer cos/?y d'une manière
analogue, mais la série procède alors suivant les P^(o, x) qui se
réduisent aux fonctions (1 — x-) -j- (\/_().
Je suis bien aise d'en être quitte, maintenant, avec celte for-
mule de M. Tisserand, et je veux laisser reposer quelque temps
d'autres recherches qui se rattachent encore à cette question.
Je vous remercie d'avance beaucoup du précieux présent que
vous m'avez annoncé, et je me promets beaucoup de fruit de
l'étude dé votre Cours, à laquelle je veux consacrer les instants
que mes autres devoirs me laissent. Je suis astronome adjoint à
l'Observatoire ici : jusqu'ici je pris part aux observations, mais
l'année suivante je ne m'occuperai qu'aux calculs de réductions
qui sont beaucoup en arrière. Outre cela j'ai encore à calculer des
observations astronomiques et météorologiques qu'un voyageur
hollandais, M. Ryckevorsel, a faites et fait encore dans le Brésil.
Maintenant vous pourrez vous bien imaginer que je n'ai pas beau-
coup de loisir pour mes éludes favorites.
J'ai beaucoup de regret, Monsieur, de n'avoir pas eu à ma dis-
position V Algèbre de M. Laurent, ce qui vous aurait épargné la
(') Sur un théorème de M. Tisserand (Comptes rendus du 37 novembre).
Note de M. Stieltjes présentée par M. Ilermite.
S CORRESPONDANCE D HERMITK ET DE STIELTJES.
peine de copier pour moi le passage dans votre dernière lettre.
Je n'ai pas encore cherché dans Le Journal de l'Ecole Poly-
technique pour la pièce <l ampère.
\ euillez bien accepter. Monsieur, I expression de La reconnais-
sance que vos bontés m'inspirent, h de mou plus profond respect.
7. — HERMITE A STIELTJES.
Paris; !8 novembre 1882.
MONSIET R,
En venant \011s informer que votre seconde Note sur le théorème
de M. Tisserand a été présentée hier à l'Académie, el qu'elle pa-
raîtra, par suite, dans Le Compte rendu delà séance, j'ai une occa-
sion dont je m'empresse de profiter pour nous remercier de m'avoir
appris que vous êtes astronome adjoint à l'Observatoire de Lejde.
Je comprends bien, ainsi, que les découvertes de M. Tisserand,
dans lesquelles je n'ai vu que de l'analyse, aient attiré votre atten-
tion comme s'appliquanl en outre à d importantes questions de
Mécanique céleste. Pour moi, Monsieur, je ne suis qu'algébriste et
jamais je n'ai quitté la sphère des Mathématiques subjectives. Je
suis, toutefois, bien convaincu qu'aux spéculations les plus abs-
traites de L'Analyse correspondent des réalités qui existent en
dehors de nous et parviendront quelque jour a notre connaissance.
Je crois même que les efforts des géomètres purs reçoivent, à leur
insu, une direction qui les fait tendre vers un tel but, et l'histoire
de la Science me parait prouver qu'une découverte analytique sur-
vient au moment nécessaire pour rendre possible chaque nouveau
progrès dans L'étudedes phénomènes du monde réel qui sont acces-
sibles au calcul. Un de mes élè\ es, qui e>i aussi l'élève de M . \\ eier-
strass, \|. Mittag-Leffler, a ainsi communiqué à M. Gylden des
vues profondes du grand géomètre qui semblent annoncer une pro-
chaine transformation de la Mécanique céleste, en établissant que
les bases mêmes de l'édifice de Laplace sont bien chancelantes. Mais
je ne sais si nous verrons se réaliser cette transformation à laquelle
auront part, sans doute, les découvertes analytiques de notre époque.
\ ous trouvère/.. Monsieur, exposées à ma manière, quelques-unes
de ces découvertes, celles précisément auxquelles M. Weierstrass
LIÏTTRE i). 9
a attaché son nom, rhnis les leçons de mon Cours de la Sorbonne,
dont je revois en ce moment le texte, el <|ui s'adressenl aux candi-
dais à la licence es Sciences mathématiques. J'ai tenté, et vous ju-
gerez dans quelle mesure j'aurai réussi à introduire dans l'ensei
gnement quelques-unes des nolions les plus essentielles qui sont
dues à Cauchy, à Riemann, à M. Weierstrass lui-même.
Veuillez agréer, Monsieur, la nouvelle assurance de ma plus lia nie
estime et de mes sentiments dévoués.
8. — STIELTJES I 11 ERMITE.
Leyde, G janvier i883.
Monsieur,
En vous donnant dans ma dernière lettre ( ' ) la nouvelle propriété
de cette fonction B(/î), j'aurais dû mentionner la propriété corres-
pondante de la fonction F(/i) de M. Kronecker. Soit/) un nombre
premier impair, n non divisible par/?2; alors
F( /»/>**) =
/>'•' -+- //•'-' 4- p'<-- -+-... -h p -h I
\ 1>
)(p*-i + p*-
l''( n I,
lorsque n est divisible par/?,
T
De plus, comme on sait,
F(4n)= 2F(/i).
Ces deux formules correspondent aux propriétés de B(/i).
9
Monsieur,
Il ERMITE A STIELTJES.
Paris, g mars [883.
Voire lettre me donne une occasion que je suis heureux de mettre
à profit pour vous faire savoir que mon cher confrère M. Tisserand
(') Entre la lettre (7) de Hermite et la lettre (8) de Stieltjes, il y a évidem-
ment une lacune. Il manque au moins une lettre de Stieltjes donnant une pro-
priété de la fonction B(n).
lO CORRESPONDANCE D HERHITE KT DE STIELTJES.
m ,i entretenu de la Communication que vous avez faite à I Aca-
démie en m'en faisant le plus grand éloge. Je vois aussi, Monsieur,
que \tuis (Mes un ami de l'Arithmétique, et que vous partagez mon
admiration pour Gauss e1 Eisenstein; permettez-moi, si vous ne
me faites poinl parvenir un avis contraire, de donner à M . Darboux,
pour qu'il la publie dans le prochain numéro de son Bulletin, votre
méthode élégante (' ) pour obtenir la valeur de ( ( M ) ) • Elle me
rappelle d'anciens souvenirs qui rem on le ni à plus de i rente ans, et
des lciilali\cs que j'ai laites alors pour obtenir le caractère de 2,
dans la théorie des résidus de cinquième puissance.
Veuillez agréer, Monsieur, la nouvelle assurance de ma haute
estime el de mes sentiments dévoués.
10. — STIELTJES A II ERMITE.
Leyde, i<> mars i883.
Monsieur,
Je me s u i > aperçu qu'il s'est glissé une faute dans ma lettre
d'hier (2). On a, pour n = oo :
V ' n f
jimÊi ma — p -t- i) J i —
/• dx .
X '/.r , ) I
/*' ./■ dx 3
/„ \—X~ °2
H {Il —p-hl) J \—X ° 2 3
-■(i
I
x dx . /j i
= loi: -
mzmL n{ n — p -+- 1) J0 i ./ s 3 4
-*(=) + ■
(') Bulletin des Se. mathématiques et astronomiques. ■>,' série, t. VII, i883,
p. i.,j>()-i j i -, Sur la théorie des résidus biquadratiques, par M. T.-J. Stiekjes
( Extrait d'une lettre adressée à M. Hermite).
(-) La lettre du i5 mars manque, t a extrait est inséré aux Comptes rendus
du 19 mais : Su/- le nombre des diviseurs d'un nombre entier.
LETTRE 10. Il
Je dois avoir indiqué fautivement les limites dans ces sommations
partielles, et je vous prie de vouloir bien corriger celle erreur, due
à cette circonstance, sans doute, que j'avais auparavant nommé //,.
ce que je désigne maintenant par /'«_*+< .
Si l'on prend seulement A de ces séries partielles, la somme des
termes négligés
reste inférieure à - ' -A l'aide de cette remarque, il serait 1res
facile de donner à ma démonstration une forme toul à fait rigou-
reuse en laissant d'abord k constant, mais arbitraire. — Les
valeurs de /( 1)4-/(2) + ... +/(") ont été calculées dans le
temps (en 18^6); ainsi :
Soit p un nombre arbitraire ^ n et posons
11
Mors
/(i) + /( ■,) + ... +/<»- E(t)+E(^)+-+E
/'
»Mt)-*->M^) +•■■+'<( -)-/"/■
1 / \ -i
Pour /? = 100 000, par exemple, j'ai [)ris
p = 3 1 6 , 7 = 3 1 5 ,
et la somme devient
»["(")-»(?)-• — (^)]+E(sf.)-«-
J'avais calculé la somme/(i) + . . .+/(/?) pour /i = 1000, 1 00000
pour avoir une idée de la rapidité avec laquelle le rapport
s'approche de l'unité; les valeurs numériques obtenues m'avaient
<■ • , /"( 0 -+- . . . -+- /( n ) 1 s 1 p
tait soupçonner que - — — — - — log/> s approche dune
limite fixe, ce qui se confirmait, comme vous l'avez vu.
12 CORRESPONDANCE D HEKMITE ET 1>K STIBLTJES.
J'espère, Monsieur, que, s il arrivait qu:il vous serait néces-
saire quelque calcul numérique, vous voudrez bien m'en honorer.
\ présent, je ne peux poinl faire une chose plus utile et je serai
toujours heureux si je pourrai vous rendre quelque service.
Veuillez accepter, de nouveau, l'assurance de mes sentiments
dévoués.
11. — HERMITE A STIELTJES.
l'iiris. ni niiirs iSS3.
Monsieur,
Recevez mon complimenl pour voire Note sur le nombre «les
diviseurs il un nombre entier que j'ai lue avec grand plaisir et qui
sera présentée à la séance d'aujourd'hui, avec les corrections indi-
quées dans votre seconde lettre. J'accepte bien volontiers votre
offre de me \ enir en aide lorsque je serai amené à des calculs numé-
riques qui sont toujours pour moi une grande difficulté; permettez-
moi, en retour, de me mettre à voire entière disposition dans le
cas où vous désireriez entrer en relation avec les astronomes de
l'Observatoire de Paris. M. Tisserand, que j'ai eu pour élève, esl un
de mes amis et j'ai avec tous de lions et excellents rapports. Je
serais heureux. Monsieur, que vous me donniez ainsi l'occasion de
vous être utile, el dans cette espérance je vous renouvelle I expres-
sion de ma haute estime et de mes sentiments bien dévoués.
12. - HERMITE I STIELTJES.
Paris, i- mai i883.
Monsieur,
Je sciai extrêmement heureux de profiter de votre présence à
Paris pour faire votre connaissance personnelle, et je viens vous
pner. ne pouvant point disposer de ma journée pour me présenter
chez \oiis. de nous faire l'honneur de venir dîner chez moi, avec
mon gendre Emile Picard, mardi, à 6h3om.
Je suis. Monsieur, avec les sentiments de la plus haute estime.
votre bien sincèrement dévoué.
MOK!
LETTRE 13. l3
13. — STIELTJES A HERMITE.
Lfeyde, !\ aug. 188 \.
Je hasarde à vous présenter le développement plus complel de
la remarque que je \<>us ai déjà communiquée ('). J'ai étendu ma
démonstration au cas que la fonction Q(oc) dans L'intégrale
/
/'1 x ) {)'(■'' 1 dx
n'est assujettie qu'à la restriction d'être continue et de ne présenter
<|ii un nombre fini de maxima el minima.
Ensuite j'ai ajouté quelques conséquences concernant le déve-
loppement en fraction continue :
I
"^^c/, = *•.
On peut affirmer que),0, Xl5 X2, . . . sont lous positifs el que /,,,
a,, ou, . . . sont tous compris entre a et b.
.le ne sais si cela était connu, mais je ne le trouve pas dans le
Mémoire de M. Heine {Monatsber. der Berl. Akacl., (866).
M. Heine, dans son Traité des fonctions sphériques (t. I, p. 206
2e édition), cite encore des travaux de MM. Christoffel et Tche-
bychef sans donner une indication précise où on peut les trouver.
Je n'ai pu consulter que le Mémoire de Christoffel sur les quadra-
tures mécaniques (Borchardt, 55), que vous citez aussi dans
votre Cours de l'Ecole Polytechnique, et le Mémoire de M. Tche-
bychef dans le Journal de Liouville, 2e série, t. III.
Je suis, Monsieur, avec le plus profond respect, votre bien
dévoué.
(') Nous n'avons pas la trace de cette précédente Communication. La présente
lettre accompagnait évidemment l'envoi d'une Note insérée aux Comptes rendit*
des 1" et 8 octobre sous le titre : Sur l'évaluation approchée des intégrales.
(Note de M. Stieltjes, présentée par M. Hermite. )
VI<
CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE ST1ELTJES.
14. — HERMITE A STIELTJES.
Fouras (Charente-Inférieure), - aoùl i^s'>.
Je serai absent de Paris el en voyage pendant La durée des va-
cances, c'est-à-dire jusque dans le courant du mois d'octobre, de
sorte qu'il ne me sera point possible de présenter à I" académie,
avant cette époque, le travail extrêmement remarquable que vous
m'avez fait l'honneur de m adresser. Les propriétés que vous avez
découvertes des polyi les Pn(x) el Qn(^) m'ont vivement inté-
ressé, el les conséquences que vous en avez déduites, sur les quan-
tités '/. el x, ajoutenl des résultats htni nouveaux à la belle théorie
de développement en fraction continue de I intégrale
S.
Je vous félicite, Monsieur, bien vivement du succès de vos efforts,
et je me promets de mettre votre beau travail à profit 1 année pro-
chaine pour mes leçons de la Sorbonne. Il me rappelle une remarque
que j 'ai faite autrefois el que je prends la liberté de vous commu-
niquer, en \ joignant une question à laquelle vous serez, mieux
que moi, en mesure de répondre. Soit
\)'[.\(x — a)"+*(x — b >■' ■ > | =0 — «.)a(.r — b'ft ï\(x),
de sorte que Q (x) soit un pol \ nome en lier de degré n . et suppo-
sons que at — | — p soil un nombre entier /, . On pourra écrire, en
désignant par<o(#)la partie entière.
l x _ a )ii *-« (> _ 6)«-i-p = o(x) -+---+- — -+-...
' X a?2
puis
D'il I x — a )«-» « (x — b) " -'> I --- '!> , ./■ i -
•* IA / J \ / X,l~*~ ' X" '
où 'I'i ./■) est un polynôme de degré n -f- /. '. Nous avons donc ainsi :
_ a | /. i x — l> ■'> II | X i = * l X I H —, -i — - -+-...
/•/; -1 X"+-
de sorte que la fraction est la /«"'"'c réduite du développement
1 <|>i X) l '
LETTRE IV. l5
en fraction continue de La quantité (x — a)a(x — b)$. Cela étant,
je demande si, en supposant a el l> réels, l'équation Il(.r) -<> ;i
ses racines réelles. Pour a = , 3= > on se trouve dans le
■i ' ■'.
cas de vos théorèmes, mais pour d'autres valeurs, en supposanl
par exemple A' = — i, le polynôme II ( ./■ ) aurait-il encore Les pro-
priétés de la dérivée du dénominateur <!>(./•)?
Permettez-moi, puisque \<ms ries un ami de l'Arithmétique, de
\oiis duc un mol dune reclierelie qm m OCCUpe en ce moment.
En supposant n = 5 mod 8, et désignant pai- /'(/<) le nombre des
décompositions de n en cinq carrés impairs dont les racines sont
positives, j'obtiens la relation suivante où E(.r) désigne l'entier
contenu dans x :
/(5)+/(ii) + ...+/(ft)=2«El — -J,
le signe ^ «'appliquant à tous les entiers impairs a et a', tels qu'on
ail n^> \acé '. Soit ensuite E|(.r) une nouvelle fonction égale à
zéro ou à l'unité,
H, (./•)= E ( x h — ) — E(.r) ou bien E(2a?) — 2E(a?).
En désignant par F(/*) le nombre total des décompositions de /i
en cinq cariés, on a
i.',u+F(.,)+...-f-F(«)=^'V«)+82[al'(î;) + '2cEl(^)]
-+- iG \ [c? E(/« — ««') — a( — iKcE(\//i — /j cc')J.
Dans celle formule a et a! sont tous les entiers impairs, c, c' les
entiers quelconques tels que n > aa', n > 4CC'-
Les formules analogues pour trois carrés sont plus simples; j'ai
vérifié le premier théorème pour/i = 2i, mais je me trompe si
facilement dans les calculs numériques qu'à mon grand regret je
ne me suis pas risqué à aller plus loin.
En vous renouvelant, Monsieur, mes félicitations et mes remer-
ciments pour votre Communication, veuillez recevoir l'assurance
de mon meilleur souvenir et de mes sentiments tout dévoués.
l6 CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJES.
15. — STIELTJES A HERMITE.
Leyde, 9 août i883.
MONSI] 1 R .
Je n'ai pu résister au plaisir de vérifier les belles formules arith-
métiques que vous avez bien voulu me communiquer el qui me
semblaienl d'autant plus mystérieuses, parce qu'il n"\ entre point
[e nombre des résidus quadratiques au-dessus d'une certaine 11-
mite, mais je dois vous avouer qu'en ce moment je suis à peu près
étranger à cette belle el profonde matière. Pour le calcul numé-
rique j'ai mis votre formule
/(5) /(i3) ... /(«)=2aE
sous la forme
yn \aa
f //i — 4
ou
.•I
/1 >) h/(i3) ... f(n =^às,(p)li\ v
p j p = i, 3, 5,7, ■••
r(p 1 = somme des diviseurs de />.
/' 1
< . e^i ain^i que j'ai poussé les calculs jusqu'à 11 = 101 .
J'ai encore calculé le second membre de votre formule pour
/i = i.~>j, 1 65 ; la différence des nombres obtenus, 1698 et 1918,
- ",. es1 bien égale kf [65 |. En effet on a
|65 = Si + 4g + •_»"> — g — 1 (l20)(1) \
= 81 -4-8l -+- I — I -4- I I lui /
= Ni >\ >', . - 25 -t- g ( 20) 220
i1.) i'.i — il)-- 9 + 9 "" \
= 12 1 -r- 2 "> -l- g — 9 -+- 1 (60) I
1') Celle colonne indique le nombre des décompositions en cinq carrés ne
différant que par l'ordre îles carrés de ceux écrits sur la même ligne.
i ;
n = 29 .
n = 45.
n = 53 .
LETTRE 15. !"
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1
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Somme . . .
14
122
( ' ) Nous reproduisons les Tableaux tels que les a formés Stieltjes pour le calcul
du second membre de la formule à vérifier. Les valeurs des premiers membres
sont données ensuite.
l8 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
61
n = 69,
n = 85.
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124
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53 35 122
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69 60 237
77 60 297
85 90 387
93 9° 477
loi g5 ">7 >.
•22 CORRESPONDANCE d'bERHITE ET DE ST1ELTJF.S.
Quanl à votre seconde formule, dans votre seconde lettre, elle
se 1 1 <>n\ e ainsi :
F(/>) le nombre total des décompositions en cinq carrés
E,i i (x+i) — E(a?) = E(2a:) — ïE(«),
Fui + FùH ...-K(n)
-.«(•=)-hsi:[.k(=)+„e1(jl)]
> [oE^/f — ««') — 2(— r)c'cE(v/» — 4cc')J,
a el a' sont ions les nombres entiers impairs, n ': un', c et c' les
entiers quelconques tels que n T îcc'.
J'ai supposé que dans
2[
aE
""•(f.)]
il fallart poser
et
a = i, 3. >..... a ~n
c = i , 2 , 3 , . . . , 4 c < ii ,
( )n aura, par une transformation analogue à celle déjà employée,
ïr/E<V" — aa') = ^g( p) E(y/n — />) (/*- i, 3,5, ...,^n)
— S(- [)c'cE(v n - î<c\) = -a/('7)e(v/« — 4?) ('/ = « , 2, 3, ...,< ^J;
en posant
g'(q) - -V(_,)c'C) cc'=gr,
on voil facilement que pour
q impair g'(q) = g(q),
q = î'r, r impair g'{ q) = g(r).
Mais en faisant \c> calculs pour n = 5, i3, . . ., je trouve la for-
mule fautive ; je ne puis donc que conclure que je ne l'ai pas bien
comprise ou qu'elle est yàtée par quelque erreur que je n'ai pu
deviner. Voici cependant les valeurs de F(i) -K . .-+- F(«) que
LETTRE 10.
23
j ai trouvées
Il — 1 . . .
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n = 6 .
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.. [34a
/* = 5 . . .
. 332
« = 10
• • |(.)0>
Je crois que ces valeurs sout exactes; je les vérifierai par un calcul
indépendant et contrôlerai votre formule avec plaisir, si cel;i vous
paraît intéressant, dès que je connaîtrai la forme exacte. J'espère
pouvoir revenir plus lard sur une autre question que vous avez
posée dans votre lettre.
\ millez bien me croire, Monsieur, votre très dévoue.
P. -S. — ■ En adressant celle lettre à Paris, j'espère qu'elle vous
parviendra en bon ordre. J'ai une copie de tous les calculs.
16. - STIELTJES A II ERMITE.
Leyde, 12 août i883.
Monsieur,
Lorsque, hier soir, j'apercevais la transformation dont votre for-
mule est susceptible ('), j'ai voulu vous en donner connaissance le
plus tôt cpie possible et le temps m'a manqué à indiquer comment
j'y suis arrivé.
Prenons n = 3- ; en jetant les yeux sur le calcul
X.
y-
z.
p-
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n -
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1:
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3
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16
9
1
1
1
i3
i3
que dans
la colonne r
+')
mi
56
j'observe
E/7*-
-4/>
trouve les
\
/
(') Le début de la lettre semble indiquer qu'il existe une lettre du 11 août.
Elle manque.
'I CORRESPONDANCE D'flERMITE ET DE ST1ELTJES.
nombres en renversanl l'ordre) i . 2, 2, 3, 3. On s'assure aisément
que, dans le cas général, ces nombres sont
1 • - 3 3 3 i 4 i i etc.
, deux foi- . (mis fuis quatre fuis
en sorte que le second membre de votre formule peul s'écrire
§ p *[g(p— 2)-t-^CP- 4)]
- i[g p 6)-hg(p- 8)4-^(^ — 10)]
\[g(p — 12) -+-g{p — 14) h- g(p 16) ?{p — 18)]
En remplaçant // par n — 8, p par/? — 2 on a de même
<?(/> — 2)-t-2[^(Jp— 4) + <?(/>— 6)]
■+- 3[^(/j — 8 ) -+- g{ p - 10) + £-(/> - 1-2 )J
\[g(j> n ?(/> — 16) -t-^0» — 18) + *(/> — aoj]
-1- :
la différence est
g(p • —g(p - 2 i
-h2\g(p— 2 \ — g(p~ 6)]
+ 3 [£■(/> — <■■' — A'O— 12)]
+ il >(/' — 12 1 -Ar'/' - 20)]
ou
A- 1 p ) __ o ( ;, — 2) -H A"'/' - 6 > — g(p — 1 2 ) -;- . . . ,
c est-à-dire
\-i-on jamais vu une formule plus belle! Je n'aurais jamais
pensé qu'une expression aussi simple pourrait exister. Et que celle
formule est différente de celles qu'a données Eisenstein ! Je ne puis
exprimer, Monsieur, que mon admiration pour des recherches qui
\011s oui mené à nue vérité aussi belle. J'espère être assez heureux
pour connaître un jour les principes que vous avez suivis dans
celle investigation.
\ otre très dévoué.
LETTRE 17. 25
17. — STIELTJES A HERMITE.
Lej de, i3 août 1 883.
Monsieur,
En réfléchissant de nouveau sur voire première formule, je me
suis aperçu qu'on peut l'obtenir 1res simplement comme il suii :
Attribuons à ûc, y, z, t, u seulement des valeurs positives impaires,
n = 8 k + 5 et considérons !<• nombre des solutions de l'inégalité
■'■- -h y'1 -h z2 -h ï2 + tf- n :
ce nombre sera évidemment égal à
/(5)+/(i3) -+-... +-/(«).
Mais le nombre des solutions pour lesquelles x = i est, d'après l<-
théorème de Jacobi ( Crelle, t. 3, p. 191), égala : [g(r) somme des
di\ iseurs de ri,
(n — \\ [ n — u \ / n — 1 7 \ / n — 20 \
Le nombre des solutions pour lesquelles x = 3, 5, ... est respec-
tivement
/ n — q\ / n - \- ( n — 25 \ / « — 33 \
En sommant, on obtient pour le nombre total
c'est bien là votre formule.
Il est difficile à croire qu'on puisse avoir une démonstration plus
simple. Du reste, il va sans dire que je n'aurais jamais fait le rai-
26 CORRESPONDANCE D'HERMITÉ BT DE STIELTJES.
sonnemenl plus baul sans votre Communication. \ euillez bien me
croire toujours \ otre très dévoué.
18. — 111 II Mil 7/ I S 77 E I. TJES .
Fouras (Charente-Inférieure), >'i août i883.
MoNSl El B .
\ (i- Communications sur la propriété arithmétique donl je \<>us
avais donné bien succinctement 1 énoncé m onl extrêmemenl inté-
ressé, en ajoutanl encore à 1 estime que m'avail inspirée > otre | > « '■ m '■ -
tration el votre beau talent en Analyse. Je n'ai point sui\i tout à
laii la \ que vous avez découverte, et, toul en arrivanl au même
résultat, j \ ai été conduit par une autre méthode. Je m étais pro-
posé, Monsieur, d'entrer avec vous dans des développements
étendus sur ce sujet, et c'est dans cette espérance que j'ai ajourné
ma réponse à votre dernière lettre; mais un état d'indisposition
m'a contraint de mettre les vacances à profit, non pour travailler
comme je l'aurais voulu, mais pour prendre le repos dontj avais
besoin. En attendant que je me remette à I'oua rage, permettez-moi
cependant de vous élire, en peu de mots, comment j'ai été amené
au\ décompositions d'un entier en cinq carrés. Dans le principe,
je n avais en vue que les formes quadratiques de déterminant né-
gatif et, en désignant par F (D) le nom lire des classes de détermi-
nant — D, j'avais voulu tenter la recherche <le la valeur, pour D
F(i) + F(,)+...+ F(D i ,r ... , • .
très grand, de — r— - — • Mais mes enorts n ont pas
eu «le succès, ei je n'en retiens que la formule suivante dont j'ai
donné communication à M. Rronecker, il y a quelque temps.
Soit D= \n — i, et désignant par I (D) le nombre des classes
proprement primitives de déterminant — D, on a
Fi I Fi 7)+...+ F(4»-i)
n — v'2 — 2 k
2 v 4- 1 h —
les diverses sommes étant prises en supposant v o. 1. ■>. jus-
LETTRE IH. "?.-]
<iu'à ce que les quantités sons le signe E, assujetties à la condition
d'être positives, deviennent moindres que l'unité.
Cette expression de la fonction sommatoire de F(D) ne m ayant
point servi pour l'objet que j'avais en vue, j'ai cherché dans le
voisinage. J'ai supposé n impair et considéré les décompositions
d'un entier en trois carrés impairs, puis m trois carrés quelconques,
puis en cinq. C'est alors que j'ai entrevu, comme consolation de
mon insuccès, quelques remarques qui ne m,' ont point pain sans
intérêt, et, m ce qui concerne la décomposition en cinq carrés
impairs, l'introduction d'une fonction numérique qui s'offre tout
naturellemenl <i d'elle-même. Cette fonction est la somme <l<>
diviseurs o d'un nombre impair, tels qu'en faisant // = oo', on
ait S h; o' mo<l { el o.<.!o'. La fonction correspondante au cas
de la décomposition en trois carrés impairs est la somme des divi-
seurs tels que l'on ait 8<28'. Mais ces recherches demandent
plus d'efforts que je ne puis en faire en ce moment, et je dois, en
me proposant de vous communiquer mes résultats, attendit' que
j'aie repris courage à l'ouvrage, afin de ne point m'exposera vous
envoyer encore des formules inexactes.
Je pense aussi, Monsieur, à vos belles recherches sur le déve-
loppement en fraction continue de l'intégrale de TcliebichefF et de
Heine, et, comme l'Algèbre est chose plus facile que l'Arithmétique,
j'ai vu, sans avoir à travailler pour cela, ce que sans doute vous
avez remarqué vous-même : qu'on a sous la même forme le numé-
rateur et le dénominateur des réduites de (x — <7)a(# — b)? où
y. -+- [3 = un entier k. Supposons k positif; dans une réduite de
i B * i .
rang quelconque — , A se détermine en posant
D" [O — «)"+a O — b )»+P ] = (x — a)*(x — b y \ .
et B par la relation semblable
D£+*[(3r — a)«+*-a(a? _ 6)*+A-p] _ (^_rt)-a(.r _ 6)-PB;
et, en écrivant ceci, il me semble voir que le résultat subsiste, que
k soit positif ou négatif.
Je dois, dans quelques jours, partir pour la Bretagne, d'où j es-
père pouvoir vous écrire en traitant les questions plus à fond qu'au-
jourd'hui; veuillez en attendant, Monsieur, recevoir l'expression
28
CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE ST1ELTJES.
de mes sentiments de bien sincère sympathie et l'assurance de ma
plus haute estime.
19.
HER MITE I STIELTJES.
Paris, 6 octobre i883.
Monsiet i; .
\ i»n recherches sur l'évaluation approchée des intégrales I ' » ont
été présentées à la dernière séance de I Vcadémie et paraîtront dans
les( 'omptes ri- m lu s de cette séance. Mais, votre rédaction dépassant
en étendue la I uni le réglementaire de trois pages d impression, j'ai
* dû la diviser en deux parties, de sorte que la fin de votre Note pa-
raîtra seulement dans les Comptes rend a s de la prochaine semaine.
Permettez-moi, Monsieur, de profiter de celle occasion pour rec-
tifier l'erreur ( - \ que vous avez reconnue et signalée dans I énoncé
de ma formule, concernant le nombre des solutions de l'équation
./ - ■+- y2 + z- + l- -f- u'2 = n. Si l'on désigne ce nombre par f\ n >,
la somme f{\) -hf(i) -4-. . .-\-/(n) = F(w) s'obtienl comme il
suit :
Désignons par a les entiers impairs i, 3, > et par c et c'
les entiers quelconques i. 2,3,...; on a
F(») = 2E (/«) + 82[ a E (f)) + 2CE, (fy
— i6 7 \ n E\yn — a c I — •>. i'— i \c' cE(\ n — > ce )] •
Dans cette expression, E(#) est l'entier contenu dans ,r.
E, i ce) = E ( ./• h — j — E (x) = E(:>,x) — -).\i{x),
de sorte qu'on a toujours E,(o:) = o ou = i , suivant que la diffé-
rence entre x et le (dus grand entier qui y est contenu est infé-
neure a-> ou bien égale ou supérieure a -•
\ oiei, dans cet ordre de recherches, les formules que je viens d'ob-
tenir, pour le nombre des solutions de l'équation x2-\-y2= n. En
(') Les recherches présentées à l'Académie et mentionnées au début de cette
lettre sont celles dont il est question dans la lettre 13.
(') La formule rectiliée est la seconde formule de la lettre 14.
LETTRE '20. M)
désignant ce nombre par f(n), vous savez qu'Eisenstein ;i donné,
le premier, pour la somme /(i) +/(2) + • • • +/('*) — '' "( " '•
celle expression bien remarquable :
*[-(t)-«(ï)— (5) — ]•
J'ai remarqué qu'en posanl
x _ E / ' - v/87T
S =E - -E l'Z -+-... ±E
^)+E,(^)+...+ E,(»-^
on a aussi
F {n ) = 4 ( S -+- Sj — X sin2 —
J'obtiens encore pour la somme suivante,
/( i ) +/( 2 . 5 ) -+-/( 2 .<))+••• + ./'( 2 n ),
OÙ /? = i , mod 4? l'expression que voici :
en désignant par [i. l'entier impair immédiatement au-dessous de
\Jn ou égal à y//?.
Je me ferai, Monsieur, un plaisir, quand je publierai ces résul-
tats, de donner la méthode si élégante que vous m'avez commu-
niquée au sujet de la décomposition en cinq carrés impairs des
nombres = 5 mod 8, en insérant dans mon travail la lettre que
vous m'avez adressée sur cette question. Veuillez, en attendant,
recevoir la nouvelle assurance de ma plus haute estime et de mes
sentiments bien dévoués.
Monj
20. - STIELTJES A HE H MI TE.
Leydc, io octobre i8S3.
Vous m'avez fait un très grand plaisir en m'écrivant votre der-
nière lettre, et encore une fois vous m'avez fait votre débiteur en
CORRESPONDANCE li'llll! Mil E ET DE STIELTJES.
présentanl mon travail à L'Académie. Nous ne dites rien de votre
santé : j'espère bien sincèremenl qu'elle soil complètement rétablie.
Maintenant que j'ai sous mes yeux votre formule pour
F(n) =/(i)+/(a) +...+/(»),
je vois bien que seulemenl quelques légères erreurs «I écriture dans
votre premier énoncé m'avaienl empêché de la bien comprendre.
\li ;s efforts pour découvrir ces erreurs moi-même oui éié inutiles.
Voici comment j'avais tâché de retrouver votre formule :
Le nombre des représentations de /> par or2H-^2 + s2 -H t2 e>t
8[a+(— i)'l]g'(n),
où je désigne par £•'(«) La somme des diviseurs impairs de n. C'est
ce qu'on peut déduire de la dernière foi-mule des Fundamenta
nova (GE livres de Jacobi, t. I. p. 23o,)
7 ' ''" >7" i 7'
mn^
\l — q l-^q- l — q* l - >/ '
\ L'aide de ce résultat, on trouve facilement
J\n)= \(>{g'(n)^--±g'(n — i2)-f- 2^'(n — tf)-h-2g' (n — 32)-f- ...|
+(_i)"8[^'(n)-2^'(ft— i*) + 2^'(n — a*)-t-2S-'(n-3*H ...],
«m d faut continuer les séries jusqu'à ce que les arguments devien-
nent négatifs. Si n est un carré, il faut prendre £''(0) = — •
Partant de celte expression, on trouve, pour
F(n)=/(n)-i-/(n — i)-f-. ...
F(«) = i6P+(— i)"8Q — 1,
+ 3g'(n — i)±$g'{n — 5)-f-...
±3g'(n-3)-T-5g'ui — 6)
±5^'(n — 7)
+ 5^(n — 8).
(Pour avoir P, prendre le signe supérieur ; pour Q, le signe inférieur).
.1 avais pensé, par analogie à ce qui se passait dans le cas de la
décomposition d'un nombre 8Â -h 5 en 5 carrés impairs, que cette
LETTRE 20. il
formule résulterait aussi, par une transformation facile, de celle que
vous avez donnée. Mais en hïcliani de transformer votre formule je
n'ai point vu se confirmer celle prévision, de sorte que j<' n'ai
point trouvé une méthode pour arrivera votre formule. Cependant
je n'ai pas encore pu faire le calculavec le soin nécessaire etje me
propose d'y revenir.
Comme je trouve toujours un plaisir à accompagner des
recherches abstraites par des calculs numériques, j'ai élé \ ivemenl
frappé par l;i transformation que vous m'avez indiquée de celle
expression
e(t)-e(?H(?)-e
Votre transformation, en effet, permet de calculer celte somme
pour des valeurs de n pour lesquelles le calcul direct sérail rebu-
tant, quoique je vois bien qu'on ne doit point envisager cette trans-
formation seulement sous ce point de vue. En effet, je me rappelle
d'avoir vu dans le second Volume des Œuvres de Gauss ( ' ) d'autres
formules encore plus faciles pour ce calcul, déduites de cette con-
sidération que
■-«[■GHGMï)--]
est le nombre des points dont les deux coordonnées rectangulaires
x, y sont des nombres entiers, situés à l'intérieur d'un cercle décrit
de l'origine avec le rayon \Jn.
Quoi qu'il en soit, j'ai voulu appliquer votre transformation à
d'autres cas pour en bien comprendre le sens. J'ai considéré à cet
effet le nombre /(n) des représentations de n par x- -+- iy- ; on a
/( n) = 2 ( </] -H d3 — d:> — d-),
où c/,, d3, d5, cl-, signifient les nombres des diviseurs de n qui sont
compris dans les formes 8 À • -f- i, 8 A: -f- 3, 8k + 5, 8 A ■ -f- 7. C'est
ce que j'ai trouvé par la considération du développement de
22
,fi*+-ir--
(') Cf. Gauss, Werke, t. II, p. 270, 279, 292.
CORRESPONDANCE d'hERMITE ET W. STIELTJES.
mi en conclul
/(i)+/(2)+/(3)+... + /(n)
-[«(2) .(5) E(2) ■(=)-«(=) "(£)—]■
En faisant usage d'une transformation analogue à celle que vous
avez donnée, j'obtiens les formules suivantes :
Soil sol ' i une fonction numérique définie pour des valeurs en-
tières de x par
?(4* + *)=*. , , . . wa:
m !./•) = isin2 — — ( ' |,
o ( 4 h : + 3 ) - i . i
«p( i*)
= o,
c'est-à-dire œ(#) esi égale ;'■ La somme des ./■ premiers termes delà
série
I — = — I I I-T-I-i-I - I [+1+1-1-1+1 + ] ....
l'osons maintenant
À = E
i + \/S n + i N'
8 n + i \
S=.(=)+B(2)_,(5)_,(=) +
...t[.(--±i)]+t[.(^)]
zhE
K^=r):
K^)>
alors
/(i) ... -/(«) = 2[S + S,-a?(X)].
Il est évident que i -h/(i) +/(2) +. . .-{-/(n) est égal au
nombre des points à coordonnées rectangulaires entières situés à
l'intérieur d'une ellipse dont les demi-axes sont égaux à \fn et i/-*
L'aire de celle ellipse étant — > ce sera l'expression approchée
V/2
, T.X
( ' ) La formule o{x) = i sin- -^- a été ajoutée par Mermitc.
LETTRE 21. 3c
de /(i) + f {'-'■) 4-- • ■ + /(" ) pour n très grand. On en déduit
JL _ , / £ . i _ j i £ 1
v/a \ i 3 5 7 9 i '
Je lie vois pas encore la raison de celle autre formule <|ne VOUS
m'avez communiquée, mais je veux y penser.
Ces derniers mois ne m'ont point été favorables pour les élu» les. . .
je vais quitter L'observatoire vers la fin de ce mois el je suis main-
tenant chargé provisoirement, pendant la maladie d'un des proie-,
senrs (' ), de leçons de Géométrie anal \ i ique el descriptive à L'Ecole
Polytechnique de Delft J'aurais cependant à dire quelque chose
sur les intégrales définies, mais je dois finir cette lettre déjà trop
longue.
Croyez-moi toujours votre très reconnaissant.
21. — STIELTJES A HERMITE.
Leyde, i5 octobre i883.
Moin sieur,
En reprenant le calcul, j'ai, en effet, trouvé que ces deux. formules
lA) F(«) = 2EV«)+ 82[aE(2)+a«Bi(^)]
-+- iG2^[«E(/ft — ac) — 2( — i)c'cE(i/« — cc')J,
! F(n) = i6P-+-(— i)»8Q — i,
i n
P=y[i + aE(v^)]^(n-jp)>
(B) ( o
Q =2(" 0'^[ ~*~ aE^)] êfin -p)
0
peuvent aisément se réduire l'une à l'autre.
(') M. le professeur Van den Berg.
3/j CORRESPONDANCE d'HERMITE KT DE STIELTJES.
Comme on a ?'((> — > la formule I l> i peut se mettre aussi
sous la forme
n 1
I ; F i « - 2 E ( \ // - i f.^ 1 1 -*■ >. K (\/7)] 5-' ( n — p)
o
n- 1
1 '" 82 (~ ' }'' t ' "^ 2 E ^^ * ' ' " r
o
D'un autre côté, on trouve facilement
VCE,^J § • h(f'(4)+...4-^(r) i i),
/■ étant égal à ,■/ ou à /? — i, selon que n est pair ou impair.
El |uii^.
^ r/ E (t '/i — «c ) =2 «^ (/> ) E (/«T= /' '
= 2 E ^ ' ë ' " —P] (p = i, a, . . . , » — i),
5!— (- t)c'cÉ(y//z — 2 ce') =^ £•'(/?) E(/n — 2jp) (/>= i,2,3
^zli E(/y)^(/ï — ç) (? = « — 2, n — 4, re — 6,
( ' ) En effet
E,f x) — E(2a?) — 2E(o;).
Donc
2-.(f.)=2:-(îî)-2»"(s)— (t)î"(5) + ^U
Celte somme est é^ile à
S''(0+o-'(3)+---+S''(e"
ou bien à
g'{*) + g'(l)+-.' + 6'(r)'> /-=2E(-
LETTRE 22. 35
\ l'aide de ces transformations, la formule ( V.) se met sous la forme
suivante :
(A'; F(/i) = aE(Vrt) + 8 [$-'(0 £-'(a) -h. . .-4- ^'(«.i]
H- i6|>'(a) (-£■'( ()+.%.+ $-'(/•)]
" l,;_2 k(v'/')a-'(/' -/>)
( /' ^ I, 2, 3, . . ., » — l),
( (n pair gr = 2, 4, 6, . . , »
( ( il impair g = i, 3, 5, . . . , n — i ).
En distinguant les deux cas : n pair, // impair, on reconnaîl de suite
l'identité des formules A' et B'.
En vous communiquant ce calcul, j'espère ne vous point impor-
luiMT. I)n reste, les remarques que j'ai faites à l'occasion des for-
mules que vous avez bien voulu me communiquer ne méritenl
point de figurer dans un Mémoire que vous vous propose/, de faire
para lire.
Le peu de temps que je peux consacrer à l'étude ne me permet
point de faire quelque chose qui vaut la peine et parfois je crois
que ce serait plus sage d'y renoncer tout à fait.
Cependant j'éprouverai toujours un vif sentiment de reconnais-
sance en me rappelant l'accueil si bienveillant que vous avez bien
\oulu faire à votre très dévoué.
Mon
22. — H ERMITE A STIELTJES.
Paris, i5 octobre iS83.
SIEUR,
En vous informant que la suite et la fin de votre Note sur l'éva-
luation approchée des intégrales sont dans le numéro des Comptes
rendus que je viens de recevoir, je prends la liberté de vous de-
mander une nouvelle Communication pour l'Académie. C'est à
mon tour de ne pas réussir à deviner certaines combinaisons ana-
lytiques; il ne m'a pas été possible de voir comment vous êtes par-
venu à l'expression de la somme f(x) -{-f(i) -(-. . .-\-f(n) où
f(n) désigne le nombre des représentations de n par la forme
36 CORRESPONDANCE P HERMITE ET DE STIELTJES.
/ ■-' -M'-'. Mais votre résultat ni intéresse exl reniement el mé
semble si remarquable que, dans l'intention d'être agréable aux
amis de l'Arithmétique, je viens vous prier de publier dans les
Comptes rendus la Note extraite de votre dernière lettre, que j'ai
transcrite sur une feuille détachée afin < j i m • vous puissiez \ faire
les changements qui vous conviendront. Et, puisque les mêmes
questions qous plaisent également, je prends la liberté de vous
communiquer mu- la fonction que vous appelez g'(x), el qui esl
désignée par '^(n) dans les F un damenta, une transformation sem-
blable à celle qui concerne E(-) — E(-]-f-E(-) — . .. el
permettant de calculer rapidement la somme
•lM 'il) = ç(l)-|-(f(2)+...-H Epi n I,
c'est-à-dire
_, / n -+- i \ „ „ / n — 3 \ . _ / n — "> \
• (») = B(-ï-)+ïK(-3-)+5B(-7j-;-H....
J'introduis, dans ce but, en outre des fonctions E('.r) et
E( ' c I El ' >x) — 2E(#), la fonction suivante, à savoir :
Elle donne d'abord, en effet, cette expression :
• <»)= Un-±±)+EJ^)+E3
6
,«,(-=i).^(»^l)
3 \ v f n — 5
où nous voyez que, dans la première ligne, le nombre des termes
n — i , , in- -i n -+- 3 T ,
est -et, dans la seconde, 1 entier compris dans — ; — Je le
2 l b
réduis à l'entier contenu dans\//i en distinguant deux cas, suivant
qu'il s'agit de la somme
p(3)-+-?(7)-4-?(ii)h-...+ T(4»-i)
ou bien
cp( i)-t-<p(5)-t-o(/i) -+-... -H «p (4 n-\ri).
C'est la première qui donne la formule la plus simple ; j'obtiens.
LETTRE 22. '■'>-
en effet, pour cette somme, la quantité suivante :
H><("-E'(^-M-5-H'(^)--l
Vous avez, Monsieur, très heureusement exprimé par la formule
8 [a -+-(— i)»] <p(n),
dont l'idée ne m'était jamais venue, le nombre des représentations
de 11 par une somme de quatre carres, et je mettrai à profit votre
expression dans mes recherches. La fonction sommaloire m'a con-
duit à introduire la quantité ainsi définie (') :
E3(a?) = E(a?)E,
et je trouve en faisant pour abréger <l (n) = [3 -(-( — •)"]? ( "
les équations suivantes :
<|/(i) -+- d/(2>-H. . ,-4-(J;(n)
=.w+.i(;)+»(î)+...
..,,(=) ^(?)+]îi(?
+ b,/îUe,/?Ue
mais bien des calculs me restent encore à faire pour arriver à trans-
former la somme <i(i) + ^(2) +• • • +~ 'K'O de la même manière
que <?(3) + <f (;) 4-. . .+ cp(4n — i).
Je ne puis douter que vous n'arriviez à démontrer mes formules
pour la somme f(i) -h /'(a) -f-, . .-\-f(n) en suivant la voie que
vous m'avez indiquée. Beaucoup d'autres doivent s'y ajouter, et
je m'occupe de les réunir, mais, chemin faisant, je suis revenu à la
fonction F(/i) exprimant le nombre des représentations de n par
une somme de trois carrés. On a alors
F(i) + F(2)-H...-HF(n) = 2E(v/«)-f-Z<p(c)[i -f- E(v/« — c)],
( ' ) Voir la note de la page 44-
28?219
3S
CORRESPONDANCE IUIEUMITE ET DE STIELTJES.
en supposant que cp (c) soil le nombre des représentations de c par
une somme de deux carrés el qu'on prenne c = i, 2, 3 //.
C'esl sous une forme toute pareille que peul se mettre la fonction
sommatoire du nombre des décompositions en cinq carrés.
Je souhaite vivement. Monsieur, que les devoirs d'enseignement
auquel vous êtes appelé vous laissent assez de loisirs pour songer
à l'Arithmétique. Permettez-moi de vous demander, lorsque vous
me retournerez votre Note ci-jointe, si l'Ecole Polytechnique de
Délit est ù la fois civile el militaire, comme notre Ecole Poljr
technique, quelle est la durée des études et quelles sont les matières
de l'enseignement. En vous remercianl de vôtre intérêt pour ma
>mié qui. suis être parfaite, ne met cependanl pas obstacle à mon
travail, je vous prie, Monsieur, de recevoir la nouvelle assurance de
ma haute estime et de mes sentiments bien sincèremenl dévoués.
23. — STIELTJES A HERMITE.
La Haye, 17 octobre 1 Sv ;
Monsieur,
Il semble bien «[im la manière que j'ai suivie pour arrivera votre
1 ransformal ion de
t=«(=)-.(»)+B(?)_E(5;
diffère de celle que vous avez employée. Je forme le Tableau
\
I ' . J . 4 , ) j ( i .
1. 2, ;. j. "), 6, 7.
I . ■>. !
I. '. i,
r, 1, .... Ë
'• '
2/7 — 1
... n
*")•
::.":•
LETTRE '2'.). ',
La somme de ions les nombres de ce Tableau sera égalée .e si
l'on a eu soin de changer 1rs nombres de la première, troisième el
cinquième ligne horizontale en -\ i, ceux de ta deuxième, < ) 1 1 ;i -
trième el sixième ligne horizon lu le en i . I >e pins, si l'on désigne
par c(/ ) - E( — j le nombre des nombres impairs i . 3, 5, - . . . .
qui ne surpassenl pas t (iétanl entier ou non), on voil facilement que
la première ligne verticale contient e(--) =E(— ] nbres,
la seconde ligne verticale en contient e(— ) =E( — - — )i la troi
sième e ( ^ ) — E( . )* etc. Soit encore f(x) la somme des
. 3 / \ 6
x premiers termes de cette série
I — I -H I — I — f— I — l + i — H- . . . ,
en sorte que la somme des nombres de la y/,n" ligne verticale est
Considérons maintenant votre nombre A :
«. y/8/t -+- 1 -t- i ^
A -+- e = - — - — — > o S e < i ,
4
2 A -+- 1 e — i =
-\
d'e
donc
'2 X — 2 £ — i
À + £ 2ï X,
X -+- E < X -
2X — r
n
2X -+- 1
Efe)^
v2À + l/
c'est-à-dire la Xième ligne horizontale contient), nombres au moins,
laÀ+ iièrae en contient A au plus. Maintenant on pourra obtenir la
somme de tous les nombres de (A) (après le changement indiqué
en ±1) en prenant d'abord les À premières lignes horizontales;
cela donne
= e^)_e(!)+...±e(^
4o CORRESPONDANCE D HERHITE ET DE ST1ELTJES.
puis on prendra les X premières lignes verticales : cela donne
*.f[.(-±i)]....+,[.(-i)].
( )n aura maintenant compté deux, fois les nombres qui sonl écrits
dans un carré avec If côté '/. ; il faut encore retrancher leur somme
qui esl égale à 7.cp(X); donc
J/_=S — S,- Xo(X).
Cela no diffère pas essentiellement de la formule que vous avez
obtenue.
Le même raisonnement s applique pour transformer l'expression
«(îH(s)-b(S)-e(S
avec cette seule différence que v(x) sera maintenant la somme
des x premiers termes de la série
i—i — i — i
\ ous voyez donc bien. Monsieur, combien fut simple l'applica-
tion de votre transformation à ce nouvel exemple
"(tK«(ï)-«G)-«(7>
dès que j'avais trouvé la démonstration que vous venez de lire de
votre formule.
Je suis trop pressé, en ce moment, pour ajouter encore d'autres
développements. L'Ecole Polytechnique de Delft est une école
civile; tous nos ingénieurs civils, des mines, etc., sortent de cette
école. Dans les deux premières années, les élèves ont à suivre des
cours d' analyse, de Géométrie analytique et descriptive. La Méca-
nique fait partie du cours des deux dernières années, le cours
complel comprenant quatre années. En arrivant, les élèves pos-
sèdenl les éléments de la Géométrie descriptive, mais ils n'ont
point de notion encore de la Géométrie analytique et de l'Analyse.
Je ne trouve rien à changer à la Note que vous avez bien voulu
transcrire, et qui pourra paraître dans les Comptes rendus si cela
vous parait utile. \ euillez, encore cette fois, recevoir les remercî-
ments de \ otre très dévoué.
LETTRE 24. 41
P. S. — Veuille/, bien adresser mes Lettres encore ;'i Leyde;
ordinairement elles nie parviendront ;nnsi | » 1 1 1 s tôt. Vous aurez
bien remarqué que je n'avais point encore reçu votre dernière lettre
quand je \<uis adressais ma Lettre du [5 octobre.
24. — Il ERMITE A STIELTJES.
Paris, ni octobre 1 883 .
MONSIEUK ,
La démonstration que vous venez de me communiquer de ma
transformation de la somme
t="(")-«(s)+"
m'a fait le plus grand plaisir, et mon intention, qui, j'espère, ne vous
contrariera pas, sera d'insérer votre lettre du 17 octobre dans mon
travail, en disant que vous me l'avez adressée en réponse à la
communication de l'énoncé de ma proposition. Les méthodes en
Arithmétique sont loin de se présenter aussi variées et aussi nom-
breuses qu'en Analyse, et je ne puis m'empêcher de croire qu'il
sera utile de donner pour parvenir aux mêmes conclusions, deux
procédés très différents, surtout Lorsque Le vôtre s'applique à des
questions que, par le mien, je ne puis aborder. En effet, Monsieur,
je suis moins que vous, vir arithmeticus, comme dit Jacobi : je
ne fais que recueillir chemin faisant, dans le champ des fonctions
elliptiques, quelques résultats faisant suite au n" 40, p. io3 des
Fondainenta, et mon travail s'intitulera par conséquent : Sur
quelques nouvelles applications à V Arithmétique de la théorie
des fonctions elliptiques. Je compléterai, si vous voulez bien, en
ce qui concerne les nombres l\n 4- 1 , ce que je vous ai précédem-
ment dit sur la somme des valeurs de la fonction ©(5?) où o[x) est
la somme des diviseurs impairs de x, en considérant les nombres
in -+- 3.
Soit
V ' \n ■+- H-
je distinguerai deux cas suivant que 4^-!-5 est différent d'un
I< CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
carré, ou bien égal à un carré. < )n a dans le premier, La formule
i . '. 3 À — i) ;
dans le second cas, le terme algébrique se modifie, el j'obtiens
alors
.ii. v , -, ... -r | j /, i ) - -^
i:
;
),
Mais \<>> devoirs à I École Polytechnique \<mi réclamer toul
votre temps e't, comme je le fais moi-même, vous allez, Monsieur,
renoncer aux recherches pour ue songer qu'à mis leçons. Je vois
que l'Ecole de Delfl ressemble bien pins à notre École Centrale
<|n à I Ecole Polytechnique, pour son objet, comme pour I ensei-
gnement (|ni \ est donné, el c'esl en vous remercianl des détails
que \nih avez eu la bonté de me donner pour satisfaire à ma
curiosité que je vous renouvelle l'expression de ma pins haute
estime el de mes sentiments bien dévoués.
25. - ff ERMITE A STIELTJES.
Paris, 2 '| octobre i883 .
M.»
sur i; .
Les théorèmes que vous venez de me communiquer sur la
somme des valeurs il»' la fonction /'• n i pour les valeurs de // qui
sonl i ou = 5 mod8, m'onl pain >i intéressants que je n'ai pu
m'empêcher de donner à l'Académie les résultats auxquels vous
»dcs parvenu, ainsi (pic ceux qui concernenl la fonction o\ ri). \ ous
ne serez point mécontent, je l'espère, de trouver dans le prochain
numéro des Comptes rendus les énoncés de vos théorèmes con-
tenus dans votre lettre du 20 octobre, en même temps que votre
proposition sur la somme des nombres de représentation de n par
la forme x- - ',)'"• " me paraîl hors de doute que vos méthodes.
qui permettenl de démontrer les résultats tirés des formules de la
théorie des fonctions elliptiques, vonl plus loin et donnent des
résultats entièrement nouveaux. Les deux points de vue auront
donc, à La fois, un domaine commun et des domaines distincts, par
LETTRE 25. 43
exemple, en ce qui concerne la théorie des formes quadratiques de
déterminants négatifs. En particulier, pour les déterminants — D,
lorsque I) 3 mod8, la théorie des fonctions elliptiques con-
duit à introduire la fonction numérique qui, à L'égard d'un
nombre »~3mod {, représente l'excès du nombre de ses divi-
seurs 1 sur le nombre des diviseurs 3 mod \ sous la condition
que ces diviseurs, d'une espèce et de l'autre, soienl inférieurs à ^ n.
l'osant donc
«!>(») = S(— 1) »
où a? représente tous les diviseurs de n moindres que sa racine
barrée, et désignant par F(N) le nombre des classes proprement
primitives de déterminant — N, on a [tour La somme
F(3)~F(ii)-h...--F(n)
où n = 3 mod 8, la valeur
4»(3)-+-4<(ii)-H...-t-«l;(n)
+ a2^(*)E(ii/iT=r*)-aV4'(OE(i^^:=rï+i)-
Il faut prendre, dans les sommes, pour k et /, les valeurs :
k= 3, 1 1 71; /= 7, ià, ...,/? — 4 ct? relativement à la fonc-
tion '}/(«) je trouve ces formules
2C 1
<K3)-«K7)+...±«K4N + 3)=2
E,
N -f- 2C — c2
4C — 2
Pour ce qui concerne la somme des diviseurs d'un entier impair,
j'entrevois dès à présent que les formules elliptiques donnent les
théorèmes que vous avez découverts, où l'on distingue entre les
diverses formes de n, par rapport au module 8. Mais déjà sur-
viennent des devoirs qui m'obligent d'aller à la Sorbonne, faire des
examens de baccalauréat, et il faut m'arracher à mes réflexions et
à mes calculs.
Recevez, Monsieur, la nouvelle assurance de ma vive sympathie
et de mes sentiments de haute estime.
Je crains de vous avoir inexactement donné la définition dune
',.', CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIF.LTJES.
des fonctions que je aomme E2(#) el E3(# : permettez-moi de
vous indiquer les expressions exactes qui >«>nt
E2(a7) - \\ E«(ar) - K(.n] = |E(a?)E(a7H i
( '.e^ expressions me servent dans l'étude de la fonction cpi // 1 1 ' i.
26. - STIELTJES A HERMITE.
Leyde, j* octobre iS83.
MONSIEI 11,
Certainement je ne suis point mécontent de ce que nous avez
communiqué à L'Académie quelques formules que j'ai rencontrées
enméditanl sur les résultats que vous avez bien voulu me commu-
niquer. Mais, comme je l'ai déjà dit, tout cela est facile; toutefois,
cela met sur la \oie de déduire d'autres formules plus difficiles.
J'ai consulté de nouveau vos beaux Mémoires dans les Tomes ^ Il
et l\ i 2e série) du Journal de Mathématiques, et je crois main-
tenant être sur de pouvoir démontrer à ma manière arithmétique
les formules de M. Rronecker et d'autres qui résultent de la
théorie des fonctions elliptiques. Toutefois, dans mes recherches.
je fais usage de votre manière d'introduire la notion de classe,
c'est-à-dire, elle est remplacée parcelle du nombre des formes d'un
système complet de formes réduites. Pour moi, je n'ai point de
doute que ma méthode n'ait pas une grande analogie (ou peut-être
ne diffère pas essentiellement) de celle que M. Liouville a suivie
dans ses recherches. Mais, pour le moment, je n'ai pu consulter
encore que les deux volumes précités du Journal de Mathéma-
tiques, et je ne sais pas encore si M. Liouville n'a pas exposé sa
méthode dans un autre endroit. Vous m'obligerez infiniment en
I La Note aux Comptes rendus mentionnée au début de cette lettre est
insérée dans le numéro du 22 octobre et intitulée : Sur quelques théorèmes
arithmétiques (extrait d'une lettre adressée à Hermite). Cette i\ote a trois
pages donl la troisième contient, avec de légers changements de rédaction, la
seconde moitié de la lettre 20 du 10 octobre. Les deux premières pages devaient
se trouver dans la lettre du 20 octobre, qui manque.
L'expression de 1 < .c) donnée à la fin du post-scriptum diffère de celle donnée
dans la lettre 22.
LETTRE 'H>. \:>
me renseignant sur ce point. En ce moment, j'ai en effel reconnu
ta source de plusieurs des ihéorèmes de M. Liouville. Mais, en tout
|as, pour pouvoir dire quelque chose de plus certain surcel objet,
le devrai Caire une étude sérieuse des résultats de \l. Liouville
dans leur ensemble, ce que je n'ai pu faire encore ei ce que je ne
pourrai faire dans les premiers mois.
Je veux ajouter quelques remarques sur vos dernières formules.
En premier lieu, n 3 modH. Alors
F(3)-4-F(ii)+...+ F(»)
= <K3)-t-«l*(u)-+-..i-+-<K»)
+ ^^(0^(1/^^ + !) (1 = 7, '5, .... n- i ,:
clans votre lettre, vous avez écrit, par une inadvertance
Cette formule est équivalente à celle-ci :
Y(n ) — <b(n) -+- :i<\i( n — 4- l2) -+- '-*<];( « - 4.2.2) -+- %ty(n — 4-32) -t-. . ..
en ce sens que l'on déduit immédiatement l'une de ces formules
de l'autre. Mais cette dernière formule se trouve, sous une forme
un peu différente, dans la lettre que M. Liouville vous a adressée
(t. VII du Journal, p. 43, 44)- H dit : « Or, je trouve que ce
nombre (des solutions m = i2 -\- i'2 -+• î"2 où i, /', î" sont impairs
et positifs) s'exprime aussi au moyen de p'(/i)[ = <];(/*)], par
p'(m) -i- '2p'(m — 4- l2 ) -+■ 2p'(/ra — 4 -22) -+- • • • • »
M. Liouville dit lui-même, du reste, que cette formule se tire aussi
de vos formules.
Quant à vos formules pour les sommes
<I»(3)±<1/(7)-i-«Kii)±...±»K4N-h3),
j'ai reconnu qu'on peut les déduire directement de la définition
même de la fonction fy. Il y a encore d'autres formules du même
genre, par exemple,
J6 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
( )n doit avoir des formules analogues pour la fonction
rf-l
X I) « d,
tandis que
>/— i
i}/( re ) = 2 (— j • .
par exemple,
ï ; : " ■ • - i N ;
^ \ 2 c — 1
(c = ï. -. S. . ..),
mais tout cela esl très facile.
\ mis êtes tellement au courant dans cet ordre de recherches que
j'ose vous prier (sans que cria doive vous coûter de la peine) de
vouloir bien tn'indiquer si les formules de M. Rronecker onl été
l'objel d'autres recherches, que je ne connais pas encore. Mais il
n'\ ,i pas de bâte : dans ces premiers mois je ne puis songer à des
études sérieuses.
Je vous prie Monsieur, d'agréer l'expression de mon respecl
el de mon entier dévouement.
27. - H ERMITE A STIELTJES.
Paris, 5 novembre i883.
MON!
Recevez tous mes compliments pour le beau théorème con-
cernant la décomposition en cinq carres des nombres N = 5 modS.
que vous m'avez communiqué et que je présenterai aujourd'hui
à l'Académie pour qu il soit publié dans le prochain numéro des
Comptes rendusi ' I. \ votre lettre j'ajoute une courte Note dans
laquelle je donne pour le même objet que vous avez eu en vue, la
propriété suivante, qui se tire des formules de la théorie des
fonctions elliptiques. Décomposons de toutes les manières un
(') Entre la lettre 26 et la lettre 27, il existe une lettre de Slicltjes à Her-
mite cuntth.iiii la Noie : Sur la décomposition d'un nombre en cinq carrés,
publiée aux Comptes rendus du 5 novembre. Celte lettre manque.
LETTRE 27. ^7
entier n i tnod \ en deux facteurs '/ <'i '/' assujetl is à la condi-
tion suivante : d'^>3d: et posons
Le nombre des décompositions de N (en cinq carrés impairs,
à racines positif es ) sera
|x(N)^X(N~ 22) + X^N — 42) )t(N -62) ....
Je saisis cette occasion pour vous donner L'assurance que
M. Liouville n'a rien publié sur L'Arithmétique en dehors des nom-
breuses Notices contenues dans les derniers \ olumes de son
Wournal de Mathématiques. J'aurais bien préféré, au lieu de
fragments .disjecti membra poëtœ, un seul et unique Mémoire
bien condensé, où le lecteur aurait à la lois Le principe et les
Biverses applications de la méthode. Mais M. Liouville, à qui j'ai
exprimé ce désir, n'a point voulu le satisfaire, sans doute pour se
réserver à lui seul la récolle plus complète de toutes les consé-
quences de sa découverte première. Sur ce même sujet, vous trou-
verez dans les Comptes rendus une ou deux Notes du P. Joubert,
entre 1860 et 18-0; mais c'est un géomètre allemand extrêmement
distingué, M. J. Gierster, dont les recherches vous intéresseront par
leur importance. M. Gierster a suivi la voie ouverte par M. Kro-
necker, et ce m'est un regret de n'avoir pu, à cause de l'allemand,
lire et étudier ses travaux qui me semblent extrêmement remar-
quables. Cette difficulté n'existant pas pour vous, permettez-moi,
Monsieur, de vous adresser un exemplaire, que l'auteur a eu la
bonté de m'envoyer, de l'un de ses Mémoires, et que vous pourrez
conserver aussi longtemps qu'il vous sera utile. Vous trouverez, en
consultant la table des matières des Mathematisehe Annalen,
ses autres publications sur ce sujet; mais j'ai lieu de penser que
c'est celle que je joins à ma lettre qui est La plus étendue et la plus
importante.
En vous souhaitant, avec la continuation de vos succès, un bon
courage pour mener de front le travail de recherches avec les
leçons et les devoirs d'enseignement, je vous prie, Monsieur, de
recevoir la nouvelle assurance de ma plus haute estime et de mes
sentiments bien sincèrement dévoués.
CORRESPONDANCE d'HERMITE ET UE STIELTJES.
28. STIELTJES A III .11 Ml II .
Leyde, 6 novembre i883.
MONSIET l;.
\ ous m'avez fail un très grand plaisir par La communication de
votre formule pour la décomposition d'un nombre 8 k -h 5 en cinq
carrés, formule beaucoup plus cachée <pir celle que j'ai donnée.
En effet, le raisonnement qui m'avail donné ma formule était assez
compliqué et curieux, ce qui m'avail empêché «le reconnaître le
véritable caractère de ma formule. Maintenant, j'ai reconnu que
cette formule peut se démontrer d'une manière assez simple, <i l'on
peut établir un grand nombre de formules analogues pour La
décomposition en '>. 5, - carrés impairs; mais dans toutes ces for-
mules entrent seulement les fonctions
^>=2(VH +.(»>=2(-r)*.
m impair, <l parcourant les diviseurs de m.
Ces fonctions jouissent toutes de la propriété exprimée par
F| m)F(n) = F( mu ),
m et // étant premiers entre eux. Mais elles ne sont point de la
ure s
velle y.
nature singulière de votre fonction 6 et de cette fonction non
/. ' " ' = y i < » d — (?'<■ d' > 3 d. n = dd'
que \ <m> a\ i7, introduite.
Parmi les résultats auxquels je suis parvenu il y a quelque temps
il en reste cependanl un qui me parait avoir plus d'intérêt. Le
\<iiei :
Soil n : S/.- ± 3, F(/i) le nombre des classes pour le détermi-
nant //. excluant les formes avec les coefficients extrêmes pairs
tous les deux. Mors
2F(n — 8r*) = — %&(n) (r = o,±i,± 2, ...),•
LETTRE 29. 49
$'(«) est la fonction de M. Kronecker
«,.„, 2(1)".
cl parcourant les diviseurs de n.
Cette formule, en effet, no semble point rentrer dans les formules
données par M. Kronecker, tandis que la sommation s'effectue
encore par cette fonction simple <ï>'(/i). Dans les Monatsberichte
de 187;"), p. 2a3-236, M. Kronecker a donné de nouvelles relations;
mais, comme il le remarque, dans ces nouvelles formules il entre
des fonctions arithmétiques plus compliquées, en sorte qu'il reste
toujours encore possible que ses anciennes formules soient les
seules où entrent seulement ces simples fonctions arithmétiques,
qui ne dépendent que de la totalité des diviseurs d'un nombre.
J'ai communiqué cette formule, il y a quelques jours, à M. Kro-
necker, mais je ne sais pas encore son opinion là-dessus.
Je vous suis extrêmement reconnaissant pour l'envoi du Mémoire
de M. Gierster qui ne m'était point connu. Mais je ne pourrai l'étu-
dier, comme il le mérite, dans le premier temps, en sorte que je
devrai faire usage de votre permission de le conserver assez long-
temps.
Veuillez bien agréer, Monsieur, l'expression de mon profond
respect et de mon entier dévouement.
29. - II ERMITE A STIELTJES.
Paris, 9 novembre i883.
Monsieur,
Un deuil de famille m'oblige de quitter Paris; permettez-moi,
avant de partir, de vous demander si vous voudriez bien rédiger,
pour les Comptes rendus, une Note contenant les résultats que
vous venez de découvrir, pour la décomposition en 3, 5 et 7 carrés
impairs. Je ne puis, par mes moyens, d'aucune façon aborder le
cas de 7 carrés, et ma méthode ne me conduit aucunement à vos
fonctions '!>„, à , , <b.,- vous rendrez donc service à ceux qui aiment
l'Arithmétique, en annonçantdes théorèmes entièrement nouveaux
et d'un grand intérêt. Joignez-y, Monsieur, cette proposition
4
DO CORRESPONDANCE D IIERMITE ET DE STIELTJES.
SF(/J S/- — j$'(/i I qui tient aussi à des principes différents
de ceux que j'ai employés, el qui doivent avoir une grande puis-
sance. A mon retour, j'ajouterai quelques remarques à ce que je
vous ai déjà dil de La fonction %(n); en l'employant pour toutes les
valeurs impaires, el les valeurs paires divisibles par \, de n, elle
donne le nombre des décompositions d'un entier quelconque en
'. . ,11 rés.
Croyez. Monsieur, à mes meilleurs sentiments d'affection et de
haute estime.
30. — STIELTJES A IIERMITE.
Le) de, 12 novembre i883.
Monsieur,
En réponse à votre dernière lettre, je vous adresse ci-joint une
Note contenant un théorème que je crois nouveau. Ce théorème
s'est offert à moi, il y a quelques jours, sans que cela m'ait coûté
la moindre peine. En effet, c'est une conséquence si facile des ré-
sultats que j'ai obtenus auparavant, que je m'étonne de ne l'avoir
point \ u immédiatement.
Je n'ai pas encore eu le .loisir nécessaire pour voir par quelle
formule ce théorème s'exprime dans la théorie des fonctions ellip-
tiques. Il serait intéressant de déduire encore ce théorème de cette
théorie.
Vous trouverez plus bas les formules que j'ai obtenues concer-
nant les décompositions en cinq et sept carrés ; mais peut-être il en
existe encore d'autres, et je crois qu'il sera sage d'ajourner la
publie ilion jusqu'à ce que j'aurai eu l'occasion de revenir à cette
recherche. Dans ce moment, d'autres devoirs ne me laissent pas
le loisir nécessaire.
J'attends avec impatience, Monsieur, les observations que vous
m'avez promises concernant votre fonction y(n).
.1 espère bien retrouver vos résultats à l'aide de considérations
arithmétiques; cela sera le premier travail que je me propose d'en-
tamer.
Croyez-moi, Monsieur, toujours votre très reconnaissant et
dévoué.
LETTRE 30. 5l
m impair, m = dd' :
?î(-)=2(^)^ ♦.o»)=2(=r)*.
F,(» ) « = 8 A ■ -h 5, nombre des solutions de
n = a?2 -+- jk2 -H z"- -+- * 2 H- m2 ;
F2(n) re = 8/ h- 7, nombre des solutions de
ft = x2 + j2+i2+ £2 _+_ M2 _|_ p? H_ ,^2.
#, jk, -2? *> u-i v-, w positifs impairs :
In — i2\ /n — 32\ /« — 52
F,(«) = ?i — ; +- <?i ■ — -, I -+- <pi
i / \ ^
,'n — i2\ /« — 32\ (n — V
8F2(/i) = cp2 ___-+- <p2f
8Fi(«) = cp1(n)-+-2cpi(n — 22) -f- 2<p1(> — 42)-!-- • -,
6jF-,(«) = <p2(/l) H- 2cp2(/l — 22) + 2cp2(n — 42)-i-. ..,
4 Ft ( n) — ^i ( « ) -+- 2 <];i ( n — 8 . i 2 ) -+- 2 ^i ( n — 8 . 22 ) -+- . . . ,
48F2(rc) = <bi(n)-h2<\>i(n — 8.i2) -+- 2^2(n — 8.22) -t-, . .,
2Fi(n) = <\>i (n — 2. i2) -h ^i (n — 2.32) -+- tyi(n — 2.52) -+-. . . ,
24F2(«) = ^2(«- — 2.12) -i-({;.2(" — 2.32)m-^î(« — 2-52) +
aSm/1 *m nouveau théorème d'arithmétique.
On connaît le beau théorème, trouvé par Legendre et démontré
par Gauss, qui établit une relation si simple entre le nombre des
décompositions d'un nombre entier n = Sk -4-3 en trois carrés
impairs et le nombre des classes de formes quadratiques de déter-
minant — n.
J'ai trouvé qu'il existe tin théorème analogue pour tout nombre
entier de la forme &k + 5.
Désignons généralement par F(/?) le nombre des classes de
formes quadratiques de déterminant — n, les coefficients extrêmes
étant positifs, et excluant dans le cas n = 8A"-|-3 les formes qui
ont ces coefficients pairs tous les deux. Alors, n étant =5 (modS )
CORRESPONDANCE D IIERMITE ET DE STIELTJES.
le Dombre des solutions de l'équation
n = x- -+- iyl -+- 2 -s'2 .
m admettant pour#, r. r seulement des valeurs positives cl im-
paires., esl égal à ' Fi // I.
Voici encore deux vérités qui sont intimement liées à ce
théorème.
Posons pour un nombre impair quelconque //
?<»> =2 (£)«*,
d parcourant tous les diviseurs de n. d' étant le diviseur complé-
mentaire, en sorte que dd ' = n.
Uors on a
Y n 2F(n 8.1- - ïTi « — 8.22 i + 2F1 // — 8.3^ I .. .= £©i » >,
pour n .8k - -3 ou w = 8 A" -f- 5 ; el puis
F (n — •> . i - i — F i [n — i . 3- ) — F | // — ■?. . 'y- ) — . . . = l cp | n),
pour n 8/f • 5 ou n = S/, - -.
31. — STIELTJES A II ERMITE.
Leyde, ij novembre [883.
YIoNS] Et R .
Depuis que je vous ai adressé ma dernière lettre, j'ai pu consulter
les Disqu. Arithm. J'ai vu alors que le théorème auquel j'ai été
conduil par des considérations d'une autre nature est encore un
simple corollaire de ce que Legendre a trouvé par induction el de
ce que Gauss a prouvé dans son Vit . 292 (je n'ai à ma disposition
que la traduction par Pouillet-Delisle, p. 34o,-35o). J'aurais donc
dû mentionner celle circonstance. Pour le moment, je ne puis que
vous prier de retirer ma Noie et de ne la point présentera l'Aca-
démie. En effet, Monsieur, je sens bien qu'il faudra attendre
jusqu à ce que j'aurai la tête libre et pourrai approfondir plus
à mou aise toutes ces choses, avant que de publier mes études.
Voici encore quelques formules (si vous voulez bien en prendre
connaissance qui pourront se déduire, sans douté, toutes de la
LETTRE 31. 53
même source, c'est-à-dire (Je la relation découverte par Legendre
entre F(n) et la représentation de n par trois carrés,.
■i i
Soit w(n) = S( — ■ i) a , cl parcouranl ions les diviseurs impairs
de // (n pair ou impair) et prenons F(/?) toujours dans le sens de
M. Kroneckcr. Convenons encore que, dans les sommations, il
faudra prendre s = i , 3, 5, ... el r — o, ± i , ±2, ±3, ....
Alors on aura
n = i ( mod 8 ) F(n) = 2 Nçp ( ■ ' ) 5
si /? est un carré, il faudra continuer jusqu'à cp(o)= ' ;
n 3 ( mod8) F(n)= Y'f
n = 5 (mod8) F(/i) = a^g>( —
/ï — 5-
V 4
Encore, « étant le double d'un nombre impair
n = % (mod |) F(« ) = Vo(n — s- i = \ cp ( — I.
En distinguant, dans cette dernière formule, les cas n = 8k-\-2,
8 A- H- 6 et faisant attention que ®(/\k -+- 3) = o, on pourra écrire
n = i (mod 8) F(»)= //
n — 16/"2
« — /! s2
» = 6 ( mod 8 ) F(n) = 2^tp ( — -
Comme on a généralement
Fi •v-/w» ) — a*F( /» i,
les formules précédentes donnent toujours une expression de F(«)
excepté seulement dans le cas n = /\k(Sr -\- ^). Ces nombres
4*(8/' + 7) étant précisément ceux qu'on ne peut représenter
par x- -+-j- -\- z2.
A l'égard de ces déterminants 8À -(- 7, j'ai encore trouvé la
relation
SF(«— 16/-2) = {*(«) — *'("),
®(n) désignant la somme des diviseurs de n, Q>'(n) la somme des
diviseurs inférieurs à \/n.
."»', CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
La formule VII de M. Kxonecker fait connaître la somme
2< — i)rF(n — i6r2), n = 8 A 7.
Celte somme esl une fonction arithmétique de n un peu moins
simple que celle pins haut.
I ..s théorèmes de Legendre doivent donner facilement les expres-
sion- asvmptotiques de
F(i) + F(9) + F(i7)H-...-{-F(n))
F(a) + F(io) + F(i8)-t-...-HF(n i,
F(3)-f-F(u) + F(i9)+...4-F(iO,
F(5) + F(i3)H- F(ai )-+-... -t-F(»),
F(6)-+-F(i4) + F(22) -+-...+ Fi n .
Ces expressions sont égales à y^n-, tandis que la valeur appro-
cher de
F(i) + F(2)H-...-i-F(7i)
-
est huit fois plus grande et égale à -Kir .
Mais il ne semble pas qu'on puisse obtenir cette dernière valeur
aussi facilement.
Je suis, Monsieur, avec le plus profond respect, votre très
dévoué.
32.
Monsieur,
STIELTJES A HE R M) TE.
Leyde, 24 novembre i883.
Permettez-moi de compléter les formules que je vous ai déjà
communiquées, et d'indiquer, en même temps, comment j'ai pu
vérifier partiellement ces formules à l'aide de la théorie des
fonctions elliptiques.
Soit, d parcourant les diviseurs impairs de //.
*(n)=2(!0rf' dd'=n,
^> = 2(=^)'
en sorte que •AW(n) est le nombre total des représentations de n
LETTRE 32. 55
par x2-\- "iy-- On a alors [F(/i) toujours dans le sons de M. kro-
necker]
(À) re=i(mod8) 2F(n — 8r«) =i*(n) ■•[?(«)
(/• = o, ±i, ± ■?., ± 3, ...),
(B) n = 3, 5 (mod8) X F( « — 8/-2) = \ *(n)
(/- = o, ±i, dba, ±3, ...'),
(G) n = 3, 5, 7 (mofl8 ) SF(n — 2s2) = £*(/i)-+- {V(n)
0 = i, ■'!, 5, 7, . . .)•
D'ailleurs *P(n) — o lorsque n = 5, 7 (mod8).
Parlons maintenant du développement
^ / 2 K a?
sns = 4 > — sinsa?
71 *di — q' (s = i, 3, 5, 7, ...),
en différentiant et posant après x = -/> on trouvera, à cause de
en — = 4 / r, , dn — = \/k ,
2 \ 1 -+- k 2
S"-—\ s
À-'K2 / jy- -ST1 (— i)~*~sq* „ r
(., -rS/2{1-k')=2à ^qsq (, = ,,3,5,7, •••)•
Soit, comme à l'ordinaire
8 (g ) = 1 — 27 -+- 2 y v — 2 </9 -+-... ,
A 9 M
%t(q ) = iq'* ^ iq'* ^ iq k -4- . . .
GsCsO = ' + 'icH "+" 2<?4+ 2</9-h. . ..
on a
et, changeant ^ en çr2.
de plus.
V/^ = 9S(?),
V/^TK
«(?)>
56 CORRESPONDANCE d'HERMITE ET DE STIT.LTJES.
en sorte que le premier membre de l'équation (i) devient
M*(?)8î(S'«)e,(sr)1
ou bien, à cause de
e«(gr) =8K?2)-61(g'2),
(2) [^(f-^iy^l')^^^'^^
— 1 .«
(— i) 8 sq-
J'emprunte maintenant les formules suivantes à M. Kronecker
(Monatsberichte dér Berliner Akademie, 1870, p. 229)
(3) j^FUn-n?"^* =62(?)6l(gr))
0
« 3
(4) s^F(8^'n?'" + ^'i]ivi.
0
La formule (4) est du reste la même que celle que vous avez
donnée dans le Journal de Liouville, 2e série, t. \ II, 1862, p. 38.
Dans ces formules, on a généralement
F(n) = Fi n 1;
seulement >i n est un cari*'' impair
F(/i) = F(n ) — { (n = 1, 9, a5 , 49i • • • )•
Comme on a
ej(jr) = 05(gr«) + e*(gr»)>
on voit facilement que la formule (3) se décompose d'elle-même
dans les deux suivantes :
* 1
0
4V F| Sn -r--jic/" + l = 6S< 7 1 8| > 72).
0
A l'aide des formules (3 . 1 j ), nous trouverons
^V<4«- ny~T~_ •>2F(8n^3)7^_
-2^S^ (.-..3,;5,...,.
LETTRE 32. ~>7
En posant maintenant, avec M. Kronecker,
4»'(/i) = 2( — i) K d (d diviseur de n),
le développement du second membre de < 5) donnera
.Ç
S *'(.<?) 72 (s = i, 3, 5, ;, . ..)•
La comparaison avec le développement du premier membre
donne
n=i(mod8) *'(/?)= aSF( n — 8 r1 >,
n = 3 (mod8) *'(>) = — 42F(n— 8/-2> ■+- 42F(n — 2SS),
n = 5(mod8) *'(«)= a 2 F( « — 8r*) — 82 F( n — zs*),
« = 7 (mod8) *'(«)= 42F(ra — as2)
(r = o, ±i, ±a, ±3, ...; * = i, 3, 5, 7, . ..)■
Il est facile, maintenant d'introduire la fonction F(n) au lieu
de F(/i); on trouve
rc==i(mod8) *'(n) -H V(n) = 2SF(b- 8r2),
>i = 3 (mod8) *'mi+ tf(n) = — 42JF(/i — 8r2) -h 4 l.F(n — a*»),
n = 5(mod8) *'(n) = a2F(re — 8r2) — 82F(/i — a*2),
71 = 7 (mod8) *'(»)= 4SF(/i — as').
Ces relations résultent aussi directement des formules (A), (B),
(G) en remarquant que
<ï>(/i)= *'(«) lorsque ra=±i (mod8.),
«ï>(n)= — *'(«) lorsque re=±3 (mod8).
Mais pour retrouver les formules (A), (B), (G) elles-mêmes, il
serait nécessaire de recourir à d'autres formules de la théorie des
fonctions elliptiques, formules que je n'ai pas encore cherchées.
Toutefois, cela ne sera pas difficile, probablement.
J'ai encore retrouvé quelques relations dans lesquelles les dé-
terminants sont compris dans la suite 3Â2 — n ; voici les plus simples
»-5(modnO SF(n- 3.*) = ,(») = " ± ^ _
« = 7 (modia) ïF(b — 3/-8) = |ij(»)
Yi(n) signifiant la somme des diviseurs de n de la forme izk ± 5,
diminuée de la somme des diviseurs compris dans la forme
58 CORRESPONDANCE n'ilERMITE ET DE STIELTJES.
i / /, i. Peut-être <>n pourra obtenir ces formules encore au
1 1 1 . • \ < ■ 1 1 île h théorie des fonctions elliptiques, «mi faisanl usage de
la transformation du troisième ordre des fondions 0; c'est ce que
je me propose d'étudier. . .. Dans une de ses nombreuses Notices,
M. Liouville a donné la relation
**.—».■) -i [»- (?)]2@)*
m
inrifl i;
/» I I ...
(S — I , ). .).
dd
C'est une formule qui appartienl évidemment à la même caté-
gorie, et qu'il faudra retrou\ er.
Voici une question, Monsieur, qui s'est présentée à moi, à l'occa-
sion de ces études. En posant
I 1 25
Bi(x, q >i/'-\\\.r — iqK sin3a? -t- iq 4 ?in5r- — ...
on sait que
0', (o, q ) = 2 (q * — 3 y* -+- 5 r/^" — ...) = 8(o) 0, (o) 03 (o).
Maintenant, je crois voir qu'il sérail uiile de connaître de même
une expression de
Zn'-c/"2
en fonction des 8. Quelques formules que j'ai obtenues d'une ma-
nière arithmétique nie font soupçonner qu'il existe une telle
expression de -/t-cj"* par les fonctions f). Mais je n'ai pas encore
tâché d'étudier celle question. Peut-être une telle expression est-
elle déjà donnée sans que j'en aie connaissance. Dans ce cas, si une
telle formule vous serait connue, vous m'obligeriez beaucoup de
m'en avertir quand cela vous conviendra.
Croyez-moi toujours, avec le plus grand respect, votre très
dévoué.
P. S . — En parcourant, dans ces derniers jours, le beau Rapport
de M. Smith sur les progrès de la théorie des nombres, spéciale-
ment dans le Rapport de 1 865, ce qui a rapport aux formules de
M. Kronecker. j'y ai rencontré cette expression 8[2 +(— i)w]X(«)
pour le nombre des représentations de n par x- -^ y- + -S2H- t2.
De même, la relation
n 7 (mod8) 2F(n — i6r*) = IÇ(n) — Ç(n)
LETTRE 33.
•>9
que je vous ai communiquée [(j(/&) somme des diviseurs, Ç'(n)
somme des diviseurs «< \Jn \ es1 une conséquence directe de deux
formules données par \l. Smith. Mais probablement celte formule
rentre dans celles 1-VIIJ de M. Kronecker.
33. - STIELTJES A HERMITE.
Leyde, 7.5 novembre i883.
Monsieur,
Permettez-moi encore d'ajouter à ma lettre d'hier quelques
remarques sur ces séries Hn-q'1'.
En posant
i — k- sin2cp do,
les formules de Jacobi ayant rapport aux fonctions de seconde
espèce donnent d'abord
10
— ( k - e ) = 8 y — 4g4+9y9— '6g16+--- #
7T2 i — iq-\-iq'* — 2^9 — ...
4KE qk->r 9^4-H 25^r '*
q'*^-q'* + q '* +...
Par le changement de </ en y4, la formule (a) donne
= P = Ss«gr*%
(3) g' -+- 9y9-+- 25gr25-+- 49?49 + - • •
= ILi/ï f ■ — y/Â77 12 ; y/F(i-AVF) K
-2 y 21T [_ 2 2
et, ensuite, à l'aide de (ï)
(4) 2(4<74+ i6gr16-+-36gr36_!-. . . ,
= I i/24[(l + /F) E- v//7(, + AV^)K] = Q = S^'l
Ici, et dans la suite, dans les sommations il faudra prendre
S — I, o, 3, 7j ••••
t = o, ±1, ±4. ±6.
60 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
Maintenant, on a encore
(6) Q,= S^l= (iH-/A')i/
K
Comme vous voyez, la fonction de seconde espèce E est éliminée
dans cette combinaison
PQi-QP.= -^A-V/7
que Ton peut écrire aussi
(7) i622(s*- n)qw= ^!/v2//7= ee|63,
en posant
• î .«-
0 = 1 — iq -\- iq** — 2^9 — ...= 4 / — - —
t T ¥ , /â*K
o2= iq* ->r- iq* -^ iq * -4- . . . = 4/ ^^ >
/âK
03= i-i- 2# -+- -2q*-\- ay9-^-. . .= 4 / — •
Mais on a
ee2e3= ■^.('7V — 3^*h- )^"r> — ...) = ij.(—i)~sqT
r\
8»= 8 Y F(8/i-t- 3)q~T~
0
en sorte qu'on obtient
s — 1 s- * 8h + 3
o
La comparaison du développement des deux membres suivant
les puissances de q donne cette relation singulière que l'on doit
encore à M. Liouville et dans laquelle N signifie un nombre impair
(9) ^(-i)~5F(4N-5*-j=2(s2-r2)-
Dans le second membre, la sommation s'étend à toutes les repré-
sentations de N par s2-j- t2, ce second membre s'évanouissant si N
LETTRE 34. 6l
ne peut pas être représenté pur la somme de deux carrés.
Prenons par exemple N = 25, on a
N = 32 i :4)ï=5*-f-o!,
donc
2(52— f1) = 2(9 — 16) 4- 25 = II.
En effet, on trouve
lF(99) - 3F(gi)4- ■"» F ( 7 3 , — 7F(5i) -t- yFOg),
= 1.9 — 3.64-5-7 — 7.64-9.J — 11.
Pour N ••>.-. on troiiN e
1 Fi ro7 i - 3F(99) + 5F(83) — 7.F(59) 4- 9F(27),
= 1.9— 3.9 + 5.9 — 7.94-9. j = o.
En effet, 2- n'est pas la somme de deux carrés.
Comme vous voyez, le théorème arithmétique exprimé par
la formule (9) est équivalent à la formule (8); cette dernière
formule revenant à (-) comme on le voit à l'aide de votre relation
Veuillez m'excuser si j'ai demandé trop de votre attention, mais
je craignais ne pas m'ètre exprimé assez clairement sur ce que je
me proposais en parlant des séries Hn2qn*. La formule (7) est une
de celles dont j'avais pressenti l'existence. Croyez-moi toujours,
avec le plus profond respect votre très dévoué.
34. — H ERMITE A ST1ELTJES.
Paris, 27 novembre i883.
Monsieur,
Je m'empresse, en revenant à Paris, de vous accuser réception
<lc nos communications du 24 et du 20 novembre, dont j'ai fait
l'étude avec le plus grand soin et avec le plus grand plaisir. Les
théorèmes contenus dans les relations (A), (B), (C) sont extrême-
ment intéressants et l'analyse par laquelle vous établissez en partie
ces relations au moyen des développements de la théorie des
fonctions elliptiques me prouve que les méthodes dont j'ai fait
Q2 CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJES.
dans mes recherches sur ces questions vous sont bien fami-
lières. \ ous allez même bien an delà, car il ne m'est jamais arrivé
de rencontrer des déterminants de la forme '■>/, - — n, ni la fonction
numérique r\(n) auxquels vous avez été amené. Mais les détermi-
nants compris dans la formule n — 8/-2 que vous considérez si
souvent s'offrent continuellement aussi, sous mon point de vue.
Je vienSj par exemple, de remarquer qu'en désignant par F(/i) le
nombre des solutions «le l'équation x'2- v- z- n, lorsqu'on
suppose ./■ impair, y divisible par deux, et s par quatre, si l'on
<! — \
continue de représenter par cpi n < la somme 1 [) 2 , où d par-
court tous les diviseurs de /?, qui actuellement est impair et
= i (mod j ), on a la formule suivante
n- l (n — S)
F(n') = (— i) 3- a2(— iYf(n — 8r*) (r = o, d=i, ± i, . . .).
Votre méthode pour parvenir à la relation
K3 ,—
PQl_QP1= — k*fk
17Z6
d'où \ ous concluez
i622(s2— **)gr*'+*s= 00: 8 .
est forl belle, et c'est également un excellent résultat que d'avoir
rattaché à la théorie des fonctions elliptiques le théorème si remar-
quable découvert par M. Liouville. Mais je ne puis en rien
satisfaire à votre demande relativement aux quantités Hn2qn*] j'ai
remarqué seulement que l'on a
S»'g"'=e»(g)^(lHf'a)i '" 1,3,5,...),
S2a»gT= 6,(g) [i + 8 y] (i _J* 6)2] '>=■>■ 1,6, ...).
\ euillez, Monsieur, m'excuser de ne vous rien dire sur la
fonction '/(/?)? inon travail arithmétique ayant été interrompu par
les circonstances qui m'ont appelé dans ma famille de Lorraine,
mais vous ne perdrez rien, j'espère, pour attendre un peu. En vous
priant de vouloir bien me faire savoir s'il vous convient que
la partie essentielle de vos deux lettres soit publiée dans les
Comptes rendus, comme les précédentes, je vous renouvelle.
LETTRE 35. 63
Monsieur, avec l'expression de ma plus haute estime pour votre
beau talent, l'assurance de mes sentiments bien dévoués.
Mo Ni
35. — ST1ELTJES A HERMITE.
Lcyde, 27 novembre i883
Comme les remarques suivantes concernent encore l'appli-
cation de la théorie des fonctions elliptiques à la théorie des
nombres, j'espère que vous voudrez bien les considérer avec indul-
gence.
En premier lieu, je trouve, par un calcul qui n'offre point de
difficulté,
V\? / . . .... 1 &Vk'K*
en 2d2ti{ — ^y^x'xy)(ixy"= — —3 —
(x,y = 0, ±i,±a, ±3, ±4, .. . 1
ou bien
Mais on a :
S — 1 .ï5
0(7s)8ï(y2)03(grî) = *2(— l) ' sqi (s = 1, 3, 5, 7, 9, . . . ),
°° 1
0
donc
2S — \ £_2 " \
(—1) 2 i?2YF(/}n + 2)r/"+2
0
= \] 'V(— ()->'(>2— 1 y2) gr**+«r*.
On en tire ce théorème, dans lequel N désigne un nombre entier
(positif) quelconque :
s — 1 NIN — 1|
(3) a2|(-i)"*F(4N— a*»)=(— 1) 2 2(ar"~vl)
(s = i,3,5, 7, ...),
la sommation, dans le second membre, ayant rapport à toutes 1rs
solutions de
N = x%-\- iy-, x,y = o, ±1, ±2, ± 3, . . .;
64 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
le second membre étant égal à zéro s'il n'existe point de représen-
tation de N par x2 + iy2. Par exemple.
N ■ N - 1 1
N=a5, l'y = (± 5)*-4-2. o2: i — n 2 S(;r2— 27*) = 2.25,
2[F(98) — 3F(82 H- >F| 5o) — 7F(a)l = 2(9 — 3.4 4- 3.; — 7. 1) = 2. 25.
• \ ii. pas de représentation par cc2-+- iy'2,
F(ioa 1— .1' 86 )Fi m 1 - 7F(6) = .j — 3. 10 4- 5.8 — 7.2 = o.
N 27, 27 = (±3)"-Ha(±3)« = f± 5(2 — 21 ± D2:
(— 1) 2 s(a?2— 2JK2) =— i[9 — 18 — 25 — 2] = — 56,
2| Fi ro6 1 — 3 F 90 ï F 58 - 7F1 10)]
= 2(6 — 3.io-t- 5.2 — 7.2) = 2( — 28) = — 56.
J'avais d'abord obtenu la relation (3) par des considérations
arithmétiques; c'est en réfléchissant sur cette formule que j'ai eu
l'idée d'introduire ces séries Hn2qn>. Voici encore une autre for-
um le du même genre :
N = 3 (mod8), aVl-i - â~sF(" ~S ) = 1 — 1 i~~*~ V (x- — -îj2)
(s = i,3, 5, 7, ...),
la sommation, dans le second membre, ayant rapport à toutes les
solutions de N /'- — ay2, x et y étant positifs et impairs.
Par exemple,
\ 99, 99 = i2-t-2.72=72+2.52 = 92+-2.32;
donc
N-H5
i-ii s S (a?2 — 2^2)= — (1 — 98-1-49 — 5o-^8i — 18) =-+-35,
2F1 }9) •<>!'< }5)-ioF(37) — i4F(a5) + i8F(9)
0 5 5
= 2-4-6.6 — 10.2 — 14 . - -+• 18 . - = 9 -4- 36 — 20 — 35 + 45 = -4- 35.
2 22
Le second membre devient o quand il n'y a point de solution
de \ x- - >}'-■ Par exemple, N = 35, pas de solution
F 1 1 7 h- 3 F (1 3 ; — "1 F 1 "> =44-3. 2 — 5 . ■>. = o.
Ce théorème est une conséquence du développement en série que
voici :
•/ h(g) =^***'2K3=-224(*2-'2^?"
LETTRE 35. 65
où il faut attribuer à x et y seulement les valeurs i . 3, V j, . . ..
En effet, on a
ei
o Wq ) ea Wq ) Bi (\/y ) = aS(— 0 » ^ B
*(\/q)h{\/q)^{q) = W{q)*i(q).
Maintenant, j'observe que la formule de M. Kronecker,
i ^T F ( i n -+- i i q" + '' = 02( q) 6| ( gr ),
0
donne, à cause de
eî(y) = eî(gr«)-f-6«(Sr*),
i
,1 V Fi 8» + i) gr n + 4= 02( q)bl(q* l,
42F(8» + 5)/" + ' = °2(^)^Wi^
n 2 n H — ^"ï 2 « -I- ■
gF(8/n-i)g +'.->^F(S«h-5)^
l.o .0
\ laide de ces formules, nous aurons
92| q i62(gr
.v — 1 .«2
\ ( — I) 2 sy8
i - n
^F(8m-i)gp >— ^F(8n-f-5)?
. o « J
' -
La comparaison des développements des deux nombres donne
notre formule
i i)
»2<-
N = 3 (mod8),
N — s-2\
8 sF )=(— n 8 X'-7'2— 27"2
(5 = 1, 3, 5, 7, . . ., N = J?2-^ -2J2, a?,^ = r, 3, 5, 7. . . .)•
Comme vous le voyez, ces deux formules se mettent à côté de celle
donnée par M. Liouville {Journal de Mathém., 2e série, t. \l\ .
5
66 CORRESPONDANCE DHERM1TE ET DE STIELTJES.
année i 869 ; p. i •
N 1 1 Iv . ^j[~ n " *^(4N — s»)£=V(a?»— y*)
(s = t,3,5, 7, N ''; -r-, x = 1, 3, 5, 7, . . .,
y = o, ± 2, ± 4, ± 6, ... 1.
Dans la formule ! les arguments des fondions F sont de la
forme [/ s; dans la formule (ji ces arguments sont de la
forme \k 1; enfin, dans | 5 1 ils sont de la forme 8 Â~ H- 3. Dans
toul ce qui précède3 F(n 1 désigne le nombre des classes du déter-
minant n pour lesquelles un au moins des coefficients extrêmes
est pair. Seulement si// est un carré impair [ce qui peut seulemenl
arriver dans la formule ( {)] il faut retrancher \ du nombre de ee>
classes.
Dans la démonstration à l'aide de la théorie des fonctions ellip-
tiques de la formule donnée par M. Liouville, j'ai fait usage de
cette formule :
**£!*!/£ 0 q i8|i 7 )6SI q I = 4 [0 , y8)82($r2)e3(gr*)]2
I IrJ ?! I2
= 161 7 ( — 1 J 2 57 2 = 16 #[(1 — (/'* 11 1 — 7S 1 ' 1 — ql%). • -l6
— ni 7
« impair,
V<— I ,nrl>;:i'—»n = , (; ^ V , A-2 _ /2 , ,y.v--/': = l6V/ /, y <
/ // ■ — Xi .V2— U2 |, rt — .s'2 4- /-
1 . ■;. ">.... ; t = o, ± 2, ± î, ... 1,
8K-
— <
/.-•N A 161 7 — iW/5- - 97!'— 10713— J0717— 1 1 72"
j ! y'2'-* — ;o7:i7 +i8j"- 54 71"'— 19 7"— 90 gss. . .
ou bien, par le changement de q en y-2.
' s y - .9 = 1,3,
J'ai observé que cette fonction arithmétique f(s) jouit de celle
propriété
/1 m f\ n - f\ mn 1.
Par exemple,
/ 5 /(9)= — 6.9=— 54 =r/(45),
LETTRE 35. 67
m et n étant premiers entre eux. Soit maintenant rj un nombre
premier de la forme 4Â" + 3, on aura
/( (/-" ' -' 1 = 0, /( y'" 1 = y-".
En désignant par p un nombre premier de la forme \k ~\- 1, ou
pourra calculer les valeurs successives de
/(/>*), 71 = 0, 1,2,3. •••! /(i) = i,
à l'aide de la relation
/</>" H) = _/'( p ) f\ p» 1 — p*f\ />"-' ) ;
mais il faut déjà connaître f(p) = 2(ai — ■ b2), p = a2-+-b*,
a impair.
Mais la valeur générale de f{pn) se met sous une forme élégante
en introduisant les facteurs complexes de /;. Soit
w = a ■+■ bi, m' — a — ùi, p = 777*3',
on a
fyp) — m2-+- m'2 — (tttv — TO'4):(nr2 — ttj'2 ),
/(yo2) = nr4--!- ra27n'2+ nr"* = (ttt6 — ra'6 ):i m'2 — ttï'2 i,
/(jo3 ) = gt6-I- Tu^îTr'2 — i— T7T2nj'v -+- et'6 = ( 77is — m'8 )'.(tts- — rrr'2 t .
, , sin(2A:-h2)a „, sin(2# -+- 2)a
tu = /■( cosa h- i sina ), /(»«)=- — : — r2/f = -^ />*".
si 112 x sinaa '
Cette fonction arithmétique présente donc une certaine analogie
avec la fonction Q(«) que M. Kronecker a introduite dans son
Mémoire dans les Comptes rendus de V Académie de Berlin
(avril 1876) où l'on trouve ces formules :
0 TV/ 0
En posant de toutes les manières
n = x* -+■ y"1 , 7 = 1,3,5,7,..., x = o, ± 1, :ir 2, ± 3, . . .,
on a
y-i
Q(/i) = 2( — 1) 2 y [on suppose /i =3 1 ou n = 2 (mod4)]-
Veuillez bien excuser la longueur de cette lettre 5 mais je croyais
68 CORRESPONDANCE D'HERMITE ET DE STIELTJES.
devoir vous indiquer commenl on peut arriver à ces relations (3),
I i (5).
Croyez-moi toujours votre entièrement dévoué.
36. — STIELTJES A II ERMITE.
I.r\ile, 3o novembre i883.
MoNSIEl R,
Vous poussez votre bonté trop loin en m'offrant de faire paraître
dans \c< Comptes rendus la partie essentielle de mes lettres
du :>.\ et du 25 novembre. En effet, il ne m'est jamais venu dans
l'espril que ma correspondance vô'us causerait de la peine decette
façon et j'espère nous pouvoir donner bientôt une Note contenanl
la démonstration du théorème de M. Liouville, à laquelle je crois
pouvoir joindre les deux théorèmes que j'ai obtenus. - .le dois
vous avouer que je ne suis pas bien contenl de-, calculs à l'aide
desquels j'ai démontré en partie ces théorèmes i \ . B), i C) de
ma lettre du :>.\ novembre et que j'espère trouver un autre chemin
<|ui mènera d'une manière plus complète au but. Si je nejoin> pas
ici la Note sur le théorème de M. Liouville, c'esl qu'une indisposi-
tion m'oblige de m'abstenir de tout travail; — vous voudrez bien
m'excuser aussi, dans ces circonstances, de vous écrire une lettre
où il n'entre pas d'arithmétique el de vous remercier simplement
pour la communication des formules contenues dans votre dernière
lettre.
Croyez-moi toujours, avec le plus profond respect, voire très
dévoué.
37. - STIELTJES A HÈRMITE.
Leyde, 8 décembre iS83
MoNsiEi a,
.le VOUS piie de \onloii' bien présenterai Académie la Note ci-
jointe ' ' i. L'espace m'a manqué pour indiquer commenl la théorie
des fonctions elliptiques conduit à ces formules; mais il n \ aura
pas d'inconvenance, je l'espère, si je donne la démonstration du
(') Sur un th<:, ri nie de Liouville. Note de M. Stieltjes, présentée par M. Iler-
niitc {Comptes rendus, io décembre i883).
LETTRE 37. 69
théorème de AI. Liouville dans une autre Note. Je pourrai alors
encore indiquer les formules qui donnent les trois autres
théorèmes.
J'ai été, d'abord, un peu effrayé des calculs que demandait la
vérification du théorème IV. Posons
s — 1 .s'2 « 8/H-S
£=Y(— 1) 2 sq 8x^Kl,s„ , 5)q 8 (s 1,3,5,7,...).
0
Le théorème IV fait voir que dans le développement
(^ = rtj q -t- a>q* -h a3q3 -+- a>tq'' -■ . . .
la partie paire
a-2q2 -H Cl; q* H- as </b
est égale à
Vy(.f2 ■- 3 ) 2)gra< .'■■•+3r*) (.r, j = o, ±1, =fca, ±3, . . .) (a?-t- j impair)
ou bien qu'on a
(^ étant ce que devient !^ par le changement de q en — q.
Or, je trouve
p 2K3 .,,,, sina| / l\ îK\
J = — — k- k 3 — — - , a! — am— •> ou = atn ——
3 1/3 tc3 sina'ï Aa^ \ 1 3 /
d'où
(J, 2K3 , si 11 -y.:;
3 /3 tt
■ in a? A;:.,
Après quelques réductions on obtient
•C-4--T K'3*1
— = — — — sinaj cosa! sinar,.
2 3/3 -n:3
C'est la même valeur que je trouve pour
J'ai calculé d'abord la somme
Z_^yXx'1' — 3y2)ql'~ + 3y~ (toujours x-\-y impair)
JO CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJES.
qui s'exprime par
\ \\ /. - -in a.2 COS
3v/3ir3 sinai
Le changement de 7 en <y2 donne la valeur déjà écrite de
22(^-s^)^
ir> _
Pour a\ oir la somme
j'ai pris comme point de dépari les sommations des séries
où j'ai remplacé y par q3, etc. Les fonctions de seconde espèce
sont éliminées dans le résultat, mais elles entraînent bien des lon-
i; 11 *mi rs dans le calcul qui. par là, a seulement le caractère d'une
vérification. Mais, d'autre part, les démonstrations arithmétiques
demandent aussi quelques développements. Le théorème III a été
obtenu seulement en suivant la voie que je vous ai indiquée; je
n'en ai pas encore une démonstration arithmétique comme des
autres théorèmes.
Agréez, Monsieur, l'assurance des sentiments respectueux de
votre serviteur dévoué.
38. — STIELTJES A HERMITE.
Leyde, 14 décembre 1 883.
Monsieur.
Je prends la liberté de vous adresser en même temps la suite de
ma Note sur le théorème de M. Liou ville ( '). J'y ai ajouté encore
trois théorèmes du même genre. Vous avez bien remarqué que dans
(') Sur un théorème de M. Liouville. Note de M. Stieltjes, présentée par
M. Hermite (Comptes rendus, 17 décembre i883).
LETTRE 39. 71
toutes les relations de ce genre que j'ai rencontrées il n'entre point
des valeurs de F(8k -+- y). Je me propose de tâcher de combler
cette lacune et j'ai quelque espérance de réussir, mais je dois
encore ajourner un peu celte recherche parce que ma santé ne
me permet pas encore de m'appliqucr trop à ces études. Certaine-
ment, si elle réussit, la démonstration analytique sera un peu plus
difficile parce que la fonction génératrice
ou bien
VFi 4« •+- 3)<y'"' < 3
que vous avez donnée, est d'une nature plus compliquée que dans
les autres cas.
Agréez, Monsieur, l'assurance des sentiments respectueux de
votre serviteur dévoué.
39. — HERMITE A ST1ELTJES.
Paris, i5 décembre i883.
Monsieur,
Votre Note sur un théorème de Liouville a été présentée à la
séance de l'Académie de lundi dernier et paraîtra dans les Comptes
rendus de cette séance. Je me rends compte, par les indications
contenues dans votre dernière lettre, des difficultés qu'il vous a
fallu surmonter, et aussi de la joie que vous avez dû éprouver eu
voyant les fonctions de seconde espèce disparaître dans le calcul
de la somme £S(.r2 — 3y2)qr°~+3-y'~. Vous aurez certainement donné
le premier exemple de l'emploi, pour l'arithmétique, de la transfor-
mation du troisième ordre, et je suis bien sûr que M. Kroneckcr
et d'autres s'intéresseront vivement à vos résultats. En tout cas,
vous travaillez avec une telle activité que je ne puis vous suivre
que de loin. J'en suis encore aux formules (A), (B), (G) de M. Kro-
necker qui ont été mentionnées dans votre lettre du 24 novembre
et qui m'ont rappelé, en réveillant d'anciens souvenirs, une
recherche à laquelle je suis revenu. M. Lipschitz, avec qui je suis
depuis longtemps lié, m'y a encouragé, et, en me bornant à la pre-
CORRESPONDANCE D'IIERMITE ET DE STIELTJKS.
mière i p. 2 u» des Monatsberichte) voici mon procédé de démon-
stration :
Je remarque d'abord que, pour un déterminant
\(;_B2=2 (mod4),
toutes les formes, el en particulier les formes réduites, peuvent se
répartir en trois catégories, représentées «le cette manière :
(a, a', a") y (a, b, 2a'), (2a, è, a'),
où r/, a', a" sont des nombres impairs et A un nombre pair. Ceci
excluons les formes ambiguës, qui, dans le cas actuel, sont
toutes données en supposant b < > : supposons de plus le coefficient
moyen positif; il est clair qu il suffira de changer b en — b pour
obtenir la totalité des formes réduites non ambiguës. Maintenant.
je ramène ces formes à un seul type, le premier, représenté par
i<7. a', a!')\ mais, au lieu de limiter le coefficient moyen par la
condition ia d ci, j'admettrai qu'il reçoive la série des valeurs
a' - 1, !. 5, . . . , a — 2.
Considérez, en effet, les réduites (cr, b, ia'); elles deviennent
par la substitution x = X - - \ , y - — Y, au déterminant — 1 :
(#, a — b. a >'/' — >.b) et rentrent par conséquent dans le pre-
mier 1 ype, le coefficient a — b ayant pour Limite supérieure a — 2,
et le coe cient a ■- ia — >.b étant supérieur à a d'après la con-
dition 2 l> 2 a'.
Envisagez, en second lieu, les réduites représentées par
| sa, b, a ; elles sont improprement équivalentes à («', b, ■>.</ i et
ers dernières formes sont elles-mêmes, comme nous venons <le
voir, improprement équivalentes à («'. à1 — b, a1 — ia — ib).
Or, on retrouve encore par le coefficient a' — b la limite supé-
rieure a1 — ■>. et la condition a'-\-ia — ib~^>a'. De là je conclus
que les formes réduites de ces deux types (a, b, 2^'), (2a> ^> a')
sont équivalentes, les premières improprement, et les secondes
proprement, aux formes (a, a', a") dans lesquelles nous suppo-
sons a' = 1 , 3, 5, ..., a — 2 et d' ~^> a' . Ces dernières formes
peuvent donc être employées à représenter la totalité des classes
non ambiguës, en leur joignant celles qui n'en diffèrent que par
le signe du coefficient moyen : (a, — a', a
LETTRE W). 73
Ce point établi, je fais le produit des séries suivantes :
V tc / V i '/ J si 11 a .1
' /ïkj\ ^ 1 — 7"
\ « /
/ ?. K .r \ „ / 2 K a; N
e — 0
:;aK*
(a'= J, !i, 7. ...).
J'intègre ensuite entre les limites zéro et -• Si l'on remarque
que l'on a
f - sin ax . -
I — : — — ax — - ,
I S I II X >.
on trouve ainsi
u«8,
^■d 1 7 ^«i 1
7" ae! I — 7"
où a" passe par la suite des valeurs
a" = i , 3 , 5 , . . . , r/ — 2 .
Développons maintenant le second membre suivant les puis-
sances croissantes de q et il viendra immédiatement
(tll II' ill
«" prenant, comme a, les valeurs impaires 1, 3, 5
Des deux séries auxquelles nous sommes ainsi amenés la pre-
mière est évidemment
2,4?(N)72 (N = i, 3, 5, ...).
Soit ensuite
a'2 -+- 2 ad — a"2 = 2 N,
il est clair que 2N est le déterminant changé de signe de la forme
(a, a", a + ici'). Sous la condition relative à a", cette expression,
comme nous l'avons vu, fournit la moitié du nombre des classes
~4 CORRESPONDANCE d'hERMITE KT DE STIELTJES.
non ambiguës; d'ailleurs, le nombre des classes ambiguës est pré-
cisément o (IN , comme Gauss l'a établi : désignant donc par F(2N)
lr nombre lotal des ela--e> de formes quadratiques de déter-
minant - 2N, on trouve le beau résultat de M. Kronecker
v.Ot
f^F^N)^*,
et l'on obtient pareillement les équations (B) et C) «le l'illustre
géomètre. Ma dernière lettre - ') eontient une erreur qui tient à ce
que j'ai écrit 83 au lieu de 0. et ma formule obtient par là une
autre signification que celle que j'ai indiquée; une autre fois j'y
reviendrai. Ton- mes vœux, Monsieur, pour le succès de votre
travail et la nouvelle assurance de ma plus haute estime et de mes
sentiments bien dévoués.
40. — HERMITE 1 STIELTJES.
Paris. 3o décembre i^.'!.
MoNSIKl l; .
\ o> propositions concernant [es fondions que vous nommez
\ // et l! a me semblent extrêmement belles, et j'étais bien loin
de m'attendre que ma relation (a) pût avoir d'aussi importantes
conséquences. Je ne puis pas garder pour moi seul les beaux théo-
rèmes contenus dans les équations (5) et j'en donnerai communi-
cation à l'Académie, pour qu'ils paraissent dans les Comptes
rendus - . étant bien certain qu'ils seront accueillis avec l'intérêt
qu'ils m'ont inspiré. Je supprimerai toutefois la fin de votre lettre,
non parce qu'elle ne serait pas assez intéressante, mais uniquement
pour ne point dépasser l'étendue réglementaire des Commu-
nications insérées dan- les Comptes rendus par les auteurs qui
(') Il s'agit probablement de la lettre 34, mais nous ne voyons pas à quelle
erreur M. Hermile fait allusion, ni quelle est la signification qui a été indiquée.
(:) Les Comptes rendus du 3i décembre i883 contiennent une Note de
Stieltjes, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite : Sur le nombre de décom-
positions d'un entier en cinq carrés. La lettre dont il est question ici nous
manque. Il y a lieu de signaler que la table du Volume des Comptes rendus, par
noms d'auteurs, ne mentionne pas cette Note.
LETTRE 40. 75
n'appartiennent pas à l'Académie. Un jour viendra j'espère, et mon
confrère M. Tisserand a en la même pensée que moi, où vous aurez
droit à un nombre de pages moins restreint, et alors je me félicite-
rai pleinement de vous avoir engagé plus complètement que vous ne
l'étiez dans la voie arithmétique. Mais ménagez, Monsieur, votre
santé; je n'étais point sans un peu d'inquiétude en apprenant de vous,
précédemment, (pie le travail vous avait été défendu ; je me rappelle
ce qui m'est arrivé à moi-même lorsque je me suis occupé de l'in-
variant du 18e ordre des formes binaires du 5e degré qui était alors
le premier exemple d'un invariant gauche, et je m'autoriserai de
mon expérience pour vous mettre en garde contre l'excès du tra-
vail. Votre intention doit être de réunir et de coordonner les nom-
breux résultats auxquels vous êtes parvenu et ceux que vous décou-
vrirez encore. Je me permettrai, s'il en est ainsi, de vous recom-
mander, pour les publier, le journal de Stockholm, Acta mathe-
matica. L'éditeur, M. Mittag-Leffler, fera à vos recherches un
bon et cordial accueil : c'est dans son journal que paraîtra une
seconde fois, à cause de sa publicité plus étendue, un article que
j'ai adressé au Bulletin de V Académie des Sciences de Saint-
Pétersbourg, à la demande de M. Bouniakowsky et qui contiendra
les démonstrations des équations (A), (B), (C) avec quelques
remarques ( ' ). Je compte faire suivre cet article de plusieurs autres
sur les points que je vous ai communiqués, suivant la possibilité
que j'aurai de travailler, et ce me sera extrêmement agréable d'être
réuni dansée Recueil avec vous et M. Lipschitz.
Veuillez, Monsieur, pour la nouvelle année, recevoir mes vœux
bien sincères pour le succès de vos travaux et pour votre bonheur,
et croire à tous mes sentiments de sympathie et de haute estime.
( ' ) Le Mémoire dont parle M. Hermite est, en effet, inséré au Tome V des Acta
mathematica, p. 297-330, sous le titre : Sur quelques conséquences arithmé-
tiques des formules de la théorie des fonctions elliptiques.
76 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
41. — STIELTJES A HE MUTE.
Leyde, \ janvier 188^.
Monsieur,
J'avais bien remarqué que la première de vos deux formules
(a) 7 1'/' nv" H".<71G + ...
7 <73 V
' ' ' [ (| H- 7 .-' ( I 7 ■' .' Il -7 ' |ï
I 9 S5
(6) 7 ' "!»'/' '*'7' •••
1 ? -'■ 872' Sqk 87e
= (7'' -+■ 7' + 7 v — •■■ > L1 ~ ( 1 — tji |2 ~ (7+-' 7^- — ( 1 — 7« >2 "|
suffit pour établir la plupart des relations entre V//) etB(/i) que
j'ai rencontrées; mais il n'est pas possible de les établir toutes de
cette façon. En réfléchissant sur cet objet, j'ai éprouvé une vive
satisfaction en voyant que les deux formules (a) et (b) ensemble
contiennent en effet, en germe, toutes ces relations. L'intérêt que
vous avez bien voulu montrer pour ces relations me fait espérer
qu'il me sera permis d'entrer là-dessus dans quelques détails. En
désignant par f(n) la somme de ces diviseurs de n qui sont divi-
sibles par la même (plus haut»') puissance de 2 que n, par g(n) la
somme des diviseurs impairs diminuée de la somme (les diviseurs
pairs. On a :
+ ...=/(i)7-/(a)Sr«-+-/(3)gr>-...
(i+y)2 m - </-' >' ' 1 ■ - '/■' i-
\q* 87^
q>y
-ii"-'/i «i</».
?{i)q'i + g(ï)qk-+-g{$)qi
>V g-(nJgri
Pour plus grande conformité, faisons
/(o) = 0.
g(°) ~- h
LETTRE 4-1. --
alors les deux séries seronl
^ (— i )»-»/( /i) g"' el ^A'i/'iy"'.
o o
et vos deux formules donnent ces relations
(eJU) /(n) — 2/(n — j2)
-t- -2/(/i — 2! ) — •'./( n — 33) ■+- . . . = o ou = (— i )"■ ' /i,
< iib
)-:-A'(~ g-*-) +«-(--j ■ ) •■•] o, ou =«;
n — i
•s
n = i ( iikii] 8
la seconde valeur a lieu seulement quand n est un carré.
Ces deux relations donnenl, en effet, toutes les formules de ma
lettre précédente. Soit, comme autrefois, <p(/>) la somme i\<><. divi-
seurs impairs de n el supposons n = ?.k m, m étant impair. On a
évidemment
/< // | = /( ll(m i = :>.'• o( //; ) = •>/'/< /«),
g{n) = g{ik m ) =(\ — 2 — 22 — ... — 2*)<p(m)=(3 — 2X hl ; o ( /« ),
o| /m = tp| ■>/•'/// i çp (m i,
d'où
(i) 2/( re) -î- z(n\ - '!o( « i,
et si nous prenons, comme autrefois, <p(o) = — . cette relation
peste encore vraie pour « = o.
Rappelons maintenant les définitions de A (/m. I> // :
A(«) = cp(n)H 2 o ( « — •.'. 2 ) h 2 cf ( « - j - i
B (n ) = tp(« ■ i - » ~ g i ii — V- \ — . . .
et posons, de plus,
A'( « ) =/(n i -+- 2/( /? — 22 . ». /'i /* — j2) - . . .
B'CO =/(n — i2)-t-/(n - !- >-+-...
n ^ i ( mod 8) B'(/») = 8 ïg (— ~ ' " ) -h g ( - -^- ■--" ) H ... I
[ B" ( » ) = o o a n J ,
on a évidemment
(2)
l Ai 4«) = A( n i -+- 2B(n ),
/ k\,\n) = 4 A'< n) -h 8B'i n
^8 CORRESPONDANCE d'HERMITE ET DE STIELTJES.
Je vais maintenant déduire Les formules relatives au cas où I ar-
gument h est de la forme [km, m i mod8).
Posons d'abord n = m dans {A I et (Hb). La première qui s'écrit
V'i /; i — 2 l!'i n) ■■ 0 OU t — I )"-'/*
donne, // étant impair et par conséquent A'(n) = \f n i,
Mais mi a évidemment
2b'(m) h. |./i— 8— j-y(— g— )+-•■ •
et la formule - ni. ) donne
f . «? — i - , / m — ">-
,; m =»[^(— g" )"*-^( 8— ;-H'--J =° CM' "'•
I (mut. à cause de i i i,
2 B'i m i -+- l!"i m i = 2.4 Bi /» 1.
En retranchant donc B"(m) des deux membres de (3). le second
membre devient toujours égal à zéro, el nous trouvons :
\in ■> \\\\ m k m 1 (mod8 ).
I ne application réitérée de
\ [n) jA'i//' 8B'(/i)
donne
\ j' m 1 j •• \ m 1
■a[4*B'(m) i7' lB'(4/n) -+-... -i-4B'(4*-im)] 1 /.■ . 1 .
I >'après (<Jt et i itb 1, le premier membre esl égal à
tB 1 |*/h 1 f*B'( m i.
En ajoutant donc des deux côtés \h lï "< in > et observant que
2 B'i /// ■ B"(m) - i lîi w),
on obtient :
B \>- m 1 (*.24 Bi /// 1 4-[4*-iB'i 4/?/ 1 +.. .-f- $B'(4*-»/n 1 1
LETTRE 'i I . 79
ou bien, parce que pour n pair B'(/> ) = B(rt),
B(4w ) = 4.24 B( m 1,
B(/,2/» . i = 42.9.4 B(/>< 1 i-4B( im),
B(43tm 1 = 4s.a4 B(m) -4- j2B(4w 1 i - 4 B ( \*m >,
B(4*w> = 4*.a4B(»i)-+-43B*(4m)-f-4*B(4s/?i 1 4- f B<4:,//n,
Donc
B(4m t =96B(#«),
B(42m)= 8B(4m),
B( i»m) = 8B(4*/h ),
Bl ilm) = 8B(4*m),
et ces relations jointes à A(4n) — ^-(n) ~+~ aB(//) donnent immé-
diatement les formules que j'ai données pour le cas d'un argument
de la forme ^km, m = 1 (mod8). Les autres cas peuvent être
traités d'une manière analogue; mais alors la relation (X) suffit el
il n'est pas nécessaire de connaître cette seconde relation (ill>).
Mais voici, Monsieur, une nouvelle propriété de cette fonc-
tion B(n) qui entraîne immédiatement une propriété semblable
de la fonction $(n).
Soit/? un nombre premier impair, n un nombre quelconque non
divisible par p2. Alors :
B(n/>2/.) = [p**— f-\p**-*-hp**-*— (- )/)3*-s -+- jt?3*-6 -4-...-+- 1] B(n 1
où ( - \ est le symbole de Legendre et où il faut prendre (—) = o,
lorsque n est divisible par/?. Le facteur de B(/?) est
pli. _|_ p3/t-3 _j_ ^3*-6 _(_..,_)_! | _ W, ( pSk-l _|_ p3*-6 _)_..,_,_,)
i8A+3_, /,(> p3A _
/>3 1 \/J / />3 I
Mais je n'ai pu établir cette formule que très péniblement pour le
cas de k = 1 seulement, et il faudra trouver une autre méthode pour
traiter le cas général. Vous trouverez donc, peut-être, que je suis
trop hardi à donner déjà la formule générale; mais quelques ana-
logies m'ont guidé et, ayant confirmé cette relation dans plusieurs
cas, À" étant égala 2, 3, 4 j'ai une entière confiance dans l'exac-
titude de cette relation.
So CORRESPONDANCE d'hKRMITE ET DE STIELÏJES.
Comme une conséquence, voici, par exemple, la valeur expli-
cite de §{ n), ii étant an carré,
8a^!p;-2Y ... " IO S'^~' PQR. . . .
p p3a—p3<x-i^.p3ct-^—pSa-B ...-+-i}
Q = 7 v >/■■'' 7 v 3— <73?-5- . ..-4-1,
/, étanl un cuit' très grand, on a donc sensiblement
ri, 43. . . "ii 10.
n impair
C'esl un peu moindre que la valeur moyenne
' " ' i , c
- = ---= 1 > . 1(1
u-
Mais. Monsieur, permettez-moi cette demande : la réduction de.
§(np* k§ n ne se trouve-t-elle pas dans les Mémoires couronnés
par 1 académie l'année passée : Sur la décomposition d'un
nombre en cinq carrés? En effet, dans le Mémoire de Dirichlel
(|ui servira pour toujours comme exemple dans ces recherches, les
relations analogues oui été déduites des séries infinies qui servenl
,1 exprimer !<• aombre des classes.
Sojez hit'u remercié. Monsieur, pour les bons vœux que vous
avez exprimés à mon égard; certainement je vous souhaite le même
bonheur.
\ olre très dévoué.
P. S. — - J'ai remarqué une erreur dan- le théorème V de ma
Vote sur un théorème de M. Liouville : l'expression exacte est
h
8^ < — ■ ) - * F f N » *a ) =2 (a?2 ~ ?* }
5 mod8)3 '\ r« k2, X\~ ' (mod 16
y-- 9
L'expression donnée dans les Comptes rendus, t. XCVII, p. i4i5, était
c I
[\ -, MnodS), aN = a?»+vS> ^ " ' """l '" I
l. v'- 1 1 mod 8)J'
LETTRE 42. 8l
42. — HERMITE A STŒLTJES.
Paris, i \ jan\ ier i ss'|.
Monsieur,
J'étais tout occupé de votre lettre du \ janvier et des beau? résul-
I ils qu'elle contient, lorsque j'ai été frappé d'un nouveau malheur
de famille. Ma belle-mère, après une courte maladie, nous a été
enlevée à l'âge de 85 ans et j'ai du quitter Paris pour me rendre à
Bain-de-Bretagne assister à ses obsèques. Je m'empresse, Monsieur,
dès mon retour, de vous exprimer mon intérêt le plus vif pour
votre analyse extrêmement ingénieuse concernait! les fonc-
tions A(/î) et B(/i) et aussi pour vous dire que je me proposais
d'appeler votre attention sur la fonction F(/&) de M. Kronecker
lorsque m'est parvenue votre carte postale du 6 janvier (') el le
beau théorème contenu dans l'équation
F(np*) = ^• + /,/.-i + ...)-.(^)(/>/-M-/>^ + ...)]f(/o.
L'introduction du symbole de Legendre a la plus grande impor-
tance à mes yeux; c'est un point qui vous appartient absolument,
el je ne vois aucunement de quelle manière vous y parvenez. En
attendant de connaître la méthode qui vous y a conduit, je réponds
autant que possible à voire demande relative aux Mémoires cou-
ronnés par l'Académie, sur la décomposition d'un nombre en cinq
carrés, en vous indiquant deux articles de M. Smith publiés dans
les Volumes XIII et XVI des Proceedings of the Royal Society
intitulés : On the orders and gênera of quadratics forms, contai-
ning more than three indeterminates, qui sont le fondement du
Mémoire adressé à l'Académie. La comparaison entre les nombres
de décomposition en cinq carrés, pour les entiers n et /\~n, nous
y a paru implicitement contenue. Son travail et celui de M. Min-
kowski sont livrés à l'impression et par conséquent ne tarderont
pas à paraître (-).
(') Cette carte postale manque clans le Recueil des lettres.
(2) Les deux Mémoires de M. S. Smith et de M. Minkowski ont paru dans le
Tome XXIX de la 2e série des Mémoires des Savants étrangers (18S7).
6
CORRESPONDANCE d'bERMITE ET DE STIELTJES.
Veuillez, Monsieur, recevoir la nouvelle assurance de ma plus
haute estime el de mes sentiments dévoués.
43. — STIELTJES A H ERMITE.
Leyde, i5 janvier i88'|.
Monsieur,
Je \<mis ai communiqué, il y a quelque temps, les sommes de
ces séries
V F n — S/-5 i i /■ = o. ± i. >....»
V p(/i — as5 i (* = i, 3, 5, ...)
en supposant, dans la première, n=i,3, 5, dans la seconde,
n '». 5, - (mod8). J'ai enfin réussi à combler la lacune qui se
montre ici, el à sommer la première série encore dans le cas n= 7,
la seconde, dans le cas // = I (mod8).
Je vais rapporter les formules générales qui supposent seulement
que n est impair. Prenons toujours Fi // | dans le sens de M. K.ro-
necker [en sorte qu'on a sans exception F(4«)= 2F(/i)] et posons
de plus
■l, n) = \ (— 1) » d (ddl= n),
la sommation ayant rapporl à imites les solutions de
n = xi—iy*,
./■ étant positif, y positif, nul ou négatif, mais inférieur en valeur
absolue à -x (ou, ce qui revient au même, iy-<^ru ou encore
X-<C 2 n). S'il n'y a pas de relation de cette (façon) sorte, il faut
prendre y < // ) = o; c'e>l ce qui a lieu toujours quand n est == 3 ou
mod8), mais encore en d'autres cas. Cela posé, on a les rela-
tions Minantes :
H — 1
1 1 ->.\ (— 1 >'Fi n-?.r!)=(-i) - /i // i (n = o, ±1, ± 2, . ..)
db , ■>. V Fi // •/ = 24/(7? 1 — /_, n).
LETTRE 4-3. 83
Considérons encore les solutions de n = x2 — iy'1 ; mais, cette
fois, prenons y positif, x positif ou négatif et (railleurs, comme
précédemment, en valeur absolue, y < — et posons
Alors on a les deux formules suivantes dans lesquelles n est toujours
impair,
(8) *£(— iy¥(in ~ 2r*) = x(n) — xi(n),
(CD) 2]F(2»-^) = 2^(n)-X(/l) + Xl(n).
L'intérêt principal de ces nouvelles relations me paraît consister
dans l'introduction de ces fonctions %(n),'/ \ (n) qui dépendent de la
représentation de n parla forme d'un déterminant positif a;2 — iy-
avec cette limitation 2 val. abs. y<C val. abs. x. 11 me semble
en effet que cette circonstance sera la source de très grandes diffi-
cultés si l'on (voudra) veut entreprendre de retrouver ces formules
par l'analyse des fonctions elliptiques ou, du moins, par des déve-
loppements analogues. Je ne crois pas qu'on ait jamais vu s'intro-
duire, dans ces calculs, des formes d'un déterminant positif tel
que x- — iy- ' .
Comme un exemple plus simple, j'ai, maintes fois, tâché, mais
toujours sans succès, de démontrer par l'analyse seule cette formule
►^
£**■"**■
y _
i — q-
q* cr , ff ,
9»
i — q6 i — q10 i — qVt i
-q"
x impair, 2.r>3^î?o
qui exprime ce théorème connu que le nombre k des solutions de
n = x'1 — 'zy^, n impair, x impair, i \x >» 3y^.o
est égal au nombre des diviseurs de n compris dans la forme 8/' zh i
moins (minus) le nombre des autres diviseurs 8/'dz3. Et, avant
moi, M. Heine n'a pas été plus heureux, comme il le dit dans son
Traité des fonctions sphériques (>.e édition, t. I, p. 112).
v, CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
I'.ii prenanl successivement x \ , 3, 5 on a
Ij o -^-79 (i -h y-21;
v..,, y 2.1_f.5,-2.4_|_gr-2.9_Hg,-2.16)
g,81(] g 2.1 H y-2. i _ - g,-2-9 _ y-2.1 r, ^ ^-2.25 )
Mais la condition ix~^>Zy . o donne dans le second m cm lire une loi
un peu compliquée. J'ai remarqué, toutefois, que celle expression
est susceptible d'une transformation élégante. En effet, je trouve
que le nombre des solutions de n = .r- — 2 )-. x > iy^o est égal
à ' ou à - - selon que k esl pair ou impair. ( )n aura donc
11
'/ ^-^^T^2^?1
.r > iy o 2 /' " • 3 y o
parce que /. es! seulement impair quand n est un carré. Or on a
— ~-
i(l_(_ gr-2.1-4- g-2-*)
donc
22*"-"'= ?-
2 a- > 3 r i ' - 7:;': ( i -: 2 y- iA* )
'/:i(i -i- 2<7_ 2-15-t- ig— 2-2*)
1 "I I — 2<7-2'15-}- ■?.<]---*-+-. . .— 2CJ--n°-).
Le second membre rappelle bien, de loin, les développements
que vous avez rencontrés dans vos recherches sur les théorèmes de
M. Kronecker; mais je n'ai pu prouver par l'analyse l'égalité de
ce second membre à — ^— , -'■ -1 — ; -|-. . .. Or il me semble crue La
i — y - i — (]" i
démonstration analytique des relations (JU), . . ., ((D) sera difficile à
LETTRE 43. 85
pins forte raison et je ne (me) ha sa nierai pas à L'entreprendre après
mon insuccès dans la question plus simple dont je viens de parler.
La formule (X) par exemple revient à celle identité
2 V (— i)"q2"-X V F('2/i-H i)qi"+l
-4- 3*7°< 1 — 27-2-1)
-h 5<725(i — iq-ÎA -t- 2^/-2-4)
-4-(2« -+-l)gr(2n + 1)*(X — 2 ^— 2-1 -H 2 gr— 2.4 H- . . . -+- 2 (— \)n q-în*
H-
Je prévois déjà que les formules données par M. Liouville, dans
lesquelles la série des déterminants est — (n — 3/-2), ne forment que
les cas les plus simples; pour avoir des formules plus générales il
faudra des fonctions analogues à ^ et qui dépendront des solutions
de n = x- — ày'x et n = x2 -\- 3y2. J'espère aussi que je pourrai
maintenant compléter le système des relations données dans ma
Note sur le théorème de M. Liouville, et je me propose de pré-
senter alors ces formules à l'Académie.
On m'a offert, il y a quelques jours, un professorat d'Analyse
[Calcul différentiel et intégral) à l'Université de Groningue.
J'ai accepté cette offre et je crois que cette position me permettra
d'être plus utile. Je dois beaucoup, dans cette circonstance, à l'ex-
trême bienveillance de mon ancien chef M. Bakhuyzen, le direc
teur de l'observatoire. Un de ces jours, ma nomination définitive
arrivera. Mais vous comprendrez bien que ce changement entraîne
pour moi des distractions qui m'éloigneront de l'étude dans les
premiers mois à venir.
Agréez, je vous prie, Monsieur, l'assurance des sentiments res
pectueux de votre serviteur dévoué.
P. S. — Je viens de recevoir votre lettre qui me fait une impres-
sion pénible en me portant la nouvelle du deuil de famille qui vient
de nouveau vous frapper.
Acceptez mes remercîments pour vos renseignements précieux
sur les Mémoires de M. Smith. Je me propose, dès que j'aurai
CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJF.S.
|(. [oisir, el ce sera, j'espère, dans les vacances de l'été prochain.
(|(. faire une étude sérieuse de ces théories. Peut-être aussi, alors,
les Mémoires couronnés par l' académie auront paru. Je ne doute
poinl que la relation entre F(np2k)et F(/i), comme celles entre
F(/t.4*)el I ' a • ne soienl (seront) contenues dans les résultats de
M. Smith el je me promets beaucoup de satisfaction à voir comme
cela découle de ses théories si belles et si importantes. Quant à la
formule
F(»/>»*) = j/»*+[i-(-^)
(Z»*-1 -+-... -t-i)F(n),
elle es) une conséquence facile des résultats de Gauss (Disq. A rith.,
art. 253-256) retrouvés el complétés plus lard par Dirichlet. La
recherche de Gauss est une application de sa théorie de la compo-
sition des lui nie- quadratiques; ses résultats ont été démontrés
aussi d'une manière très belle el très simple par M. Lipschitz (Journ .
de Barrit ., t. LUI. p. ■< i38- 2 i5o, > qui se fonde sur l'étude dc> sub-
stitutions linéaires de déterminant/? qui transforment directement
une forme quadratique d'un déterminant n en une autre de déter-
ra inanl ////-.
Nommons H (n) le nombre des classes proprement primitives
de déterminant — n ; alors
(a) H(n/>«*)= [//-(^^y-'] H(n);
seulement, lorsque « = i, il faut prendre la moitié du second
membre. Et, de plus,
(P) FinJ^Ui^
si I on prend pour d tous les diviseurs de // qui sont des carrés
impairs. Seulement, lorsque n est un carré impair, il faudra retran-
cher - du second membre. Mais, comme, dans ce cas, il y aura an
diviseur d = n, on voit que les deux formules (a) et (3) sont vraies
sans exception, si Ton convienl seulement de prendre H(i) =- au
lieu de H(i) = i. En supposant maintenant que n n'est pas divi-
sible par/?2, vous trouverez sans difficulté que les équations (a)
et : donnent ce théorème : F(np'2k) = ... etc. L'équation (a), du
reste, ne suppose point cette restriction que n doit être divisible
LETTRE kk.
par/?2. En effet. L'équation (a) donne
de aie me
2''(-'-^>k-'-(:
87
*-(t)'"W5)-[>'-(:t)'"]'™
A-l _ - \ nie
' P
F(/i),
2 "(5) ='<»'
F(n),
et l'addition donne la formule voulue par une nouvelle application
dc(P).
44. — HE RM ITE A STIELTJES.
Paris, 2S février i884-
Monsieur,
Une élection qui doit se faire lundi prochain à l'Académie pour
remplacer M. Puiseux que nous avons eu le malheur de perdre
l'année dernière, au mois d'octobre, m'a imposé une lourde tâche
dont je viens seulement d'être délivré. En me consacrant aux tra-
vaux des autres, il m'a bien fallu renoncer aux miens, et j'ai quelque
peine maintenant, après une interruption de plusieurs semaines, à
ressaisir mes idées et à reprendre la trame de mes calculs. Je reviens
à l'Arithmétique en vous remerciant, Monsieur, de votre dernière
lettre et vous exprimant tous mes vœux pour que vous trouviez à
l'Université de Groningue une situation entièrement favorable et
qui vous permette de donner à la Science ce qu'elle attend de votre
beau talent. Vos recherches publiées dans les Comptes rendus ont
attiré l'attention, et je viens vous apprendre que vous avez un
émule digne de vous d tas M. Hurvvitz, privat-docent à l'Université
de Gottingue. Son nom ne doit point vous être inconnu si vous
lise/, les Malhematische Annale n où il a publié récemment une
extension à de nouvelles transcendantes de la méthode exposée à
ses élèves par M. Weierstrass pour établir plus simplement que ne
CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
l'a I ail Lindemann <pi<' le rapporl de la circonférence au diamèlre
o'esl pas un Dombre algébrique. En ce moment, ce sonl vos résul-
tats sur la décomposition d'un nombre en cinq carrés el les for-
mules extrêmement remarquables que vous annoncez avoir obtenues
par induction :
F(jD5 \n /, /, - | . F(/>i) = I0\j>(p2 t)(/)3-+-l) + l]
que M. Hurwitz démontre en confirmant votre prévision, et il les
généralise de la manière suivante :
Le nombre des décompositions du carré d'un entier quelconque m
«ii cinq carrés s'exprime par
F(m* 1 = 10 - ' .. '- -1 '—^ 1 ...:
23 I p3—l (]* I
on suppose
m _ ikpy.q$
'■/>■ y. étant des nombres premiers différents.
La démonstration que vous verrez dans le prochain numéro des
Comptes rendus et qui se déduit de cette formule
'•-1 aussi simple el élégante que profonde; je suis sûr qu'elle vous
1 atéressera \ i\ emenl .
En attendant que je puisse revenir sur ce sujet, en le prenant
sous le poinl de vue <pi<' je vous ai indiqué, je rédige pour le Bul-
letin de V Académie de Saint-Pétersbourg, afin de répondre à
une bienveillante demande de M. Bouniakowsky, la démonstration
des théorèmes (A), (B), (C) de M. Rronecker, avec quelques
remarques auxquelles ils donnenl lieu. Ainsi le théorème (A) con-
tenu dans l'égalité
»2F| '" ' '/" s"' %l '/>%.:•>/ 1
conduit à exprimer la somme
l ! r 6 1 - F io)+...+ F(4/n-a)
par la formule suivante.
LETTRE 45. 89
Considérez ions les entiers positifs Impairs, aela', qui satisfont
à la condition
a- -+■ n' - i // -+- 2
.■I soil
puis
on a
s=]£(-o>1
a — \
-^- ,-, / 4 11 -f- 2 — a2
i rt
F(2) + F(6)+...+ F(4n + 2)
(hic de choses j'aurais à vous dire, Monsieur, sur celle question ;
niais il me tarde que cette lettre parle et vous porte le motif du
retard que j'ai misa vous répondre, en même temps que mon vif
désir de recevoir bientôt de vos nouvelles. La liste des candidats à
la place vacante, dans la Section de Géométrie, a été arrêtée comme
il suit : i° M. Darboux; 20 M. Laguerre; 3° M. Halphen; 4° cx-
œquo et par ordre alphabétique : MM. Appell, Picard, Poincaré ;
l'âge el l'ancienneté des services rendus à la Science ont été pris
en considération, comme le mérite scientifique; mais, sans doute,
à une autre occasion et quand je céderai, à mon tour la place
que j'occupe, cette liste pourra être bien changée. Je suis toujours,
avec les sentiments de la plus haute estime, votre bien sincère-
ment dévoué.
45. — STIELTJES A HERMITE.
Leyde, ier mars 1884.
Monsieur,
En rentrant en ville hier soir, j'ai trouvé votre lettre qui m'est
bien précieuse.
J'avais réussi, de mon côté, à démontrer les formules trouvées
par induction, mais ma démonstration arithmétique ne pouvait se
résumer en peu de mots. Votre lettre m'a fait penser de nouveau
sur ce sujet; voici comment je crois que l'on peut arriver à mes
résultats assez simplement en partant de
8A+1 1
F(m2) = IO [o(/i2) + '>.C3(/i2_22)-H 2Ci(«2— 42) +.. ].
7
go CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
Soil d'abord n=p un nombre premier : il s"at;i i d'évaluer
■C — ? ( P2 ) ■+■ 2 ? ' /'2 - ',/2 )-+-■••
ou liirn. à cause de
- I /M " /- — I ,
<_-!-/> = pCp)<?(/0-H2<p(/>»— 22)-t-2op(i02— 42)+...
ou encore
/. 3 p)o(p)-\- 1 o(p ' Z>(p -+- 2) -1- 2©(/> — 4)<?(/> -*"4)-J-
Ce sonl deus formules elliptiques qui mènent au but; en effet,
on a (Œuvres de Jacob i, nouvelle édition, 1. I. p. 162, 1 6-)
(1) x(4r) ^4^?'""/2 (#1 = 1,3,5,7,...)!
/•M— Y = .6'
- q- 1 - y ■ 1 — y"
«6[x(i)? + X /' / ;"/; ■•■]'
y(#i) représentant la somme des cubes de ceux des diviseurs de n
dont les diviseurs sonl impairs.
Or. «-11 élevant au carré la formule (1), on voit aussitôt que
le coefficient de qP devient
e>(i) cp (2jd — i ) ■+- a> 1 3 ; œ ( ip — 3; -+-...-+- ©(/>) <p (p) ... + tp ( 2/» — 1) <p ( 1)
= «(/>) »(/> i -r- ïs(/; — 2 ; ©( /> + 2) -+-...= •£,+ />;
donc
£ -+-/> = "/.(/») =/>3+ I C. O. F. 1).
( >n peut traiter d'une manière analogue le cas où n est composé .
( lela nécessite encore quelques considérations supplémentaires qui,
toutefois, n'offrenl point de difficulté.
\ oici comment j'avais auparavant traité le cas de la décomposi-
tion d'un carré en trois carrés.
Soit
d—\
'i' " ) ^^(^ " *
pour un uombre quelconque n, d parcourant les diviseurs impairs
de n et -!/(o) = i; alors :
F(#i = %[^(n — i«) + ^(/l — 3»)-t-<J»(/i — 5») + ...],
LETTRE 45. 91
11 étant un nombre de la forme Sk-\-i, elF(n) la fonction de
M. Kxonecker. Si l'on considère i2F(/i) comme représentanl
le nombre des représentations de // par x2 + y2 + z- , on peul
obtenir celte expression à l'aide des considérations les plus élémen-
taires. Maintenant on a
0(/7K<V?)-0(ry)2.
Donc
6(^)6
(v^)o3(v/v) 2(-l} 2 ^
ou bien, en changeant q en — ry,
* — 1 .«5 — 1 .s'2
V(_,)~2 8~ Sql
(h(gï2= wmr* — =42'K".>'/"-
En posant donc, pour un nombre = 1 (mod8),
w gc)=4[+('^ '.y^y^y^y.]
on aura, lorsque /i n'est pas un carré,
(c) G(/i) = o
et lorsque // est un carré
k — 1 A2- 1
G(Mj = (— 1) 2 " s £.
Les formules (a) et (b) donnent maintenant
[ F(n)+~G(n) = /i\^(n-ti) (t=i,7, 9, i5, ...),
(rf) * ^
( F(»)- lG(«) = 42'î;(n-M2) (" = 3, 5, ii, i3, ...).
Ce sont ces formules (<:/) qui donnent, par une discussion facile, la
valeur de F(/«) lorsque n est un carré impair quelconque.
Soit, pour considérer seulement le cas le plus simple, n =.p-k,
p étant un nombre premier = 1 (mod8). Alors la seconde des
92 C0RRESP0NDAKC1 d'hEBMITE ET DE ST1ELTJES.
équations l d i donne, en faisant attention aux valeurs (c),
I pï*) — -jt>*=4 V^Qo2*— »2) (w = 3, 5, il, ...)■
( lonsidérons un terme quelconque
el supposons
« = p>u, o /• / .
// n'. 'tant point divisible parjo; alors
■L p2*— «')= iJ/(/>2* — p*ru'î)= ty(pir)ty(pZk-tr^ u2 ,
( )r, oA r est = i et u! esl = rh 3 i mod 8 : donc un des nombres
ph '■://' r-i 6 (mod8), el par conséquent
«!»(/»«*— a2) = o et F(/>2*)=Ip*.
En supposanl
n = ikpl^p'*.. . p'f '/'['■'/'!,'-. . . qf;
/>,./>.. ... étant des nombres premiers = i (mod {), qiyq2j ... étanl
des nombres premiers = 3 i mod j i, on trouve que le nombre des
représentations de n- par x- + )- — ;J esl égal à
</',".-' — //"'! — 2 tf'"s+1 H- q'"- — 2 ^'»s + ' -+- q™* — -i
OP\Pi...p,-X — — x — = X...X —
q i — i qt—i '/ — '
Probablement on pourra aussi arrivera ce résultat en suivant un
chemin analogue à celui (celle) qui m'a conduit plus haut au
nombre <\f^ décompositions en cinq carrés; mais le temps me
manque en ce ment pour vérifier cela. Je suis très intéressé
• i voir la démonstration de M. Hurwitz, qui certainement ne m'est
point connu) inconnu, parce que, en voulant étudier les Mémoires
de M. Gierster, j ai dû recourir à un beau Mémoire de M. Hurwitz
intitulé : Fondements d' une théorie indépendante de la théorie
des fonctions modulain s.
Lorsque j étais engagé dans ces recherches, j'ai aussi considéré
la décomposition c\i sept carrés. On a, dans ce cas encore, des
formules entièrement analogues; l'analogie est plus grande avec la
décomposition en trois carrés qu'avec la décomposition en
LETTRE V"). 93
cinq carrés. Mais je n'ai poinl mené à lin ces recherches, el aussi
je n'avais poinl encore trouvé une méthode pour déduire mes for-
mules de la théorie des fonctions elliptiques.
Peut-être vous trouverez intéressante celle remarque, que
j'ai faite à l'occasion de celle relation
F( »/>»*) = L*+^-' + ...+ ] — ( — j^H-. . .-t-i)l F(n),
qu'on a des relations analogues pour la décomposition en 2, f,
6, . . . carres. En effet, vous verrez aisément que l'on a, pour
/■=2, 4, 6, ....
A = p(7-2)A + ^(r-2J(A-l)+^(/--2H£-2;+_.+^r-2 + t)
(/• — 21 ( A—- ) lr — 2\(A—'-\ l>-2)-
la valeur du symbole de Legendre l J étant ±1 ou o
lorsque n est divisible par/? (mais non par/?2).
$r(n) est le nombre des solutions de « = x^ + .r2 + . . . -f- x2r.
De même, on a pour r = 3, 5, 7, ...
*r(*V«*) = (A- ( f~° ' n)li^r(n),
\ P / /'
A = plr-2)k -+-...-+- pr-î + r (
B = /> V V 2 + ... + /J 2 27
mais je n'ai démontré cela, dans les cas /•=,>, 5, -, que dans
quelques cas particuliers.
L'expression de &(n) fournie par les fonctions elliptiques est
m — I r m — I "1 rf — I
&(n) = &(a*m) = (- i)~*~4 Uk+i ~ (- i)~^~J 2(~ O"1" ^
c/ parcourant les diviseurs impairs de n; il est facile, d'après cela,
de vérifier la relation donnée plus haut.
Mais, dans ces derniers temps, j'ai abandonné ces recherches
parce que je veux étudier d'abord les théories de M. Smith; or, les
Mémoires que vous avez bien voulu m'indiquer manquent dans la
M'( CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJES.
bibliothèque de l'I niversité, en sorte que je dois attendre la publi-
cation de votre académie.
J'aurais encore à vous dire bien des choses concernant votre
lettre; mais le temps me manque et je dois finir cette lettre déjà
l o n gu e .
Croyez-moi toujours, avec le plus profond respect, votre très
46. - HERMITE A STIELTJES.
l'aiis, 12 mars 1884.
Monsieur,
\ un théorèmes sur la décomposition des nombres en septcarrés,
contenus (Lins les équations
¥-,(['• m i =/./. )¥1(m),
sont entièrement nouveaux el extrêmement beaux et je viens vous
demander l'autorisation de les communiquer à L'Académie en pu-
bliant votre lettre du 8 dans les Comptes rendus (M. Peut-être en
prendrai-je occasion pour \ ajouter quelques remarques concernanl
votre expression de la fonction F(/z) de M. Kronecker par la
formule
Fi // 1 -V «J,, n — 8/'*)
que \uiis tirez sans doute du développement
•> /, k i\\:r \\/q s\nx ^yq^sinSx
en supposant ./• = — . Le premier nombre devient, en effet,
4
— . . \.s et le développement de la quantité rrQ( conduit préci-
sèment à l'i \n ----- 2). Il ne nie semble pas inutile de remarquer que
votre résultai est d'une autre nature que ceux qu'on lire immédia-
te1) La lettre du 8 mars manque. Elle constitue, sans doute, la Communica-
tion insérée aux Comptes rendus : Sur quelques applications arithmétiques
de la théorie des fonctions elliptiques (Comptes rendus, t. XCVIII, p. 663;
\- mars 1884 )•
LETTRE h6.
95
1 emenl < I « -s théorèmes A, B, C de M. Kronecker el qui dépendenl
<lc la fonction plus élémentaire f(n) donnant le nombre «lis solu-
lions de l'équation x--\-y2= m.
( )n trouve aisément
1
7,20, = V/(8n 4- 4 — 2a«) 7" *" *,
1
« = o, i, 2, 3, . . . ,
o = ±i,±3, ±5, ...,
6 = 0, dbi,zh ?.,...;
puis encore
o? =2 /(« — <?«) 7",
c = o, rfci,±2, ±3, ...,
mais ces formules ne sont point les seules à s'offrir.
Désignez par g(n) la fonction ainsi définie :
g(n)=2à(-x) * ,
en désignant par d tous les diviseurs de n, moindres que \J n et
supposant n = 3 (mod4); vous aurez
3
7l3=S2ig(Sn-h3 — b*)qn+~\
b =0, ±2, ±4, ±6,
Soit ensuite gK (n) une fonction relative à un nombre pair, à savoir :
*i(») = (-0»
2(-)-^-2(-
0
où ^/ représente tous les diviseurs impairs de n, moindres que \Jn
el fi?' tous les diviseurs impairs, plus grands que Jn, on a :
6 ? = « -+- 4^ * < 4 « - «2 ) y" + 4^ ^ ( " - c2 ) (~ ? )rt
avec la condition de prendre c = W (moda).
CORRESPONDANCE D'HERMITE ET DE STIELTJES.
La difficulté est de reconnaître de quelle manière seramènenl les
unes aux autres des expressions si diverses; n'ayanl aucun espoir
de la surmonter, je me résigne, Monsieur, à interroger les formules
elliptiques de diverses catégories, en demandant à chacune son
secret arithmétique, el à recueillir les réponses utiles ou inutiles
avec patience et persévérance : plus laboris quam artis. Mai-* voici
mes leçons qui arrivent, avec les examens de la Sorbonne. et.
comme vous, il me faut faire la paît aux devoirs et aux obligations
de l'enseignement. Non mh> regret, je m'arracherai aux formules
suivantes qui m'ont coûté bien des efforts ci donl je ne désespère
point d'obtenir quelques résultats. Soit toujours a = i, 3, 5, . . .;
on a
~~ 2d (i — 7S«)« ~^~ 2d i — 7 2«
puis, en faisant c = i, •> . 3
"^fi-rf!2 '' Zd l-hqc
Permettez-moi, Monsieur, de vous demander s d vous conviendrait
d'appartenir à la Société mathématique de France : le règlemenl
de la Société, 1)11! impose aux membres étrangers la même cotisa-
tion annuelle de 'ii'1 qu aux Membres nationaux, et un droit de iofr
pour < 1 < • 1 1 x rance du diplôme, ne me permel point . sans avoir obtenu
votre consentement, de vous proposer au chois de mes confrères
qui, j'en suis assuré, vous accueilleront avec la plus grande sym-
pathie.
Recevez, Monsieur, la nouvelle assurance de ma plus haute
estime el de mes sentiments bien dévoués.
47. — STIELTJES A II EH MITE.
Leyde, i3 mars 1884.
MoNSIEt il.
Je verrai avec le plus grand plaisir que vous lassiez (ferez) im-
primer dan- les Comptes ren lus ma dernière lettre; seulement je
LETTItE kl. 97
uc sais pas si ce que je dis sur celle relation
f(»/j»*) = [/^-t-j»*-' ■+-...+ 1— (— r) (/>/i'-'+- • • />-+-«)] f(»)
sera intelligible. Aussi, j'espère avoir (que j'ai ) exprimé assez clai-
rement ma satisfaction sur la méthodede M. Ilurw itz, qui est beau-
coup préférable à celle que j'avais suivie auparavant dans le cas de
la décomposition en trois carrés.
Enfin, il faut supprimer cette relation
(qli •+- q3' -t-. . .)(i — 2 g8-1'-)-...) = q1*— q3* + g-5'(i — 2?8'1') — ...
parce que je me suis aperçu que le théorème arithmétique qu'elle
exprime a été donné par M. Smith sous une autre forme, et il
serait nécessaire d'y ajouter plusieurs remarques. Celle découverte
m'a intéressé beaucoup parce que la démonstration indiquée par
M. Smith est tout à fait différente de la mienne. Ces relations appar-
tiennent à une classe dont on a vu le premier exemple dans le pre-
mier Mémoire de Gauss sur la théorie des résidus biquadratiques :
p étant un nombre premier = i (mod 8) et
p — x- -+- $j-- = t- -H 16 «2,
alors si
x = ± 1 (mod 8), u est pair
et si
x = ± 3( mod 8), « est impair,
(Œuvres de Jacobi, nouv. édit., t. II, p. 218).
M. Smith, en parlant de ces théorèmes, remarque qu'il existe des
théorèmes analogues pour la représentation d'un nombre par deux
formes quadratiques, l'un des déterminants étant positif, l'autre
négatif. Et, comme un exemple, il donne un théorème qui ne diffère
pas essentiellement de celui donné plus haut.
Je sens bien, Monsieur, qu'il vaudrait mieux que je publie (si je
publiais) in extenso les recherches auxquelles je me suis (m'ai)
livré d'après vos indications et encouragements; mais je n'en vois
pas encore la possibilité prochaine.
La Faculté de Groningue m'avait bien présenté en première ligne
pour la place vacante, mais M. le Ministre a nommé un des autres.
Probablement la raison aura été que n'ayant point eu. l'occasion de
suivre le chemin ordinaire, je n'ai point obtenu un grade à l'Uni-
versité. Je suis très sensible à voire proposition honorable à la lin
7
g8 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIKLTJES.
,1,. votre lettre; mais dans mes circonstances un peu précaires, je
dois vous demander d'en ajourner quelque temps I exécution.
Dans le commencement de la semaine suivante je serai à Paris
pour quelques jours; peut-être aurai-je alors le bonheur de vous
voir. Je suis toujours votre serviteur bien dévoué.
48. — STIELTJES A HERMITE.
Leyde, 20 avril 1884.
MoNsn 1 r ,
Permettez-moi de vous communiquer le résultat d'une recherche
que j'avais projetée depuis longtemps, mais que je n'ai exécutée
que dans ces derniers jours. Le résultat simple auquel j'arrive,
c'est que la quadrature de Gauss
L
f(x)dx = A1/1 ./■, 1 - A2/i /-_, M .-.-+- A„/i /-,.
s'applique avec une approximation indéfinie (en augmentant n) à
toute fonction intégrable.
Supposons X\ <C &2<l • • • <C •*'// : on sait que
\, A., -...+ A„=2
el mon résultat est une conséquence immédiate de la définition
d'une intégrale définie et des inégalités suivantes dont j'ai vérifié
la justesse :
— i < -''i< — 1-+- At,
— 1 -f- A 1 ; ./ 2 < — i — A , -+- \;.
— 1 A, \ /■; — i-i- A, — Ao— \ ;.
.1 ai supposé n assez grand : alors on peut vérifier ces inégalités
pour celles (ceux) des racines ./•/, qui ne sont pas proches des
limites ± 1. à l'aide des valeurs approchées des x^, A/, qu'on ob-
tient sans difficulté. Toutefois il est un peu pénible d'obtenir les A*
avec une approximation suffisante.
Ensuite, j ai considéré les racines extrêmes qui diffèrent peu de
± 1 et j'arrive aux formules suivantes.
Soient »,.r, .r:j. . .., les racines de
'y 2 •y 3
\- .■!- 1-. >.2. )-
LETTRE 48. 99
rangées dans leur ordre naturel <!<• grandeur (on a à peu près
V/f= r, lorsque />' est grand; cela donne y\ = 1,387g...
an lieu de 1 ,44^8 —
Alors on obtient les plus grandes racines de X/i = o,
xK >» a?2 > ^s • ■ • en substituant ^j, ya, ^3, ... au lieu de jy dans
l'expression
8/ 8 a 8 1>
- -*-•
(2/! + ll! ( 2 ft •+■ l)4 ( 2 71-4- l)c
1 ^ 4 2
i3 8 „ 32 ,
Par exemple, on trouvera X\ par
1 1 , 566386 ... 26, 1 523 ! . . . 20, 453 . . .
1 1- — — ' -+- . . . .
(■271 + 1)'- (271-4-1)* (27l + l)('
Pour n = 2, l'erreur restante est 0,000046.
Pour 77 = 3, elle est o,ooooo4 ; pour de plus grandes valeurs
de n elle devient insensible sur les six premiers chiffres.
Je développe une expression analogue pour obtenir les cocfli-
cients correspondants A( A2A3 . . . dont je n'écris ici que le pre-
mier terme
8 1
y[¥\y)f (271-4- i)p + -""
La vérification des inégalités données plus haut conduit alors à
celles-ci qui ont effectivement lieu :
yï<y~xWïy^W<yi'
1 1
JVS'i[F'(ji)]2 +^IF'(^)J2 <r3:
1 1 1
Une légère indisposition m'a obligé d'abandonner l'Arithmétique
pour quelque temps ; mais maintenant j'éprouve de nouveau l'alliait
de ces études; toutefois je ne pourrai faire beaucoup faute de loisir.
En vous souhaitant un sort plus heureux, Monsieur, je (me)
signe votre très dévoué.
100 CORRESPONDANCE I) UERMITE ET DE STIELTJES.
49. - UERMITE A STIELTJES.
Paris, a mai 1884.
Mo\ si 11 l; .
Votre lettre m'a vivement intéressé pur les beaux résultats
qu'elle contienl : •■11'' ajoute encore, s'il e>t possible, à mes senti-
ments de haute estime et de sympathie pour vu lie beau talent. J'ai
m dernièrement L'occasion, que j'ai mise à profit, il exprimer ces
sentiments à votre compatriote M. Bierens de Ha. m. venu, comme
moi, à Edimbourg pour assister aux fêtes du cinquième centenaire
de II diversité, cl M. Picard qui m'accompagnait a fail de même
de -ou propre mouvement. Ce me serait une vive satisfaction si le
témoignage de mon opinion sur votre mérite scientifique pouvait
srous servir eu quelque chose et cou tri huer à vous faire obtenir une
situation digne de vous cl qui vous permît de vous livrer en entier
aux recherches que vous avez entreprises. Permettez-moi, Mon-
sieur, de m ni- prier de disposer de moi. si vous en avez l'occasion :
je ne puis douter que mon confrère et ami M. Tisserand ne s'em-
pre--e. a nia demande, de joindre son témoignage d'astronome el
de géomètre au mien. La publication, dans les Comptes rendus,
des résultats de vos travaux, pouvant ne pas être inutile pour
appeler sur vous l'attention, je viens vous demander >'il vous con-
vient (pie je présente à l'Académie votre Communication du
18 avril et. en attendanl votre décision, je me permets une
remarque au sujel de l'équation
F (y) = i — "'
1 . 2 - .1 .2.3 '-
Si vous faites y = ( — 1 vous avez la fonction de Bessel qui joue
un si grand ride dan- la théorie de la chaleur et autres applications
physiques. Or, l'équation dont nous obtenez les racines par la
formule approchée
i .; k
a été I objet des recherches d'un géomètre extrêmement distingué
LETTRE 50. 10 I
M. Boussinesq, qui obtient l'expression
C'esi dans les Comptes rendus, i. LXXIJ, p. {80, que vous
trouverez l'exposé de ses recherches sur ce sujel . <pii a longuemenl
«occupe M. de Sainl-Vcnanl ; ne jugeriez-vous |>;is à propos d'en
prendre eonnaissanec et de le citer en le rapprochant des vôtres?
La liaison que vous avez découverte, liaison cachée el <pii
m'échappe entièrement entre les racines de l'équation de Bessel
et l'équation Xw=o, me semble on ne peut plus intéressante,
ainsi que votre expression des coefficients A par la formule
Vous avez indiqué trop succinctement volve point fonda-
mental, que l'extension à une fonction intégrablc de la formule
d'approximation de Gauss est une conséquence immédiate des
inégalités
— 1 <«-!< — 1 + A,,
— 1-4- Aj< a?2< — n- Aj -+• As,
Plus de détails ne me sembleraient point superflus si vous devez
publier la lettre que vous m'avez adressée, et il vous serait facile,
dans ce cas, d'y joindre une addition qui serait mise à la place
convenable.
En remettant l'Arithmétique à une prochaine lettre et attendant
votre réponse, je vous renouvelle, Monsieur, avec tous mes vœux
pour vous, l'assurance de ma plus haute estime et de mes senti-
ments bien dévoués.
Mous
50. — STIELTJES A II ERMITE.
Leyde, 3 mai 1884.
Je viens répondre à votre lettre pleine de bonté par quelques
développements sur la cpiestion que j'avais agitée. Ces développe-
ments sont probablement trop étendus pour permettre de les
publier dans les Comptes rendus. Je composerais cependant avec
102 CORRESPONDANCE I» 111KMITE ET DE STIF.Ï.TJES.
plaisir une rédaction pour quelque Journal cl je demande voire
conseil sur un choix.
Comme vous verrez, La manière dont je traite maintenant la
question n'a rien de commun avec (-elle que j'ai décrite succincte-
menl dans ma lettre précédente. Elle est infiniment plus simple.
J'ai toujours été frappé par celle circonstance que, taudis que la
définition même d'une intégrale définie
\ / G(*)^ = lim[8,G(Ê,)-4-82G($s)-K..-4-8„G($„)]
permel toujours de calculer sa valeur avec une approximation indé-
linie. cela n'était point du tout démontré si. en appliquant une
quadrature mécanique, on calcule
B \,<: ■ ./-, i • ^G(a?,) -+-•■■-+- A.» G(a?„).
Si l'on prend, avec New ion el Cotes, les^rl5 œ2, xn en pro-
gression arithmétique, les \„ ne sonl pas toujours positifs (comme
on le voil par les valeurs calculées par Cotes et reproduites dans
le Mémoire de Gauss), et cette circonstance m'a fait croire qu'il y a
bien peu d espérance d'arriver, dans ce cas. à un résultat simple.
[Toutefois je n'ai pas cherché si, peut-être aussi dans ce cas, les Ar
ne finissenl pas par (de) devenir tous positifs, n augmentant.]
Mais, dans la quadrature de Gauss, les Ar sont tous positifs, en
sorte qu'on esl porté naturellement à chercher si l'expres-
sion (B) ne rentre pas dans celle qui figure au second
membre de i \> en prenant, comme il est permis de le faire
(en effet ^ -+- A2 + . . . + A„ = b — a) ùt = A,, 82 = A2, ...,
8/1= A„. Mais, pour que cette identification soit possible, on
devra avoir
" ' X\ < a — A i < a?2 < a -+- Aj ■+- A2 < . . .
inégalités qui exprimenl que x. oc2 vn sont compris dans les
intervalles choisis.
C'est ce qui a lieu, en effet, el ce que j'avais vérifié d'abord
d une manière forl pénible en me servant d'expressions approchées
des ./', et des \r. en supposant n très grand.
Je vais établir maintenant une proposition plus générale :
Soit/(#) une fonction qui reste constamment positive dans l'in-
tervalle a — Il
LETTRE 50. 103
On sait qu'on peut déterminer n conslanlcs x{, x->, . . ., ccn
# < xt <C x% < • • . < x„ < b
et n autres constantes At, A2, . • ., A„ de manière que l'on ail
rh
(i) / f(x)G(x)dx = A,/(a;1) + Aj/(r,)+...+ A„/(a?„)
toutes les fois que G(a?) est un polynôme en # du degré 2 /< — i
au plus.
L<?s Aa 50/1/ tous positifs : c'est ce que l'on voit en prenant
_ (x — x^-.-.ix — xtly
G(")= (*-**)' '
cela donne
i>
/ f{x)G(x)dx = A/, G(xk).
Les Ah étant positifs et
A, + A., + . . .+ A„= / f(x)dx,
*) a
on pourra déterminer n — i constantes y{, y2, ■ • -, fn-\ de ma-
nière que
« < ri < y?. < • • • < jK"-i < *
et
/ f(x)dx, A2 = / f{x)dx,
= I f(x)dx, ..., A„_!= ^ f(x)
Aa= / f(x)dx, A„_i f(x)dx.
On aura alors aussi
A«= / f{x)dx.
Je dis maintenant, et c'est ma proposition fondamentale : que
ces constantes jTi, jKa> • ..jJKn-i séparent #<, #2j ...,#«. Donc
« < a?i <ji < a?2 < JK2 < x-i < . . . < yn-\ < x» < b.
Il faut remarquer que la démonstration que les Aa sont positifs
se fonde seulement sur l'exactitude de(i), G(#) étant un polynôme
du degré in — i au plus (et non in — i). Aussi, dans la démon-
stration suivante de la proposition fondamentale nous ferons usage
de (i) seulement dans le cas que G(x) est du degré in — 2.
ro4
CORRESPONDANT!; 1) HERMITE ET DE STIELTJES.
Je détermine un polynôme du degré m — i, T(j-) par le> con-
ditions suivantes :
T r,) = i,
T(x
T /, ,)= i,
) = i,
T r, ,) = 0,
T r
, I = o,
T'(a?i) = o,
T'i ./'o ) = o,
T'i Xk-\ ) = o,
1"i ./•/ hl) = o,
T'(a7*+.j) = o,
T'(.r„) = o.
Ces conditions étanl au uombre de in — i, le polynôme T(#)
esl parfaitemenl défini par cela, et l'on aura
/
l'i ./*i d.r = A, - A ,
Les racines <le l'équation
T(x) = o
son1 i d'après le théorème de Rolle).
Nombre.
k
'< ;i. En •• , ;x-i *i<Si '■'•■ ■■ . ■:■■•< Ia-i<3?a- * — i
(C) tfjfc+li •''/, . • 'V/, " — A"
(rf) 7)A+2, 1A-+3 '<]" Xk+i<TVc+2<&/c+2<--<vin < X n n — h — \
Le uombre total de ers racines esl 2/j — 3; T' (a;) étant du degré
•m — I. l'équation ne saurait en avoir davantage, et toutes ces
racines sonl simples.
Il est facile d'après cela de se représenter la marche de la l'onc-
tion T(a?) ou de la lignejK = T(#). Dans la figure ci-dessous, c'est
'%iaÀ-ja» J-itl'tTj
la ligne en trait plein; en effet, la ligne pointillée ne saurait con-
venir parce qu'il en résulterait au moins une racine de T'(#) = o
pntre .' ■ el .//, . ,. qui n'existe pas.
LETTRE 50. I05
On voil :
i ° Que T(x) est toujours |><>siiil' dans L'intervalle a, l> ;
2° Que i estla \n\vuv minimum de T(#) dans l'intervalle a — X/,.
De l'équation
rb
At + Aa4-...+- A/,= / f(x)T(x)dx
nous pouvons donc conclure
Ai-hA«-f-... + A*> / /(a?)T(a?)fi?a?,
• ,;
et eniin
(a) A]-t- As + . ..-h A*> / /(a?)
f/.r.
On démontrera d'une manière parfaitement analogue, en consi-
dérant l'autre limite b de l'intégrale
kk+\ -+- A/,+2 -H. . • 4- A„ > / /(a?) ûfo? ;
6
donc
AiH-Aj-K..-t-AB= //(
>' a
x) dx,
(P) Ai + A2 + ...-+- AA-< / f(x)dx.
Ces deux inégalités (a) et ((3) font bien voir que la quantité y*
définie par
' f{x)dx
a
reste comprise entre Xu et #*+«• C'est la proposition qu'il fallait
démontrer.
Avant que j'eusse trouvé cette démonstration, j'avais constaté
l'exactitude dans les cas suivants :
r'_gHL<to = «y çf». (»*—>«!,
J_i ^/y — x-i nA* ' L 2re J
r+1 / — 7,»/ x , - v1 • ./ ** \ni k^ \
I v i — x- (i (a?) dx = - — > sin2 Ci cos ■ >
J_i n^i Ad \ n -+- i / d \ « -M /
«
/* . /I — 27,., , i- V^ . /i'~ ,,/ 2/iTT
/ 4 / ■ U(x) dx = > sin- ti cos
«/_ ! V i -H a? d 2n + i^ 2 n -+- 1 d \ 2/1 + 1
(/(#) du degré in — i au plus.
jo6 CORRESPONDANCE DHERMITE ET DE STIELTJES.
Quand j'étais, dernièrement, à Paris ('), j'ai été votre auditeur
à la première leçon de votre cours du second semestre, et c'est
même de ce temps que datent mes nouvelles réflexions sur la ques-
i [on que je \ îens de résoudre enfin.
Si mon séjour eûl été un | >« • n plus long, j'aurais certainement
tâché <l ":i\ oir le plaisir de \ ous parler. Mais alors, l'heure du dîner
me semblail trop proche et je suis parti I»1 lendemain matin.
\ olre 1res dévoué.
51. — HERMITE I STlf-LTJES.
Paris, 5 mai 188',.
Monsieur,
Ne soyez pas fâché si, après avoir lu, avec toute l'attention dont
je suis capable, votre dernière lettre, je viens de nouveau vous faire
part de difficultés qui n'en sonl certainement pas. dans le fond,
et que quelques développements feront évanouir. On sait, dites-
vous, qu'en désignant par G (#) un polynôme en x du degré in — i
.m plus, on peul poser :
S.
I,
f(x) G(x) dx = A./C.r, ) - \2/-(.r2 ,-.... A„/(.r„),
les quantités xi: x$ r„ riant comprises entre a et b. Je dois
vous avouer que celle propriété m'esl complètement inconnue, si
inconnue que je ne \ois aucun moyen d'y parvenir et de l'établir.
Je ne vois pas non plus pourquoi ayant trouvé, en supposant
_ {x — Xt <-. . .(./■ — .r„ |S
G(#) = ; >
(X — Xf,)*
une valeur positive pour A/,, vous concluez immédiatement que
pour tout autre polynôme celte constante sera la même, et, par cela
seul, sûrement positive. En attendant que, par quelques mots
il explications, vous dissipiez les ténèbres de mon esprit, permettez-
moi de vous demander s'il vous conviendrait de donner aux A finales
(') Pendant le voyage annoncé à la fin de la Lettre 47.
LETTRE 52. 107
de l'École normale supérieure, dont M. Tisserand esi le rédac-
leur en chef, un Mémoire étendu cl bien complet, sur celte ques-
tion des quadratures qui a clé le sujet de vos dernières lettres (').
Aussitôt que je connaîtrai vos intentions, j'en ferai part à M. Tis-
serand qui sera, j'en suis certain d'avance, extrêmement satisfait
d'offrir un Mémoire de vous à ses lecteurs. Mais, pour nombre
d'entre eux, il est d'une absolue nécessité de ne supprimer, dans
les développements, aucun intermédiaire; je me range, tout le pre-
mier, dans cette catégorie ; la peine à prendre et l'effort à faire pour
combler les solutions de continuité que je trouve dans un travail,
sont un motif suffisant pour me détourner d'en faire l'étude. La
question de l'intégration par approximation est de la plus liante
importance, et le point de vue auquel vous vous êtes placé en envi-
sageant les fonctions intégrables d'après lliemann est entièrement
neuf et intéressera vivement les géomètres. C'est donc une occasion,
Monsieur, d'attacher votre nom à un sujet élémentaire et fondamen-
tal en Analyse; je n'ai pas besoin de vous dire combien je serais
heureux de le faire connaître en exposant vos recherches à mes
élèves de la Sorbonne.
En vous renouvelant, Monsieur, l'expression de ma plus haute
estime et de mes sentiments bien dévoués.
52. — STIELTJES A HERMITE.
Leydc, 7 mai 1884.
Monsieur,
Je suis bien fâché que mon travail vous ait causé tant d'ennui et
je me hâte de vous donner les développements demandés.
Soit/^) une fonction donnée, qui ne devienne pas négative
entre a et b. Il n'est pas exclus qu'elle devienne infinie ; seulement
J' f(x) dx doit avoir un sens.
( ' ) Ce travail a effectivement paru dans les Annales de l'École Normale supé-
rieure : « Quelques recherches sur les quadralures dites mécaniques », 3e série,
t. I, p. 409-426; 1884.
(2)
I08 CORRESPONDANCE d'HERMITE ET DE STIELTJES.
Problème. — Déterminer un polynôme
\(.r) = x'1 -4- aix"-1-^ a2x"-2^-. . .-- an
d'un degré donné />. tel que
rb
f f(x)'S(x)xAdx = o
• ti
pOUr /, : O, I, 2 // — I •
Ces conditions donDent, pour déterminer les inconnues al;
,/. art) les équations linéaires suivantes :
j x" f( >■ l dx a, I x"~i f\ ./■ i dx
• ,/ • «
-+- a, I xn~i f(x)dx-+-. . .-+- an f /(x) dx — o,
■ a •- a
f xn+i /(x) dx -4- at / xn f(x)dx
-4- «2 / xn~l f(x) dx -4-. . . — r/„ / ■rf(x) dx — o,
/ r;i+2 f(x)dx-±- ai f xn+lf(x)dx
1 a • u
I x" /(#) dx -+-...+ an f x-f(x)dx = o,
*s a '- a
j x-n-lf{x) dx -4- <7, / .r2"--/i ./■ ) <■/./•
x-"--3/(x) dx -+- . . . -4- an f xn-l/(x) dx = o.
il J a
Le problème est donc déterminé en général et at, «2 #«
deviennenl il<js fonctions rationnelles dos in constantes
Jl ./■ f\ ./■ 1 dx 1 A = o. 1, 1, . . . , 1 n — 1).
a
Mais, si, comme uous le supposons, la fonction f(x) ne change
poinl de signe, on peul démontrer qu'aucune contradiction ou in-
détermination ne peut se présenter dans la solution du système (2),
LETTRE 52.
IO9
le délerminanl A étant, alors, certainement différent <le zéro.
Iji effet, écrivons, dans les intégrales de la première Ligne, X\ an
lien de x, dans celles de la seconde ligne, #2, etc., enfin (Lus celles
de la dernière ligne, x„ an lieu de x ; le déterminant A peut alors
se mettre sons la forme d'une intégrale n-uplc, ainsi :
on bien
t x\ x{
-v» /y* 2 -v» 3
xA x3 x3
dx\ dx2 . . . dxn
pb ~b „b
3) A= / / ... / f(xi)f(x2). . •f(Xii)x'%x\x\.. .x'/T1 n dxi dxt. . .dxn,
1 11 '-a J a
I Xi
x\ .
. . x'l~l
I Xi
x\ .
. . x'*-*-
I xn
Xjt
La notation des variables étant indifférente, on peut, dans l'ex-
pression (3), permuter de toutes les manières (en nombre i.2.3.../i)
les indices 1,2,..., n. Par ces permutations, II ne change point,
ou change seulement de signe et, faisant la somme de toutes les
équations que l'on obtient par ces permutations, on aura
„b „b „b
4) 1.2. 3. ..!»&=/ I ... f f(xl)f(x2)...f(x,l)(Uy-dxidx2...dxn.
ce qui fait bien voir que, dans notre supposition concernant la
fonction f(x), A est positif et différent de zéro.
Conclusion. — Le problème posé conduit à un polynôme N(#)
parfaitement déterminé pour toute valeur de-n. Désignons ces
polynômes pour n= 1, 2, 3, ... par N, (x), N2(#), N3(#), . . . .
Les conditions (1) qui ont servi à déterminer N(#) font voir que
(5) f /(a?)N(a?)T„_1(a7)<fo = o,
T„_,(x) étant un polynôme de degré n — 1 au plus, d'ailleurs
HO CORRESPONIUNCE I) IIEHMITE ET DE STIELTJES.
tout à fait arbitraire. On a donc aussi
r1,
(6) I f(x)Nk(x)Nt(x)dx = o
• ,i
lorsque les indices /.' et / sont inégaux.
Proposition. — Les racines de l'équation
\ r) = o
sonl réelles, inégales, comprises entre a et b.
En effet, désignons par x,, x2 r* toutes les racines réelles
de cette équation qui sont comprises entre a et b. Nécessaire-
iik'mi /, esl au moins égal à i, parce que N(#) doit changer de
signe entre a el h à cause de
f f(x)N(x)dx = o \
Posons
\ i ./ • i — ./■ — a?, )(x — x%). . .{x — x/c) P(x) ;
P(x) ne change point de signe entre a et b. Or, si P(#) n'était
pas simplement égal à l'unité, (x — xt)(x — x-2) . . .(.r — Xk) serait
au |)lus du degré n — 1 et, d'après (5), on aurait
l
b
f\ x i N(x)(x — a?i)( ./• — a?2). . .(x — ./■;, i dx = o,
ce qui est impossible, parce que la fonction sous le signe / ne
change point de signe.
Toutes les racines sont donc comprises entre a elb. Mais aussi,
il ne saurait y en avoir d!égales. En effet, supposons
N(a?) = (x— XiY Pur),
P(#) sera du degré n — 2; par conséquent
X
b
f(x) N(.r 1 l'i ./■ \dx = 0,
ce qui est aussi impossible (de nouveau).
[pplication des résultats précédents à la quadrature méca-
nique. — Désignons par xt, x2, .... xn les racines de ]N(#) = o.
LETTRE 52. Ili
Soit 0(x) un polynôme de degré 2/1 — 1 au plus, d'ailleurs
parfaitement arbitraire. En divisant G(x) par N(a;) on aura
(7) G(a7) = Q(*)N(#)-Ml(a7),
le quotient Q(~p) et le reste R(#) étant tous les deux de
degré n — 1 au plus.
Nous aurons donc, d'après (5),
(8)
! J\x)G(x)dx = / f(x)R(x)dx.
J a va
Maintenant, R(a?) étant du degré n — 1 , on a identiquement,
d'après la formule d'interpolation
»<■>- (,-„)N-(„)R^)
(x — Xi ,1 N'(a?j) (x — xn) N\xn)
En posant donc
Aa ne dépendant donc en aucune façon du polynôme G(#),
l'équation (8) devient
/
né
/(a?) G(a?) dx = AiR(>i) 4- A2R(a?2) -+-...-+- A„R(>ra),
mais, d'après (7),
R(x1) = G(xi), ...;
donc
0°) / /(^)G(/)(/.r = A,G(^1) + A2G(3-2)+... + A,1G(^).
Je crois qu'après ces développements tirés du Traité des fonc-
tions sphériques de M. Heine, ma lettre précédente ne présentera
plus d'obscurité. M. Heine ne nomme pas l'auteur de cette démons-
tration que N(x') = o a toutes ses racines réelles, inégales, comprises
entre a et b. Je crois me rappeler (un peu confusément) que
Legendre est l'auteur de cette démonstration extrêmement ingé-
nieuse dans le cas f(x) = i, N(ar) = Xw. Mais j'aurai soin de
m'en assurer (de m'assurer de cela).
J'ajoute encore la remarque suivante qui, certainement, n'est
112 CORRESPONDANCE D HERM1TB ET DE STIELTJES.
pas nouvelle pour vous, seulemenl pour indiquer la liaison de ces
recherches avec la Note que vous avez bien voulu présenter
à l'Académie en octobre i883.
( Homme on a
. ,, -a
i rb i cb
H / xf(x)dx / x-f(x)dx
-t-
les équations (2) expriment aussi que, dans le développement de
\ - / ± dx
! Z — X
suivanl les puissances descendantes de z, les termes en -3
— , •••, — manquent ('). N(s) esl donc le dénominateur de la
réduite d'ordre n de la fraction continue
f" ! '■■-,,, = -
.1 z — X
y-j
X,
et 1 on a
N =1,
N t = z — a .
N2=(s — a, 1N1 — XiN0>
N,= (* — a,)Nj— X,N,
L'équation
(a) Nk+X={z — xk) N*— XANA_,
donne, en multiplianl par Nk(z)f(z)dz et intégrant de a à b,
à cause de 1 6
^* *N*(*)N*(*)/(*)<k
11 *k =
f N*(*)Nj,
«Ai
{z)f{z)dz
(') 7Vo<e rfe l'auteur. — C'est ainsi que M. Heine a posé le problème, Tome I,
page 286, et qu'il arriva à ces équations (2).
LETTRE 52. I I 3
d'où l'on voit immédiatement <|iic a/,- e^i compris entre a el l>.
De même, en multipliant (a) pur Na-_( (z)f(z) dz el intégrant
de ak b, on trouvera, à cause de (6) cl de
sN&-i(.z) = N>fc(.z) -+- polynôme du degré k — i,
f Nk(z)Nk(z)f(z)dz
(») ^=^f
N/,_1(^)N/,_1r^)yU)^
Donc X* est positif. J'avais démontré ces résultats d'une autre
manière dans ma Note d'octobre 1 883 . Du reste, la fonction /'(-)
étant donnée, ces équations (i i) et (12) donnent un moyen régu-
lier pour déterminer de proche en proche toutes les constantes a, \
de la fraction continue
Xo
x — at —
on a d'abord
*«= f /(*)<**, «0= f sf(x)ds= f f{z)dz.
Ayant trouvé a0, N{ (z) est connu, et les équations (11), (12
donnent a,, )H qui font connaître N2(-z), ....
La théorie de M. Heine n'étant peut-être pas connue générale-
ment en France, il sera bon probablement d'en donner un aperçu
comme celui plus haut, dans mon Travail, quoique ce qui me reste
propre devienne (devient) de cette manière peu signifiant, en
regard de ce que j'emprunte à M. Heine.
J'avais démontré, dans ma Note d'octobre 1 883, que la quadra-
ture mécanique
AtGiO,) -+- A2 G,(a?, )+...+ A„G„(>„)
donne avec une approximation indéfinie
.b
f(x)G(x) dx,
l
G(#) étant continue et présentant un nombre fini de maxima et
de minima. Et il est même facile de voir que cette dernière res-
triction est superflue et qu'il est suffisant que G(x) soit continue.
I 1 4 CORRESPONDANCE D'hERMITE ET DE STIELTJES.
Pour cela, il suffit de remarquer que G(x) étant continue, et s
une quantité donnée aussi petite que l'on veut, il existe toujours
une fonction continue F(#) qui ae présente qu'un nombre fini
de maxima et minima, el tel que G(x) — F(.r) reste inférieure à e.
| ( !e nombre fini de maxima ou minima de F(#) croît au delà de
toute limite avec - lorsque G(x) présente une infinité de maxima
ou minima. mai> cela est indifférent pour la question.]
Ce résultai d'octobre [883, que la quadrature est applicable à
toute fonction continue, a été pour moi la raison principale qui m'a
fait croire [avant que j'eusse (j'avais) trouvé une démonstration]
à la vérité de la proposition fondamentale de ma lettre précédente,
el qui m'a fait chercher avec un peu d'obstination à (d'en) en
obtenir une démonstration.
Cette lettre, Monsieur, est devenue trop longue pour parler
encore de mon premier Travail el des (sur les) racines de l'équa-
tion I y ;o et des transcendantes de Bessel....
Croyez-moi, avec les sentiments de profonde reconnaissance,
votre très dévoué.
53. - HERMITE A STIELTJES.
Paris, i5 mai 1884.
Monsieur,
\ otre lettre est parfaitement claire et explicite; elle m'a rappelé
bien des choses dont le souvenir, s'il n'avait pas été en grande par-
tic effacé, aurait arrêté les demandes d'explications que je vous ai
faites. \ olis trouverez, dans les Exercices de Calcul intégral de
Legendre et j'ai, moi-même, donné autrefois, dans le cours de
sec le année de l'École Polytechnique, la méthode si élégante et
ingénieuse par laquelle \otis démontrez que l'équation N(#) = o
a ses racines toutes réelles et inégales. J'ai aussi donné dans mes
leçons la théorie de Heine et de M. Tchevicheff du développement
rb fi x)
en fraction continue de l'intégrale / dx et, si je ne me
^ a
trompe ces choses sont assez généralement connues pour que vous
puissiez nous bornera rappeler les résultats en renvoyant le lecteur
LETTRE 53. I 10
au Handbuchde M. Heine. Je vous renouvelle L'expression de mon
vif intérêt pour la question que \nu.sa\ez heureusement el habile-
ment traitée de la quadrature mécanique, avec une approximation
indéfinie de l'intégrale / f(x)G(x)da;i lorsque G(.z) est con-
J a
t i n tic, même en admettant un nombre infini de maxiina et de
minima. Mais permettez-moi de vous demander de ne point laisser
de côté les résultats si intéressants que vous avez découverts sur la
valeur approchée des racines et des multiplicateurs dans la formule
de Gauss. Je ne vois absolument pas par quelle voie vous êtes
parvenu à établir une dépendance entre les racines de l'équa-
tion Xw = o et celles de la transcendante de Bessel, ni surtout
comment vous obtenez la valeur approchée des racines de celle
transcendante qui ont été l'objet des recherches de M. Boussinesq.
Toutes ces découvertes portent lémoignagede la rare pénétration
et de l'activité de votre esprit, et ce que vous voudrez bien en
donner pour être publié dans les Annales de V Ecole Normale
sera accueilli avec empressement. En attendant que vous reveniez
à l'Arithmétique à laquelle, moi aussi, je ne puis consacrer le temps
que je voudrais, à cause de mes devoirs, je prends la liberté de
vous énoncer un petit résultat recueilli comme d'aventure. 11 con-
cerne le nombre m des points dont les coordonnées sont des entiers
et qui sont contenus à l'intérieur ou sur la circonférence de l'el-
lipse Ax'2 -h By2 = M. En posant
p = E
j'obtiens la formule
et l'on a
puis
4pq -+-4S + 4S1,
S
■m
M — A x-
B
a?=/> + i,/>-i-2, . . . , P.
M\
M — B k2
s.= .
y= q + 1,?-+- 2, ..., Q.
Il6 CORRESPONDANCE D'HERMITE ET DE STIELTJES.
On est ramené, dans le cas de A = B, à un théorème de Gauss
donl j'ai trouvé l'énoncé dans le Tome II de ses œuvres complètes.
\\,.c la plus haute assurance de ma |>lu> liante estime el de mes
sentiments bien dévoués.
54. — STIELTJES A 11 E R Ml TE.
Leyde, 16 mai iS84-
MoNSlEl R,
Je suis complètement enfoncé, en ce moment, dans <lfs calculs
Dumériques : déterminations du temps, azimuts du soleil, réduc-
tions d'observations pour déterminer la déclinaison magnétique...
et, pour quelques mois, il m'est défendu de m'arracher à (de) ces
calculs, el je vais répondre seulemenl à un point nommé dans
votre lettre. J'ai <léjà envoyé à M. Tisserand tm Mémoire sur les
quadratures mécaniques; mais il m'aurail élé bien difficile de
donner là mes premières recherches sur les valeurs approchées
des \/, fie. dans la quadrature de Gauss.
\ oici le chemin bien simple que j avais suivi pour obtenir les
racines des transcendantes de Bessel,
1 -
1 =r-
■>.-. ,-.(>-
>/.!„ z
i ''--j '-.'|-.G ■>- . j- .<>-. 8 c/:
Hansen a donné les séries semi-convereentes
i -
I -
,32
S
-2-
I 2
.3*
• 7" _
8.
[6
8.
iG.
2 i ■
32 "
i
i
2
3V
. )
-3 i
I
2.32.
V'
IL
8. 16.24 ~ 8. 16.24. 3» . fo
3. 5. 7. q.i. 3. 5
— : 3 * ■ -
.s. 16.24 • '"-
V^sin(*-I)(s
t / 2t / -\/3 _ 3 r> . - . i . 3 _3 3. '> .;■(>. 1 1 . 1 .i.').;
+ V w V 4/\8'S ' 8.16.24"' 8.16.24.32.40 z
Soit t = (k — - j 7î une valeur approchée d'une racine de
LETTRE 54. 117
J0(^) = o; alors j'ai supposé celle racine développée ;iinsi :
X, X, X,
1 • - , , 1 ..-
L /' /'
La substitution de celle expression dans celle de Jo(-z) écrite plu-
haut donnera, en développant suivant les puissances de t.~', le
moven de déterminer )M, X;î, . . .; je trouve
1 _ T •> 3i ^ _ 152917
Ai — 5' a3- — — :
S * 3Sj • 3.5.217
donc
L'expression de M. Boussinesq
8** = (4/1 — i) 1C H- /(4* — l)27T2+8
devient, par l'introduction de
v4
ou bien
/ _j_ _ / — l /— 3
'+8* 64 '
elle donne donc des valeurs trop fortes, comme l'a remarqué aussi
M. Boussinesq.
On peut suivre la même méthode pour les racines de J< (z) = o
(calculées par M. de Saint-Venant) en posant t = ( k -+- - ) t.;
je trouve
je n'ai pas calculé le terme en (avec) t~5.
L'expression de M. Boussinesq
8zk= (4/1 -hi)Tc-f- \/(Jk -i-i)2tï2— 24
devient, par l'introduction de l,
1 . A „ 3
I[8 CORRESPONDANCE DHERMITE ET DE STIELTJES.
ou bien
8 64
elle donne donc des valeurs trop faibles.
Mais voici qu'un ami, qui s'intéresse beaucoup (de) à la Pb/y-
-i me mathématique 5 vientdem informer, un de ces derniers jours,
que ma méthode n'est pas aouvelle.
lu. en eflfet, dans les Comptes rendus de l'Académie de Berlin
>lii 26 avril j883 (p. 322), M. Kirchhoflf fait usage de l'expression
suivante ( dans ma notation) :
1 o,i5iq82 o,oi53ç>9 o,a45835
( 1 ) z-i : - — k -+- -—. — ■ —. —. : -f- . . . ,
i ,'/. 1 ,/. — 1 i( rx4Ar + i)«
ce qui n'est autre chose que la formule (2) mise en nombres et
complétée par le terme en /-;. M. Kirchhoflf dit que c'est une for-
mule due a M. Stokes, qu'il a empruntée au Theory of sound de
M. Rayleigh, vol. I. p. 273. Peut-être M. Stokes ne l'a pas publiée
ailleurs...: je n'ai point vu le livre de M. Rayleigh.
Je vous remercie beaucoup. Monsieur, pour votre jolie formule
arithmétique; mais, pour le moment, il m'est interdit de faire de
I' arithmétique.
C'est avec une profonde reconnaissance que je suis toujours
votre bien dévoué.
P. S. — Dans le Tome L\ I du Journal de Borchardl, M. Lip-
schitz a donné une démonstration rigoureuse des développements
semi-convergents de Hansen.
55. — II ERMITE A STIELTJES.
Paris, 9 juin 1884.
Monsieur,
Je viens d'apprendre que vous avez été honoré, par le Sénat
académique, du titre de Docteur en Mathématiques et en Astrono-
mie J'espère que cette distinction est d'un bon augure et présage
que, bientôt, vous obtiendrez une situation digne de votre beau
talent et de vos travaux. A mes félicitations je joins des excuses
LETTRE 50. i I<)
de vous avoir fait attendre ma réponse à votre dernière lettre, et je
vous les dois d'autant plus que vos renseignements au sujet de la
fonction ${x) de Bessel m'ont rendu un grand service. Le Mémoire
de M. Lipschitz, que vous avez eu la bonté de m'indiquer dans
le Tome 50 au Journal de Crelle, est très important et très beau
Il ressemble à ce que Gauchj a fait, avec tant de succès, pour le
développement de logT(^) en série semi-convergente, et, ayant eu
l'occasion d'écrire, à propos d'Arithmétique, à l'auteur, je me suis
donné le plaisir de lui en faire mes compliments. Laissant L'Arithmé-
tique, à laquelle une autre fois je reviendrai, quand je serai dé-
livré de leçons et d'examens à la Sorbonne, je viens vous demander
si votre méthode, qui m'a extrêmement plu, pour développer en
série les racines de J(.r) = o, s'appliquerait encore à l'équa
tion Xw = o en partant de l'expression de Laplace
x« = l/ V-7 cosfnO H ))
y niz suit) \ 9. 4/
où x — cosO. Je suppose que non, mais avec doute; en tout cas,
je prends la liberté de vous conseiller de faire un article où vous
développeriez ce que vous m'avez écrit sur la détermination appro-
chée des racines de cette équation.
Avec mes félicitations pour votre nouveau titre, je vous renou-
velle, Monsieur, l'expression de ma plus haute estime et celle de
mes sentiments bien dévoués.
56. — STIELTJES A HERMITE.
Leyde, 27 juin 1884.
Monsieur,
Veuillez bien me pardonner d'avoir ajourné trop longtemps de
vous remercier pour votre dernière lettre, ce que j'aurais du faire
d'autant plus que je ne doute point que c'est surtout à l'intérêt que
vous avez bien voulu montrer pour moi que je dois la distinction
que le Sénat académique m'a accordée.
Je ne suis point en état de vous donner une réponse satisfaisante,
120 CORRESPONDANCE I) IIERM1TE ET DE STIELTJES.
concernant les racines deX«= o en parlant de
x«-i/„Tko™5[(»*Orj-i]-
J'avais seulement remarqué que, dans la valeur approchée de la
racine qu'elle donne
( 4 k — i ) iï
Xfc = COS ■ — +- Z (/. = !.) // i.
I " '
î est de I <»nlre (de) — En tenant compte des termes en — -> on
obtient la valeur |>]us approchée
Xk= I ; ; COS— -I- e\
I );nis celte expression, on a n- 1' = o pour /* =oo, e/? supposant
toutefois que le rapport —reste fini et différent de zéro ou de
l'unité. Mais je n'ai pas poussé plus loin les approximations;
il semble que les termes suivants deviennent assez compliqués ; ils
. . . . ( i / ■ — n - ;/_,,-
doivent contenir sm —; , cos — Je crois entrevoir que
i n -+- 2 4 // -i- 2 '
tous ces termes deA iennent de l'ordre (de) — ; en posant k = i . 2
en sorte que la formule générale serait
F . i 2 ;; — i )A sin — j
L 4 « + 2 |
F/» • • , i -, s i n ( 4 k — i ) t.
étant une lonction rationnelle et entière en —
cos 4^—2
Peut-être je reviendrai encore sur ce sujet et, s'il m' arrive (à)
d'obtenir quelque résultat net, j'en ferai un petit article.
En étudiant, autrefois, le Mémoire de Lagrange : Sur V usage
des fractions continues dans le Calcul intégral {Œuvres,
i. I\ . p. 3oi), j'avais remarqué qu'en appliquant la méthode de
Lagrange à l'équation non linéaire
/ dy /o x PC* — Y)
^~x^dx ■+"Y^ + (P — °-^xy + ., xy-— y = °»
c est-à-dire en développant une solution particulière en fraction
LETTRE 56. 12 1
continue, on esl amène' à La fraction continue que Gauss a donnée
pour
jf(g, p -+- 1, y -f- f , y)
^(«, P, Y,*)
lin posant jk = - >
_ _ J"(a, p, y, x)
£(a, p + i, y + i, x)
est donc une solution particulière de
dz S ( a — y )
(.) {P(i_a;)__Y«(i_(,) + (a--P)a?*- C — —1^ = 0,
el l'on trouve encore facilement cette autre solution
z,= P^a~ï)a?^(l~3t> »— P» a — y, a?).
Y(i — Y) £(i — a, — P, i — Y» *)
En me rappelant celte remarque, j'ai obtenu maintenant l'intégrale
générale.
Guidé par les résultats obtenus par Lagrange, j'ai supposé que
l'intégrale générale serait
k§ (a, p, y, g) + Bp(a-y)y«i(i-a, i — P, i — Y' x)
A#(a, p-M, y-M, ^)-(-By(i— Y)"cf(i— a, — p, \ — -[,x)
avec la constante arbitraire A;B, en sorte qu'on obtient zt et Sa
en posant B = o ou A = o, u étant une fonction de x qu'il faut
encore déterminer.
Or, en posant
yt> = A^(a, P, y, a?) + Bp(a — ^)xu§(i — a, i — p, 2 — y, x),
g = A,7(a, p + i, y + i, x) ■+- By(i — y) » ^(l — a> — P. ' — Y> x)>
j'ai trouvé (') qu'en déterminant u par
/ . i du ON
c'est-à-dire en prenant
M = ar-Y(i — a?)Y-«-P,
(*) A l'aide des relations entre les formules contiguës de Gauss. (Arote de l'au-
teur.)
122 CORRESPONDANCE I) IIERMITE ET DE STIELTJES.
oll ,|
dp ', „ 3(T
"/'
<l './• i — ./■ y 1 — x
dq _ T _ Y — «-g ,
</.r a-(i — a?) a?(i — a?)
il ou I on lire
qi\J dx J dxj x{l — ■x)li'/\ q) 9 T J
en sorte qu'on trouve, pour — = z} l'équation (i) dont l'intégrale
générale est par conséquent
A .i(a, 3, y. -r) -4- B 3 1 x — -; ) .g'-Y(i — a?)Y~*-p J i i — a, i — 3, 2 — 7, a»)
\ ' v. p i . y ■+• i , •'' ) -+■ B •; - i — y ) -r_r ' ' — * )Y-:<~? <? ( [ — a, — (3, i — y, ;
En remplaçant .r par- et prenant a = oo, on trouve
(2) •'',-—" sl ' — s) + ^^ — - X = O
dx ' y
avec
A'( y.. P,Y,-) +B^i-Te^fi-a, 1 - 3, 2 - y, -)
12) 3 = —
I 3' 1 s =
A-T ( a. 3-1,74-1.- +Br(i — Y)3r-Ye*^ ( 1 — a, — 6, i-
\ a/a-» \ ' a/a = .
En remplaçant j; par — - » en prenant a = x. (3 = oo, on trouvé
encore
'/- '
(3) a? -, y-11 — -) x = o,
dx ' y
.i\ ec l'intégrale
A.^alpH-i,Y + i,4)+BY(i-Y)ar-T^(i-a, -3, 1 — Y»5)
Enfin, remplaçons .z par-^ et prenons (3 = 00,
<r/a? Y
( a = a
(8=«
(2a) ar-£ — y-(i — s) — a--
x ~ ( *, 3> Y. ? ) +B(a — y ) .r>-Tt" J (1 — x, . - 3, 2 — Y, % )
(^*= -7- ^\ 7
\ ■ I a, 3 + 1, Y-i-i, 0 ) -r By(i — y)ar-Ye*#(i — a, — p, 1 — y,
LETTRE 57. 123
Mais ces équations ne diffèrenl pas réellement de (2) ci de (2')
comme on le voit en changeant x en — x cl remarquant que
#(a, p, y, a?) = (i — a?)Y-«-P#("r — «, y — p, 7, x)
donne
*(-,ftT.|)-W(— ,T-P,Ï,£)
pour TH = 00.
Veuillez bien agréer de nouveau, Monsieur, l'assurance de ma
reconnaissance cl de nus sentiments bien dévoués.
57. — ST1ELTJES A HERMITE.
Leyde, 28 juin 1884.
Moi
Permettez-moi de compléter encore l'étude de l'équation diffé-
rentielle de ma lettre d'hier.
En posant
<$ = §(a, p. y, x),
s^= P(« _Y)a;i-Y(i — a?)T-«-Pâf(i — a, 1— p, 2 — 7, #);
$1 = #(a, p -+- r , y H- 1 , a?),
^i = ï(i — Y)^-Y(i — a?)Y-«-PJ(i — a, — p, 1 — Y» »)» •
l'équation différentielle
(1) x(i — x)-£- — Y-s(i — *) + («— P)a--g— P(g~Y^ = o
admet l'intégrale générale
(0 3" Aff. + B^,'
CP et ^ sont deux intégrales particulières de
(a? _ Xi) S + [Y ~"(a "H P + ° X] dx ~ ^r = °'
tandis que <3?( et ^( satisfont à
(a? — x*)-^ 4- [y + 1 — (a + p + 2) x]-J^ — «(P + i)j =0.
I < ', CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJES.
Les valeurs de ^ el ^ peuvenl se mettre sous la forme
^ = p(a — Y)*Mr£(a — Y-+-I, 3-V-i- 2 — Y, *),
^i V" V ■' ■■-V-T<a — y, p — Y-hi, i — y, a:).
Posons maintenanl
/ i — x i dw I -i- ■
— — ou (^ = eJ *U— ■»■!•
L'équation (i) se change dans l'équation linéaire
' --r)'27777 -Mi-a-)[i— Y + (a-?-2).r]^ - 13(a-T)^ = o
el qous arrn ons à cel te c< inclusion :
L'intégrale générale de l'équation linéaire (2) esl :
el cette intégrale peul se mettre toujours sous la forme
'■ I: >
/' ydx AU -f-li-^
i ; w = or
Supposons la forme (3), c'est-à-dire Z el 0 connus et tâchons
d en déduire le rapporl ■= •
Soil
r Tg to /■ ^ ,/t.
En égalant le second membre de 1 ■ '>' l à // + p, différent ianl et com-
binanl avec (3 . on trouve suis peine
, ; , A - — • — .
La fonction (qui figure) dans le second membre doit donc être
une constante, ce qui exprime une propriété des deux solutions
particulières u <ï v facile à vérifier.
La différentielle logarithmique de (4) donne, en effet,
9 3 \ _ 9\ &
(i-^)V^ ^,/ y?, ^1
x : -a:)
LETTRE 57. 120
4\ et ^ étant des solutions particulières d'une même équation
linéaire du second ordre, on trouve
tf; s>,_ $, ^; = Y J7-i-y(i _ <p)Y-*-p-t Y(i — y)
[6Ê'«f/'<?5 rfe Gauss, t. III, p. 222, formule (o,4)]-
On devra donc avoir (avoir donc) :
$ £, — tf, £ = y ( i — Y) tf-Y ( ' — ^ )ï-«-P,
ce qui revient à
(5) ef(a, p, Y, .r)i(i-a, - p, i - T, *)
— ^°~V^(a, Bh-i, y -4-t, a?)#(i — a i,— 3, 2 — y, a?) = i.
Y(i — y)
C'est une relation qu'on ne trouve point explicitement dans le
Mémoire de Gauss; mais la formule (99) (p. 223)
(1 — x) 3(a, B, y. #)«*(' — a, 1— S, 1 — y> x)
donne, en transformant les quatre fonctions ^ à l'aide de
#(a, p, y, *) = (i — *)-«£(<*, Y~P, Y, 7), 7 = —7^»
1 = £(«, Y — P, Y, 7) £(1 — «, p — y, 1 — Y> 7)
■+■ (Y--g)(Y—p)7^(tt] y + , _ p? Y + , j r) 3? (l _ a t + g _ ./} 2 _ Yj yy
lin changeant [3 en y — [3, 7 en #, on trouve la relation (5).
Nous avons vérifié ainsi l'équivalence de ces deux formes (3) et
(3') de l'intégrale générale. Cette réduction dépend de la pro-
priété (4) [équivalente à (5)] des deux solutions particulières u et
v. Je ne sais point si cette intégration de l'équation ( 2 ) est connue ;
j'ai vu seulement, dans le livre de M. Cayley sur les fonctions ellip-
tiques (édition italienne de Brioschi, p. 228) que cet auteur a con-
sidéré les équations
3+^+0Q_Q2+3(i-**)^ = o,
Q=_3(i-*«)*~,
j^&z 1 — 5 /. ■"- clz 1
3(I~ *-> d*» + — - dk ~ 7=BZ = °-
126 CORRESPONDANCE u'iIERMITE ET DE STIELTJES.
Mais, autant que je puis le voir, il ne semble pas avoir rencontré
l,i forme analytique que je viens de trouver pour l'intégrale géné-
rale. Je dois ajouter que le Messenger of Mathematics n'est pas
;i m, i disposition.
\ euillez bien accepter de nouveau l'assurance de mes sentiments
dévoués.
58. — STIELTJES A IIERMITE.
Leyile, 3o juin 1884.
Monsieur,
Permettez-moi «le revenir encore, pour une dernière fois, sur
le sujel de ma dernière lettre, parce que je viens de faire une
remarque qui éclaircit une circonstance qui semble singulière.
En effet, j'avais trouvé que l'équation
<7- w r ont dw 3< y. — y )
1 .'■ 1 1 — x ) -=-— -4- [1 — V -+- (a — 3 — 2 ) x ] -= *— w = o
il 1 - ax 1 — x
admet deux intégrales particulières // et v telles que le rap-
porl : — est constant, 'X\ et ^ étant deux intégrales particu-
lière- de
1 1 - 1 - (I j -
1 2 I ■" 1 — •'• -p-, -r- [Y H- l — (a+ p -H 2 1 :r] -^ a(P -j- 1)^ = o.
La raison bien simple de cette circonstance est qu'on passe de (1)
à (2) par
(r = .rît 1 - :r *'x-~iy ;
on en conclut à cause de
y = -A ~< x. p — 1. y — 1. •'■ 1 — HÏ; r-".'-~i 2 — 7, P + i — •■;, i — '{. x),
w = Ao(i — x) ^-Y^(a — y, p h- 1 — y, 1 — Y, #)
— UÎ>a?Y(i — a:)a-ï#(a, p -+- 1 , -; — r . x)
mi bien
it> = ,l,(i — a?)~P^(i — a, — 3, 1 — y, ar)
— Hb^T(i — x)*-l$(%, p + i, Y-M, a?).
LETTRE 58. 127
La comparaison avec l'autre forme de l'intégrale <>l>lcnuc donne :
(3) (i-a?)-P^(i-«, -P, i-y, x) = ZeJx'{l-} ^,
r y.,- J>
/ 0-(l— X) (0
(/,) arY(l — .r)^-Tj(a, p+i, y + '» •r) = Se^ '•
Les seules choses que j'aie obtenues, à proprement dire, sont donc
ces deux identités (3) et (4) faciles à vérifier d'ailleurs pardifféren-
tiation logarithmique. Je rappelle
<$ = ri (a, p, Yi *)>
^ = p(a — Y)a?1-Y(i-a?)Y-«-P^(l-a, i-p, 2— Y, *),
Ç, =£(«, p + i, y + i, a?),
0^,= v(i — Y)^-y(1 — -r)Y-*-PJ(i — 2, — p, 1 — -, a?),
on retombe ainsi sur deux relations identiques entre trois fonc-
tions $. En considérant le cas particulier traité par M. Cajley,
j'ai obtenu cette relation :
if1 5 5 ki
2K 3 \b b 3
sin am2 — - -
Donc
sin am
3
2K 4
2 —
2.4
2. 16
2.16
/,-
2.28
1 k1
2.28
1 .21 ,„
1 A2
2.40
Posant k- = -> j'avais trouvé antérieurement
2 J
am — — = 64° 1 1 10 , 09,
logsin = 9,954 352i, logsin2 = 9,908 7042;
o o
128 CORRESPONDANCE d'hBRMITE ET DE STIELTJES.
I.i fraction continue m'a donné
logsin2 = 9,908 7043.
D'après les règles de M. Schwarz, $( x> ^> ^A'2) ci^( -,
■^ » » 11 1 toutes les deux fonctions algébriques de A*. Leur rapport l'est
ilouc aussi, c ne nous le voyons aussi par la valeur sin-am — — •
Je crains bien, Monsieur, d'avoir demandé trop de votre indul-
gence, mais ce résultai - : — = const. me sembla bien singulier
avanl que j'en aie (avais) aperçu la raison si simple.
\ otre liés dévoué.
P. S. — \ oici une des formules les plus remarquables auxquelles
(à laquelle) j'ai été amené (comme expression d'un théorème
d \i il lunéiiquc) :
= '/'
-q*
_f.g,25:(I_2gr-8.1)
— C" ( I — 2ÇT-8.1)
ysl 1 1 2 7 s-' - 2 g- v ■'• )
— 7 ' 2 ! ( 1 — ?. 7_s • ' — 2 7
7 ' )?î(l — 2gr-8->'-+- '.).7-8.2- . . .± 2^-8"2)
59. — H ERMITE A STIELTJES.
Flanville (Lorraine), ! juillet 1884.
Monsieur,
•I entrevois bien des difficultés au sujet de l'expression appro-
chée des racines de \„ — o par la formule Xh = cos 7
k— 1
I II -+- 2
Je n ,d poinl réussi à voir de quelle manière vous parvenez à la
forme élégante xk= ( 1 — - ) cos * ' ~ ' 7:, et je crains bien
V 2(7.71 -+- l)2/ | Il + 2 J
LETTRE 59. i:>.(j
maintenant de vous avoir engagé, en vous proposant cette
question, dans une de ces voies où les difficultés son I trop
grandes pour le but à atteindre. Vous aurez plus de profit à
suivre vos inspirations; les recherches que vous me communiquez
sur l'équation
x(\ — x)y' -+- y,/ -I- ( ' P — a) xy -\ '— i- xy* — y = o
sont très belles et je viens vous demander de les publier soil dans
les Comptes rendus, et, en deux articles, vos lettres du 27 et du
28 juin dépasseraient l'étendue réglementaire, soit dans les
Annales de V Ecole Normale supérieure. Peut-être y aurait-il
quelque avantage pour vous à paraître dans ce Recueil, d'un accès
beaucoup moins facile que les Comptes rendus, et qui vous donne
droit à un tirage à part. M. Tisserand, à qui vous ferez grand
plaisir en lui envoyant une nouvelle communication, m'a appris
de vous. Monsieur, une circonstance qui m'a rappelé de désolants
souvenirs de mon temps d'écolier. J'ai eu aussi les examens en
horreur, et j'ai passé une année, étant élève de mathématiques
spéciales, à lire à la bibliothèque Sainte-Geneviève les mémoires
des collections académiques, les ouvrages d'Euler, etc. au lieu de
me mettre en mesure de répondre sur les questions de géométrie,
de statique, etc. M. X... m'avait pris en aversion cl j'ai expié par
un humiliant échec mes fantaisies d'écolier savant. Plus tard, je n'ai
pu prendre sur moi de subir les examens de licence es sciences
mathématiques lorsque cela eût été bien nécessaire, et ces examens
que je vais faire dans quelques jours en revenant à Paris et inter-
rogeant sur mon Cours, je les passerais fort mal, car mes leçons
faites, je les oublie. Je vous renouvelle mes félicitations au sujet
du titre que vous avez vécu du Sénat académique et qui vous dis-
pense des concours; vous avez mieux que cela à faire; au besoin,
M. Tisserand et moi, nous nous en porterions garants.
En attendant, Monsieur, un mot de vous sur une carte postale,
qui me fasse connaître vos intentions pour la publication de vos
deux dernières lettres, je vous offre la nouvelle assurance de mes
sentiments de haute estime et d'amitié.
Les quatre formules données parJacobi, dans ses recherches sur
la rotation pour les développements en séries simples de sinus el
9
l3o CORRESPONDANCE D HERMITE F.T DE STIELTJES.
cosinus des quantités- "~ c > ... doivent être complétées par
douze autres, donl mie partie appartient à un type analytique diffé-
rent, que \ oici :
,k H>)H(^a)= ^ yr ^ -K, .1^
H<.r)H(a) 'K £à\_ 2K J
( )n suppose dans le second membre « = o, ±1 , ±2, etc., et quant
à ;. on ili.it le prendre = -4- 1 , o, — 1 suivanl que // est positif, nul
(m uégatif. En développant ensuite suivant les puissances crois-
santes de q, on trouve
—- — 1 — cot -p- -H cot — r + > '/'""sin -
- H (a;) H (a) 2K 2K £* ' K
(m = 1, 2, 3 n = 1, 2, 3, ... 1.
60. - STIELTJES A HERMITE.
3 juillet 18S4.
MONSIEI R,
\ otre lettre m'a fait bien heureux, et en réponse je vous informe
que je me propose de composer un article sur l'équation diffé-
rentielle qui admet comme intégrale particulière le quotient de
dru\ fonctions
Grand merci pour votre nouvelle formule elliptique. J'ai été
frappé surtout par le résultat élégant que vous avez obtenu en
développant suivant les puissances de q.
Un de ces jours j espère vous présenter une petite Note qui
aura paru dans les Astron. Nachrichten . A celle occasion je -eus
encore le besoin de vous dire que j'ai beaucoup profité par l étude
de votre cours de la Sorbonne, dont vous m'avez fail un présent
-1 précieux.
\ otre très dévoué.
LETTRE 01.
i3 1
61.
HERMITE A STIELTJES.
La Bourboulc, i" septembre 1884.
MONSIEUR,
Un commencement de diabète, qui n'a pas été sans quelque in-
fluence sur mon travail depuis l'année dernière el que je soigne en
prenant les eaux, n<' me mel guère en disposition de faire de l' Vna-
lyse. Cependant j'ai pris le plus grand plaisir à votre théorème •>!
nouveau sur les mineurs du déterminanl
R =
A
A'
A"-
B-hb C-hc
et, si j'étais en meilleure santé, j'essaierais de retrouver votre démon-
stration. Permettez-moi, au moins, d'appeler votre attention sur
une remarque très belle de M. Kosanes, sur les transformations
en elles-mêmes des formes quadratiques, qui conduit immédiate-
ment aux expressions des substitutions orthogonales que j'ai don-
nées autrefois. Considérez la substitution que j'écris, dans le cas
de Irois variables seulement,
'/.r -+- a' y -+- a" z = aX H- 6 Y 4-cZ,
bx -4- b'y -4- b" z = a'X -4- b'X -4- c'Z,
ex -+- c'y -4- c" z = a"X -+- b" Y -1- c"Z.
\ (mis vérifierez sur-le-champ qu'on en conclut
x\ ax -4- a y -+- a" z) -hy(bx -4- b'y -+- b" z) -+- z(cx ■+■ c'y -4- c" c- |
= X(aX + a' Y + a"Z )+Y(èX+ b'Y + i"Z) + Z(cX + c' Y -+- c'Z),
c'est-à-dire une transformation en elle-même de la forme
a b' c"
b" -+- c' a" -4- c a'-h
En particulier, les relations
x — iy -4- jj. z = X -+- v Y — fx Z,
v 37 -4- y — À .3 = — v X -+- Y -4- X Z,
— [j.T-t-XjK-1- z = |JiX — XY-t-Z,
où 1, * jt. , v sont les indéterminées d'Olinde Rodrigues, résultent,
i [a CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
comme vous voyez, de La remarque de M. Rosanes. Je ne sais si ces
expressions, sous forme rationnelle en "k, ;x, v, permettraient de
démontrer votre proposition el surtout <lc la généraliser, ce qui
sérail extrêmement important. En tout cas, permettez-moi de pu-
blier dans les Actamathematica (') votre lettre que mon éloigne-
menl de l'.ni^ m'empêche de donner nus. Comptes rendus et qui
intéressera vivement, indépendamment de son application méca-
nique, el veuillez, en même temps, recevoir la nouvelle assurance
de mes sentiments de liante estime el «le sincère amitié.
62.
STIELTJES A H ERMITE.
Leyde, 6 septembre i!
M 0 \ s i e l R .
J'ai appris avec (bien) beaucoup de tristesse celte mauvaise
nouvelle de votre santé, que vous me donnez dans votre dernière
lettre. \ euillez accepter mes vœux sincères pour votre rétablisse-
ment! Je suis sûr que partout, dans le monde mathématique, on
en fera de même.
Votre lettre m'a fait reprendre l'étude de ce théorème sur les
substitutions orthogonales et j'ai réussi, dans le cas de quatre va-
riables, par un calcul qui ne laisse pas d'être un peu pénible. Le
raisonnement suivant laisse à désirer sur un point, mais il s'applique
à un nombre quelconque, pair, de variables.
Soient
d"
\a
A A
-+- Ae d -+- \d
A«
d" -+- Ld'
les coefficients de deux substitutions orthogonales de détermi-
(') La lettre de Stieltjes a été publiée (par extrait) dans le Tome VI, p. 3io-32o
des Icta mathematica, sous le titre : Un théorème d'Algèbre. — On peut rap-
procher ce travail de Stieltjes d'un travail antérieur : Sur le déplacement d'un
système invariable dont un point est fixe {Archives néerlandaises des Sciences
exactes et naturelles, t. XIX, p. 072-390; 1S84 )-
LETTRE Gi2.
i33
nant -4- 1, <•! de plus
: + ; ic« b -h iAô
i;
d'" ■+■ l \d"
D =
Aa \b Ac Ar/
Aa'" . . . . Ac/'"
En multipliant, il vient
R x D = S =
(aa) (al>) (ac) (ad)
(au) (bb) (bc) (bd)
(ca)
(da)
(dd)
en posant
(aa) = (a
(ab) = (a
\ Aa) Aa
^ Aa) A6
■ (a'-
£ Aa')Aa'-
| la') A/Z-
en sorte qu on a
(aa) = (bb) = (ce) = (dd) = o,
(ab) = — (6a), (ac) = — (c«),
c'est-à-dire le déterminant S est gauche.
Supposons R = o, cela entraîne S = o. Mais S étant gauche, la
condition S = o entraîne que tous les mineurs de S s'évanouissent
[cette remarque, qui s'applique à un déterminant gauche d'un ordre
quelconque pair, n'a peut-être pas encore été formulée expressé-
ment (peut-être)].
En supposant maintenant que D n'est pas zéro, on en conclut
aisément que tous les mineurs de R s'évanouissent aussi. En effet,
en nommant Da, D/,, . . ., les mineurs de D, on aura
R =
(aa) (ab)
( da )
(ad)
(dd)
D
D6
D
D
D
va,„
D
...
IV»
D
et les mineurs de R s'expriment linéairement par les mineurs des
deux déterminants à gauche, il vient, par exemple,
DR„ = S(aa)\a 4- S(„/,)A6 -+- S(acAc -+- S^Ao",
Rrt étant mineur de R, S(rtaj, S^„d) étant des mineurs de S qui s*éva-
nouissent lorsque S = o.
i.:
CORRESPONDANCE d'hERMITB ET DE STIELTJES.
Il reste à faire voir que, lorsque R=o, on n'a pas en même
lemps I » o.
Dans le cas d'un nombre pair de variables, ces deux détermi-
nants M el I! sonl de même nature parce qu'il esl alors permis de
changer de signe tous les nombres du Tableau.
A c
V .
d"
Dans le cas d'un nombre impair de variables. I) est identique-
ment zéro, ci la démonstration précédente ne peut s'appliquer (' ).
J'ai été vivement frappé par cette belle remarque de M. Rosanes,
que vous avez portée à ma connaissance. Que c'est simple ! On en
n n — 1 1
déduit aussitôt les formules générales avec
arbitraires pour
la transformation d'une forme quadratique en elle-même, (pion
vous doit (à vous), en même temps que l'expression rationnelle
d'une substitution orthogonale due à Cayley et qui a coûté tant de
peine à Huler.
Si vous le jugez (cela) convenable, je verrai avec plaisir que \mi>
publiez ce que bon vous semblera i semble) de ma lettre. Mais tou-
tefois, cela ne doit pas vous coûter (causer) de la peine.
Je suis toujours, Monsieur, votre sincèrement dévoué.
/'. S. — Il \ a quelques jours, ma femme est accouchée <l un
lils. Heureusement la mère el l'enfant se portent très bien.
63.
Il ERMITE A STIELTJES.
Flanville par Melz (Lorraine), g octobre 1884.
Monsieur.
Je suis bien touché et bien reconnaissant de l'intérêt que vous
avez eu La bonté <\r me témoigner au sujet de ma santé, .le viens
(') Après la publication de la lettre de Stieltjes, M. Netto a publié deux .Notes
dans les Acta mathematica, t. IX, p. 2q5-3oo; 1887; et t. XIX, p. io5-n4; 1896,
Sur l'extension des résultats de Stieltjes au cas d'un nombre quelconque de
variables.
LETTRE 63. I 35
vous remercier et, en même temps, vous Informer que j'ai envoyé
à M. Mittag-Leffler votre avant-dernière lettre, en lui demandant
de la publier dans son journal. Ce que vous m'avez ensuite commu-
niqué dans votre lettre <lu 6 septembrem'a extrêmement intéressé
el je vous lais mon sincère compliment de votre idée ingénieuse h
originale d'avoir considéré le produit lil) qui se trouve, mois que
rien ail pu le faire soupçonner, un déterminant gauche.
C'est là un résultat on ne peut plus curieux, el votre singulier
théorème se trouve ainsi démontré pour les déterminants d'ordre
pair avec beaucoup de simplicité et d'élégance. Vous réussirez cer-
tainement à traiter aussi le cas de l'ordre impair et je me permettrai
de vous engagera consacrer à celle question, qui intéressera vive-
ment les amis de l'Algèbre, un article suffisamment développé qu'il
serait naturel de publier dans les Acta, après voire lettre, à laquelle
il ferait suite. Je ne puis vous dire si, avant vous, il a été remarqué
qu'un déterminant gauche ne peut s'évanouir sans qu'en même
temps tous les mineurs s'annulent; mais peut-être trouverez- vous
quelques données sur ces déterminants dans un Mémoire de
M. Cavlev dont je ne puis vous donner l'indication précise, n'ayant
pas ici le Journal de C relie, et que je crois, cependant, avoir été
publié vers i85o, dans ce Journal ('). Vous n'aurez pas de peine,
je pense, à le découvrir, en consultant laTable générale du Tome 50,
par noms d'auteurs. Dans quelques semaines, je vous enverrai un
petit article elliptique {-) qui paraîtra dans les Annales de V Ecole
Normale etdont je m'occupe en attendant que, à mon grand regret,
je sois forcé de revenir à Paris pour les examens de la Sorbonne.
J'espère aussi recevoir bientôt de vous le Mémoire sur les qua-
dratures que vous avez donné à ce Recueil et que j'étudierai avec
le plus grand plaisir.
En vous renouvelant mes félicitations pour vos dernières re-
cherches, je vous prie, Monsieur, de croire à mes sentiments de
haute estime et de sincère affection.
(') Les travaux de M. Cayley sur les déterminants gauches se trouvent dans
trois Mémoires insérés dans le Journal de Crelle, t. 32, p. 119; t. 38, p. 3; t. 5U,
P- 299-
(2) Sur une application de la théorie des fonctions doublement périodiques
de seconde espèce {Annales de l'École Normale supérieure, 3e série, t. II, iS85) .
i 16 CORRESPONDANT D'EBRUITE ET DE STIKLTJES.
64. - sti /:///://: s a h ermite.
Leyde, 24 novembre 1884.
Monsii 1 1:.
\ euillez bien m'excuser de ne m'être I m'avoir) pas appliqué
encore avec succès à cette question sur 1rs substitutions orthogo-
nales.
En réfléchissant sur certaines < | u <^>( m >ns qui se rapportenl à la
théorie de la figure de la Terre, j'ai été frappé de (par) la puissance
de cette méthode où l'on conclul l'existence d une fonction qui doil
remplir certaines conditions en faisanl voir que celle fond se
présente comme solution d'un certain problème de maximum ou
(de) minimum. Si l'on peul reprocher à celle méthode, dans
beaucoup 'le cas, un manque de l'extrême rigueur qui esl toujours
désirable, en (par) revanche, il me semble qu'on peul aborder
ainsi, quelquefois, «le- questions qui paraissent inabordables par
il autres méthodes.
Peut-être la Note ci-jointe en don ne un exemple ('). J'ai envoyé
cette Noie à M. Mittag-Leffler pour ses , icta. Le cas p = 1 donne
immédiatement un polynôme hypergéométrique de Jacobi dont
toutes les racines sont réelles.
Dans le courant de décembre, je compte me rendre à Paris;
j'espère que, vers ce temps, j'aurai résolu la question des substitu-
tions 1 ni hogonales.
\ euillez bien agréer, Monsieur, l'expression de mes sentiments
dévoués.
65. - II El! MITE A STIEETJES.
Paris, 27 novembre 1884.
Monsieur,
Je viens vous remercier de la Communication extrêmement inté-
ressante que vous m'avez faite de l'article que vous destinez aux
Acta mathematica, et qui concerne la généralisation <\o> poly-
( l) Sur certains pohnonws qui vérifient une équation différentielle linéaire
du second ordre et sur la théorie des fonctions de Lamé {Acta mathematica.
t. VI, p. 32i-3aG; i8!S5).
LETTRE 65. I 37
nomes de Lamé, imaginée par M. Heine. Votre analyse qui esl si
originale est, en même temps, parfaitement claire el je ne crois pas
que jamais personne ail en L'idée de rattacher, comme \ons l'avez
fait, à une considération d'équilibre la démonstration de la réalité
et des propriétés des racines d'équations algébriques. Permettez-
moi, Monsieur, de vous engager à insister toul particulièrement sur
le cas le plus simple el qui esl aussi, jusqu'à présent, le plus i 111 -
portant, celui des polynômes même de I jamé. Si mes souvenirs soirt
fidèles, il me semble que M. Klein sérail déjà parvenu aux résul-
tats que vous avez découverts, dans un article remontant à cinq
ou six ans, que contiennent les Mathematische Annalen. Mais,
M. Klein n'aurait considéré que le seul cas des polynômes de Lamé,
el sa méthode n'a rien de commun avec la vôtre. Je ne me suis
point mis sous le même point de vue en m'occupanl de ces quan-
tités; en prenant l'équation du second ordre sous la forme
(1 — *»)(i — /r2*2) .4
dv
— [(i-f- k*)x — i/c*x*]--jh -f-[n(rt -+-1) A:2a?2-t- l]jr = o,
j'ai surtout considéré les quatre polynômes en 7, P, Q, R, S qui
déterminent, lorsqu'on les égale à zéro, les valeurs de cette
constante auxquelles correspondent des solutions de l'équation
différentielle qui sont des polynômes entiers ou bien des produits
de polynômes entiers multipliés par \/ 1 — x2, y/i — k'2x'2,
y/(i — x'2) (1 — k-x'1). En laissant indéterminée la constante /, ces
diverses expressions sont des solutions de l'équation différentielle,
avec un second membre de la forme
P, Q/i — ^2, Ry/i — Z'1^, S v/(i — ^2)(i — l^x-1)
ou ces mêmes quantités multipliées para?, suivant les cas.
En second lieu, et considérant toujours / comme un paramètre
arbitraire, on a cette circonstance analytique bien remarquable
qu'en développant^)' suivant les puissances descendantes de x,
on a pour n pair cette expression
i 18 CORRESPONDANCE li'llEIOIITE ET DE STIELTJES.
|nii-. pour 11 impair,
/ S 8' \
I /• el l'i i ./■ ) sonl des polynômes de degré n el dans lesquels
|r> coefficients x, %' (3, (3', . . . <l< :s séries infinies sonl fonc-
tions entières de degrés croissants <». i. 2, .. . de /. Et de
même
En résumé, c est moins aux solutions algébriques de I équation
qu'à ces polynômes en /. I'. Q, I». S que je me suis attaché jus-
qu'ici.
Mais vous avez embrassé, dans vos dernières recherches, bien
d'autres belles questions, la loi de la variation de la densité de
I écorce terrestre i ' >. et, en dernier hou. une généralisation pro-
fonde de la théorie des quadratures mécaniques (2), dont je me
lai> un plaisir de vous apprendre <[ue mon cher confrère .M. Tisse-
rand m'a parlé avec les plus grands éloges. En vous exprimant.
Monsieur, le désir et l'espérance qu'à votre prochain voyage vous
voudrez bien venir chez nous, dîner en famille, pour que nous ayons
ainsi l'occasion de causer de i<»ui ce qui nous intéresse, je vous
renouvelle, avec l'expression de ma plus haute estime, celle de mes
sentiments de bien sincère affection.
(') Les travaux île Stieltjes sur l;i loi de la variation de la densité de la Terre
"ni été publiés dans trois Notes :
r Note sur la densité de la Terre {Bulletin astronom., t. I, p. ^i5 ; 188^);
Quelques remarques sur la variation de la densité dans l'intérieur de
la Terre (Arch. néerland., t. XIX, p. 435-46o; i884);
Réimpression du travail précédent dans le Tome I, 3esérie, p. 272-297;. i885,
des Vei slagen en Medeelingen der koninklijke Akademie van Wetenschappen
te . Imsterdam.
('-) Le travail auquel M. Ilerinile fait allusion a paru dans le Tome XCIV des
Comptes rendus, p. 85o, 17 nov. 1884, 50US le titre: Sur une généralisation de
la théorie des quadratures mécaniques.
LETTRE G(). I 3g
66. — HERMITE I STIELTJES.
Paris, i3 février 1 885.
Monsieur,
La Note manuscrite jointe à L'exemplaire publié dans les A c ta
m'intéresse extrêmement. Les résultats auxquels vous êtes parvenu
ajoutent, s'il est possible, à mon admiration pour votre beau talenl
en Analyse, et je viens vous prier de m'autoriser à les publierdans
les Comptes rendus avec la modification suivante qui esl chose
bien légère et <le pure forme, mais que je dois vous soumettre. Je
\ous propose (loue tir duc (pic les racines X\ , £C2, • ■ . , -t'n de XH = 0
font acquérir une valeur minimum à l'expression
0 — Sî)(i-Ê3).-.(i-Çi)n(Ç*- \,r-
en faisant
El, «le même, pour le théorème analogue concernant le poly-
nôme XJ/l = x" — — — x"~'2-\-. . . qui ne m'est pas inconnu,
niais auquel je n'ai plus songé depuis longtemps. Mais commenl
avez-vous découvert ces propositions sur les minima; commenl
avez-vous obtenu les discriminants de X,0 Uw et Yn ?
Pendant que vous vous livrez avec un si grand succès à \os
recherches de haute Analyse, je fais, par suite des circonstances,
des leçons à la Sorbonne, et je dois même dire que je suis redevenu
écolier. Mon cher collègue et ami, M. Bouquet, qui fait le cours de
calcul différentiel et de calcul intégral aux candidats à la licence,
a eu une attaque de goutte, et je l'ai remplacé pendant qu'il était
malade, en croyant cpie ce ne serait que pour une semaine ou deux.
Mais son médecin lui ayant ordonné le repos, il a renoncé entière-
ment à son cours; on m'a demandé de continuer à le remplacer
jusqu'au i5 mars, c'est-à-dire jusqu'à l'époque où je commence
mes leçons pour mon propre compte. A ce moment, ce sera, sans
doute, M. Picard que la Faculté nommera suppléant de M. Bouquet,
et M. Poincaré qui fera, à sa place, le cours de Mécanique expéri-
mentale. 11 m'a ainsi fallu rapprendre des choses, comme les lignes
de courbure des surfaces, les lignes asymptotiques et bien d'autres
du même genre, dont je n'avais plus aucun souci, et cpii m'étaient
presque complètement sorties de l'esprit. M. Picard m'aide beau-
I jO CORRESPONDANCE D'hERMITE ET DE STIELTJES.
coup à me remémorer ces théories de calcul différentiel. Mais j'ai
un effort sérieux à faire pour apprendre au jour le jour ce que je
«loi ^ enseigner, et plusieurs recherches que j'avais commencées,
entre autres sur La transformation des fonctions elliptiques, sont
forcément interrompues.
En vous priant, Monsieur, d'avoir la bonté de m'en voyer un mot
sur une carte postale, pour m'informer si vous consentez à la pu-
blication de votre Note dans les Comptes rendus, je saisis celle
occasion pour vous renouveler I expression de ma plus haute estime
et celle de ma bien sincère affection.
\ ou-* convient-il <le donner à votre Noie, pour l i ire : Sur
quelques théorèmes d' ilgèbre (*)?
67. — STIELTJES A II ERMITE.
Leyde, 20 février i885.
Monsieur,
La Noie ci-jointe (2) formera peut-être une suite naturelle à celle
que vous avez présentée dernièrement. J'avais calculé, il v a déjà
quelque temps, le discriminant de \ = o, ce qui m'avait montré
< 1 1 1 1 ■ celle équation ne peut avoir d'autres racines multiples que o
et 1 . Mais c'est seulement après \ otre dernière lettre que je me suis
aperçu que le calcul des fonctions de Sturm peut s'effectuer sans
difficulté.
Je irou\ e :
o(n, a, c) — a?cp(« — 1 , a, c) = — A0œ( n — 1 , a — 1 . c — 1 )
e ( n — 1 , a, c) o( n — [ , a — 1 , c — 1 ) = — Bi cp( n — 1, a — 1 , c — 1 )
cpl n — 1 . a — 1 , c — 1 ) — xv(n — >.. a — 1 , c — 2 ) = — Ai o(n — 1. a — ?.. c — 3 )
01 n — 2, a — 1. e — 2) — çp(fl — 2. a — 2, c — 3) = — B2 œ(« — 3, a — 2, c — 4)
tp(n — 2. a — 2, c — 3) — £FO| n — 3, <i — 2, c — 4) = — A2<s( n — 3, a — 3. c — 5)
œ(n — 3. a — 2. c — 4) — ç(n — 3, a — 3, c — 5) = — B3ç(/i — 4- a ~ 3, c — 6)
0 // — 3, a 3, c — 5) — x tpi n — (, a — 3, c — 6) = — A3o(« — 4i a — î- c — 7 I
s ( n — \. et — 3, < I i — cp ( n — \, a — !\, c — 7 ) = — B4 <p ( n — 5 , a — 4 ? c — 8 )
( ' ) C'est effectivement le titre de la Note de Stieltjes imprimée dans le Tome C
■ le-, Comptes rendus, p. 43c;-44o; '6 février i885.
(2) Cette Note, qui est la suite de la Note indiquée dans la dernière lettre,
a paru dans le Tome C, p. G20-622, 2 mars i885, des Comptes rendus avec le
titre : Sur les polynômes de Jacobi.
[.KIT HH 67. I \ I
OU
( a — i ) b (a — \) (c — n)
"' c(c-i)'
"' (c-i)(c— a)'
B _ ( n — 2 ) ( b — i )
( « — ?. ) ( c — n — i )
3 (c — a)(c-3)J
(c — 3)(c — 4)
(n-3)(6-2)
B3=(C-4)(c-5)'
% (a — 3)(c — n — 2)
"- (c_5)(c_(ij
d'où
ep(n, a, c) — (.r — A0) <p( « — i, a, c ) = — A0 Bj o( n — 2, a — i , c — •>. ),
a(n — i , a, c) — (se — B t — Ai ) © ( n — 2 , a — 1 , c — 2 )
= — Ai B2cp(/i — 3, a — 2, c — 4 ),
<p(/i — 2, a — 1, c — 2) — (x — B2 — A2)<p(/i — 3, a -- 2, c — 4)
= — A2B3tp(n — 4) « — 3, c — G);
X = <p(/t, a, c), Xi=/icp(/i — i,«, c),
donc
X2 = AoBi«p(n — 2, a — 1, c — 2),
X3 = n Ai B2œ( /* — 3, a — 2, c — 4)>
X4 = A0 B] A2B3œ(« — 4> rt — 3, c — (5),
X3 = « Ai B2 A3 B4tp(n — 5, « — 4, c — <s >j
et les fonctions de M. Sylvester
a'2 A0Bi cp (n — 2, a — 1 , c — 2 ).
/i3(A0Bi)2AiB2cp(« — 3, « — 2, c — 4),
n* ( A0 Bi )3 ( A ! B, )» A2 B3 œ (n — 4, a — 3, c — 6 ),
»6(AoBi)i(A1Ba)3(A2B3)2A3B.v<p(rt — 5, a — 4, c -8;
C'est le résultat que j'ai indiqué.
J'espère ne pas vous importuner avec ces remarques bien simples.
\ euillez bien me croire votre très dévoué.
i \ ! CORRESPONDANCK U BERMITE ET DE STIELTJES.
68. — STIELTJES 1 HERMITE.
Leyde, 1 1 mars i885.
Monsi 1.1 i;.
Je me permets de vous communiquer le théorème suivant auquel
je suis arrivé par un chemin bien détourné. Si je ne tne trompe,
il esl de nature à vous intéresser. Je le crois susceptible il une
grande généralisation.
Soienl sel s' deux variables complexes
Pour des modules suffisamment petits de A et /. . les équations
(?.) §\ Z, Z') = 0, $i(z, Z) = 0,
admettent une solution ; = «, z' = v, voisine de ; =: a, z' = b.
Cela posé, je considère l'intégrale double
J J #(z, Z )$i(X, Z )
le chemin d intégration relatii à c étant un contour fermé envelop-
pant z = a, parcouru dans le sens direct; de même celui relatif à
s' un contour fermé enveloppant z'=b. Alors la valeur de l'inté-
grale est
(B) fai»j' - JitttlK
dz c/z' dz' ôz / z — „
Il me semble extrêmement probable qu'il existe un théorème
analogue pour une forme moins particulière des fondions -~ et -",
el comprenant le cas où (que) les chemins d'intégration renferment
plusieurs solutions du système i : mais, pour le moment, je ne me
hasarderai point à celle généralisation qui devra présenter encore
des circonstances singulières dont je me contente de signaler l'ori-
gine. En effet, l'expression (A) ne change pas en permutantles
deux fonctions #et .", tandis que l'expression (B) change de signe.
LETTRE C>8.
i43
Mais M. Kronecker, dans son Mémoire Ueber Système vonFunc-
tionen mehrer l ariabeln (Monalsberichte der Kônigl.Akad.d.
Wissensch. 1869), a déjà introduit des considérations qui s'appli-
queronl probablement avec certaines modifications dans le cas
actuel.
\ oici, maintenant, commenl je suis arrivé à ce théorème.
On a
JJ ${MtM')$t{M,J) JJ «' ^M*
h»'k"o>»(z,z')<!(,"(z, z')
a)"l+i(z — b)"+1'
ou bien, d'après les formules de Cauchy,
. 2YV h"1 kn d'"+"(J(a, b)'i>»(a, b)$"(a, l> )
'■7Zl> Z-,ZL,7~2 ~, ~ 7, ~ (la,n rlfjn
****** 1 .
0 0
or, Ja série
h'"
AmàAmi \ . > . . . /)) ].>.... /l
0 0
/»" dm+n Ç(a, b ) <p »»( a . b ) <b» (a. b
damdbn
est égale à
Cj(u, v):
1 de?\ ( 1 ^
X-htz)V-kdï>
h h
dt' dz~
d'après une généralisation de la série de Lagrange donnée par
M. Darboux (Comptes rendus, t. LXVIII). J'ai envoyé dernière-
ment une démonstration de celle formule à M. Tisserand ('), en
la généralisant en même temps pour un nombre quelconque <le
variables. Aussi, le théorème ('nonce peut être énoncé de cette
manière.
L'intérêt qui me semble s'attacher à cette généralisation du théo-
rème de Cauchy m'a déterminé à vous la communiquer. Certaine-
ment, si je ne me suis pas trompé, le théorème en question doit
être démontré d'une manière plus directe et moins particulière,
quant à la forme des fonctions § et «•?, . Mais je suis, en ce moment,
trop occupé pour songer sur cela. Je ne nie pas, cependant, que
j'aurais Lien volontiers votre opinion et celle de M. Picard (sur
(') Cette généralisation de la série de Lagrange a été publiée dans les Annales
de l'Ecole Normale supérieure, 3e série, t. II, p. g3-g8; i885.
,',', CORRESPONDANCE D BERMITE KT DE STIELTJKS.
i ela) à ce sujet. ^ a-t-il, après m ml. une erreur, dans le raisonne-
ment? je ne vois pas (').
\ otre bien dévoué.
69. — STIELTJES A HERMITE.
Leyde, i3 mars 18SÔ.
Moi
Quoique pressé par des calculs numériques, je n'ai pu résister au
désir de songer sur les intégrales
II
(|'i s. z'tchdz'
g(Z, *')&(*, Z')
• ■ x < i i ( '■ surtout par le paradoxe apparent dont j'ai parlé dans ma
dernière lettre. Pour en savoir la cause, j ai envisagé directement
des contours infiniment petits autour d'un système //. v
§{u, v) = o, ài(u, v) = o.
Soil s = u + t , z'=v -\-t'> et négligeant des quantités d'ordres
su périeurs,
(J ( u -4- t, V — t') = Ç(u, v),
§ 1 // -t- t, v ■+- 1) = at -t- bt',
$1(11 — /. r — t') = et -+- (//'.
Dans les intégrations, les modules infiniment petits de t et /' restenl
constants. Il faut distinguer quatre cas :
\ \at\ '•' '■ ■>• . 1 . . / -, l)("- '"'
il) < 1 intégrale est eiiale a (■2-1)'2 ^-= ; — ,
i \ct |< \dt'\ K } ad-bc
[ J at |< | bt' |
II 1 l'intégrale est égale à zéro,
\\ct\<\ df | ,
1 I "' ' ''' I - ,
III < I intégrale est égale a zei 0,
( \ct 1 > I '7/'
( |«< I < |6*'| , , . . (,'. u. v 1
l\ l l intégrale est égale a (2irf)2-r ,•
I et dt' - 6c - ad
(') M. Poincaré, dans son Mémoire sur les résidas des intégrales doubles
Icta mathematica, t. IX), a montré (§5, p. 357) l'origine de la contradiction
du résultat de Stieltjes.
LETTRE GO. l45
11 faudra certainement trouver une interprétation naturelle de la
différence <|ni existe cuire I cl IV. Je n'ai qu'une idée imparfaite de
la méthode qu'il faudrait suivre pour arriver à une théorie com-
plète de ces intégrales.
Naturellement, pour que l'intégrale ail un sens, les chemins
d'intégration ne peuvent être choisis tout à fait arbitraires, coi e
dans le cas d'une seule variable.
Je remarque que, lorsque la théorie de ces intégrales sera c -
plète, on en déduira la formule de M. Darboux :
^ — a — h o( z, z' ) = o,
-'_ b — kty(z,z') = 0,
« , _ 'V'V ll"1 ^" dm+n§ (a, b) o"l(a, b) <b'l(/t. I> |
&{z,z). = 2_, 2-, . n »-,,.. t, ~ da»ldb'1
0 0
précisément comme vous ave/, déduit la formule de Lagrange du
théorème de Cauchy. Et de même pour un plus grand nombre de
variables. Gomme vous voyez, j'ai suivi un chemin inverse, en adop-
tant la formule de M. Darboux. J'ai été amené, grâce à voire mé-
thode de démonstration de la série de Lagrange, à la considération
de ces intégrales :
Ç(z, z')dzdz
II
§(Z, Z)Jy(Z,z')
Aussi, si je n'avais eu connaissance de cette démonstration si
simple exposée dans votre Cours professé à la Sorbonne, sans
aucun doute je n'aurais jamais été conduit à la considération de
ces intégrales. Mais je dois borner ici mes recherches. Initié à la
théorie de Cauchy principalement par votre Cours, j'en suis un
admirateur plutôt qu'un cultivateur, et (je dois) restreindre mes
efforts aux applications des mathématiques aux phénomènes na-
turels.
Comme vous le voyez, la remarque accidentelle que j'ai faite 1 au-
rait pu être depuis bien longtemps.
Votre élève bien dévoué.
I ',ti CORRESPONDANCE D'hERMITE ET DE STIELTJES.
70. — HERMITE A STIELTJES.
l'aiis, l'i mars i885.
MoNSIEl R3
Nous avons lu, M. Picard el moi3 avec le plus grand intérêt,
votre résultai concernant l'intégrale
Q(z, z')dzdz'
JJ ,7i s, s'
-
mais la circonstance signalée par vous-même que l'expression ob-
tenue change de signe en permutant -~- <■( ~ { nous parait bien grave.
M. Picard s'esl demandé s'il était bien sûr qu'on pût aussi, comme
vous le supposiez, obtenir pour s un contour d'intégration conte-
nant à son intérieur le point z = a, puis pour s' un contour com-
prenant z' ----- b et tels que jamais le long de ees chemins on n'ait
~ z, z') = o, §x(z, z')= o?
J'attendrai, Monsieur, un mot devons avant de communiquer à
I' académie votre résultat qui touche à di ■> questions du plus haut
intérêt el qui ont certainement préoccupé bien des analystes.
M. Picard croit se rappeler que les Annales de l'Ecole Normale,
dans les environs de l'année 1869, contiennent une Note de Didon
(mais je n'ai pu encore la rechercher dans ce Recueil) qui se rap-
porte au même sujet ( ' ).
\\ci- la nouvelle assurance de ma plus haute estime et de mes
sentiments bien dévoués.
71. — STIELTJES A HERMITE
Paris, 18 juin iS85. 120, avenue d'Orléans.
Monsieur,
Par la Note ci-jointe (2) nous verre/, que je suis encore fidèle à
I' analyse. Dans le cas où (que) cela ne vous paraîtrait (parait) pas
( ' ) La Note de Didon, qui a pour titre : Sur une formule de Calcul intégral,
esl insérée dans les Annales de l'École Xormale supérieure, 2' série, t. I,
p. 3i-48; 1873.
(3) Sur une fonction uni/orme (Comptes rendus, t. Cl, p. i53-i54, i3 juillet
i885).
LETTRE 72. 1^7
trop indigne, je vous serais très reconnaissant si vous \ ouliez | von
driez) la présenter à l' V.cadémie afin d'être insérée dans lis Comptes
rendus.
Je me propose de calculer lo premiers coefficients C0, C, , Co
mais je n'ai lait le calcul jusqu'à présent que pour (i| seulement,
la valeur «le Co étant bien connue. Ou a
Ci = — -0,07281 )5'2o....
Donc
Çl c -+- 1 ) = — ho, 37721 5665 . . . -+- 0,07281 552o. . . z -+-. . . .
Ces trois termes donnent, pour z=±i,
£(2) =-!- 1 ,65oo3 au lieu de i,(>ii',i>.
Ç(o) = — 0, {9560 au lieu de — o,5.
D'après cela, il semble que déjà les premiers coefficients diminuent
assez rapidement et le terme suivant doit être, à peu près,
— o. 00 \- z-.
Quand je suis allé visiter M. Picard, il y a quelques semaines,
j'ai été bien aise d'obtenir de bonnes nouvelles de votre santé. J'ai
voulu aussi aller vous voir, mais j'ai mal choisi mou temps el vous
étiez sorti.
Je suis déjà (depuis) quelque temps à Paris, où je pense rester,
du moins en France, et j'ai déjà fait le premier pas pour me (aire
naturaliser français en demandant l'admission à domicile, que j'es-
père obtenir bientôt.
\ euillez bien agréer, Monsieur, l'expression de profond respect
de votre très dévoué serviteur.
72. — HERMITE A STIELTJES.
Paris, 19 juin i885.
Monsieur,
Permettez-moi, sauf avis de votre pari, de supprimer après l'équa-
tion du commencement de votre Note,
ÇO -1- 1) = - -+■ a0 ■+■ ax z -+- . . .
k',8 correspondance d'hermite et de stieltjes.
les mots o convergent dans tout le plan », puisque vous avez soin
vous-même de dire un peu plus loin que La série
Ç(s) = i-=-f-2-z-l_...
définil seulement la fonction lorsque la partie réelle de c surpasse
l'unité. Je regrette aussi que vous n'ayez point rappelé que c'esl à
Dirichlet qu'est due la valeur i du résidu correspondant :'i ; = i ;
mais j'espère que vous développerez |ilu> c plètement vos idées
sur ce sujet dans un travail suffisamment étendu et que votre pré-
sente Note est surtout pour prendre date.
Non- qous félicitons, M. Picard et moi, que les circonstances
vous amènent à devenir noire concitoyen, <i c'est en vous expri-
mant tous mes regrets il avoir perdu I honneur de votre visite que
je vous prie. Monsieur, <le recevoir la nouvelle assurance de ma
plus haute estime et celle <le mes sentiments bien dévoués.
73. - H ERMITE A STIELTJES.
Pari?, 21 juin i^v"i.
Mo_\siiu r. .
Vous avez mille fois raison, et j'ai grandement fait erreur en
croyant que la partie entière dan- votre équation
Ç(s -f- [) = - -+- a„ -+- ai z -+- . . .
u'étail pas convergente dans tout le plan. C'est ce quej'ai reconnu
au moyen de l'expression dont Riemann fait usage, à savoir :
„ . . i f°° xsdx
hl)= =; " /
Écrivant, en efTel .
xs dx C xs dx rx xs il '
/' xsdx r xsdx r xs dci
~~J0 e*-i V, e->- —
on voit d'abord que la seconde intégrale, <pii n'est plus infinie pour
. détermine une fonction holomorphe de cette variable, -i Ion
convient de prendre parmi les diverses déterminations de .r* ce que
JC ' vs dx
~ '
LETTRE 7:5. l49
j'observe qu'en supposant mod x < 2-rc et a fortiori x < i, on a,
en série convergente,
<r<>ù
i
i
1
ex-
- i
X
2
a?-
dx
i
I
I
ex
— i
s
2
S 4- I
.■y
B, B2
i . •>. 1.2.3,
B, B,
1 .2 (S -H 2) 2.3.41 S -I- 4 )
11 en résulte facilement que le second membre représente une
fonction analytique de s dans toute l'étendue du plan, fonction
méromorphe, admettant pour pôles s = o, — r, — 2, .... Mais
- est la fonction holomorphe
r(j-M)
e«D (1-+--
de sorte que le produit
r ( 5 -+- 1 ) \ s 2 s -f- 1
a perdu tous ses pôles, à l'exception du seul pôle 5 = 0 et, en même
temps, on voit que le résidu correspondant à ce pôle esl bien égal
à l'unité.
En m'excusant de vous avoir fait un reproche si mal fondé, je
m'en permettrai un nouveau. Pourquoi, Monsieur, dans votre beau
résultat, et qui ma on ne peut plus intéressé,
(logi)* , (log/Q* (logn)*+i
<•'* = h... H j— (/ï = ce),
1 /ï A : -t- I
écrivez-vous le premier terme et ne commencez-vous pas par le
, (log2)A"o 11/ .-i
second - — - — : Le cas de a : = o ne sera pas exceptionnel, avec
cette minime précaution.
En vous renouvelant, Monsieur, l'expression de ma plus haute
estime et de toute ma sympathie.
l5o CORRESPONDANCE PIIERMITE ET DE STIELTJES.
74. Il ERMITE A STIELTJES.
Paris, 20 juin i885.
Monsieur,
En m'occupant, pendant la séance de l'Académie, de la relation
que \ ous avez obtenue sous la forme suivante :
Ç(*-t-i)= - + C0— C^-t-C,— — ...,
Z 1.2
(III
G/ — > 2 — ?■ — ( n — i , 2, . . . , n ),
je rencontre une difficulté que je prends la liberté de vous soumettre.
( )n trouve, en effet, au moyen de vos coefficients C* que "Ç(z + i)
esl l.i limite, pour n infini, de
ii ii
•2-+» o;+1 " "~ nz+l ~ T/ï~-'
C'est certainement exact pour s positif, mais non lorsque z -f- i est
négatif.
La quantité à retrancher de
i i
pour obtenir un résultat fini, lorsqu'on suppose n infini, étant beau-
coup plus compliquée que ^r—_-
Dans quelques jours, je vous enverrai la rédaction plus correcte
de ma démonstration <!<■ l'égalité
ç(*h-0= 4 + £(*)•
\ euillez, en attendant, Monsieur, recevoir la nouvelle expres-
sion de mes sentiments les meilleurs et les plus dévoués.
LETTRE 7.'). 101
75. — STIELTJES A HERMITE.
Monsieur,
Je ne crois pouvoir mieux répondre à votre lettre qu'en vous
envoyant une démonstration <le ma série - +C — C|S-K • • qui
me semble à l'abri de toute objection ( ' ).
L'idée de considérer Ç(.s + î) comme définie par
I T ' / S
h — rr;-*-----1 — rzr H ; O = 0°),
îi+s ni+i sns
est bien naturellement indiquée par la forme des coefficients C.
Toutefois, ce n'est pas ainsi que j'ai trouvé d'abord ces coefficients.
Mais on peut aussi, avec certaines précautions, obtenir le dévelop-
pement de cette façon et détruire tous les doutes.
L'équation dont je fais usage,
Ç(*-H) = - -4- — — f l-p- -\xse-*dx
' s ll(s)JQ \ex—i x)
est valable pour partie réelle de s >> — i , et étend ainsi déjà la défi-
nition originelle (originale).
Mais on a
e^ î i B, B2
x —
ex — i x 2 1.2 1.2.3.4
et l'on peut écrire ainsi :
;(S_HI)=I_HI_H * Ç'l-f- l--L)xse-xd3C (PR*>—0,
s 2 IK*)J0 \ex — i x 2/
l ( s ■+■ I ) = 1 1 — (5-Hl)
S 2 1.2
n(*U
/— I — I - ll.*W«<<fc (PRs>-4),
\ ex — 1 x 2 1.2/
s 2 1.2 1.2.0.4
n(*)i
-— i -a; -\ -^- x3 ) x* e~x dx (PRs>— G),
ex — 1 x 2 1.2 2.3..
(!) FoiV à la fin de cette lettre.
I I ' COKRESPO.NDANCE 1) I1EIIMITE ET DE STIELTJES.
i ; U(s) étant holomorphe dans tout le plan, on reconnaît aussi, en
procédant ainsi, !<■ caractère analytiq le la fonction Z (').
J'avais cru, un moment, que ce procédé ne différerai 1 pas au fond
de votre méthode; mais cela ne me semble pas vrai et, lundis que
votre méthode donne aussitôt les valeurs de ^(o), Ç(— i >, Ç(- — ••'•)...,
les expressions précédentes donnent
Ç(o) =-[,
B<
r i ■ — i i = >
C(-a)=-J +
I
2
I . 2
Ç(— 3)=— |h-
I
2
l .2
; i) = -j +
1
2
-4^
I . '
«-») — s +
I
2
_5A
' ■ I • '
5.4.3.2. i
i . a .3.4*5.6
et ce n'est qu'après avoir profité de ces relations
\
3
-T-
1
2
— 2
Jii
I .2
= o.
i
4
+
I
2
— 3
11
1 . 2
= o,
">
H-
I
2
-4
l .2
-+- 4 • 3 . 2 -
B,
— (i
+
I
2
— 5
11
1 .2
5.4.3 -
B,
.2.3.4
qu'on trouve les valeurs définitives.
Ces relations (A), du reste, découlent de
ex =
B,
Cette fonction Ç présente pour moi encore bien des difficultés;
par exemple, jusqu'à présent, je ne vois aucun moyen sûr d'évaluer
(') Dans ces formules, II (s) désigne, suivant les notations de Gauss, la fonc-
tion eulérienne r(s + i), et PRs la partie réelle de la variable imaginaire s.
LETTRE 75. [53
à peu près l'ordre de grandeur de C* lorsque /. rsi grand. Je penche
un peu pour croire que les C* eux-mêmes (sans être divisés pai
1.2. . .A") diminuent rapidement; mais je ne vois pas clair el peux
me tromper.
Je vous remercie encore d'avance, Monsieur, pour ht rédaction <!<•
votre démonstration de Ç(z + i) = — h Ç(z) el suis avec le plus
profond respect votre serviteur bien dévoué.
Développement de (j(.s-h-i).
Je pars de la relation
Ci ( S -+- I ) = 77—— / dx,
que j'écris d'abord sous la forme
G(s-hi)= - -+- — ï— / ( — l— — l—)&dx.
J s n<>)J0 Ve-1 — i x )
ce qui met en évidence déjà que
Çj(s-l-i) = G . (pour s = o),
C étant la constante bien connue d'Euler.
En développant l'intégrale suivant les puissances de s, il vient
(f) Ç(, + i) = I
«o-l- <*\S H s
n(s)V 1.2 1.2.3
OÙ
«.asjf"(ïJ_-Çl)(logar)-<fe.
Je vais calculer maintenant la valeur de an.
Pour cela, je rappelle que
Ll(s)= / x^e~xdx,
d'où, en différentiant « fois,
n<">(o)= / (loga?)" e~xdx = k l (logx -¥-logk)nerkx dx,
(2) / (loga?-t- \ogk)ne-kx dx = -^Tl"(o) (A>o).
I , j CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
En posant, pour abréger, log.r -j- log/. = T, on aura
f (log.r )" e~kx dx = J ( T — logÀ)" e~kx dx,
<-'o
et développant la formule du binôme, on trouve, à l'aide de (2),
(3) / (\o%x)ne-kxdx
' /, i A 1.2 k
Kn prenant successivement /. : = 1, 2, 3, . . ., /•, et faisant l'addition
,1 1 1
/»(/>-on<t_i)|nirnoir2^ , (iog3)' ,_, (iog/-)2i
Le premier membre peut se mettre sous la forme
e-
>—X
e~x x
'0
- (log.r)" dx
fx ç—.i g— r—\\c
-t- 1 (logx)'1 dx
— f ( ! ) e-iw-»>*(loffa?)« dx.
J0 \i-e-* xj
La première intégrale est précisément an, la troisième tend évidem-
ment vers zéro; quant à la seconde, en la désignant par/(/*), il vient
f'(r)— f e-{r+i)x(\ogx)" dx
c'est-à-dire, d'après (3),
/'(r) = — n«(o) - * n*-i(oj log(r + °
+ n<n~^ nc-«(o) [l0^/, + l)]2 -. . .,
LETTRE /O.
donc, /(/') s'évanouissant avec /•,
/(/•) = n»(o)log(r-Hi)- "iI-Ho)^
ni ii — i )
H —
I .
Il vienl donc
II«-*(o)
i
riog(/--Hi)3»
3
a»- f (,_'g-r ~ 5) «-'"-"'(logar)» r/.r
= n»(o)[j + ^ -+-...+ i-iog(#- h- i)J
!,,-■.
o"r i
_n«-'(o) -rJ-H-...+ _5__-[log(r+i)]«
B(n-)n^(o)'(1°
(log/-)2 I
ï[log(r + i)]«
et, pour r— co, en posant
G =-■+--■+■...+ - — log(/--+-i) (7' = 00),
c (Iog^+ _+(logr)*_ t
a /• A -t- t
(/• = oc, A- = i, 2, 3, ...),
«„=n«(o)G— -n«-i(o)Ci-+- "(n~l)n«-s(o)C2...
Cette valeur de an montre bien que la série
a ■■> . a„
«o-t- aiH 55 + . . .H
est le produit des deux séries
D(o) + nd)(o)H — —s'--
n»(o)
et
G„
C — Cjs-t-— s2— ...±
[ . 2 1 . 2 . . . /£
Or la première série étant le développement de n(^), l'équation (i)
donne
C(s-hi)= --h G- G,s-f- — s2 ^rS3 + ....
0 v 5 1.2 1.2.3
1 56 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
76. - STIELTJES I HERMITE.
Paris, >8 juin i885.
M on si 11 R3
En réfléchissant sur cette question de la continuation analytique
de fonctions définies par des intégrales définies dans une partie du
plan seulementj j'ai fail cette observation bien simple que
r(a)= / x*-* {er*-i + x-—±...± x ^ n)dx,
tant que La partie réelle de a reste comprise entre — n et — (n — i).
\ l'aide de cette remarque, on trouve facilemenl que la conti-
nuation anal \ tique de
f* r. ' — ' ri 7'
Wt1 «<pr«)
(••>i donnée par les formules
<p(a)= f X*-* (eJ_i ~^)dx (o<PRa<il
<t>(a)=f .r«-» f—r1 --h- -a?) (- 3 < PR« < — i
v 7 / ( ■ ' — i a? 2 î . > '
*(«)=/ .r'-1 ( — — — - — '-^h 4— jxAdx (— 5<PR«< — 3
v ' 7 \ e-r — i x i î . 2 i . 2 . o . 4 /
Ces formules sont d'un caractère bien différent de celles que je
vous ai d abord communiquées.
Comme (une) autre application, j'ai considéré la fonction
xa~x dx
définie d'abord pour o <^ PRa <C i seulement.
L équation
/(«) — r(a)=y i«-i|^- e~*j«te
LETTKK 77. I.')-
donnc déjà la continuation de /(a) dans la bande trois lois |>| u>
large
— 2< PR« <-t-r,
et l'on voil que, dans celle ha m le, f(a) a deux pôles, savoir a = o
et a = -+- 1 avec les résidus + i ci — i . Or, nous avons vu que
T(a)=f x«-i(e-x—\)dx (— i< PRa < o).
«/o
Donc
c'est-à-dire
f(a) =—/(«-+- i).
Cette relation, démontrée d'abord seulemenl pour les valeurs «le n
dont la partie réelle est comprise entre — i et o, peut s'étendre
ensuite à loul le plan.
Ce raisonnement bien simple, qui suppose toutefois la notion de
la fonction T, a donné ainsi les propriétés les pins caractéristiques
de la fonction f(a) et l'on peut déjà conclure que
/(«)sin«- et /(«) :
sont holomorphes dans tout le plan. On sait bien que
J ' sina -
J'espère, Monsieur, que vous voudrez bien recevoir avec votre
bienveillance habituelle ces remarques qui sont, je le reconnais
bien, d'une simplicité peut-être trop grande.
^ euillez bien agréer, Monsieur, l'expression de mon profond
respect et de mes sentiments tout dévoués.
77. — STŒLTJES A HERMITE.
Monsieur,
En continuant à creuser dans la nature de la fonction 'Cj :■), je
vois enfin la route ouverte pour arriver à tous les résultats annoncés
par Riemann. Cependant j'ai dû prendre un chemin bien différenl
que lui n'a indiqué, et le passage où il dit avoir obtenu le nombre
1 58 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DK STIELTJES.
approché des racines de 2; t) o à l'aide de l'intégrale / <YlngH(/)
me reste absolument incompréhensible; je ne vois aucun moyen
pour évaluer cette intégrale. J'ai été pourtanl assez heureux (à)
pour éviter cel écueil en démontranl celle propriété annoncée
ci nu me très probable par Riemann, que toutes les racines deÇl t) — o
sont réelles. Par là. la question esl ramenée à La discussion d'une
fonction réelle pour des valeurs réelles de la variable et cela esl fai-
sable, du moins, el j'ai fait assez dans celte direction pourêtre sûr
d'atteindre mon but.
Mais toutes ces recherches demanderont encore beaucoup de
temps; je dois, en outre, vérifier mes calculs des constantes <-,-
( ]_, ( '. , el je me propose <l \ joindre les valeurs des coefficients
I). I),. I), M, :
3 — I 1.2 [.2.3
i r"
D* = (loga)* + (log3)*+...+ [log(/i — i )]*-+- -(logn)*— / (log «)* dn
( k — i, a, 3, ...) D, = -log(2ir) — i .
Gomme je ne puis pas pousser, en ce moment, activement ce travail
,i cause d'autres devoirs, je me propose de prendre an peu haleine
el de laisser tout cela pendant quelques mois. Mais il n'y aura pas
d'inconvénient, je l'espère, à publier dan- les Comptes rendus la
Note ci-jointe qui, ce me semble, doil intéresser les géomètres qui
ont étudié le Mémoire de Riemann. La fonction Ç(-s) est intimement
liée a bien de- recherches arithmétiques sur certaines lois asymp-
totiques relatives à la suite des nombres premiers, etc. Par exemple,
quoique je ue I aie pas démontrée encore d une manière rigoureuse,
je n'ai aucun don le sur l'exactitude de cette proposition que
*\> ' ./• — log log x converge pour x = oo vers une limite finie dont
l'expression est un peu compliquée, Q>(x) indiquant la somme
-••• relative a tous les nombres premiers mle-
rieurs à ./■ . M. Halphen, du reste, dans les Comptes rendus du
à mars [883, a indiqué l'intervention de la fonction Ç(s) dans ces
questions.
Je m'estime heureux qu en vous demandant de me rendre léser-
LETTRE 78. [5g
\ [ce de (aire insérer dans les Comptes rendus la Noie ci-jointe ( ' ),
je pourrai maintenant moi-même corriger les épreuves, quoique
naturellement, j'accepterai avec reconnaissance les corrections
dans le langage <|ui pourraient vous sembler nécessaires dans le
cas que nous parcourrez ma Noie
Je suis avec un profond respect, Monsieur, votre bien dévoué.
78. Il ERMITE A STIELTJES.
Paris, o juillet [885.
Moi
Votre belle découverte au sujet de la proposition de Riemann
sur l'équation ç(i) = o m'intéresse au plus haut point, <i pour la
grande importa née du résultai d'avoir mis hors de (h m le celle pro-
position et aussi par la méthode que \ous avez employée. Rien ne
me fera plus plaisir que de connaître par quelle voie vous avez opéré
l'extension analytique du produit En i j à partir de z >> -;
cette voie est hors de ma portée et je ne puis m'en faire aucune
idée. Lundi prochain votre Note sera présentée à la séance de l'Aca-
démie; je n'ai rien trouvé à changer à votre rédaction cpii est extrê-
mement claire et correcte, si ce n'est que d'écrire c(z) au lieu de
Ç(.s) afin d'employer la notation dont Riemann s'est servi dans son
travail. Si vous voulez, je tiens à votre disposition pour y être inter-
calée, dans le cas où ce sçrait encore à votre convenance, la démon-
stration de la formule %(z) = ■ +(j(c)5 en allant corriger les
épreuves mercredi, à l'imprimerie Gauthier- Villars, vous l'ajoute-
riez à votre texte ('-).
Avec mes bien sincères et bien vives félicitations, je vous renou-
velle, Monsieur, l'assurance de ma plus haute estime et celle de mes
sentiments dévoués.
(') Voir Comptes rendus, Sur une fonction uniforme, t. CI, i3 juillet i885,
p. i53.
(-) Voir, Comptes rendus, la Note de M. Hermite, t. CI, i3 juillet t885, p. 112.
160 CORRESPONDANCE D'hERMITE ET DE STIELTJES.
79. _ STIELTJES A HERMITE.
Paris, 1 1 juillet i885.
Monsieur,
Recevez mes remercîments sincères pour la rédacti léfînitive
de votre démonstratioo de Ci s) = — ^ — f- §(%), cette marque de
votre bienveillance m'esl bien chère. Mais permettez-moi, main-
tenant, de remarquer que dans ma Note je me >uis tout à fait
conformé à la notation de Riemann.
Riemann pose «(5)= ?,~ ' Après avoir trouvé que
n(s-.)-_î«')
ne change pas en remplaçant s par 1 — s, il considère la fonction
obtenue en multipliant par - s(s — 1),
qui aura la même propriété. Ce qui revient à dire, qu'en posant
1
S - - - II.
■1
n
<> — 1)- -:>.
sera une fonction paire de t qu'il désigne par \{t).
L'expression qu'il trouve directement pour z(t). quifail voir en
ellet ipie celte foncti -,t paire, fournil < loue une seconde démon-
stration de la relation entre Zts) et Ç(i — s) obtenue d'abord.
Quanl à la fonction :< / >. vous voyez qu'elle a perdu le pôle s = 1
el les zéros s = — 2, - (. — 6 Or, la relation
■:««>=n('-?)
montre que Ç(s) n'a point de zéro dans la partie du plan où
partie réelle s > 1 . La relation entre Ç(s) el Ç(i —s) montre en-
LETTRE 7!(. iGi
suite que, dans La partie du plan où la partie réelle de s esl néga
tive, s = — », — \, — <>, • • • sonl des zéros, el les seuls zéros.
La fonction ç(£) ne peut donc avoir de zéros que dans la bande
où la paihc réelle de s esl comprise entre o et i, ou, ce qui revienl
au même, si l'on a ç(« j- bi) = o, A doil être comprise entre
et + - • Eliemann dit, maintenant, qu'il est très probable que tous
les zéros de la fonction ç(V) sont réels (b =o). Or, ayanl posé
s = — (- ti\ cela revient à dire que toutes les racines imaginaires
de Ç(s) sont de la forme - -{-ai, a réel. C'est sous celle lui nie.
légèrement différente, que j'ai exprimé la proposition deRiemann,
n'ayant pas voulu introduire la fonction ç(<f) qui n'esl pas l'objel
principal de la recherche el s'introduit plutôt comme auxiliaire
dans l'étude de la fonction Zis). C'est, du moins, ainsi que j'ai
envisagé la chose. 11 est vrai que celte fonction £(/) réunit en soi
toutes les difficultés si l'on tâche d'obtenir la décomposition en
lac leurs primaires de
s
(* — i)Ç(s)»=it»
En considérant l'expression obtenue par Riemann pour £(£), on
trouve bien qu'elle a des racines réelles; mais j'ai inutilement
cherché à déduire de cette expression, par intégrale définie, qu'elle
a toutes ses racines réelles, et j'avais désespéré de démontrer cette
proposition encore un peu douteuse, lorsque j'ai aperçu qu'on ob-
tient cette proposition en modifiant légèrement le raisonnement
de Riemann pour obtenir les zéros de Ç(s) en dehors de cette
bande mystérieuse où la partie réelle de s est comprise entre o
et i. En effet, si, au lieu de 1 : Ç(s) — I I ( • — ' ~ )' je <olls'-
Ps I
dère i : Ç(,) = i - 1 - L _ < + ± + . . . = V Zi
il
cette différence capitale, entre le produit infini et la série, que la
dernière est convergente pour s> -> tandis que, dans le produit,
il faut supposer s ^> i . Voici comment je le démontre : La fonc-
tion f{n) est égale à zéro lorsque n est divisible par un carré el
162 CORRESPONDANCE DHEKMITK ET DE STIELTJES.
pour les autres valeurs de n . égale à ( — i i*, /." étanl le nombre des
facteurs premiers de />. Or. je trouve que dans la somme
£-(7l)=/(l)-h/(a) -*-...+/( 71 i.
les termes — i se compensent assez bien pour <pie -,_- reste tou-
jours comprise entre deux limites Bxes, quelque grand que soit n
i probablement <>n peul prendre pour ces limites + i ci — n. De
la il -ii il . s étant > ->
lim = o
(n = xi
.1 de même la série ^ " 1+;r est convergente, | g(n) j désignant
la valeur absolue de g(n).
n-y-m
Ce qu'il faut démontrer, c'est qu'on peut rendre \ - — — aussi
petit qu'on veut par un choix convenable de n. Mais, à l'aide
de f[n ) = g(n) — g( n — i), cette expression devient égale à
sr( n -+- m i g(n — i")
i n -h m )s
Mais on a
ns
n* (n-i-iy i n — H )*-
(o<0<i).
Donc
-m
ri /i n i gin -h m | ,^(n — i)
i ra — 7W i-"
«*
s,^f« + i i
(n-4-6)*+i (ft + n-8')s+1
s % n m — ii
(, « — m — I -r- f) )•«+
i;.
Ur. la série > L£— -etaul eonver^ente. un peut rendre
' XC> ' _ !<?("-*-') 1 _ _^ \g(n — m — i)|
/<s~ ' (n + i)"1 ' (n-H/n — i )*+1
LETTRE 7Î). l63
aussi petit qu'on veul : la même chose a donc lieu pour I» en
posant
^ _/'( n i __ ff( n -+■ m i g{n — \)
( n ■+• m )s ns
R.
iv i î , ?( n ■■ m ) ff(n — i i
L)c i)liis, les lermes — — — r ci convergent vers zéro
1 i n ■+- ni y n"
el peuventêtre rendus aussi petits qu'on \ cul . Donc la sérieN :
est convergente pour s > -• Je crois qu'elle comerge encore pour
la valeur réelle s = - > mais je n'ai pu le démontrer. Ce qui esl cer-
tain, c'est qu'elle ne peut converger lorsque s <l - et, s étant -< ->
il est donc impossible que : — : reste comprise
entre deux limites fixes car on en conclurait, comme pins haut,
la convergence de > ; pour des valeurs de s inférieures à -,
Ami n" ' 1
ce qui est impossible . Gela montre plus clairement la nature de
cette proposition sur laquelle je me suis appuyé, que
\/n
reste comprise entre deux limites fixes.
Vous voyez que tout dépend d'une recherche arithmétique sur
cette somme/(i) -\-f('i) -h . . .-{-/(n). Ma démonstration est bien
pénible; je tâcherai, lorsque je reprendrai ces recherches, de la
simplifier encore.
Mais on peut déjà se faire une idée de la lenteur avec laquelle
croît g(n) (ou plutôt avec laquelle croit l'amplitude de ses oscilla-
tions) par la relation £= E( \fn ),
/ n \
=.-i + fc(*)5-(*)-A(«)/(i)-*(j)/(a)-...-*(j)/(*
la fonction h(x) étant égale à i ou à o, selon que E(x) est impair
ou pair. Comme g{k) est naturellement <^k en valeur absolue,
l'.j CORBESPONDAISCE li'll I HMITi: F.T DE ST1EL.TJES.
vous voyez que
»■ '(jh-Mî)
est inférieur à i k + i en valeur absolue, et même à k -f- 1 lorsque k
esl pair.
\ ous voyez bien, maintenant, comment cette étude de Ci s) m a
amené à des spéculations arithmétiques. Mais excusez-moi «I avoir
parlé, dans ma lettre précédente, de celle proposition
2, log logn = A l h x
■r "
qui a été démontrée déjà par M. Mertens [C relie, t. 78) qui a
donne'' aussi la détermination de V. a près avoir été, antérieurement,
considérée aussi par M. Tchebychef (Journ. de Liouville, ire série,
i . \ \ Il . Legendre, déjà, doit l'avoir ni tienne par induction.
J'espère, monsieur, que cette lettre n'est pas trop longue; je
i iens surtout à vous avoir com aincu que je ne me suis pas éloigné de
La notation de Riemann : c est, ce me semble, un léger malentendu.
Je suis, avec un profond respect, monsieur, votre bien dévoué.
80. — HERMITE A STIELTJES.
Paris, 12 juillet i885. ?
MONSIEU I! .
Vous avez toujours raison et j'ai toujours tort; j'avais cru lire
dans le texte de votre Note ; s), mais c'est bien £i s) que vous
avez écrit, conformément à la notation de Riemann. En vous
remerciant maintenant de votre dernière lettre que j'ai dévorée,
je doi> vous faire pari d'une inquiétude extrême que j'éprouve au
sujet de ma démonstration de la relation
r(*)Ç(*) = F(*)-t-Gi s .
On en conclurait en effet, d'après le théorème de Riemann.
F(s)-4-G(s) F ( i — s \ — G ( i — s )
I. KIT II F. 81. l65
ce qui est mille fois impossible el ; 1 1 > ^ 1 1 1 • < I < • , les pôles du premier
membre, sauf 5=0, s= 1, étant ions différents de ceux du
second membre.
Mes devoirs à l;i Sorbonne m'empêchenl toul autre travail el il
m'csi Impossible de découvrir où je me suis trompé, mais je ae
pins non plus 1111 seul instanl supposer que le théorème de ntré
de deux manières différentes par Kiemann ne soit toul ce qu'il y
a au monde de mieux établi. Ne croyez-vous donc pus qu'il serait
mieux de ne point publier ma démonstration qui est nécessaire-
ment fautive, bien qu'il ne semble pas facile de voir en quoi?
En vous renouvelant, Monsieur, l'expression de mes meilleurs
sentiments.
81. — HE R MITE A STIELTJES.
Paris, 29 juillet i885.
Monsieur,
Permettez-moi de vous informer que M. Lipschilz m'écrit s'être
vivement intéressé à ce que vous avez publié, dans les Comptes
rendus, sur la fonction Ç(s) de Riemann. L'éminent géomètre
ajoute que, lui-même s'est, à plusieurs reprises, occupé de cette
fonction el que, dans son Mémoire du Tome XGV1, page i(5 du
journal de Berlin, intitulé : Beitrage zu de/' Kenntniss der Ber-
nouillschen Zahlen, il a déduit de la formule générale de Riemann
la relation "Ci — 2/1+1)= > dont il a fait ensuite plu-
J in y
sieurs applications. Peut-être, Monsieur, penserez-vous devoir
citer ce travail de M. Lipschilz quand vous en aurez l'occasion
en publiant plus tard, dans les Comptes rendus, la suite de
vos découvertes sur ce sujet.
Permettez-moi aussi de vous faire part d'une intention (pie nous
avons eue, M. Darboux et moi, en vous demandant s'il vous con-
viendrait d'obtenir le titre de Docteur de la Faculté des Sciences
de Paris, qui vous ouvrirait l'accès dans notre enseignement supé-
rieur, et vous conduirait certainement, si toutefois une telle situa
lion vous paraissait acceptable, à devenir professeur dans une
Faculté des Sciences de province, en attendant que nous puissions
vous ménager une position digne de vous à Paris.
l66 CORRESPONDANCE IÙIKHMITE ET DE STIELTJES.
Nous avons tout lieu de penser que nos collègues de la Sorbonne
accueilleronl favorablement la demande qui leur serait faite en
notre nom de déclarer au Ministre de l'Instruction publique qu'en
raison de l'importance el de l'éclat de vos travaux analytiques, il
v ;i lieu de vous accorder la dispense du titre de licencié, et de
vous autoriser à présenteret soutenir votre thèse, sans avoir à jus-
tifier d'aucun grade universitaire.
\|. Darboux doit quitter Paris dans le courant de la semaine
prochaine; mais peut-être pourriez-vous le voiravantson dépari,
et lui faire connaître si le projet, dont nous avons eu l'idée, aurail
votre agrément. Vous auriez de lui. en même temps, sur la ques-
tion, tous les renseignements que vous pourriez désirer : quanta
moi, c'esl demain déjà que je pars pour les eaux de la Bourboule,
où m'envoie mon médecin. Je pense. Monsieur, que vous voudrez
bien voir, dans cette ouverture, un témoignage de la haute estime
que vous avez inspirée aux géomètres français, et c'est dans cet
espoir que je vous renouvelle, avec mes vœux pour le succès de vos
travaux, l'assurance de mon entier dévoûment.
82. — STIELTJES A II ERMITE.
Paris, 28 août 1880.
Monsieu n.
\ ous aurez appris par M. Darboux que | ai accepté de toutmon
cœur la proposition que vous il eux m'avez faite. Je ne peux m'eni-
pêcher de m mis dire coin ment cette marque de \ otre extrême bien-
veillance m'a touché et j'espère présenter ma thèse en quelques
mois.
Permettez-moi, maintenant, de vous communiquer quelques
résultats que j'ai obtenus en continuant mes réflexions sur la fonc-
tion Z. J'ai cru «pi ils pourraient vous intéresser parce qu'ils
semblenl se rattachera la théorie des fonctions elliptiques.
I .es dé\ eloppements
W — = 1 -I- iq -i- iqk - ....
1 kk C~ Y = 1 \/q~ — 6 y/q* — [O \/q™ - . ..
LETTRE 82. 167
conduisent à cette conséquence, qu'en posanl
f(x) — r -+- 2 e-K* -+- 2 e ~41ÏX -h . . .
71. r 9TC.r 25 TC 1
J\iKx)=e 4 —3e 4 -+-:> e ;
on a ces deux relations
(<) / (5) =**/(*),
(2) /l(j)=»Vl(*)-
Voici, maintenant, deux relations du même genre, Tmais qui ne
me semblent pas se déduire aussi facilement de la théorie des fonc-
tions elliptiques.
En posant
TZ.r- 47V. r IfiTt.r 2S7C.r
f2ix) — e 3 —2e 3 -r-4e 3 — 5e 3 -+-...,
c'est-à-dire, en introduisant le symbole de Legendre.
/.(.)=2(ï)«
cl
/.(-)=2(s)r—
avec la convention ordinaire que ( — j=o lorsque n est divi-
sible par 3 et de même pour ( — ) on a
(3) /»Q) =*•/»(*).
(4) /s f^) =*»/•(*)•
n* 7t X
J'indique, en quelques mots, comment l'étude de la fonction Ç
m'a conduit à ces relations.
Riemann a démontré, à l'aide de la relation (1). que
•(;)«!>
[68 CORRESPONDANCE d'HBRMITE ET DE STIELTJES.
ne change pas <'n remplaçants par i — s. Or. on posanl
C,(0 = .-5
les relations (2), (3), < j) permettent de démontrer de la même
manière que
- - / .s'
5) ■'(,•;
ÇiC*)i
ne changent pas en remplaçant s par 1 — .v. J'avais démontré
il abord ces propriétés de Çt, Ç2, £3 d'une autre manière, en me
servanl d'intégrales définies analogues à celle-ci :
r(*)Ç(*)= /*
.r'-'r/j
Entachant d'obtenir ensuite (après) une autre démonstration,
en suivant le chemin indiqué par Riemann, je n'ai pas tardé à
obtenir les résultats indiqués.
Les fonctions Ç( . Ç2, Ç3 présentent beaucoup d'analogie avecÇ(s).
Elles sont holomorphes dans tout le plan. Dans l'étude de la fonc-
tion Ç| (.v). les coefficients de la série
p G, , C4
sec /• - Un a:- +
1.2 1.2.3.
s introduisent de la même manière que les nombres de Bernoulli
dans le cas de la fonction Z( s).
Ces quelques résultats me portent à penser qu'on rencontrera
des résultats intéressants en étudiant les séries de Dirichlet
-H
n I n"
LETTRE 83. 169
Peut-être pourra-t-on arriver ainsi à la vraie généralisation de
ces relations singulières (1), (4)-
Mais, ayant découvert par une sorie de hasard ces relations (3)
et (4), j<- ne vous cache pas <pic je ne sais pas si elles ouvrent un
nouveau point de vue, ou si elles rentrent dans d'autres résultats
déjà acquis à la théorie des fonctions elliptiques. Vous qui avez
approfondi, dans toutes les directions, cette théorie, vous pourrez
en juger beaucoup mieux.
je suis, avec les sentiments les plus respectueux, Monsieur,
votre très dévoué et reconnaissant.
83. — STIELTJES A H Eli MITE.
Paris, 29 août i885.
Monsieur,
Permettez-moi de compléter, en quelques points, ma dernière
lettre. D'abord, j'ai omis une relation de la même nature que
(1). . ."(4) et qui découle encore de la théorie des fonctions ellip-
tiques. En effet, j'avais écrit
TC .»• 97M." 23 7CJt'
j\{x) = e 4 — 3 e '* -h 5 e 4 — ...;
fi {-)=** fi(*Y<
mais, en vertu de la belle relation bien connue
( 1 — q - -q* -+- 75 -4- q~ — q ' - — . . . )3 = 1 — 3 q -+- 5 q* — 7 q6 -H 99 lu . • . .
on aura, en posant
Vfi(*) = /*(*)»
/, (a?) = e~ ~» — e~ ~^~ — e~ ~û~ -t- e li -1-
(a) /4^=2(jK^
et
(5) fi(±)=**fi(*)>
n parcourant dans (a) les nombres impairs non divisibles par 3.
I-O CORRESPONDANCE DHERMITE ET DE STIF.LTJES.
En posanl
Y s) - 7 ( - | - (n impair comme tout à l'heure .
^^ n ) ir
cette relation 5 permet de démontrer facilement que
(£)_îr(':)c.<.>
ne change pas en remplaçant s par i — s.
Dans le choix des fonctions Ç| i s i, '~2' s), ... à étudier, je me
suis laissé conduire par cette analogie avec Ç s) que les /v'c/-
proques de Ç( s . Ç2 s peuvenl s'exprimer par desproduits
infinis où entrent seulemenl des nombres premiers et qui con-
vergenl certainement dès que s^>i.
r.n elfet. cela fait voir que ees fonctions n'admettent poinl de
zéros tant que la partie réelle de s est supérieure à un, et la rela-
tion entre Ç( i s i et Ç,(i - s) fait trouver dès lors toutes les racines
dont la partie réelle est négative et qui sont pour Zt s
— i , — 3 , 5
et de même pour les autres fonctions Ç.
L'introduction <\n symbole de Legendre dans les séries Ç, c est-
à-dire la considération de séries de Dirichlet, était donc tout indi-
quée. Mais, comme je l'ai déjà dit, j'ai trouve'' d'abord ces rela-
tions entre Ç|(s) et Ç, (i — s), ... tout à fait indépendamment
des relations (2). (3) lu comme, par exemple dans le cas de
la fonction
/2O) =2(j) '"' ' '
on obtient une série analogue en difFérentiant
6 ( — — — I = 1 — iq cos2a?-i- xq* cos 4-r — iq6 cos6.r. . . .
par rapport à r. et posant ensuite X = -. * j'ai commencé à douter
si l'introduction du symbole de Legendre dans ces séries f*(x\.
f*{x) était bien naturelle: il ne serait pas impossible, en effet, que
ces séries dussenl être regardées plutôt comme des fonctions qui
LETTRE 84. 17 1
naissent de la division de l'argumenl dans les fonctions 0. Mais
je viens de trouver un nouvel exemple; en posanl
on a
(6) /•( ;. ) =*V»(* •
et il ne me semble maintenant plus possible de douter que l'intro-
duction du symbole de Le^endre dans les séries (-) ne conduise à
des fonctions jouissant de propriétés remarquables el dignesd être
étudiées.
Mais j'ajoute aussitôt que je n'ai pas démontré cet le relation < 6 .
En effet, d'après la méthode bien imparfaite que j'avais suivie
dans les cas plus simples, cela m'aurait entraîné dans des calculs si
compliqués qu'on n'en voit pas la lin. Je me suis donc contenté
de vérifier numériquement pour quelques valeurs de x cette re-
lation el cette autre qui s'ensuit :
/i(0=-f/«(i).
Mais, avant trouvé un accord parfait en faisant le calcul avec sept
décimales, il ne me reste point de doute sur l'exactitude de cette
relation.
Mais, pour le moment, ce sont ces fonctions Ç qui m'occupent
encore toujours, et ce n'est qu'incidemment que j'ai fait cette
excursion dans une autre partie de l'Analyse.
Je suis, avec les sentiments les plus respectueux, Monsieur,
votre bien dévoué et reconnaissant.
84. - STIELTJES A HE R MI TE.
Paris, septembre i885.
Monsieur,
Je suis parvenu à étendre aux séries de Dirichlet la relation
donnée par Riemann entre Ç(s) et Ç(i — s). Je compte donner
dans ma thèse l'exposé complet de ces recherches avec les déve-
loppements qu'elles comportent. L'intérêt que vous avez bien voulu
CORRESPONDANCE D'BERMITE ET DE STIF.LTJES.
montrer à ces recherches me fail espérer que vous ae serez pas
mécontent d'en voir ici un échantillon.
Soit p un nombre impair sans facteur carré
/c) -2 (=) -.
(-] étant Le symbole généralisé <lc Legendre; // parcourant les
nombres entiers inférieurs <i premiers à /'. .!<• désigne encore par
i y) la série infinie
Je développe suivant la (miss, mec de x l'expression
f(e-x)
1 — e-i'J '
J'obtiens ce développement en décomposant en fractions simples
— ; en écrivant ensuite ë~x au lieu de ./•. développant ensuite
(0
en fractions les expressions de la forme el développanl
l e-x a 1 I
enfin suivant les puissances de x. Je trouve ainsi ces formules
f(e~x) \J p r . /"• , p3x3 p2X~* p'.r'
= -ï-t- B> ( 1 ) — tD(4) £-— -+- o(6 .1 L—. r — ©I 8) i-77-7 • • •
(/j = 1, mod 1 1,
. . ) -•— - 7= Le 0(1) — o ( 3 > Hr— -f- ©1 5 1 ' — r — © (7) -—7 - *
(/> = 3, mod 4 1.
Dans ces formules, \p doit être pris positivement. D'autre part.il
esl évident que les coefficients doivent être des nombres ration-
nel-. En égalant les valeurs indiquées ci-dessus avec ees valeurs
rationnelles, on obtient des formules qui me semblent devoir être
mises à côté de celles-ci, connues depuis si longtemps,
T~
1
1
-
r
-+-
. — —
6
1-
'$'-
—
I
1
4
0
>
-3
1
1
32
3»
5:j
LETTRE SV. i ; !
et qui découlent de développements analogues, mais élémentaires.
( les coefficients ont d'ailleurs un caractère arithmétique prononcé,
dans la formule (2) par exemple. — <p(i) a un rapport très simple
a\ ec le nombre des classes de déterminant - />.
Ces l'on mi les (1) et (2) conduisent aussitôt aux valeurs des inté
grales définies suivantes :
fX ■ Plr f(e~x) , " fie-*)
( 3 ) /sin - dx = -7= ■*- -, 10 2 1 . mod .
r* ptx f(e-<*) , TC f(e~*)
(4) / cos^- ^- '-dx=-j=± —L (p = 3, mod 4).
J air \ — e-t,x \/ p i—e-P* r
En effet, on n'a qu'à développer suivant les puissances de / et
intégrer alors à laide de la formule;
( M
' x*-l+ -dx = T(s)m(s)
i — e-P* *
r ( 5 ) r"
qu'on trouve aussitôt à l'aide de— —= I xs'ie~xdx.
De cette manière, les formules (3) et (4) sont démontrées en
supposant modt<Z — » mais on voit facilement, ensuite, qu'elles
restent vraies pour t = a . -f- bi à la seule condition que la valeur
absolue de b reste inférieure à — •
P
En multipliant, maintenant, ces formules (3) et (4) par
ts~ldt (o<s<i),
intégrant de o à 00, renversant dans le premier membre l'ordre
des intégrations, et faisant usage de ces formules
£
ts~* sin m x dx = — - — si a — ■
ts~~l cos mx dx = cos —
ms 2
on obtient la relation entre cp(s ) et cp(i — s), qu'on peut exprimer
!~4 CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJES.
en disant que
( — ) 1' - ■; .> ( lorsque p = i . mod j
' \ 'Y (-— ) o s p 3. mod i
/' \ ' '
ne change pas en remplaçanl s par i — s.
Ensuivant la voie que vous avez indiquée pour la fonction Ç (s),
|,i formule (5 l permet de reconnaître que f(s) est une fonction
holomorphe dans toul le plan, el 1 on peul alors étendre à tout le
plan cette relation qui Lie f(s) à çpi i — s). Cette propriété de cp(s)
donne lieu à la remarque .suivante :
( '. ni' on a
( - = / ./' e P tir.
/ - ■ — r- ' — ô — / rx '~' _ " ~ r
( — ) = / ./■ - ne P il r.
il ^ ienl . eu posant
/ \ »'-~.v
[ § r . — \ ( — ) e P ( p = i, mod .i .
/ (,J( .?■ i — 7 i ' - | ne P (p = 3, mk ni j .
- »-. *
I -" | "I' | - ) ipi s / ./-^ _1 3(x)dx,
| - | : r (/'^- I e I -v ) = / x~ £l -r | dx.
Les intégrales qui figurent aux seconds membres ne doivent doue
pas changer en remplaçant s par i — s.
L'analogie avec quelques autres formules du même genre donne
le plus haut degré de probabilité à ce que cette propriété se mani-
festera analytiquement par les relations
\ ' - ; &§{x\
-
Ç | - i - x*Q x .
x j ''
LETTRE 85. 176
En admettanl ces relations, on trouve
Jf ./ ' rT i x 1 dx ! ' x- -+■ x 2 j - ofo ,
0 -i *
/ r"*- Ç(x xir r I \x~*-\-x *~)Ç(x)dx,
ce qui montre bien l'invariabilité pour le changement de .y en 1 —.s.
Mais la démonstration de ces relations singulières (7) doit dé-
pendre certainement d'autres considérations. D'après ce <pii pré-
cède, cette démonstration fournirai I une seconde méthode pour
établir la relation entre o(s) et cp(i — s).
J'ajoute qu'il ne me reste pins le moindre doute sur l'exact itudr
de ces relations (7); numériquement, je les ai trouvées exactes
pour/) = 3, 5, 7, il et l3; mais pour p = 3, 5, j'ai une démon-
stration.
Mais je n'ai pas encore abordé le problème de démontrer ces
relations pour une valeur quelconque de p. C'est une étude qu'il
me reste à faire. J'ai supposé, dans ce qui précède, p impair, sans
facteur carré, mais il y a des formules analogues dans les autres
cas. Je dois réunir tout cela dans ma thèse. Je désirerais vivement
de pouvoir y insérer la démonstration de (7), mais je ne sais si je
serai assez heureux.
Ce sont là les choses dont j'ai cru pouvoir vous parler sans vous
ennuyer. Ces formules (1) et (2) m'ont donné quelque plaisir,
parce que leur établissement a levé les dernières difficultés qui me
haïraient le chemin.
Je suis, avec les sentiments les plus respectueux, Monsieur,
votre très dévoué et reconnaissant.
85. — H ERMITE A STIELTJES.
Flanville par Noisevilk- (Lorraine), 11 septembre i885.
Monsieur,
L'extension que vous avez découverte du théorème de Kiemann
à la fonction cp(s) =^( - ) xa est extrêmement belle et je vous
,-t', CORRESPONDANCE d'bERMITE ET DE STIELTJES.
félicite bien sincèrement de cette nouvelle découverte. Je trouve
aussi bien remarquables el intéressantes les relations que vous
Lirez du développement, suivant les puissances croissantes de se,
de la fonction ! el je n'ai pas besoin de vous dire une vos
i ,. /' ' •' i i
théorèmes non encore démontrés, mais qui me paraissent hors de
doute, sur les quantités
, . n'-TZ.r
V | t , e P ,
/ \ n*1ZJr
g r V( 'l )ne~~~P~,
onl attiré toute mon attention. II ne m a pas été possible, n'ayanl
n;i> mes l i \ i-t ■ s ici, de suivre I idée, qui a dû aussi, d'ailleurs, se pré-
senter à votre esprit, de les conclure des théorèmes fondamentaux
de Riemann concernant 1rs fonctions (-)(x). en remplaçant le sym-
boh : - i par les formules de Gauss, en sinus et cosinus: mais
peut-être aurez-vous déjà suivi celte voie et serez-vous parvenu an
résultat. Permettez-moi aussi d'appeler votre attention, au sujet
delà même question, sur un article des Anciens B. vercices deCau-
chy dans lequel le grand géomètre obtient précisément le théo-
/2Â K , ,, , •
rème concernant l - — comme conséquence d une relation extrê-
mement générale entre les fonctions auxquelles il donne la
dénomination de réciproques. Mais il vaudra mieux qu'à mon
retour à Paris je puisse causer avec vous de toutes ces choses
donl vous allez faire une des meilleures thèses qui aient jamais été
présentées à la Faculté des Sciences. Vous n'ignorez pas. sans
doute, qu'en mitre de la thèse imprimée, on demande une thèse
orale, c'est-à-dire une sorte de leçon de moins dune heure sur un
sujet élevé d'Analyse, de Mécanique un d'Astronomie, qui sera
laissée entièrement à votre choix : peut-être que l'exposition des
recherches récentes, dans lesquelles vous avez eu une si belle el im-
portante part, sur la variation de la densité à l'intérieur de la
Terre, pourrait faire le sujet de cette thèse orale. M. Darhoux
et moi nous ferions naturellement partie de la Commission d'exa-
men, el M. Tisserand, j'en suis sur, se joindra bien volontiers à
nous si vous faites choix, pour seconde thèse, de cette question
LETTRE 8G. 1-7
dont il s'est occupé. Mais, je vous le répète, vous avez pleine et
entière liberté, et nous accepterons toute autre question qui aura
votre préférence.
En vous renouvelant, Monsieur, mes félicitations pour le succès
de votre Travail, el vous priant de recevoir l'assurance de ma plus
liaule estime et celle de mes sentiments bien dévoués.
86. — STIELTJES A HERMITE.
Paris, i5 septembre 1 885 .
MoNSIEUH,
Je dois vous remercier beaucoup de votre dernière lettre el je
ne vous cache pas que je verrais avec plaisir que la Faculté choisit
pour sujet de ma thèse orale l'exposition des récentes recherches
sur la théorie de la figure de la Terre, auxquelles M. Tisserand a
donné l'impulsion. Un autre sujet auquel j'avais pensé, c'élail
l'exposition de la démonstration, due à M. Poinçaré, de l'exis-
tence d'une figure annulaire d'équilibre d'une masse fluide en
rotation uniforme, énoncé par MM. Thomson et Tait. Mais je crois
y devoir renoncer. Je suis trop accablé en ce moment et cela me
donnerait encore trop de travail.
Quant à ces propriétés de 5r(^r) et (/(.r), j'avais reconnu de mon
côté qu'elles découlent presque immédiatement des propriétés fon-
damentales delà fonction 0 et des formules de Gauss, en sorte que
votre prévision est réalisée complètement. En effet, sous la con-
dition au = tï, on a
(1) \J a (1 -+- xe~a" cos-iax h- 2e-4"' cos4«^ -+-...)
et pour 5 = i,2,...,/> — 1
(') 2(c) cos^P = (?) ^P (/> = *> mod4>,
(3) 2 (p) sin ^/F = (p) ^ {p ~ 3' mod 4 )-
Soit/? = 1, mod4, posons dans la formule (1)
_ sjt_ _ sb
X ~ "P ~ P
j-S CORRESPONDANCE d'HERMITB ET DE .STIELTJES.
fi multiplions par ( - )« En sommant sur les valeurs s = i . ■>..
p — i . le premier membre devient, à cause de i 2 .
Quanl au second membre, le tenue e '' donne naissance aux
termes
[p— \)'-b'-
'- e /''
et le terme e" _ ' ' aux termes
à cause de [ — ) = (— — )> ce son! les mêmes termes qui figurent
PI \ P 1
dans (a) : l'ordre seulement est renversé. Il en esl <le même des
termes <|ui prc\ iennenl de
et e-
cii sorte (|iie le second membre de\ ient
et, par conséquenl .
OU, eu posant
-x
a2 = ,
P
d'où
h1 - <tlj>-
p- px b-
x-
e '' = 7 ( — ) e /'"' . C.Q.F.D.
On peut dire aussi que, sous la condition ab = —, on a
1 1 P
•=2(f)— ' =^2(|H"
LETTRE 87.
La relation qui lie Ç(x) à §(-) > c'est-à-dire
sous la condition
r79
ne
PI
ab — — , p == 3 i mod i I,
s'obtienl de la même manière en partant de la formule obtenue en
prenant la dérivée de (1) par rapport à x et mettant à profil la
formule (3). Tout cela suppose p >> o sans facteur carré.
Les séries
D\ -^ V/D,
el
2(^K- o„ 2(=2
n»7t.
, y
nJTT.>- , t^ x n^TZ.r
2D
jouissent de propriétés analogues, /i parcourant les nombres
entiers positifs qui sont premiers à >A).
Ces fonctions $(jc), Ç)(x) jouissent-elles de propriétés ana-
logues aux fonctions modulaires? C'est là une question qui se
présente naturellement, mais dont je n'ai pu encore m'occuper.
Veuillez bien agréer, Monsieur, la nouvelle assurance de mes
sentiments de profond respect et de reconnaissance.
87. — HERMITE A STIELTJES.
i3 février 1S86.
Monsieur,
Permettez-moi de vous engager à vous présenter à M. Lucien
Lévy, Directeur des Etudes à l'Ecole préparatoire de Sainte-
Barbe, de la part de M. Désire'' André, Professeur de Mathéma-
tiques spéciales à cette école, à qui j'ai donné commission de vous
trouver des leçons, conformément au désir que vous m'avez
exprimé. M. Désiré André a réussi dans ses démarches el m'écrit
que M. Lucien Lévy vous recevra à son bureau, rue Valette, n° L
l8o CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE ST1ELTJES.
à 5h de l'après-midi, et que le plus toi que vous pourrez venir sera
le mi<u\. Peut-être, Monsieur, ferez- vous bien également de rendre
visite à M. André. 25, rue Gay-Lussac, qui est un de mes élè\es
et mathématicien distingué ayant publié dans les Comptes rendus
plusieurs Noies très intéressantes sur la règle des signes de Des-
cartes; je crois pouvoir vous assurer d'un bon et cordial accueil
de sa part.
Je prends à cette occasion la liberté d'appeler votre attention,
peu^ani que vous travaillez à votre thèse, sur un Mémoire de
M. Léopold Gcgenbauer, publié dans les Sltzungsberichte de
l'Académie des Sciences de \ ienne, LXXXIX Band, en 1884,
p. '.\- , et qui roule principalement sur la fonction 'C(s) de Rie-
niann. Nous \ trouverez une foule de résultais qui me semblent
très intéressants, mais vous serez meilleur juge que moi de leur
valeur. Je puis, si vous le désirez, mettre le volume à votre dispo-
sition .
En \ous renouvelant, Monsieur, l'assurance de ma plus haute
estime et celle de mes sentiments bien dévoués.
88. - STIELTJES A HERMITE.
Paris, i3 lévrier 188I).
Monsieur,
Je viens de recevoir votre lettre, et je dois vous remercier de
tout mon cœur, quel que soit, du reste, le résultat de la visite à
M. Lucien Lcvy que je ne larderai pas à faire. Je ferai aussi avec
un grand plaisir la connaissance de M. I). André, dont je me
rappelle bien les Noies dans les Comptes rendus. L'ingénieuse
définition de certains nombres entiers qui donnent aussitôt les
coefficients clans les développements de lan-./-, séc#, comme
nombres «le permutations, jouissant de certaines propriétés, s'est
gravée dans mon esprit.
Je travaille à ma Thèse Etude de quelques séries semi-conver-
gentes, <'ii Acu\ mois j'espère l'avoir finie. \ ous voyez, par là,
que j'ai abandonné ma première idée. En effet, d'un côté, j'étais
peu content de certaines parties et, de plus, j'avais vu que le
LETTRE SS. l8 !
sujet comporte encore de grands développements que j'entrevois
un peu, mais qui demandent encore beaucoup de travail. En
m'indiquant, l'an dernier, un Mémoire de Cauchy sur les fonc-
tions réciproques, vous m'avez nus sur la voie «les questions
nouvelles qui se sont présentées à moi. Vous voyez, par là, que je
dois encore remettre à quelques mois l'étude du Mémoire de
M. Gegenbauer que vous venez de m'indiquer, malgré l'intérêl
qu'elle m'inspire.
Ma Thèse contiendra beaucoup de choses qui vous intéresse-
ront bien peu. Ce qui vous plaira peut-être le mieux, c'est que
j'ai l'idée dune série semi-convergente pour V(ai) a réel très
grand ou plutôt de logT(«/).
La défini lion de Gauss
g li loï 11
V(ai)= : ; — (n = oc)
■ / (" \ I '" \
ai ( 1 -+- ai ) ( 1 -\ 1 • • • ( H 1
montre de suile qu'en posant
V{ai) = R(cos0 -t- i siii© ),
R =
c'est-à-dire
et
«2(i-i-«2> 1
a«\/ a2\
y a ( e™ —
e— lia |
.7: a <i
8 = a lof; /i ~ arc tanga — arc tang ... — arc tang ( n =: 00 ),
où l'on doit prendre le signe supérieur ou inférieur, selon que
a est positif ou négatif et les arc tang compris dans les limites ± -•
Vous voyez que
logr(ai') = logll -+- iQ
et la série semi-convergente est celle de Stirling appliquée à des
valeurs imaginaires. Quoique celle idée de considérer, dans la
série de Stirling, des valeurs imaginaires est bien simple et <|ue je
l'ai eue depuis longtemps, sans la développer pourtant suffisam-
ment, je n'ai pas vu qu'on l'ait eue déjà. Pourtant, il m'est
difficile de croire qu'elle soit nouvelle. Je me rappelle aussi que
,n, CORRESPONDANCE d'hERMITE F.T DE STIELTJES.
Gaussa calculé je crois) ' la valeur de EI(i) = T(i -f- /) en la
déduisant de II io h i), cette dernière quantité étant obtenue à
l'aide de la série <lr Stirling,
L'observation qii<-
/ 27t
iiiimI ]///<-{ —
\ ai ,-•" — e--a |
el la formule de Binet
log ri a \=(a— ' | log a - a - log v/âît -+- £ J e«* -^- dx
i p. \n\ de votre Cours, second tirage) donnent lieu à cette
conséquence
r° - ' ' / i / ■ \ i ^
/ cosax- ■ dx = \o«{ ^— ia>oi.
ce qu'on trouve aussi facilement à I aide de
'■f t ■'- » _ v^ 4
X- ~ ** n X1 -f- 4 n* TT2
1
( p. ici de votre Cours et
/ cosax , - , ,
/ — 7- dx = — r e-a" h o, « - o i.
^/_ .r-— 62 > h
Tout cela est si simple que j'ai peine à croire que c'est quelque
chose de nouveau.
\ euillez accepter. Monsieur, la nouvelle assurance de mes senti-
ments de reconnaissance el de profond respect.
(') Note des éditeurs. ~ Gauss (Werke, t. III, p. 23o) a donné, dans un
allier de Notes, la formule
ni — -i- il |g8 01 5 6 — ". 1 V| g Jg6 /.
LETTRE 90. I 83
89. — HE RM ITE A ST1ELTJES.
Paris, l 'i février 1886.
Mon!
Votre expression de logr(ai) est extrêmement élégante et
m'intéresse beaucoup. Si vous vouliez bien prendre la peine de
rédiger pour moi la démonstration de la formule
0 = a loer/i ± — ■ — arc tanga — . . . — arc tari" - >
8 9. & IL
je l'ajouterais à ma Leçon sur les intégrales eulériennes, dans la
troisième édition de mon Cours à laquelle je travaille et j'aurais
grand plaisir à vous associer à mon œuvre et à faire connaître
votre nom à mes élèves. A cette occasion, permettez-moi de vous
informer que M. Lipsichtz a donné, en 1 85>j, dans le Journal de
Borckardt, l'équation
r'(rt + /6 + i) . . ., i i
— — — -. — - = log(rt -t- ib) H — 77 -+-...
I ( a -+- ib -+- î ) -x a-r- ib
\— l),;'B-2m I_ B„1+| S -I- s' t
im ( a -+- ib)im im ■+- ■>, aim
où s et z' sont «< i .
En vous écrivant hier, j'avais mis sur l'adresse de ma lettre
le n" 125, j'ai eu crainte, en me rappelant après que vous étiez
au n° 120, qu'elle ne vous parvînt pas, et j'ai écrit une seconde
fois; peut-être que vous aurez eu les deux lettres qui contenaient
absolument la même chose. En vous souhaitant bon courage pour
votre étude des séries semi-convergentes, je vous renouvelle,
Monsieur, l'expression de mes meilleurs sentiments.
90. — ST1ELTJES A H ERMITE.
Paris, i4 février ii
Mon;
En recevant ce matin une lettre conforme à celle que j'avais
reçue hier, j'ai tout de suite expliqué ce fait comme vous venez
de le faire, quoique je n'avais pas remarqué l'erreur dans l'adresse
] S | CORRESPONDANCE [)'HERMITE ET DE STIELTJES.
de votre première lettre. Mais vous m'avez rendu un très grand
service en tn'indiquant le travail déjà ancien de M. Lipsichtz <|iii
m'étail inconnu el doni je dois prendre connaissance.
Je suis bien convaincu que M. Lipsichtz a. pour la première
fois, étendu à des valeurs complexes, sinon la série de Stirling,
du moins sa dérivée. Nous trouverez |>lus loin encore une
remarque sur la formule de M. Lipsichtz.
Vous me demandez une démonstration de la formule
| V(ai) = Re®'}
B — a\o<ïn— arc ta ne a- ... — arc tarie— (i = °°)i
'2 c n
mais il me semble qu'elle exige à peine une démonstration spé-
ciale, car, en considérant 1 expression
gai \ogn
T(ai) = - — : — — — (n = <x>),
. "i / ai
m \ i - — ■ • • i —
\ • / "
il suffit de se rappeler que l'argument d'un produit est égal à la
somme des arguments des facteurs.
Je développe un peu ce que j'avais peut-être indiqué trop
confusément dans ma lettre. D'abord, rien n'empêche d'attribuer,
dans la formule de Bine t.
(i) logT(a) = (a I \osa — a -+- logi/airH — / - — • — e~a-r dx
■ij •> ^f a ■-
à la variable a une valeur imaginaire, à condition seulement que
la partie réelle soit positive. [La fonction o(.v) a le même sens
(pie dans votre Cours; si j'ai remplacé x par — x dans l'intégrale,
c'est parce que cela me semble faciliter un peu quelques dévelop-
pements ci-après.] Je remarque que les expressions logT(«)
et log<7 ont une détermination unique par la condition même que
la variable ne doit jamais traverser l'axe desy. Mais il est permis
encore, dans cette formule, de remplacer a par ai parce que :
i" L'intégrale
r* a(x) . , /•" oi./-i . .
/ - — — e~alx dx — I - (cosax ~ i smax ) dx
a un sens. On s'en assure, d'après une méthode bien connue, en
LETTRE 00. |8:">
changeant les intégrales en séries donl les termes sont alternative-
tnenl h <vt — , tandis qu'ils diminuenl indéfiniment.
Et 2° Parce que
/ -' e-a<-' dx
. I() x*
csi réellement la limite vers laquelle tend l'expression
Cp ( x )
l±—Le-hxe-aixdx
Jf
lorsque la quantité positive b tend vers zéro. Mais, comme peut-
être la démonstration de cela vous semblera à peine nécessaire,
je la rejette à la lin de cette lettre.
En remplaçant donc, maintenant, a par ai, il vient, en suppo-
sant a >■ o.
lot; Y (ai) = (ai ) ( loga ~\ ) — ai -+- log \f%r:
i r°° cpO) . .
H — / - — — -(cosax — ismaxdx),
*J0 x*
d'où
i d i / — ~n ' i \ r°° ®(x) .
(a) log R = log y/2 ^ loga H — / - — — cosaxax,
2 2 «-' o a7-
/ 0 û 1 ^ r C °° ? ( X ) ■ ,7
(i 0 — a loga — a / -i sm a;ra;r.
L'intégrale - / * 9 sinax dx, qui figure dans la valeur de 0,
2 .y0 . a?
converge vers zéro pour « = oc, et c'est celle qui donne la série
semi-convergente en peut obtenir cette série semi-convergente
de beaucoup de manières. Une des plus simples me semble celle
qui consisté à appliquer une intégration par parties à l'intégrale
i r™ cp(.r) . . "1
- / J smax dx , en sorte que
2j0 x* J' l
B, • B3
(4) 6 = a loga — a —
> . i . aJ
mais la discussion du reste est beaucoup plus difficile que dans
le cas de la formule de Stirling. De fait, on peut continuer la
série jusqu'au plus petit terme et l'erreur est alors du même
1 86 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
ordre < | u< - ce terme; en sorte que La série est toul aussi pratique
que celle de Stirling.
\ cel égard, je remarquerai que, dans la formule de M. Lipsichtz
que \ ous m'avez communiquée
I' a ib i . .. I!,„.i i — i'i
logi a H i/> + ... h
I ,i ■ ih +|)
, 2 m
le terme complémentaire devient infini pour a = o, en sorte
... . , . • • | , T'ub — n
<|u il reste douteux, «lu moins, qu on puisse calculer YT7Ï~ — 7
ou — pour de grandes valeurs de b, par une série semi-conver-
r(ib) ' '
gente.
< )i . comme je \ iens de le dire plus haut à l'égard de T(ib), cela
esl effectivement le «'as. Je crois donc que mon travail ne sera
pas inutile.
\ ous voyez par la valeur de 0 et par R = i/ — . „„'"' — -— que,
lorsque le point :■ parcourt la partie positive de l'axe des y, en
s'éloignant de l'origine, le point dont l'afflxe est ri;) finit par
décrire, dans le sens positif, une spirale, en se rapprochant
rapidement de l'origine, la vitesse angulaire croissant aussi indé-
finiment et, de là, on voit comment se comporte la fonction holo-
morphe^-
Considérons encore les intégrales <jui figurent dans les for-
mules i 2 i el i 3 . ou plutôt celle-ci :
O I ./• I
j e+aix ,lx
■2
' f
■ «
(pu les réunit.
Au lieu d'intégrer le long de l'axe des x, de o vers A, il est
permis d'intégrer le long de l'axe des y, de o vers B, en évitant
li> pôles de »(■») par de p. 'lits demi-cercles de rayon infiniment
petit z< puis d'aller «le I! vers A. par un quart de cercle.
L'intégrale, le long de BGA, s'évanouit à la limite pour n= oc,
M ne reste donc que l'intégrale de <> vers B. En posant x = it. on
obtient, (tour la partie rectiligne,
J r1
LETTRE 90. 187
et l'intégration doil s'étendre de o à :>tz — e, de ■>.t. |- s à
(2n+2)TLi'
B
2nru
\C
<HTl'
)
2 ni.
)
oc
0
A
; comme ty(it) est réelle, celte partie est purement
imaginaire.
Quant aux petits demi-cercles, ce sonl évidemment des moitiés
de résidus, et à cause de
1 œ ( a? ) ^1 1
•1 X- J^2/ITZI X — Xll-Kl X -+- 2/lTtl /
on voit que le pôle amzi donne le terme
Ces demi-cercles donnent, par conséquent, la partie réelle de
l'intégrale et
[ r °° » ( x ) . v '
/ -i cosax dx = y — e-îann
2 JQ x* —* -x II
= - IOg
1 b\\ — e-l«K
mettant celle valeur dans (2), je retrouve la valeur
lo°R = -loe
•x ai ea7ï — e "^ >
bue j'avais conclue d'abord, en envisageant directement la valeur
de T(ai) d'après la définition de Gauss.
Mais la nouvelle forme de la partie imaginaire
1 rx v(x) . . 1 r o(ît) , ,
- / i- — -smaxdx = — - / -^-— - e~at Jt
1 J x1 ■> 1 , 1 fl
1 / de o à ait — s, 2r + e à iJïï -si
se prête difficilement à des développements ultérieurs en vue de
[88 CORRESPONDANCE I) HERMITE ET DE STIELTJES.
h série semi-convergente. On obtienl une forme plus utile en
écrivanl
/ , ■"'■'■ dx - > / —,
2 / x* AàJ0 *«-f-4n«ic«
0
a?2 | // '--
jinaire peut s exprimer alors par le logarithme intégral.
r" iealx dx , . -.i • •
cl en iiaiiani / — ; — , <le la même manière. La partie îma-
' .r- a1-1 '
J'ajoute maintenant une démonstration de ce fait que les
intégrales
DU = / - — — ( i — e~bx) cosax dx,
■ \ x-
rx o(x)
Ks = I J (i — e~bx) siaaxdx
. ' ■''-
convergent réellement vers zéro en même temps que b. J'écris
.m = / = DU. i + DTL j + DU
On a
/'■,
• o . • 1 -,
i ;),l' i < f ^r ( ■ — e~i,x ' dr <(•—«-*) r ^p
T 7
1 ÙK s i < T ~— i i - e-»* ) dx < ( i - e-** ) T ?1^ ./.r
On voit par là que DTL4 et DR/2 convergent vers zéro, car
©1 x 1 ,. .
J — -1- reste unie.
./-
Pour faire voir rigoureusement que lim0)l3=o. j'applique le
second théorème de la moyenne
/ u(x) v{x) dx — u{a) / v(x)dx-hu(b) I v{x)dx.
Gela suppose que u(x) varie toujours dans le même sens.
\l. Dini (Fundamenli, etc.. |>. 36o a étendu cette formule au cas
où l'une ou l'autre des limites (ou même toutes les deux) sont
LETTRE 90. 189
infinies. Dans notre cas, u(x) (1 — e~bj ') , il vienl
/"" o(x)
011 3= / - (1 — e~bx ) cosax dx
= (1 — e-s/>) ! -— - - cosax dx -+- I cosax dx.
Or, comme l'intégrale / -j — — cosax dx a un sens, on a
y r0?!^) 7 i- f ?(*) j
litn ; cosax «.r = o, Inn / - — — cosax dx = o,
. - xl l„ x1
donc
lim 0)1 3 = o
et, finalement,
lim 31L = o.
La même démonstration s'applique à l'intégrale n.
(Note. — Il paraît bien à peu près évident cpie
/' °° ce ( X )
— ( 1 — e—°x) cosax dx = 0,
/T *'
Vï
mais, si l'on exige une démonstration rigoureuse, je n'en vois pas
de plus simple) ( ' ).
J'espère, Monsieur, que vous voudrez bien excuser la longueur
de cette lettre et me conserver la bienveillante afï'ection dont vous
m'avez donné tant de preuves.
Votre très reconnaissant et dévoué.
( ' j Note des éditeurs. — Le Mémoire où Slieltjes a exposé les résultats contenus
dans cette lettre est inséré au Tome V de la 4* série du Journal de Liouville,
1889, p. 425-444.
'9°
CORRESPONDANCE D MERMITE ET DE STIELTJFS.
91.
s l U.I. TJES A //ATM// TE .
Paris, in mars i Vv1'.
Mon si i i i;.
Je viens de déposer ma Thèse au Secrétariat de la Faculté des
Sciences. Comme seconde Thèse, je voudrais bien exposer la
démonstration due à M. Poincaré de La possibilité d'une figuré
annulaire d'une masse fluide en rotation, ("est un sujet qui m'in-
téresse beaucoup et j'ai encore quelques mois de temps, certaine-
ment, avant que ma Thèse ne soil imprimée.
En travaillant à ma Thèse, j'ai reconnu que la formule
T(a)
:■-' d:-.
donnée par M. Heine clans le Journal de Borchardt, est due a
M. Hankel. élève de Riemann. et qu'une mort prématurée a
enlevé à la Science. Dans un Mémoire paru dans le Journal de
1/ . Schôlmilch (t. I\. p. i. iN(>| ). il donne cette formule
I Fe-' <li.
Ce Mémoire, écrit visiblement sous l'influence îles idées de
Riemann, contient beaucoup de choses intéressantes. Le sujet
n'ayant pas un rapport direct avec les développements de ma
rhèse, je n ai pu mentionner celte remarque dans ma Thèse.
Je n'ai pu retrouver dans aucun Mémoire publié La spirale que
décrit le point -» mais d'après un passade du Mémoire Ueber
1 1 i ai ' f b
die tnzahl Prinzahlen, etc., je suis convaincu que Riemann
avail déjà reconnu la manière dont se comporte lorsque
; décrit l'axe des y.
\ euillez bien agréer, Monsieur. 1 expression de mes sentiments
de respect el de reconnaissance. Votre dévoué.
LETTRE 93. 191
92. STIELTJES A HERMITE .
1 Extraits. >
Paris, 2 avril 1886.
... iNole concernant la Thèse Recherches sur quelques séries
semi-con vergen les.
L'exactitude des nombres donnés dans ce Travail esl assurée
par un calcul fait en double. Seul, le calcul de //(i 0000000000
n'était pas contrôlé. En revoyant ce calcul, on a découverl une
faute d'écriture, par suite de laquelle les nombres donnés dans le
manuscrit sont inexacts. On prendra soin de faire les changements
nécessaires en corrigeant les épreuves.
Nombres exacts à substituer à ceux donnés dans le manuscrit
de ma Thèse :
ea — 1 0 000 000 000,
a = > ! ,02 "1 Kloy. . . ,
N = 22 ,691 66,
n = ■>.■>.,
1 =0,691 66,
li(ea) = i55o556i4, 22267 o,3>i5;a.
(A) li(ea) = £55o556i4,5854,
En prenant n = 23, 7) = + 0,026 8009. . . et en calculant lî2:!
par la formule (7), on trouve, avec une erreur inférieure
à ( > , 000 O I ,
(Bi li(ea) = 455o556i4, 5o662.
93. STIELTJES A HERMITE.
Paris, 3 avril i88(i.
Monsieur,
J'ai de nouveau recours à votre bienveillance pour vous
demander de vouloir bien présenter à l'Académie des Sciences la
Note ci-jointe ('), où j'appelle l'attention sur un article intéres-
(') Note des éditeurs. — La Note citée a paru dans les Comptes rendus, 1. Cil,
p. 2o5, 5 avril 1886, sous le titre : Sur le nombre des pôles à la surface d'un
corps magnétique.
i,,j CORRESPONDANCE D'ilERMITE ET DE STIELTJES.
sanl de M. Reech. La solution de la question traitée par M. Belli
„'\ trouvait d'avance et !<■ résultat de M. Reech est même plus
complel .
Dans le second tirage de votre Cours, vous citez (p. 100) le
i -' Cahier du Journal de V École Polytechnique, en parlant de
l'expression log I '(a) découverte par Binet. C'est le 2-e Cahier qui
contient le grand Mémoire de Binet.
Je suis, avec le plus profond respect, Monsieur, votre très
reconnaissant et bien dévoué.
94. — HERMITE A STIELTJES (t ».
(Dimanche) Paris. 4 avril 1886.
Monsieur,
Notre Note fera grand plaisir aux amis de M. Reech qui aurait
mérité d'appartenir à l'Académie des Sciences, et, comme vous.
j'avais été très frappé de l'article dont vous avez tiré une consé-
quence physique importante. Mais de physique je ne m'occupe
guère, je fais une troisième édition de mes Leçons, dans laquelle
je corrige bien d'autres inadvertances que celle que vous me
signalez [tour la citation du Mémoire de Binet sur les intégrales
eulériennes. Sur la question de la fonction de Riemann
je \iens de remarquer que (j(s) pour s positif est toujours entre
les limites ~ et 1 ; on a d'ailleurs (j(s) = 1 pour s infiniment grand
positif. Vous vous souvenez que je vous ai cherché querelle, l'an
dernier, sur cette fonction Çj(s) qui me semble bien mystérieuse,
la remarque concernant sa limitation me jette dans un abîme de
perplexité.
A vous, Monsieur, bien affectueusement.
(') Note des éditeurs. — Cetlc lettre ne porte pas de date. .Nous l'avons placée
immédiatement après celle du 3 avril 1886 qui est un samedi.
Mon
LETTRE 0(). Iû3
95. — STIELTJES A HERMITE.
Paris, i i juin 1886.
SIEUll,
Ma thèse étant imprimée, je viens vous demander de vouloir
bien fixer, en accord avec MM. Darbonv et Tisserand, la date el
L'heure de l'examen public.
En même temps, j'espère que vous ne me refuserez |>;is l'auto-
risation de mettre votre nom à la première page de mon travail en
sons le dédianl .
Veuillez bien agréer, Monsieur, l'assurance de ma profonde
reconnaissance et de mon entier dévoûment.
96. — HERMITE A STIELTJES.
Paris, 1 1 juin ]88G.
Mo
NSIEUR,
Je vous remercie de tout cœur, et je saisis l'occasion de vous
renouveler l'assurance des sentiments, que vous me connaisse/
depuis longtemps, de la plus baute estime et de vive sympathie.
Permettez-moi de vous apprendre que, au moment où vous
devenez Français, je deviens quelque peu Hollandais, ayant été élu
membre étranger de la Société des Sciences de Harlem. Pourriez-
vous, si vous le jugez convenable et que vous en avez l'occasion,
dire (pie je vous ai personnellement exprimé, que j'ai été extrê-
mement touché et <pie je suis profondément reconnaissant de
l'honneur de cette élection. Je crois être le seul mathématicien,
parmi les membres de l'Institut, qui soit membre étranger de cette
Société.
En vous priant, Monsieur, d'accepter quelques opuscules qui
vous parviendront prochainement, entre autres la première Partie
de la nouvelle édition de mes Leçons de la Sorbonne, et vous
renouvelant l'assurance de ma bien sincère et toute cordiale
affection.
i3
ig', CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJES.
97. — HERMITE A STIELTJES.
3o juin 1886.
Mon -ut y.
Après avoir demandé au Ministre de L'Instruction publique, au
nom de la Faculté, de vous appeler à remplir une position dans
l'enseignemenl supérieur, je viens vous prier de vouloir bien me
faire connaître si la Faculté des Sciences de Toulouse sérail à
votre convenance, ou bien >i vous donneriez la préférence à Lille,
où une place de maître de conférences pourrait également vous
être offerte. Le doyen de la Faculté de Toulouse, qui esl un de
mes élèves, esl aussi directeur de I ( observatoire; je suis bien sûr
que vous auriez avec lui les meilleurs rapports; en même temps,
je dois vous dire qu à Lille, où la vie est plus chère, il y a aussi la
possibilité d'être appelé à enseigner dan- l'Institut industriel, el
M. Boussinesq y a été longtemps professeur. En attendant votre
réponse, je vous prie, Monsieur, de me permettre de me débar-
rasser d'une inquiétude; vous avez encore à attendre votre nomi-
nation, et je ne puis m'empêcher île craindre pour vous des
difficultés que je désirerais extrêmement vous éviter. Excusez
donc mon indiscrétion et ne 1 attribuez qu à mes sentiments de
sympathie et de bien haute estime que je vous renouvelle en vous
félicitant, en mon particulier, pour votre Thèse encore plus vive-
ment et mieux que je ne l'ai fait en public.
Votre bien sincèrement dévoue.
98. — STIELTJES A HERMITE.
Paris, 27 octobre 1S86.
MONSIEI l:.
Je viens d'apprendre hier que je suis chargé d'un cours de
mathématiques a la Faculté de Toulouse. En apprenant cette
nouvelle, je dois vous renouveler l'assurance de ma profonde gra-
titude pour tant de bienveillance et d'amitié que vous m'avez
LETTRE 99. i|)'i
voulu montrer. Mais, Monsieur, je suis incapable <l exprimer en
paroles le sentiment que m'a inspiré votre conduite envers moi!
Je ne peux qu'exprimer tous mes vœux pour votre bonheur el
celui de ions les vôtres.
Voir»' sincèrement dévoué.
99. — ST1ELTJES A 11 ERMITE.
(48, rue Alsace-Lorraine) Toulouse, i5 décembre 1886.
Monsieur,
Depuis longtemps, j'ai voulu vous écrire pour vous dire que je
me trouve très bien ici et que je suis tout à fait content. Je donne
un Cours (deux leçons par semaine) à quelques boursiers d'agré-
gation ( théorie des fonctions d'une variable imaginaire) qui sont
de bons travailleurs, et ensuite une Conférence pour ceux qui se
préparent à la licence et qui sont assez nombreux.
J'ai fait aussi avec beaucoup de plaisir la connaissance de
M. Baillaud, qui vous accorde volontiers tout le crédit de temps
que vous voudrez pour l'article que vous lui avez promis. Seule-
ment il y tient beaucoup et il espère ainsi que vous ne l'oublierez
pas. Mes autres collègues, ici, m'ont fait aussi un très bon accueil.
J'avais déjà l'intention de reprendre mes recherches sur La
fonction Zn~sel sur les lois asymptotiques pour les rédiger conve-
nablement, lorsque j'ai vu la Note de M. Kronecker où il en
fait mention. Mais il me reste beaucoup à faire et je veux par-
courir maintenant attentivement tout ce champ de recherches où
il reste encore tant à faire.
En attendant, je vous offre une Note pour les Comptes fendus ( ' )
que j'ai pensé à rédiger en lisant l'article de M. Kronecker. Je ne
crois pas inutile d'appeler l'attention des géomètres sur cette
question très délicate
lim/'(a?) =/'(i)?
(') Noie des éditeurs. — La Note cilée a été présentée à l'Académie le 20 dé-
cembre 1886, et est insérée aux Complet rendus, t. CIII, p. 1 a'j 3-i-2.'|(J, sous le
titre : Sur les séries qui procèdent suivant les puissances d'une variable.
i |6 CORBESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJIS.
.Je n fii sais rien; pour Le moment, je penche à croire que cela
n'est pas vrai généralement.
Veuillez bien agréer, cher Monsieur, La uouvelle assurance de
mes sentiments «le profonde reconnaissance el de respect.
100. HERMITE A STIELTJES.
Paris, 1 7 décembre 1886.
VIoj
Votre Communication, qui sera présentée lundi à L'Académie,
est extrêmement intéressante et je vous en fais mon sincère com-
pliment. En voyant avec quel succès nous traite/, ces questions si
délicates de Limites de valeurs des fonctions, dans le voisinage de
leurs discontinuités, la pensée m < :s1 venue d'appeler votre atten-
tion sur un pomi de La théorie des fonctions qui me semble digne
d'intérêt. Rien n'est, en général, plus facile quand on donne, sous
forme rationnelle et entière, une relation entre des fonctions
n'ayant que des discontinuités polaire-, que de \<>ir commenl
disparaissent les pôles dans celle relation.
\lai>. Lorsque au heu de points isolés on a des Lignes entières de
discontinuités, il u en esl plus de même. Considérez, par exemple,
la fonction yk = »(w), qu'on obtient en posant </ r'77'" dans
L'expression
y/h \!:>\>f\\- '/ ' '/''' ' ' — 7 ' . • . |i 1 - y- 1 ' I - - <y ' > i 1 -yS...]-
et qui a Taxe des abscisses pour coupure. La transformation du
troisième ordre vous donne la relation
_/'( f.j 1 = cp'» ( 3 tl) I — >. <p I ) W ) v I «J 1 1 1 0-1 ! w ^- 1 w 1] = o.
Il faut doue que la coupure ait disparu dans ,/(«), mai> i\<-
quelle manière? Vous savez, n'est-ce pas, que Kiemann, d'abord,
puis M. Dedekind, par une analyse beaucoup plus facile el plus
claire, ont obtenu ce résultat important que pour to = a-f-«e,
1 étant infiniment petit et positif, cp(cd) est indéterminé lorsque la
pailic réelle d esl une quantité incommensurable et qu'en suppo-
sant a = — , où m et 11 sonl entiers. co4(w) esl zéro ou l'unité,
LETTRE 101. l()7
suivant que m ou n sonl pairs on impairs. .)<• désirerais, mon cher
Monsieur, que, dans la même voie, vous fissiez, un nouveau pas :
il me semble qu'on doil pouvoir établir que f\ a>) csL continu dans
le voisinage de la coupure, en allant |>lus avant dans l'étude
de cp(a + «e); je voudrais vous inspirer l'ambition de pénétrer
dans le mystère de l'indétermination des quantités ®(a \ et co(3a)
lorsque a est incommensurable, qui étanl indéterminées Tune et
l'autre, doivent avoir une dépendance l <■ 1 1 «* que j\ ci) ne possède
plus aucune indétermination. De nouvelles lumières sur ce poinl
de vue se trouveraient amenées sur la théorie «les fonctions analy-
tiques et aussi sur les équations modulaires de la théorie des
fonctions elliptiques. Vous verrez facilemenl et peut-être avez-
vous déjà remarqué que l'existence de la coupure dans cp(to) rend
possibles certaines relations qui jamais n'existeraient à l'égard de
fonctions uniformes n'ayant que des discontinuités isolées. On ne
peut donc se refusera chercher dans l'étude de ces relations des
données sur un nouveau mode d'existence des fonctions, el cette
élude demande tout d'abord qu'on éclaircisse ce point, pour moi
si obscur, de la disparition d'une coupure, dans une combinaison
dont la fonction /"(w) donne l'exemple.
Ce m'a été une grande satisfaction d'apprendre que vous vous
trouviez bien à Toulouse, et que vos collègues vous avaient fait
l'accueil auquel vous aviez droit; permettez-moi de vous prier de
me rappeler au bon souvenir de votre doyen, M. Baillaud, en
l'assurant que je n'oublie point l'engagement qu'il m'a fait
prendre et veuillez, mon cher Monsieur, recevoir, avec l'assu-
rance de ma plus haute estime, celle de mes sentiments affectueux
et tout dévoués.
101. STIELTJES A HERMITE.
Toulouse, 3o décembre 1880'
M
.MONSIEUR,
Je dois vous remercier vivement pour le précieux cadeau que
vous venez de me donner en m'en voyant la troisième édition de
votre Cours de la Sorbonne, précieuse, surtout, parce que c'est
une marque de votre amitié. Je l'ai, comme, vous pouvez le croire,
IÇ)8 CORRESPONDANCE D'ilERMITE ET DE STIELTJES.
déjà parcouru el j'ai vu qu'il y a de nouveau beaucoup de choses
donl je dois profiter.
Je connaissais bien le Mémoire de M. Dedekind Schreiben an
flerrn Bovchardt ùber die Elliptischen Modal functionen,
mais je n'avais jamais pensé à vérifier, comme vous me le pro-
posez, l'équation modulaire dans le voisinage de la ligne des
discontinuités. .le vais faire de sérieux efforts, mais je ne sais si
je pourrai trouver quelques résultats qui valenl la peine; en loul
cas, je ferai de mon mieux.
,]*ai cherché, pour mon Cours, si Ton ne pourrait pas donner
un exemple un peu simple d'une fonction qui n'existe que dans
une certaine partie du plan, el j'ai rédigé une Note de ce que j'ai
trouvé. M. Darboux la fera insérer dans son bulletin ('). Je crois
pouvoir indiquer, en quelques mots, ce que c'est. Je pose
1
at, a 2- ■ ■ ■ "//■ • • • sont des < pian lilés dont le module e-l i . On
peul développer
OC
et Ton voit que
iodc„<\--;
supposons maintenant que s s'approche de ah par le rayon vec-
teur, c'est-à-dire poson>
z = a/c zt,
u étant réel et tendant vers i. Alors le kieme terme de la série
L- ai,— z A3 i
e-t réel positif et croît au delà de toute limite.
Maintenant, on peut choisir les a,. a2 a „ de lelh
(') .Yole des éditeurs. — Voir Bulletin bibliographique des Sciences mathé-
matiques, t. XI, 2e série, p. 46-5i; iys7-
LETTRE 101. igg
manière crue, après L'exclusion de ce terme y- — t la série reste
n l A •' a — z
convergente pour z = a/su, même pour 11 ~ i, en sorte qu'on .1
I1111
A étanl une constante. Vous voyez «loue que, dans ce cas, la
partie réelle de /(z) croit au delà de toute limite, tandis que la
partie imaginaire tend vers une limite lixe. Mais il y a un nombre
infini de points a^ sur un arc quelconque du cercle de conver-
gence C donl le rayon = 1 .
Voici commenl on peut prendre uK< </2. . . ., an, ... :
«i, a-2 divisent G en deux parties égales;
«i, rt2, a3, a,t divisent C en quatre parties égales;
a{, a-2, «:1, . . ., (($ divisent C en 8 parties égales;
a, (7,G sont les sommets d'un polygone régulier de seize
côtés, etc.
La conséquence de cette distribution des quantités a^ est que
mod ( a,. — as
OU
011 ('tant une constante, /■ le plus grand des deux indices /' et s.
Ainsi, il y a bien des points qui s'approchent beaucoup de a/s,
mais pour que mod(<7* — a,,) tombe au-dessous de s, le nombre n
, • * . OOIlSl . , ,. I , 1 ' •
doit croître au moins comme — > et le facteur — -> dans la série
/t3 V a — z
- h assure alors la convergence. Du reste, la même
série 7 — .
an — zj
n'existe qu'à l'extérieur du cercle C.
) donne aussi l'exemple d'une fonction qui
•00 CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJES.
On peut distribuer les points <■/,. a, <■/„. . . . sur une ellipse,
un triangle, etc., el L'on a alors une fonction qui n'existe qu à
l'intérieur (ou l'extérieur (lune ellipse, d'un triangle.
Mes meilleurs souhaits pour le nouvel an, votre très respectueux
el dévoué.
102. STIELTJES 1 HERMITE.
Toulouse. 2 janvier iss;.
MONSI 11 B,
La rédaction d'un article me donne toujours beaucoup de mal
et je ne réussis guère à la faire du premier coup. Je retrouve
encore par hasard un des premiers projets de mon article pour le
Bulletin el j'espère que vous ne me trouverez pas inopportun de
vous l'offrir, car je n'ai pas été suffisamment explicite dans ma
dernière lettre.
J ai considéré exclusivement la !<>u<iion
à I intérieur du cercle C. Cette fonction ne peut se continuer en
dehors du cercle.
Mai-- la même série représente aussi pour inods >> i une fonc-
tion qui n'existe qu'à 1 extérieur du cercle C et qui ne peut se
cont inuer à I intérieur du cercle.
\ ous observerez que je n ai (indu'' la manière dont se comporte
/' s lorsque s s'approche de la circonférence G, que dans le cas
très particulier où le rayon vecteur aboutit à un des points a^-
Je ne sais rien, par exemple, de ce qui arrive lorsque s se meut
sur un rayon vecteur qui aboutit à un point de C qui ne coïncide
pas a\ ec un des points a#.
Mais comme il \ a une infinité de points a/, sur un arc quel-
conque de C, d étail suffisant pour mon but de considérer seule-
ment ce cas particulier.
Je vous remercie d'avance, Monsieur, pour Y errata de votre
Cours que vous me promettez, mais je dois avouer que je n'ai
guère encore rencontré des inadvertances qui changent essentiel-
LETTRE 10:5. SOI
lemeni Le sens d'un passage ou qui causenl une difficulté réelle
et, dès lors, cela n'a |>;is une bien grande importance.
Veuillez bien me permettre, Monsieur, de vous nommer mon
cher Maître, ride vous présenter l'expression de mes sentiments
dévoués.
103. - HERMITE I STIELTJES.
Paris, 7 janvier 1887.
Monsieur,
Votre Noie est excellente, el après avoir lu La rédaction déve-
loppée que \ous m'avez adressée, je n'ai que des compliments à
vous faire. Elle est rédigée avec une parfaite clarté, el sous ce
point de vue, qui a son importance, puisqu'on peut dire <|ue vous
êtes étranger, j'en suis absolument satisfait. \ L'avenir, si vous le
permettez, je passerai la pierre ponce sur les articles que vous
donnerez aux Comptes rendus, mais les fautes que j'ai pu
remarquer jusqu'ici sont vraiment insignifiantes. \ ous m'excu-
serez d'avoir attendu toute une semaine pour VOUS rendre la
justice à laquelle vous axiez tous les droits, mais ici, à Paris, cette
semaine est la proie des visiles el des obligations du jour de l'an
qui ne laissent guère de liberté. Permettez-moi, puisque la pro-
vince vous donne plus de loisir pour le travail, de vous prier de
penser aux coupures, ou plutôt à la seule el unique coupure que
peut offrir le premier membre des équations modulaires, envisagé
comme fonction de la variable (0=:-—, afin de reconnaître de
K
quelle manière il arrive quelle disparaît dans la fonction consi-
dérée. Si vous réussissez à voir clair dans la question, magmis
inihi eris A polio.
En vous renouvelant, mon cher monsieur Slieltjes, l'assurance
de mon affection bien sincère et bien dévouée.
CORRESPONDANCE I > 1 1 1 : ïi >I I l' K ET DE STIEI.TJKS.
104. — STIELTJES I HERMITE.
Toulouse, 25 janvier 1887.
.Mon si 1.1 b .
Je viens de voir que vous attribuez à M. Markoff le théorème
suivant :
Soient
les racines de \ ,, "• alors on a
> / i 1 -
*
cos
Mais ce ré>uliai ;i déjà élé obtenu par M. Bruns dans le .Journal
de Borchardt, t. 90, p. $27.
De mon côté, j avais, <l un théorème inséré an commencement
de [885 dans les Comptes rendus, non seulement ees inéga-
lités \ . mais encore la limitation suivante qui esi plus étroite :
B
(ai — 1 1-
Xi cos
Pour n = 10, par exemple, on a
xx.
•7-3.
■'V
D'après \
limites.
I 0,98883 |
... 0,00 )20
' 0,9 > > >~ '
I 0,90097 / , .,
1 0,82624 1 °'°7473
j 0,62349
[ 0 , JOOOO
j o,36534
l 0,22252
' ° -"7 1/3
n. 1 og56
n. 1 3 }66
"■ ' 1779
D'après (B)
liniiies.
| 0,98769 )
' 0,95949 )
l 0,89101 )
J 0 , 84 1 23 j
I 0,707» > '
j o, 65486 j
j o, {5399 )
\ o, 1 56 1 1
' o, 1 j'>.3 1
0,02020
(i.d [976
1 1 . 1 1 ") > • 1 "1
o,o3857
0,01 \\ >
Mais j avais négligé de rédiger complètement ma démonstra-
tion, ce que je viens de faire maintenant. J'envoie cet article à
LETTRE lO'l. 2o3
M. Mitlag-Leftler, car c'est une suite naturelle à un article qui ;■
paru autrefois dans les Acta (' ).
Je regrette l » i < • h de ne connaître point La démonstration de
\l. MarkofT, mais aucun fascicule du tome XXVII des Mathema-
tische Annalen n'esi encore parvenu à la bibliothèque de la
Faculté. Dans nia démonstration, je me fonde sur une proposition
d'algèbre 1res simple d'où découle celle conséquence :
Soit
ni ;;/
i i
une forme définie positive, dont les coefficients <7/a(^ ; /. ") sont
négatifs, alors, dans la forme adjointe
m m
i i
tous les A/a sont positifs.
Comme l'adjointe de l'adjointe reproduit la forme primitive à
un facteur constant positif près, on pourrait croire que récipro-
quement pour
«/7c > O,
on aurait
A//.<o (i£k),
niais cela n'est pas exact.
En reprenant cette question que j'avais un peu perdu de vue, je
me suis aperçu que cette proposition d'Algèbre est liée intime-
ment à une question de physique (distribution d'électricité sur
un système de conducteurs). Ce rapprochement m'a conduit
encore naturellement à compléter celle proposition d'Algèbre
sous un autre rapport. J'ai exposé lout cela dans mon article pour
les Acta.
Je pense beaucoup à l'équation modulaire, et la ligne de
discontinuité, mais je commence seulement à me rendre un peu
compte des difficultés qu'il faudra vaincre.
En vous renvoyant mes meilleurs souhaits, je vous prie, Mon-
(' ) Note des éditeurs. — Sur les racines des équations X„= o (Acta Mathe-
matica, t. IX, p. 385-4oo; [887).
"I CORRESPONDANCE 1) HERMITE ET DE STIELTJF.S.
sieur, de vouloir bien accepter l'assurance de mon dévoûmenl
respectueux.
105- HERMITE I ST1ELTJES.
Paris, 27 janvier •ss_
Cllir. MONSIEUR StIELTJES,
Mille remerciements pour les remarques que vous me commu-
niquez el pour les belles recherches que vous m'annoncez devoir
paraître dans les Acta. Il e^i bien difficile d'avoir loui ce qui se
publie à notre époque si féconde, préscnl à l esprii, el celle diffi-
culté s'augmente (tour moi de mon ignorance de l'allemand, ce
i|ni vous explique pourquoi j'ai attribuée M. Markoff, qui a écril
son article en français, ce qu'avail déjà fait M. M. Bruns clans le
Journal de Borchardt. Mais ce me sera un plaisir quand je ferai
pour l'impression une rédaction plus correcte «le mon Cours litho-
graphie d'3 donner place à votre Travail qui excite extrêmement
ma curiosité <l après le peu que vous m en dites. Ou il y ait une
étroite connexion entre la théorie des équations algébriques et
celle des formes quadratiques définies, c'est ce que j'ai remarqué
depuis longtemps, mais ce qui me surprend, c'esl qu'au moyen
de celle dépendance, vous avez réussi à obtenir les limitations
m étroites
(li-i)'K. s /- I
COS .r, . cos —
Permettez-moi de vous envoyer le numéro des Mathematische
innalen qui contienl l'article de M. Markoff et que vous pourrez
garder autant qu'il vous conviendra, n'en ayanl aucunement
besoin.
En vous renouvelant, mon cher monsieur Stieltjes. mes félicita-
lions les plus vues pour vi~ nouveau fruit de voire beau talent,
ainsi que l'assurance de mes sentiments d'affection bien sincère et
bien dévouée.
Mo
LETTRE 106. 20Ô
106. - STIELTJES I HERMITE.
Toulouse, 3 té\ rier 1887.
NSI EUR.
Vous avez poussé vraiment trop loin votre bonté en m'envoyanl
le fascicule des Mathematische Annalen <pii contienl l'article de
M. Markoff, et, en vous le renvoyant, je ne saurais trop \ous
remercier.
J'ai vu que M. Markoff établit aussi cl pour la première fois,
dans son article, la limitation plus étroite des racines \„ 0 que
je vous avais communiquée.
xMais la démonstration que j'ai développée pour les Acta Mathe-
matica est différente de celle de M. Markoff.
Il me semble que la fonction
où a est une constante réelle, fournit un bon exemple pour
l'application du théorème de M. Miiiag-Leffler. Je trouve
eax 1 Y^ >•?• cos( o.arn: ) -- 4 niz sin (oamz 1 ,,,
(A ) = h > r -— ; - -+- Cl (x).
1
La fonction entière §(x) change brusquement de valeur avec a :
ainsi
a = o. (i (x) = j
cl v 2
0 < a < 1, ÇJ (x ) = o,
a = 1, Cj (a?) =-i — j
1 < a < 2, ÇjO ) = e(«-D*,
si l'on développe le second membre de (A.) suivant les puissances
croissantes de x (en supposant o <C d <C 1) et qu'on compare !<•
résultat obtenu avec la formule
- .— a -4- <çi(a)x -•- cp2(a)a72-' ...
20Ô CORRESPONDANCE U BEKMITE ET DE STIELTJES.
qui son de définition aux polynômes de Bernoulli cpi (a), cp2 a . ...
! Jordan , t. 11. |>. i 02 . on obtient
çp2/t(a 1 = (—
'^i,.
<a.2/,_,(a i = (—
.)*
B
i . i . .
7(71") ~~ ^ 7"-»("-)2/''
(o <t :\ <:
ce sonl les développements des polynômes ta en séries de Fourier
qu'on trouve dans Le Tome II du Traité de Schlômilch.
On peut considérer i \ aussi sous I»' point de Mie d'une série
de Fourier, mais cela suppose x réel el ne donne pas le vrai
caractère de cette formule. Mais de cette manière ces disconti-
nuités pour a — o, a = i rentrent bien dans le type de celles
qu'on rencontre à chaque instant dans la théorie des séries trigo-
nométriques.
A côté de la formule (A) on peut mettre les suivantes qui
donnent lieu à des remarques analogues :
cosbx i
>in bx
V^ ■ i >"~l %x cos Im - .
\, Tzr« i l— ' '' -Oi
i
X^ i — i l"~~ ' a /' ~ sin hn - ,
7 r-r -^ (— 1<6 i .
^d n--2 — x-
cosbx v^ ' — iV'-1'-)// — iWcos(n — ^)b~
= > = ( — 1 h
COS X jm*> (n_ 1)2^2 . a -2
I .
-in A./ X7 ( — i")"— i2arsin // — t)^~
= > ■ = - i _ b . - - i :
<■"- ' ^ (/l_i)27ï2_a;2
si la constante réelle A ne se trouve pas dans l'intervalle indiqué,
il faul ajouter à droite une fonction entière dont on trouve la
forme immédiatement.
Mais, à vrai dire ces quatre formules peuvent se déduire toutes
de la formule i A I qu'on peul regarder comme la principale.
Mais en voilà bien assez sur un sujet élémentaire.
En \oi\~. renouvelant. Monsieur, mes remerciements pour
toutes vos limités, vous voudrez bien nie croire votre tout dévoué.
LETTRE 107. 207
107 ■- HERMITE I STIELTJES.
Paris, 18 février 1887.
Cher monsieur Stieltjes,
J'ai été bien empêché de travailler pendant ces dernières
semaines et je viens bien tardivement vous dire que vos applica-
tions du théorème de M. Mittag-Leffler m'ont beaucoup intéressé,
surtout la première concernant la fonction • Les autres
gX ,
, . , cosA.r s'mbx
concernant les quantités — : > - _, ... son| certainement
1 si n a? sina?
importantes, mais Legendre les a déjà données, avec la détermi-
nation de la partie entière, dans les Exercices de calcul inté-
gral, page 169 et 170 (5e partie, § II;. Si ce n'est pas abuser de
votre complaisance, je vous serais bien reconnaissant de me
donner la matière d'une leçon à la Sorbonne, en m'indiquant
l'analyse que vous appliquez au premier cas de — -• Depuis
longtemps, j'avais remarqué que, en considérant-— , il semble
absolument impossible de parvenir à la détermination de la partie
entière, ce qui doit faire mettre d'autant plus de prix au cas où.
comme dans le vôtre, elle s'obtient facilement.
Cette année, je me propose d'insister sur la détermination des
intégrales au moyen des coupures, en utilisant les exemples
faciles qui se trouvent par d'autres méthodes, par exemple
/ emlx cot dx, / -
J0 \ 1 } J0 sia{x-z
- dx,
)
Une petite remarque à ce sujet : Supposez l'entier m >> o
et ; un point situé au-dessus de l'axe des abscisses, on aura
/
emix cot : dx = i i- <■""'-
et, pour m = o,
tandis que
s:
cot dx = 1 1 1Z,
/
e-mix cot
208 CORRESPONDANCE D'EBRUITE ET DE STIELTJES.
Cela étant, j'envisage la formule de Fourier écrite ainsi :
f[ X i •- ' X • 'l/i X .
2 A° ^ ^i A'
(m i, 2, 3
\ ous \ oyez que 1 on a
J,21t
( .T C I
/'< ./' ! ('(il - - ,/.r - --7— O(z)
o ' ' 2 ' ' ~ '
pour iimi le demi-plan au-dessus de l'axe des abscisses. Au-des-
sous, on 1 rou\ erail pareillemenl
J/'i ./• i col - dx — — — if(z).
0
En vous renouvelant, mon cher monsieur Stieltj es, l'assurance
de mes sentiments affectueux et bien dévoués.
108. — STIELTJES I HERMITE.
Toulouse, 19 février 1887.
MoNSIEÏ 11 .
\ uih trouverez ci-joint l'analyse que | ai suivie pour obtenir La
décomposition de — <i je m estime heureux si je peux vous
être agréable de cette manière.
Comme nous verrez que je n'ai rien fait que suivre votre
Douzième Leçon ( p. 0,2 el sui\ . .
Il m'avait frappé que, pour obtenir la décomposition de
cota?, nous ne considérez pas directement
dz
I cot ;
rcotz dz
J z z — .
LETTRK 108. 209
C'est évidemment afin de démontrer plus facilement
■oi s dz
f rn\ : (!:■
nu / = o,
J z z — x
ce qui réussit maintenant à l'aide de la formule de M. Darboux.
Ce qui est un peu artificiel dans mon analyse, c'esl cette suppo-
sition
1 R
nm — = o,
mais, sans cela, on ne trouverait pas si facilement que
lim3uc= Hm3])A= o
et aussi dans le cas a = 1 ou a = o
... 1 1
lim3 = H — ou
■>, 2
Du res*te, j'ai peine à croire que la formule obtenue soit nou-
velle, mais peut-être n'a-t-on pas insisté sur son vrai caractère.
Les formules
il e
■^*-(- e~^x 1 X cos;
1 eln—e-\T\ 2X l2-t-X2 22+X'2
7T e^x — e~^x 1 sina? asiiv>..7- 3 sinSa?
T2 ~~ a2 -h X- + 3*-f-X*
7t < a? < 7TJ
(p. 142, i43 du tome II de M. Schlômilch) qui se trouvent, je
crois, dans Euler, reviennent au fond à la même chose, mais
M. Schômilch les obtient comme application de la série de
Fourier; x est la variable principale et X une constante réelle.
Mais je trouve très remarquable que Legendre, en donnant les
formules pour
cos .
. b.r
pin
cos
. x
sin
(— 1<6 <-t-i),
ait déjà songé à voir comment il fallait modifier ces formules dans
le cas que b n'est plus compris entre ±1, et je dois vous bien
remercier de m'avoir indiqué ce passage des Exercices.
Votre détermination des deux parties v(x) et b(x) d'une fonc-
i4
210 CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJES.
tiony(.r) à l'aide de l'intégrale
* - iî .
/ f\ a?) cot ( '- j dz
me semble très singulière. En effet, une fonction réelle f{ x ) étanl
donnée arbitrairement entre o el 2 •-. il n'est pas possible, en
général, de l'étendre pour des valeurs imaginaires de la variable.
Mais votre formule montre que les parties a et -l existent chacune
dans la moitié du plan! C'esl un résultai dont je dois chercher à
nie rendre compte.
Je crois me rappeler vaguement que M. Poincaré a annoncé
quelque part un résultai qui doit avoir un rapport intime avec
cela.
A l'occasion de cette détermination d'intégrales au moyen des
coupure.-, permettez-moi. Monsieur, de vous signaler une petite
difficulté que j'ai rencontrée dans votre Cours. Vous considérez,
page i |3. l'intégrale
et vous trouvez
'!• N)— *(N'i =- ii-\.
Mais la démonstration suppose essentiellement que v. et (3 sonl
finis, car, sans cela, les intégrales
dt /*p dt
•(")=/" rz^n' *<N'>=/
t — e
page 142 n'ont pas de sens.
L'application (p. i44)àun cas où a = — x. [3 = — x est donc
sujette à une petite difficulté. En étudiant votre Cours, je n'avais
pas fail celte remarque, mais, au moment où j'exposais cela dans
mon Cours, je m'en suis aperçu el cela m'a brouillé un peu.
J'espère sincèremenl que la démarche faite auprès des autorités
suédoises aura le résultat désiré.
Veuillez bien agréer, Monsieur, l'assurance de mes sentiments
respectueux et dévoués.
LETTRE 110. i M
109. STIELTJES I HERMITE.
Toulouse, 21 février 1887.
Monsieur,
Permettez-moi d'ajouter quelques m<>i> ;'i ma lettre d'avant-hier.
En parlant d'un résultat annoncé par M. Poincaré que j<' crois
avoir un certain rapport avec votre intégrale
/ /(ar)cot — — )
<l> ( 3 ) =
*(«-t-27r) = *(s),
([ni admet pour coupure Taxe réel et
lim[*(N) — *(N')] = ^—./(xk
4 71 i
je ne pouvais pas vous donner une indication plus précise, parce
qu'il me faudrait consulter pour cela noire bibliothèque qui est
fermée pendant ces jours de fête.
Mais, naturellement, je me fais un devoir de chercher le plus
tôt possible l'article de M. Poincaré dès que cela me sera possible.
Si mes souvenirs sont si vagues sur ce point, c'est que je ne
connais cet article seulement par un extrait dans la dernière Partie
du Bulletin des Sciences mathématiques de M. Darboux (dans
une des années avant 1880?) et intitulé Sur les coupures des
intégrales, je crois. Mais je vous donnerai bientôt l'indication
précise.
Respectueusement votre tout dévoué.
110. — HERMITE A STIELTJES.
23 février 1887.
Cher monsieur Stieltjes,
Mille remerciements pour l'excellente démonstration de La
formule concernant la fonction - — ; je ne fais point comme
21 ' CORRESPONDANCE D HERMITE BT DK STIELTJES.
vous grise mine à la condition lini-s o, je l'accueille bien
volontiers comme condition caractéristique du genre de concours
auquel il es! nécessaire de recourir, sans lui faire le reproche
d'être artificielle. Permettez-moi une remarque qui m'est venue à
l'espril à propos de cette application du théorème de M. Millag-
Leffler. En supposant la suite
A, A, A„
x — a,\ ./■ — a% x —
convergente, avec les conditions
mod a \ mod a2 • 1 moda3
j'envisage la fonction suivante
k„ G(x)
w-2^
où G(x) est une transcendante holomorphe, et je me propose de
la mettre sous la forme analytique de ce théorème. Soit, à cet
effet, e,, e2 -« des constantes telles que l'expression
1
'- ii A n
représente une fonction uniforme. En faisant
n/ N n, (x — an)G'(aa) (x — a„yGM(a„)
0(x) = G(an) h.. .H 4- Rv,
I I .'.>... 7
il est possible de déterminer l'entier v, de manière à remplir la
c lition Rv< £v pour les valeurs de la variable dont le module
esl moindre que an. On ohlienl ainsi
■' ■ 2*1 ,-,,7- «■'«<.>+•■-
jmd X — a a
et, puisque la seconde somme définit une fonction, il en est de
même de la première et I on en conclut immédiatement le résultai
cherché
LETTRE 110. • i ;
Peut-être ne serait-i] pus trop difficile de faire une application
de ce procédé à la quantité — ; il suffirait d'avoir une liimi<*
1 ' SIM-./
supérieure de I )','.( ',( I.
Mon inadvertance de supposer les limites infinies <l;ms l'in-
tégrale
*(*) = f f(t \-z)dt
' a
est Lien regrettable, et je vous sais bien gré de me l'avoir signalée.
En attendant que j'aie pu suffisamment réfléchir, voici peut-être un
moyen d'éviter la difficulté. Soit d'abord
*(*) = / —
va.
a — ib - l
-■ u.
je remarque que la relation
<I>< N ) - *( \'i - - </-
subsiste si l'on prend
.p
»(,)=jf [Ff«-*-«) + ,_al,.^,]
dt
sous la condition que V\t -+- s) soil finie le long de la coupure. En
admettant que cette fonction soit telle que la nouvelle intégrale
ait un sens pour 3 = + a, a = — oo, il me semble que rien ne
s'oppose à ce qu'on admette, dans ce cas, la relation
*(N) — *(N') = — ?.?' 77.
M. Picard vient de me dire qu'au moyen d'un changement de
variable, l'aire d'un cercle peut devenir le demi-plan, d'où résulte
que de la formule de Cauchy
■xi - ,' :■ — .r
où l'on suppose z = elt, on peut, dans tout le demi-plan, conclure
les valeurs de f(-z), de celles qui correspondent aux valeurs
réelles de / = o à t = 2tc. Cette considération d'un changement
de variable ne me satisfait pas absolument et je profiterai de la
première occasion que je pourrai avoir de parler à M. Poincaré
de l'extension des fonctions <p(#) et $(&)-
2I.'| CORRESPONDANCE D RERHITE ET I)F. STIELTJES.
Je vous renouvelle tous mes remerciements pour volve bonté
il la peine que vous avez prise de me rédiger si clairement voire
méthode concernant la fonction - • que ai pu ainsi m assi-
miler sans I ombre d un efïbrl .
Croyez-moi toujours, mon cher monsieur el ami, votre bien sin-
cèremenl el affectueusemenl dévoué.
111. STIELTJES I HERMITE.
Toulouse, i'r mars 18^7
Monsiei n .
J'espère que vous voudrez bien m'excuser si j'ai ajourné à
quelques jour- la réponse à votre dernière lettre qui m a fait tanl
de plaisir.
D'abord, je dois faire amende honorable, après avoir consulté
l'article de M. Poincaré {Comptes rendus, 1. KG VI, p. n34), je
vois qu'il n'a pas le rapport si immédial que je croyais avec la
question qui se présenta à propos de votre intégrale
/ f[ X ) cot de.
• n
Le théorème de M. Poincaré esl le suivant :
Soient/ x \ une fonction existant seulement dans la mollir
supérieure du plan, A ■/ > une fonction existant dans la
moitié inférieure du plan, alors on pourra toujours trouver
,f (OC,
0 X
deux fonctions a x . fy(x) existant dans tout le plan, telles
que
Z ' ./■ - '1.1 ./' 1 = f\ ./' I (.11 J\ 1
selon I11 ras. œ x admettra pour coupure la partie de V axe
de — 1 à t, ty\ x 1 les deux coupures de — x à — 1 et de -+- 1
à -f- x.
LETTRE III. !l5
Dans sa démonstration, M. Poincaré applique la formule d<-
Fourier
+ »
et il s'appuie aussi sur cette remarque que L'expression
1
JUt«mte
définit une fonction dans la moitié supérieure du plan et
une fonction dans la moitié inférieure. Dans l'article cité, M. Poin-
caré introduit la dénomination de coupure artificielle qui me
semble heureusement choisie et qui répond à un besoin que j'ai
ressenti quelquefois.
L'observation de M. Picard à l'égard de la formule de Cauch v
'<*)SBrâ/
f{z)dz
ne répond pas précisément à la question telle que je l'avais
envisagée. En effet, elle montre qu'on peut calculer f(x) lorsque
les valeurs de f(z) (sur la courbe C) sont données. Mais on ne
peut pas donner arbitrairement les valeurs def(z) sur la courbe.
Vu contraire, on sait (Riemaniv, Dissertation inaugurale) qu'en
donnant simplement sur la courbe G la partie réelle u de
f(x) = u ■+■ /V.
la partie imaginaire v est déjà déterminée, par là, à une constante
additive près; en effet,
Dans la question telle que je l'ai envisagée, il faudrait donc
démontrer que v s'annule sur l'axe des quantités réelles.
Riemann (Œuvres, p. 220) a énoncé ce théorème :
Étant donnée une Jonction périodique J\x) de la variable
CORRESPONDANCE DlllliMlll KT DE STIELTJES.
réelle se, alors il existe toujours une fonction z*.r — iy) finie
pour y >> o et qui se réduit à f\ x pour y <>.
Il renvoie à sa dissertation pour La démonstration. Mais
M. Schwarz Journal de Borchardt, i. 71 i a déjà appelé l'atten-
tion sur cetle assertion qu'il semble difficile de justifier.
Pour ma part, je crois pouvoir démontrer sans réplique ce qui
suit. :
Si la fonction /*(.£ a une discontinuité dans sa dérivée, alors
l'assertion de Riemanu ue peu! rire exacte.
Si. dans ce cas. il esl possible de continuer la fonction / x
dans une moitié du plan, la partir imaginaire c ne peul pas se
Représentation de f{x).
réduire à zéro sur l'axe des quantités réelles. Mais, quoique mon
raisonnement n'est pas bien compliqué, je ne crois pourtant pas
devoir le développer ici.
Je viens de voir que la formule de décomposition de — ■ a été
donnée par M. Kronecker. C'est, en effet, la formule (n . page85i,
des Comptes rendus de l'Académie de Berlin de i885. M. Kro-
necker donne une démonstration très curieuse qui lui fournit une
formule plus générale | i 2 <»ù il sulïil de faire û - - i pour retrouver
la formule ~ .
M. Kronecker dit aussi l'avoir donnée déjà dans les Comptes
rendus de i883, page 499: mais, en cet endroit, il s'est borné
simplement à dire que la formule revient au développement de
Fourier de cosaœ, sin«^. .rajoute que dans le .Mémoire cité
(Comptes rendus de i885 . M. Kronecker a remarqué aussi qu'on
déduit aussitôt de celle formule le développement en série de
Fourier des polynômes de Bernoulli.
Votre très respectueusement dévoué.
LETTRE 11 •>. 217
112. HERMITE A STIELTJES.
Paris, 8 mars 1887.
Cher Monsieur,
J'ai bien de la peine, à cause de L'allemand et de la complication
des calculs, de tirer parti du Mémoire de M. Kronecker, qui me
parait cependant dune grande importance, et je ne suis guère
plus heureux avec le beau travail de M. Poincaré sur les fondions
à espaces lacunaires. Comment donc arrive l'expression
6(:£i> G(^i)9
c -+- e '
Rebuté, comme vous voyez, par l'Analyse, je me suis occupé
d'une formule que Gauss donne dans l'article : De nexu inter
multitudlnem classium, etc. (Œuvres, t. II, p. 270), pour
exprimer le nombre des points contenus dans le cercle x'1 -h y- = A
cl sur le contour, dont les coordonnées sont des nombres entiers
cl j'ai remarqué qu'elle s'élend au cas de l'ellipse Ax- + By- = N.
Faites
—G/S- — W>
« =E i/-r ,
pili
^-V/Î3E> ^(\/^
le nombre des points contenus à l'intérieur el sur la circonférence
de l'ellipse est
{a(3 -+- 1 -+- %{a -+- b) -+- a( ;ra+1 -+- ^'a+2 -+-...-*-#«)
On doil à Dirichlet une formule d'une grande importance dans
les questions de ce genre et que j'ai employée récemment dans un
article du Journal de Crelle : Remarques arithmétiques sur
quelques formules, etc., t. 100, p. 55.
En voici une démonstration facile :
!l8
CORRESPONDANCE 1» HERM1TE ET DE STIELTJES.
Suii y J\X) la courbe figurée par V B depuis x = OA = !■
jusqu à x = OB = £>, il dont on suppose l'ordonnée décroissante
entre ces limites. En désignant par A" la projection de A' sur
y
A"
_^v^V
B"
'^^B'
0
A
B
œ
I axe < I r. je chercherai le nombre des points a yant |)our ordonnées
des entiers, qui sonl contenus dans l'a in- ( )BB'A'A"0 avec ceux
qui se trouvent sur la courbe et sur les axes de coordonnées OA"
et OB. L'aire en question se compose du rectangle ()AA'A"Oet
du segmenl \ B IV V \.
Dans le rectangle, avec la condition admise, le nombre des
points est z . E[/'i ; <\. et dans le segmenl c'est la somme
Cela étant, je fais la même énumération d'une autre manière, en
projetant le point B' sur l'axe des ordonnées en B". ce qui me
donne, de nouveau, un rectangle OBB'B"0 et un segment
B'B'A'A'B'.
Or le rectangle me donne, si je pose x = g\ y
pE[#(p)]
et le segment conduit à la somme
Ef^ + Ol + E^ + a
■+E[^)]
et taisant r, = E [/(?)]■ On trouve, en égalant les deux expressions,
la formule même de Dirichlet, dont les applications sont nom-
breuses et intéressantes, par exemple en faisant y = xm. Pour
m = 2, on trouve ainsi un résultai qu'a donné M. BougaïefF, dans
un article très remarquable publié dans les Comptes rendus ' .
Vote des éditeurs. — Voir Comptes rendus, t. C, p. 1109.
LETTRÉ 113. 2ig
Je reviens au\ fonctions p ■ vous remercier des indications
précieuses que contient voire dernière Lettre <'i vous dire que, sur
ces questions difficiles autan I qu'importantes, je ne suis qu'un
écolier, n'ayant pu, à cause de l'allemand, étudier Riemann dont
je n'ai qu'une idée absolument superficielle. Mais je sens tout
l'intérêt de la proposition du grand géomètre à laquelle vous faites
des objections qui portent sur la discontinuité possible de la
dérivée. En précisant les conditions restrictives qu'elle comporte,
vous ferez une chose extrêmement utile, et ce me scia un grand
plaisir d'étudier votre travail sur ce sujet et <lc me faire votre
élève. M. Mittag-Leffler. m'a informé que la lettre écrite par les
membres de la Section de Géométrie dans l'intérêt des Acta a
reçu du Ministre de l'Instruction publique de Suède un accueil on
ne peut plus favorable, et que, maintenant, il ne doute pas que le
Storthing n'accorde les subventions nécessaires à son Journal.
Avec la nouvelle assurance de mon affection bien dévouée.
113. STIELTJES A HERMITE.
Toulouse, 10 mars 1887.
Monsieur,
J'ai lu avec beaucoup d'intérêt votre démonstration de la for-
mule de Dirichlet et j'en ai fait l'application au cas y = x2 que
vous avez indiqué.
Quant à l'article de M. Poincaré, il m'a donné aussi du fil à
tordre; par inadvertance, il y a aussi sans doute une confusion
entre les fonctions co et <L. Mais je crois avoir réussi à en saisir le
sens et, si cela vous intéresse, je crois que la Note ci-jointe n'offrira
plus de difficultés.
J'espère pouvoir parler une autre fois plus amplement sur cette
assertion de Riemann sur laquelle M. Schwarz a déjà appelé
['attention. Pour moi, si je comprends bien le sens des mots, je
serai port»'' à croire que c'est là un lapsus, et que les cas où l'on
peut continuer de cette manière une fonction réelle sont excep-
tionnels.
Mais je voudrais bien que quelque mathématicien plus autorisé
■220 CORRESPONDANCE D HERMITK ET DE STIELTJES.
traitai ce point. M. Sachse, dans VEssai historique sur la repré
tentation d'une fonction arbitraire par une série trigonomé-
trique Bulletin de Darboux, année 1880) a glissé sur ce point.
Je considère toujours comme mon travail principal la ligne de
singularité des fonctions modulaires, mais je n<' fais que préparer;
mes efforts el j attends 1rs vacances pour pouvoir travailler plus
sérieusemenl .
... Il me semble que 1rs événements politiques des dernières
trente années, en excitant à un si liant degré I esprit de nationalité,
non- ont lait rétrograder sons bien des rapports. Il y a un demi-^
siècle les partisans «les idées libérales qui prêchaienl nue entente
amicale entre les peuple.- n'étaient pas rares. Anjoiird lini, dans la
littérature, personne ne semble penser à cela. Peut-être faudrait-il
excepter ici les partis extrêmes, anarchistes, socialistes... mais
cela n'es! pas bien t'ait pour nous consoler. Mais l'histoire continue
sa marche el qui peut l arrêter ou prévoir son développement?
.) ai appris avec beaucoup de satisfaction l'effet heureux qu a eu
la démarche faite en laveur du maintien des Acla mathematica,
el certainement vous n'en êtes pas moins cou 1 en 1 . Je sai s comment
votre temps est précieux et je crains quelquefois que in,i corres-f
pondance ne vous pèse. J'espère doue très sincèrement que vous
ne consacrerez pas trop d'attention à mes lettres, si elles vous
arrivent à un moment inopportun.
\ otre respectueusement dévoué.
114. HERMITE A STIELTJES.
l'ai -is, 1 1 mars 1887.
Cher Monsiei r.
Vous ave/, éclairé de La plu- vive lumière le théorème de
Poincaré qui m'avait paru si obscur avant d'avoir votre Note que
j ai lue avec admiration, je vous le dis en toute sincérité. Mais je
ne dois point garder pour moi seul votre beau travail, et je viens
VOUS plier d'en faire le sujel d'un article étendu pour un de nos
recueils, le Journal de M. Jordan ou les Annales de V Ecole
normale. Je suis extrêmement frappé de la possibilité que vous
avez si bien établie des développements en séries de ^(x)&(x)1
LETTRE 114. 2 ! i
suivant les puissances descendantes el de •!><'./• i (-)../■ ,. suivant Im-
puissances croissantes de La variable, el je ne puis douter que tous
les géomètres u'attachenl le plus grand pris à votre analyse.
Il me semble même que je pourrais donner votre méthode dans
une de mes Leçons, à moins que nous ne désiriez vous réserver
d'approfondir encore davantage le sujet, qui en vaut La peine par
son importance. Vous pensez bien que je me suis demandé si l'on
peut prendre comme exemple
fiX) = —7- / 'ï>( I) Col ,ll
au-dessus de L'axe des x,
j\ ( x ) = — -jX- I <!>(/> cot ^~- dt
au-dessous, de manière à associer à la formule de Fourier
*(>.) = ^ A„,e ■'"'■'■.
qui peut n'exister que pour des valeurs réelles, la fonction F(#)
qui existe dans tout le plan, sauf sur Taxe des abscisses. Mais il
m'est vraiment superflu de vous donner aucune indication et,
mieux que moi, vous saisissez, dans toute leur étendue, le rôle de
ces considérations nouvelles el profondes, sur une question capi-
tale d'AnaIvse.
Vous me faites grand plaisir en m'apprenant que vous songez à
la coupure des équations modulaires, coupure qui n'esl pas artifi-
cielle, comme celles de Riemann ou celles des intégrales définies.
Si vos efforts sont couronnés de succès, comme je l'espère,
permettez-moi de vous engager à en faire le sujet d'un Mémoire
présenté à l'Académie des Sciences et sur lequel M. Darboux.
M. Poincaré el moi nous ferions un Rapport qui nous donnerail
occasion de dire publiquement ce que nous savons tous de votre
beau talent.
En vous renouvelant, mon cher monsieur Stieltjes, l'expression
de mes sentiments affectueux et bien dévoués.
222 CORRESPONDANCE 1> HERMITE ET DE STIKLTJES.
115. HERMITE 1 ST1ELTJES.
12 mars 1887.
Cheb Monsieur.
J'ai bien crainte de vous prendre indiscrètement voire temps el
d'abuser de votre complaisance, aussi ne vous pressez point, je
nous le demande instamment, pour me dire si je comprends bien,
c imme je Le crois, la proposition de Poincaré en admettant que
la fonction l-Vr>. telle qu'il la détermine ainsi que vous me l'ave/,
si bien expliqué, a dans tout le plan, nonobstant la coupure, une
seule et unique expression analytique.
Dans ce cas. on aurait un exemple d'une extrême généralité, du
l'ait analytique déjà signalé par Weierstrass et que met en évi-
dence la série de Tannery
qui existe dans tout le plan, étant —i ou — i, suivant que
inodx ■< i ou niod.r 1 . Mais je ne me trompe point sans doute,
en regardant que cette expression unique n'est point donnée
au moyen de vos développements <?(x)®(x) = yanx~n et
'i>(.r)H x -2_,b,iXn) puisque le premier suppose mod^>i el
lesecondmod^c i. Faut-il par conséquent se résigner à l'exprès
;ion
r F< Z)ei ^ 1 ,
2 ut 01 X 01 v) = / ■ clz
J z — x
suivant votre premier contour et à
2 /- •>( X 1 01 X
suivanl le second? J'ai tout lieu de le penser ; préoccupé d'autres
choses, | ai recour> a vous pour dissiper ces nuages, sous les plus
expresses réserves de votre convenance, et en vous priant de ne
vous presser aucunement pour me sortir d'embarras.
Wec la nouvelle assurance de mes sentiments bien affectueux.
LETTRE MO.
P. S. — Votre expression
F ( x ! H ( r i = V a„ ./" i-V/> „ x"
suppose comme vous le mentionnez mod.a? = i, mais pourquoi?
116. — Il ERMITE I STIELTJES i ' I.
17 mars 1887.
Cher Monsieur,
Voire expression de 6(.r)<p(.r) dans (oui le plan, par la frac-
tion continue
X0
me parait extrêmement remarquable; elle me rappelle que M. Hal-
phen, dans les Comptes rendus d'il y a deux ans, a déjà signalé,
au point de vue de la convergence, les circonstances singulières
que présentent les développements de cette forme, et je suppose
que le travail de l'éminent géomètre aura attiré votre attention.
Pendant que vous songez à la cinématique, aux dépens de recher-
ches d'une nature plus élevée, je dois aussi m'occuper de mon
enseignement, et j'ai charge de fournir des exemples d'intégrales
définies qu'on détermine au moyen de résidus. Peut-être dans vos
conférences serez-vous aussi conduit à ce sujet; c'est ce qui m en-
gage à vous indiquer la remarque suivante qui fera le sujet d une
de mes leçons.
Soit
F(*) = (« — a)m(* — b)'K..{z— l)s.
Je me propose d'obtenir l'intégrale
rezxdz
i=J FlJ)'
prise le long d'un contour fermé comprenant à son intérieur
(') Notes des éditeurs. — Entre le 12 et le 17 mars, il y a eu sûrement
quelque lettre de Stieltjes que nous ne possédons pas.
524 CORRESPONDANCE D'HERMITE ET DE STIELTJES.
a h I. Si l'on désigne par y. Le degré de \\z i de sorte que
■i - m-\-p -H. . . -t- .s,
il résulte d'abord de l'expression même de L'intégrale que, pour
X ■= O, en aura
i «,. d.,.j - <>, ••.• i»'r2J = o,
ci par conséquenl Le développement suivant les puissances croisa
santés de ./•
J = A xv--1 + l : /:j C .rt^ ' —
Telle est done aussi la somme dos résidus de La fonction
Fi z
pour le> divers pôles a, b, .... /.
Or Le résidu correspondant à l'un d'eux, z = a, par exemple,
est de la forme
<"'iiw-i<*),
Hw -i M ) étant an polynôme en x, du degré />? — 1 . ( )n aura donc
la relation
e«*n/n_, (x) -+- eton„_, (a?) +. . . eteuV, i x i
= A a??*-1 -+- Bart* +■ Ca;^1 h- . . . .
Cela étant, je remarque que Le système des polynômes Il,„_i,
ll„ ,. ... donne le degré d'approximation le plus grand possible
de la fonction
ea*Pm-i(x) •v-ebxPn-i(x)+... i-e^Ps-t(x).
Effectivement, Le nombre des constantes arbitraires contenues]
dans Pw_t, l'/z-t, •••■ I >.y i est m + n H-. . .-*- s = p., et comme
elles entrent sous forme homogène dans les coefficients des diffé-
rentes puissances de la variable, on pourra égaler à zéro les y. — i
premiers termes. Elles se trouvent en conséquence déterminées.
sauf un facteur commun, parla condition que Le développement
de la fonction linéaire des diverses exponentielles commence an
terme en xV-~\ et c'est cette détermination qui se trouve réalisée
par les expressions
1//1 — I — 11/11—1, 1 H— I = 11»— 1, ....
LETTRE 117. 225
Je confie maintenanl à votre cœur arithmétique ce dont je ne
dirai rien aux élèves qui ne s'en soucieraienl guère; je me pro-
pose de donner un sjsin le formules récurrentes, pour obtenir
de proche en proche, pour toutes les valeurs de l'entier ///. le
système des polynômes qui se rapportenl au cas de
= r îf?
J [(z — a)(z — i
ezx i/.r
b)...(z — l)]>»
Mais pour cela, j'ai besoin d'un peu de temps, el j<' ne sais pas
trop quand il me sera possible d'en venir à bout.
Dans l'espérance qu'un beau travail résultera <lr votre idée
excellente et si originale sur le mode d'expression «les fonctions
@(x) y(x), S(x)'\)(x), et en vous lelieilanl vivemenl (le celle
nouvelle conception, je vous renouvelle l'assurance de mes senti
ments bien affectueux et bien dévoués.
117. - UERM1TE A STIELTJES.
Paris, 29 mars 1887.
Chkii Monsieur,
M. Mitlag-Leffler a pris pour sujet de ses leçons à l'Université
de Stockholm, le Mémoire de Riemann sur les nombres premiers
qui a été l'objet des excellentes recherches dont vous avez donné
les résultats dans les Comptes rendus de 1 885. Le théorème mer-
veilleux que le nombre des racines de l'équation \{t) = o, dont la
partie réelle est comprise entre les limites o et T, est
T , T T
— log ,
111 11Z '2 7T
a naturellement appelé son attention el il m'écrit qu'il lui a été
impossible de le démontrer, en faisant appel à mes lumières. Vous
ne serez pas surpris que j'y ai répondu par le conseil de recourir
aux vôtres, qu'il a suivi avec empressement. M. Mittag-Leffler se
trouve cependant arrêté à un point, il ne peut voir comment vous
établissez que la série
1 1 1 r t
1 ~~ 2* ~~ 3 * ~~ 5* "*" 6* _ Ts + " "
22Ô CORRESPONDANCE D'HERïIITE ET DE STIELTJES.
esl convergente tant que la partie réelle de s surpasse - > et c'est en
son îKiiu que je viens vous prier de vouloir bien lui écrire pour le
tirer d'embarras. Vous lui ferez grand bien eu lui donnant les
éclaircissements qu'il attend, me dit-il. avec impatience.
Permettez-moi une remarque élémentaire et pédagogique sur les
facteurs primaires à laquelle m'a lait penser le passage de l'expres-
sion
x \ n ^
sin.r = x _
n(-
à celle-ci
cos* = J2(i-^
('/» =±i, ±3, ± "i. . . . i
On y parvient immédiatement, au moyen de l'équation
sinaa? = asina: cosar
(iui donne cos;r=- — r-^> mais on peut désirer d'y parvenir en
1 'i^nx 1 J l
changeant x en — \- oc. Considérez plus généralement la formule
F(x) = »n (.-£)«'-•>,
où les polynômes V„(x) sont de degré quelconque. En changeante
eu x -+- ;, l'identité
x -+- £
i M
permet d'abord d écrire
»(-+«)-c+»II[(,-é)(,-î^i)]^1
on obtient ensuite, en divisant membre à membre avec
F<=»==n('-é|'
l'expression
^=('+î)n[(.-^)----].
LETTRE 118. 227
que je vais appliquer au cas de sin^r. On trouve alors
^=n[(---^HK)<
qui ne donne poinl pour £ = -la même formule (pic tout à l'heure.
La réponse à cette difficulté est dans l'expression plus générale
(pic voici, où a désigne une constante quelconque, à savoir
sinCa? -t- £)
si ni-
"nlO-^HH
Faites, en effet, en particulier a = -> avec £=-, et \<>us
avez bien le résultat cherché. Enfin isolez le facteur qui correspond
à n = o, vous avez la quantité
e-.rcotrr / 1 _+_ | je",
et comme cola s'annule pour a = o, vous parvenez à l'autre
a l l
formule.
Et tels sont les pauvres fruits de mes leçons.
En vous renouvelant, mon cher monsieur Stieltjes, l'assurance
de mon amitié bien dévouée.
118. — STIELTJES A HE R MITE.
Toulouse, 3o mars 1887.
Moi
J'avais déjà reçu une lettre de M. Mittag-Leffler concernant
cette proposition du nombre des racines de l'équation ^(£) = o,
et je lui ai déjà répondu de mon mieux. Je crois que j'ai réussi à
retrouver à peu près la méthode que Riemann a suivie, en calcu-
lant l'intégrale
/
cl\o%\{x).
Votre lettre me rappelle que j'ai voulu appliquer dans mes
leçons la formule de M. Weierstrass à la fonction ex — C. Pour
228 CORRESPONDANCE d'oERMITE ET DE STIELTJES.
plus de simplicité, je mots la constanle C sous la forme ea el
à L'aide de la décomposition de = — ■ )
i ex~a — i ex — ea ]
»• ■*" *
— e«=(i — ea)e <-'"-> T
Pour a = o, il v a un léger changement de forme analytique et
l'on a une formule qui ne diffère pas essentiellement de la for-
mule qui donne la décomposition de sin.r.
Si vous >a\ ez que je suis dans les examens pour le baccalauréat,
vous soudiez bien excuser, Monsieur, cette lettre écrite un peu
précipitamment.
\ <ilre respectueusement dévoué.
119. _ H ERMITE A STIELTJES.
18 mars 18S8.
120. — STIELTJES A IIERMITE.
Toulouse, -iô mai 1888.
Monsieur,
J'espère «pie vous n'aurez pas expliqué trop à mon désavantage
le long silence (pie j'ai gardé après votre lettre si pleine de Lonté
et pour laquelle je dois vous remercier encore de tout mon cœur.
Mais nous avons été si abattus par le coup cruel qui nous a fait
perdre nuire aîné, après une semaine de cette terrible maladie
(diphtérie), que je n'étais guère capable de parler de notre
Science. A eus savez ce que Lagrange disait de la nécessité de ué
jamais cesser de travailler, d'être toujours sur la brèche pour ne
pas laisser s'endormir l'esprit et le tenir en haleine et je sens que
ce n'esl que trop vrai.
\ euillez donc m'excuser cette fois si j'ose vous parler d'une
LETTRE 120.
229
question que je n'ai pas encore approfondie, mais à laquelle je
pense depuis quelque temps.
Soient
X = a0x'*-+- 4#i#3H- 6a2x2-h . . . -+- a4,
Y = b0y>> + 4 6l73 + 6 b,y*- -+- . . ! + bw ;
je pose d'abord cette question. Dans quels cas est-il possible
d'établir la relation
(')
dx
dy
/Y
à l'aide d'une substitution linéaire
( 2 ) p ■+- q x ■+- ry -+- s^K = o ?
La réponse est immédiate : il faut et il suffit l'égalité des inva-
riants
[ S = a0ak . — 4«Irt3-(- 3«f = b^b^ — 4&1i3-f- 36|.
60 £, />
(3)
a0 </, «2
#1 «3 «3
a., a3 «i.
^1 b* b3
b, b3 bk
( Je fais abstraction des cas particuliers où X = o, Y= o auraient
des racines multiples.)
Ces conditions (3) étant supposées satisfaites, je me propose
d'approfondir, au point de vue algébrique, la détermination des
coefficients p, q.: /', s.
Soient
xu x-2, x3, .r4,
yu 72, 7s, 7i.
les racines de X = o, Y=o. Leurs rapports anharmoniques sont
égaux et si l'on suppose, par exemple,
{xu xt, xz,xk) — rapp. anharm.,
(xu x2,x3,xk) = (71,72, 73, 7*)»
alors les substitutions (2) font correspondre
a?i, iF2, a?3, rri à jki, 72* 73, 7*»
ou à JK2, 7i. 74> 73,
ou à r3, ^4, jKi, 72,
ou à 74, jKs, 72» ri-
23o CORRESPONDANCE d'HERMITE ET DE STIELTJES.
Ainsi, il y a toujours quatre substitutions de la l'orme (2) et le
problème doil dépendre d'une équation du quatrième degré.
Il est vrai qu'on peut écrire directement ces substitutions si
Ton connaîl x{, x2, •••, #4, y\, y« .».-,, mais cela exige la
solution des deux équations
X = o, Y = o.
Il esl bien vrai que, à cause de l'égalité des invariants, cela ne
doit pas compter pour la solution de deux équations indépendantes
du quatriè degré, mais toujours cela exige un peu plus (le
calcul <!<• deux racines carrées) que la solution d'une seule équa-
tion du quatrième degré. Or, la vraie solution du problème doit
dépendre d'une seule équation du quatrième degré que je me suis
proposé d établir.
Dans un cas particulier, la solution est facile, el je veux l'indi-
quer pane que cela montre aussi comment j'espère parvenir au
but dans le cas général.
Supposons
(ti= bi [i= o, 1, 1, 3,4 •
alors il est clair qu'une des substitutions demandées est
x=y\
la détermination des trois autres doit dépendre d'une équation
cubique.
Je considère l'intégrale générale de l'équation différentielle (1)
que j'emprunte au Traité de M. Caylev-Brioschi Sur les fonctions
e llip tiqu es, p a ge 3 1 8 ,
a -r- 2 h a? -f- gx--+- 2j'(li -H 2 b x — fa?*) -+-jK2(g ■+- 2ÎX -f- ex-) = o.
Je conserve les notations de M. Cavley qui a pris
X = a -f- bx -+- ex- -h dxz -+- ex'* (p. 3i8),
Y = a -H by -f- cy- -f- dyz -+- ey'*,
les coefficients a, b, c, f, g, h sont des polynômes du second
degré en C, la constante arbitraire, et si l'on écrit l'équation sous
la forme
A -f- 2 B y -+■ G y- = o
ou
Ai-i-aBiJr-i- Q^r2 = o,
LETTRE 121. 23 I
on a
B* — AG =0X,
I5f — A,G,= 6Y,
©étant du troisième degré en C. Or, si Ton détermine maintenant
C par la condition
0 = o,
on s'aperçoit aisément que l'intégrale générale peut s'écrire
(îxy + gx-h g7 + h)2=o;
donc
ixy -4- gx ■+■ gy ■+- h = o.
Ce sont les trois substitutions linéaires qu'il fallait obtenir et qui
dépendent de l'équation cubique
6 = o,
qui peut se transformer directement en
4 m3 — S u — T = o.
Mais il me reste à établir l'équation du quatrième degré qui
doit se présenter dans le cas général. Pour le moment, j'entrevois
une méthode qui doit me la faire connaître, mais elle exigera
d'effrayants calculs; avant de les entreprendre, je veux chercher
s'il n'y a pas un moyen plus facile d'y arriver. J'ai supposé que le
problème n'avait pas encore été traité sous ce point de vue, peut-
être pourriez-vous me dire si cela est.
Respectueusement votre tout dévoué.
121. — STIELTJES A IIERMITE .
Toulouse, i3 juin 188S. '
Monsieur,
J'espère que vous me pardonnerez si je continue à parler du
problème que j'ai mentionné dans ma lettre précédente.
Posant
X = a0x'*-\- 4«i^3 + - • .-+- «i,
Y = &0ji-+- 4 &J,/3 + ...-*- bk,
232 CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJES.
où les (//. l'i vérifienl les deux relations
a0 ak — { ai a3 -f- 3 af = 0„ A •, — j A , b3 -h 3 A \ .
T =
«0 a , a2
d\ di (I ;
a 9 a3 a&
6fl A, A.
A, A, 63
A, 6, A,
Il s'agit de la détermination tics quatre intégrales particulières
de la forme
1 p + qx^- ry-^sry = o
de l'équation différentielle
(2)
~x~ \ '
Je viens d'abord d'obtenir l'équation <lu quatrième degré donl
dépend la solution, mais elle serait trop longue à écrire, aussi
n'ai-îe pas fait le calcul <lc certaines vérifications. Mais voici un
autre résultat de mes recherches qui pourra vous intéresser.
Soit
H.c = ( «o«-2 — a\ )#* — ■ ■
le Hessien de X; de même
Ry=(b0bz-bl ).y* -+-...
le Hessien de ^ .
Alors vous avez donné i'<- résultat remarquable que. en posant
on obtient
de même, en posant
on aura
H,
2 dx du
V/X " y/4"3— S«— T
II,
< dy
Y '
/Y v/4«,ï— s" — T
Il est clair par là que la relation
LETTRE 122. 233
on
(3) XHr \\\, o
est nue inlégrale particulière de (2).
Or, je trouve maintenanl que
XII, -VII,-
osl égal au produit de quatre expressions de la forme
p ■+- q x -\- ry -t- s xy
et, en égalant à zéro ces quatre expressions, on a précisément les
intégrales particulières cherchées de l'équation différentielle.
11 est facile de vérifier ce résultai dans le cas a.i= bi, l'un des
fadeurs de XHL — YH^ esi précisément x — y. Mais je n'ai pas
encore effectué complètemenl les calculs prolixes, nécessaires
pour la vérification dans le cas général.
Veuillez bien agréer, Monsieur, l'expression de la plus sincère
reconnaissance de votre dévoué et respectueux serviteur.
P. S. — J'espère pouvoir bientôt publier dans les Annales de
notre Faculté ces recherches sur l'équation différentielle
dx* _ dy*
X Y K
122. — STIELTJES A HERMITE.
(!\, rue de Fleurance-Mon plaisir) Toulouse, i5 juin 1888.
Monsieur,
Voulez-vous bien me permettre de revenir encore sur ce pro-
blème des substitutions linéaires
p ■+- q x -f- ry -t- sxy = o
(') Note des éditeurs. — Le Mémoire de Stieltjes sur ce sujet est inséré dans
le Tome II des Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, p. K.i, 1888
et a pour titre : Sur la transformation linéaire de la différentielle ellip-
dx
tique — =•
:ïù'\ CORRESPONDANCE d'heRMITE ET DE STIELTJES.
qui donnent
(/./•- _ d\ ■-
~x~ : : F :
je vous promets expressémenl que ce sera la dernière l'ois.
Vous savez que j'ai considéré d'abord le cas ai= bi, alors
//. (/. r. s s expriment rationnellement au moyen de */, racine de
\u3 — S « — T = o.
J ai tâché alors de traiter le cas général de la même manière en
établissant d'abord l'intégrale générale de l'équation différentielle
sous la forme
a — ■>. x'.r — y." x-
-+- ( y -t- 2 y ' x ■+- i'x- )y- = o ,
où les a. j. y, . . . sont des polynômes du second degré en C (la
constante arbitraire).
Mais il m a coûté beaucoup de peine pour trouver cette for-
mule (i) et elle est très compliquée. Mais, une fois cette formule
obtenue, la solution du problème n'offre plus de difficulté et l'on
trouve directement l'équation du quatrième degré en C. Si
C satisfait à cette équation, le premier membre de (i) est un
carré partait et l'on obtient ainsi les substitutions linéaires
Pi — qtx + /;■}■ -r- stxy = o ( i = i, 2, 3, 4 ).
M. lis le théorème que je vous ai communiqué,
VII r — XII y— cons t. II 1 pi-+- qi& -+- l'iy ■+- s,-ry ),
permet de résoudre la question d'une manière beaucoup plus
facile.
En effet, il est clair qu'on n'a qu'à donner à y une valeur par-
ticulière (par exemple o ou go) et à résoudre alors une équation
du quatrième degré
a.\\x — 3 X = o.
Il y a même avantage à considérer directement l'équation
YII,-XIIv=o,
en \ regardant y comme constant. Or il est bien connu qu'on
LETTRE 122. 235
peut faire dépendre la solution de celle équation encore de
l'équation résolvante
i u* — S u — T = o.
En poursuivant celle voie, je trouve que la détermination de
ces substitutions linéaires s'obtient aisément à Taule de ces fonc-
tions t!>, . . .
^=i6(^ + e,/),
que vous avez rencontrées dans voire premier Mémoire Sur la
théorie des fonctions homogènes à deux indéterminées (Journal
de Crelle, l. 5î2, p. i5). Il faut considérer en même temps eclles
qui appartiennent à X et à Y.
En somme, on reconnaît que, pour avoir les />,, <ji, ..., il faut
calculer d'abord les racines «)5 u2, u3 de l'équation en u. Ensuite
il y a à calculer les racines carrées
ffli = vA "ï — u0a2 — a0Ui)(bj — b0b2 — 00ul ),
m 2 = y/( a\ — a0a2 — «o "2 ) (à\ — b0b2 — bdu2),
m 3 = ^(«1 — «o«» — a0u3) (b'i — b0b2 — b0u3),
mais à cause de
nii m2m3 — - (a§ «3 — 3a0«i «2 + ia\){blb3 — 360^i &» + 2 b] ),
on a à calculer réellement seulement deux racines carrées.
Les pi, qi, . . . , s'expriment alors rationnellement.
Pour avoir séparément les racines de X = o et de \ = o, il
faudrait calculer
\/a\ — «0 «2 — «0 "-i , V^î — ^0^2 — 60M|,
\/a'l — a0a2 — a0 u2, y b\ — b0 b, — £0 u2,
y/aj — aQa2 — a0u3, \J b\ — b^b2— b0u3,
ce qui constitue, en réalité, quatre racines carrées à calculer. En
somme, je me suis donné bien du mal pour éviter le calcul de
deux racines carrées; on pourra penser que c'est bien peu de
chose.
On voit aussi maintenant comment il arrive que, dans le cas
B/= bi, il suffit de connaître U\, u>, u3.
236 CORRESPONDANCE D'HERMITE ET DE STIELTJES.
.!<■ crois que ces résultats éclairciront aussi la nature de
l'équation en (. donl j'ai pari»' plus haut. En effet, si je considère
l'équation en 1) donl les racines sonl
m, — m2 — m3,
— m,\ — //>> m3,
— /??! — m2-^ rn3,
il me semble qu'il doit exister une relation simple entre C el D,
el je ne pense pas me tromper en soupçonnant que celte relation
sera
YD-t-8
en sorte qu on pourrai! même avoir simplement C = D en chan-
geant convenablement la constante arbitraire C qui figure dans la
formule (i).
Quant au théorème
YII.r— XHr= U(pi ■+■ qtx — rty + stxy i,
vous aurez remarqué sans doute que, à cause des propriétés inva-
riantes, d suffit de l'établir dans le cas
X = (i — a?2)(i — #2a?2),
Y = (i— r2)(i — k*y*)t
et il vient alors
VII.,..— XHr= const.'(a?2— jr2)(i — k*x*y*).
Mais celle remarque si simple que le problème proposé revient
à décomposer \ \\j- — \HV ne s'est pas présentée tout d'abord.
\ euillez bien me croire, Monsieur, votre respectueusement
dévoué.
123. — Il ERMITE A STIELTJES.
Paris, 17 juin 1888.
Mon cher ami,
C'est à moi de m'excuserdu retard que j'ai mis à répondre à vos
deux dernières lettres et surtout à vous exprimer combien je suis
LETTRE 123. 237
heureux que vous ayez réussi à surmonter votre chagrin en vous
remettant au travail. L;i question que vous avez traitée esl d'un
grand intérêt cl ce me serait un plaisir de m'j engager avec vous,
ainsi <|nc vous m'avez vu faire autrefois, quand vous vous en pre-
niez à L'Arithmétique, si je n'étais à boul de mes forces el ayanl
quelque peine à cause de la fatigue que j'éprouve à en finir avec
mes leçons à la Faculté. \u moins permettez-moi, puisque vous
vous proposez de publier vos recher< hes dans les Annales de
Toulouse, d'appeler voire attention sur un excellenl travail de
M. Halphen sur le sujet que vous avez traité, qui a paru à l'étranger
dans les Rendiconti du Cercle mathématique de l'Université
de Païenne. Je vous envoie le numéro de ce Recueil que vous ne
recevez sans doute pas, pensant qu'il devra \ons intéresser. Il me
semble qu'il y a quelque analogie entre ce que fait M. Halphen el
votre méthode extrêmement ingénieuse de conclure une solution
1., 1 1, , • dx2 dy2 . ,,, ... Ha- Hv T
particulière de 1 équation -^- = -— de 1 égalité -1— = -=£• Je crois
bien aussi avoir rencontre autrefois comme conséquence de la
relation qui lie une forme biquadratique avec ses invariants du
sixième et du quatrième ordre une substitution qui ramène l'inté-
grale elliptique générale à la forme que vous considérez
/
du
y/4 u3 — S u
et peut-être y aurait-il utilité à la rapprocher de celle dont vous
faites usage u = =^« Je la rechercherai dans mes anciens arli-
(les sur la théorie des formes du Journal de Crelle, mais elle
m'échappe en ce moment; permettez-moi, avant (pie je la retrouve
et, si paresseux que je sois, de vous indiquer une conséquence
arithmétique de l'équation
11,(0) = iy/q Al'!,
où l'on a
A = (i — q2)(i — ?*)... et P = (r + <jr2)(n- ?*)....
Si Ton désigne par/(/i) le nombre des solutions en nombres
entiers et positifs, sans exclure zéro, de l'équation
(l) X\ -+- 3^2+ J^3 + - • •+ (^V — ')-rv= "■
238 CORRESPONDANCE d'iIERMITE ET DE STIELTJES.
où je suppose
v = E
je trouve d'abord que l'on a
P=2/(*)?2" (11 = 0,1,2, ...)•
Cela étant, ];i fonction numérique f(n) s'obtient de proche en
proche, par cette formule <lr récurrence
f{n) = fin — 2) — fin — io) -t-/(/i — 2 \) — . . .
-4-/(n— '»)— /(« — 14 )-*-/(» — °>o) — . ..
+ + (_,),-!/,>_ 3 /•'-+/•)
+ (-i)r_,/(« — 3/-s— /•)
Le terme e est égal à l'unité ou à zéro, suivant que n est ou n'es!
, , r m.2 -H ni
pas de la tonne •
1 2
La même équation donne la relation suivante, à l'égard de la
fonction plus compliquée
F(/i) =V(.r1-M)(.r2-M)...(lrv+i),
où le signe 7 se rapporte à tous les systèmes x,, ^r2, .... arv de
solutions de la même équation (1). On a alors
p(.)=2(-r[F(.-^)+»(.-^)]+,
au lieu de
/(»)=a2(-I)r-1[/('*-3'"1-»-'-)+/('»~3'"1-'*)]-H«
(/• = 1, 2, 3, . . .),
la sommation s'étendant à toutes les valeurs de /• telles que l'on
ait, soit
3 /-2 ± r
n — n/,2± /') - o ou bien n — >o.
2
L'équation
0(o) = (1 - ry2)(i - ryi). ..[([- q)(i - q*)(i - q*). . .]*
donne lieu à des conséquences analogues sur d'autres fonctions qui
LETTRE \'2'-\- 239
se rapportent à L'équatioD .r, + 2X2-+- 3#3 +. . .+ nx„ — /?, mais
ce no sont là que des remarques bien faciles et qui ne me semblenl
avoir que peu d intérêt.
Dans le même genre, et sans faire plus d'efforts, j'ai complété un
article de M. Heymann (') dans le dernier cahier de Crelle, <'n
présentant comme il suii la réduction à la forme I' + t'Q d<- l'inté-
grale elliptique
J \J\{x — a —
dx
ib)
où X est un polynôme du deuxième ou du troisième degré à coef-
ficients réels. Le module \/(ûc — a)--\-b- se transforme en une
expression rationnelle, en posant
&(*" — 1)
x = a -+■
it
or on Irouve ainsi
b(t— »)« . dx kb (( -4- 1 \dt
x — a — 10 = — — - — — nuis = = — I / - —
a< Jx — a—ib V 2 / /,
T T .
Désignant par — on — > suivant que X est du deuxième ou du
troisième degré, la transformée de \ par la substitution considérée,
j'obtiens
' ) dt
-V^
on bien
fb rt(t-h£)dt
\ftT
C'est le résultat bien connu de Jacobi qui se trouve ainsi fort
simplement.
En vous priant, mon cber ami, de vouloir bien faire parvenir à
M. Baillaud mes remercîments pour l'envoi qu'il m'a fait d'excel-
lents Mémoires, où j'ai vu avec grand plaisir le concours analy-
tique que lui a prêté M. Tannery, et en vous renouvelant l'expres-
sion de mes sentiments de bien sincère affection.
(') Note des éditeurs.— L'article de M. Heymann est inséré au Tome 103 du
Journal de Crelle, p. 87-88 (1888).
i\o correspondant: d iieioiite et de stieltjes.
124. - STIELTJES 1 HERMITE.
Toulouse, le 17 juin 1888.
MoNSIEl 1;.
Je suis extrêmemenl heureux d'avoir reçu votre lettre qui me
montre de nouveau votre amitié qui m'esl si précieuse. Mais,
monsieur, il y a dans votre lettre un passage qui m'a vivement ému
el que je ne peux pas laisser sans réponse. \ ous dites : 0 Je crois
hirii aussi avoir rencontré autrefois comme conséquence <lc la
relation qui lie nne forme biquadratique avec ses covariants du
sixième el du quatrième ordre une substitution qui ramène l'inié-
grale elliptique générale à la forme que vous considérez
du
f
\/,\ /r3 — .s 11
el peut-être y aurait-il utilité à la rapprocher de celle dont vous
faites usage
H*
U = -=T" f) .
Or. Monsieur, je suis sûr d'avoir dit expressément dans ma
II
lettre que j'ai empruntée vous cette substitution u = —■• Mais,
Monsieur, c'est un résultat classique, aujourd'hui, comme du reste
tout ce <|ui se trouve dans ces beaux Mémoires du Tome 52 du
Journal de d'elle. Et je crois que si mon travail a quelque
intérêt ce sera surtout à cause de ce qu'il éclaircira un peu la
... IF,.
nature de cette substitution II = =t-«
Je me propose de faire un exposé un peu complel de mes
recherches el con : nos Annales sont aussi destinées à des lec-
teur- (|ui ne peuvenl pas se procurer facilement tout ce qui se
publie en France et à l'étranger, je donnerai quelques développe-
ments, sans crainte de répéter des choses qui sont, d est \ rai, bien
connues, mais qui me sont nécessaires.
Le seul travail sur lequel j'aurai à m'appuyer seront vos
Mémoires sur les fonctions homogènes à deux indéterminées. La
raison en esl que je ne peux m'empêcher de regretter que si eer-
LETTRE 124. '.'il
tains résultats de ces Mémoires classiques sonl répandus mainte-
nant dans les livres élémentaires, comme celui de M. Salmon, on
a en général peu reproduit vos démonstrations et enfin les idées
(|iii s'y trouvent. Ainsi, par exemple, la démonstration de la rela-
tion
kg%-ipg-jp=hl
est souvent donnée simplement par une vérification opérée sur la
forme canonique de/, .le trouve aussi dans vos Mémoires, déjà, la
notion des invariants et des covariants irrationnels, connue, par
exemple, les racines 0 de l'équation résolvante
403— i'0 -+-/ = o.
Dans ces dernières années, un jeune géomètre allemand,
M. Hilbert, de Konigsberg, a repris celle idée des invariants et
covariants irrationnels, et il y a consacré un Mémoire étendu dans
le Tome XXVIII des Math. Annalen. Je pense que M. Hilbert
ne vous est pas inconnu; j'ai aussi fait sa connaissance à Paris
en i 886.
Naturellement, comme professeur, j'ai dû étudier aussi un peu
les travaux d'Algèbre de Glebsch, Gordan et de leurs disciples,
pour en avoir au moins une idée sommaire. Mais s'il est incontes-
table que, par exemple, le théorème de Gordan est tout à fait fon-
damental, je ne peux m'empêcher de croire que ces théories-là
n'ont pas encore reçu leur forme définitive, — il me semble que le
formalisme (oppressant pour moi) a bien besoin d'être vivifié par
des idées.
Vous m'annoncez l'envoi d'un fascicule des Rendiconti de
Païenne et je dois vous en bien remercier, mais probablement
pour m'engager à y souscrire, on m'a envoyé justement deux
fascicules de ce Recueil où l'on trouve l'article de M. Halphen.
C'est même un peu par cetarticle que j'ai été conduit à me poser
la question d'une autre manière.
Il est é\ ident par là que mon travail n'est pas la reproduction de
celui de M. Halphen. On pourrait le considérer comme une conti-
nuation et une généralisation de ce dernier.
Votre très dévoué et respectueux.
1 | :>. C0RRESP0NDAME 1) HERMITE ET DE STIELTJES.
125. — HERMITE ! STIELTJES.
Paris, ig juin i8S8.
Mo N CHER Ull .
Je mérite grandement les reproches que vous me faites; je me
les suis adressés moi-même après vous avoir écril lorsque peu à peu
se sont réveillés les souvenirs de mes recherches d'Algèbre qui
remontenl à ] >l u < de trente ans. Mais vos reproches onl si peu
d'amertume que je ne m'engage nullemenl à ne pas bien d'autres
fois les encourir, en écrivant rapidement, sans beaucoup réfléchir.
Lorsque j'ai abandonné mes études sur les formes pour m'occuper
de la transformation des fonctions abéliennes du premier ordre,
j'avais entrevu quelque possibilité d'étendre aux formes à trois
indéterminées, la méthode qui m'avait conduit aux lois de récipro-
cité pour les formes binaires. C'est dans la dernière ou l'avant-
dernière année du Journal de Cambridge et Dublin que j'ai
exposé mon procédé el dans l'espérance «pu- vous ferez ce que je
n'ai pu faire, que vous entrerez en pleine et complète possession
de ce que j'ai seulement entrevu de loin, je viens vous prier de
jeter les yeux sur cet ancien travail, le plus étendu de ceux que
j'ai publiés sur la théorie algébrique des formes. Vous connaissez
certainement et vous admirez comme moi le Mémoire de M. Sal-
mon sur les formes cubiques à î indéterminées. Nous aurez
remarqué le complet parallélisme entre les covariants et les con-
travariants de la forme considérée qui m'a extrêmement frappé;
j'en tirais l'induction qu'il doit y avoir une liaison analytique qui
associe nécessairement à tout covariant un contravariant de même
ordre, et en me bornant aux formes ternaires, c'était cette liaison
que je voulais d'abord découvrir. 11 me semblait qu'en étendant
auxformes ternaires les transformations en symboles dont j'avais
fait usage pour les formes binaires, le lien cherché apparaîtrait, de
sorte qu'à la fois on aurait une loi spéciale de réciprocité interne
entre les covariants el les contravariants el la généralisation delà
lui de réciprocité que j'ai obtenue entre les covariants et les inva-
riants des formes binaires. Nous me dédommageriez, mon cher ami,
et vous me feriez oublier le regret de n'avoir point persévéré dans
LETTRE !:>.'). 243
cette voir de recherches, si vous vouliez I • i * - 1 1 avec votre < I < > m d'in-
vention, ingenium divino dono aureum, vous y engager et la
suivre.
En attendant que vous vous décidiez à entreprendre la conquête
des lois de réciprocité interne el externe, je vous fais mes compli-
ments, parmi bien des choses intéressantes que vous m'avez com-
muniquées, en particulier pour l'équation
Y 1 1.,. — \ II , = G II ( p -+- q x -f- xy -+- s
qui me semble extrêmemenl originale. Et je ne saurais trop vous
encouragera écrire pour les Annales de Toulouse un Mémoire où
la concision ne nuise pas à la clarté et <pii n'exige poinl pour être
compris cette attention fatigante qu'exigent les notations par trop
condensées de Clebsch, dont l'usage est malheureusement -.i géné-
ral. Je ne renonce pas à peut-être ajouter quelques remarques à
vos recherches, ayant fait l'année dernière pendant les vacances
quelques petites choses clans un domaine voisin. Mais, en ce
moment, il me faut envoyer un article à Y American Journal, el je
ne suis occupé que des développements en série, suivant les puis-
sances de r/, des quantités {/k, y/ ' k' et \Jkk', A l'égard de cette
dernière, j'ai remarqué qu'ayant
lVkT'=yWq?Q
ou bien
on en conclut l'expression
i;/tf=f/2"72(-i)V(")r)
où f(n) est le nombre des solutions de l'équation dont je vous ai
parlé
e1-t-3c2-t-5c3-f-...-i-(2v — 1 ) cv = n .
On a pareillement
y~k = J-2 \/q P*Q = ^|f = Jl VïJùi-lpfxWq»,
où y, (/i) est le nombre des solutions de
c: -4- 3 c2-f-. . .+ (2 m — i)cv+ 2[Ci -t- 3c'2-+-. . .4- (2V — 0c'v] — "'
>'l'l CORRESPONDANCE D BERMITE ET I)i: STIELTJKS.
Vous savez que ce dernier développement jour un grand rôle
dans le beau Mémoire de Sonhke(<) suv les équations modulaires
que je recommande à votre souvenir. De vous je dirai ta ma g nus
eris . [polio, lorsque \<mi^ aurez pénétré le mécanisme caché, m\>-
térieux <l<- la disparition des coupures, dans leur premier membre,
el j'ai confiance que vous réaliserez mon espoir.
\\ ec ions nu 's vœux, mon cher ami, pour le succès de \ os efforts
et de vos travaux, el en vous renouvelant l'assurance de ma bien
sincère el cordiale affection.
P. S. — Ne vous pressez pas «le- me renvoyer le rendiconto que
j'ai eu tort de vous adresser, je n'en ai aucunement besoin main-
tenanl.
126. — H ERMITE A STIELTJES.
1 août 1S88.
MONSIEUR,
Mon
127. — STIELTJES A H ERMITE.
8 août iï
128. — STIELTJES A IIERMITE.
Toulouse. io octobre 1888.
Monsieur,
Vous devez avoir quitté Barèges depuis quelque temps el
j'espère que I i cure vous aura fait tout le bien possible. Mainte-
(') Aole des éditeurs. — Les travaux de Sonhke sur les équations modulaires
sont contenus dans deux Mémoires publiés dans le Journal de Crelle, Tome 1?,
page 17S et Tome 1G, pages <j--i'io.
LETTRE 12S. 245
nant, je vous prie sincèrement de ne pas négliger les conseils
des médecins et de ne pas faire attention à ce qui suit .si le tra-
vail \011s est encore défendu.
Vous connaissez la formule de M. Prym
T(a)=- [- h- — .+-..._}_Q(a)
a \.a -t- 1 1.2. a -h 2 1.2. 3. a H
où
Q ( a) = f x"- ' e~x dx
est une fonction holomorplie dans tout le plan. Voici une formule
analogue que j'ai obtenue
(a) l(a)COSTT«=: i 1 i — — +..,_(?(a).
a t . a -+- 1 1 . 2 . a -+- 1 1 . 2 . 3 . « : I
On reconnaît, d'après le théorème de Mittag-Leffler, que (j(r/)
est une fonction holomorphe dans tout le plan.
Mais tandis que dans le cas de la fonction Q(«) de M. Prym ce
caractère résulte aussi directement de l'expression / xa~K e~1' d>\
les choses se passent un peu moins simplement dans le cas actuel.
Voici l'expression de (?(«)
t /* "° x~~ a e1"-1'
(P) (j(«) = r(i — a) valeur PrinciP-J l_x ^
(valeur princip. d'après Gauchy = Iim / -h i ].
Cette formule ((3) n'est valable que lorsque
partie réelle de a «<-t- 1.
Cependant il n'est pas difficile de reconnaître, d'après la for-
mule (|j) elle-même, que Q(a) est holomorphe dans tout le plan.
En effet, à l'aide de l'identité
1 x
■ = I H ,
il \ ienl
( Y I (j(a) = e — (a - 1) (j(a — 1).
246 CORRESPONDANCE IMIERMITE ET DE STIELTJES.
Cette relation permettanl de déduire {{(<') de Çj(a — i) peut
servir à continuer la fonction Ç(a) dans toul le plan.
La formule (a) n'est qu'un cas particulier de la suivante où
/ esl réel el |»i>^iti(
fa / i 1 / ' - I ' *-&
(8) T(a)cos~a = 1 i 1 r --+-...
a i.a-j-i I.2.A+2 i.2. 3. a -1-3
r(i — à)
r " ,r~a e"1— jpJ
valeur princip. / ■ — — «'/.r.
. / i — .r
J'indique la démonstration. Soil <p(f) le second membre de (o),
alors
d<p(t) , , i d . . . rx x-aeM~x) 7
' , = ta~i c1 — -y- valeur princip. / — dx
dt Tu —a) dl ' l Ju i — x
— fa-lel 1 / x-aem-x) dx = la-lel — ta~iet=o,
r(i-«)J0
en sorte que <p(/) est indépendant de t. Alors, en supposant
o < a < i , on obtient, en posant t = o,
i r °° x~~ a
o(t) = o(o)= valeur princip. / dx.
T r(i — a) l J0 i — x
Or on a
/*œ x~ a
valeur princip. / dx = — -cotTra.
••'o ! ^
C'est ce qui résulte facilement des formules que vous donnez
dans votre Cours; on trouve aussi cette formule dans Briot et
Bouquet, Fonctions elliptiques, page ij). 11 en résulte
?(0 = <?(<>) = YU — a) = r(a) cosiea- c.Q.r.r».
Naturellement, il faut justifier la dififérentiation sous le signe /
el aussi montrer qu'on peut faire légitimement t — o. Aussi, on
établit, de celte façon, la formule d'abord seulement pour
o<P.R.a<i ('),
mais ensuite on voit qu'elle ne peut cesser de rester vraie sans
cette condition.
(') Note des éditeurs. — La notation P. II. a signifie partie réelle de a.
LETTRE 129. :'.'l7
Je vous renouvelle, Monsieur, mes vœux pour le rétablissement
de voire sa nié dont j'espère recevoir «le meilleures nouvelles que
la dernière fois. C'est là, je \<>us L'avouerai, un peu la raison <le
celle lettre et vous pouvez, considérer la fonction I' simplement
comme un prétexte de vous écrire une lettre peut-être déjà trop
longue.
Veuillez bien nie croire voire 1res dévoué.
129. — II ERMITE A STIELTJES.
Paris, 12 octobre 1888.
Mon cher ami,
Je viens vous remercier et vous dire que votre théorème
a î . ( a -+- 1 ) i . -i. ( a-+- i ) ''
m'a fait grand plaisir; permettez-moi, en même temps, de vous
prier de publier votre lettre dans le Bulletin de M. Darboux
afin <[ne d'autres que moi en profitent. Les valeurs principales
des intégrales définies dont Cauchy, qui en a donné le premier
la notion, a été seul jusqu'ici à employer, méritent, comme vous
le faites bien voir, la plus grande attention, el je pense que, à
cet égard tout particulièrement, la publication de votre lettre
rendrait grand service.
Permettez-moi de rapprocher votre expression
Q(a) = v. p. /
']y ' T(i-a) ' ./0 i-x
d'un résultat que m'a communiqué M. Lerch.
Soit
QO) = / xa~le~x dx
•j 1,1
la fonction holomorphe de M. Prym, on a
i r°° e«*xx-a ,
ewQ(a)=— / d.r.
r ( i — a ) J0 i-hx
Ces fonctions Q(a), Q(«) sont d'une nature très mystérieuse,
248 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE S I IF.LTJF.S.
bien qu'holomorphes, et, quelque mal que je me suis donné pour
v parvenir, je n'ai pas, à mon gré, réussi à trouver une expres-
sion suffisamment explicite pour Q(#). Il y a quelques mois, en
ayant sous les veux le simple développement en série
Q(fl)=2c„fl" où c„= ] I
e-x\osncc ,
2 d.c.
l'idée m'esl venue de chercher, en appliquant la méthode de
Laplace, la ^ • 1 1 • 1 1 1- asymptotique de :?„. Voici ce que j'ai trouvé;
écrivant d'abord, au moyen d'une intégration par parties,
' — f
1.1. . .n — i . // , '
e~x ïo"nx dx.
Je désigne par x-=\ la racine de l'équation xlogx = n et
j obtiens
M. Bourguel a eu la bonté d'appliquer celle formule en supposant
/j = i8, afin de voir l'approximation. On trouve alors
Ç = 8,46...
cl
C17 = 0,0000 COOO OOOO 12. . .,
et l'une de ses Tables donne
c17 = 0,0000 0000 0000 is. . . .
ce qui esl un accord plus grand que je ne pouvais l'espérer. Mais
mon expression avec la quantité ; ne fait que me confirmer dans
mon sentiment de la nature analytique profondément cachée el
abstruse de la transcendante. Comme ç est évidemment moindre
que //. on reconnaît que la limite pour n infini de
it 1 ,
Vcn-\
est inférieure à l'unité, ce qui est d'un mince intérêt.
J'e pèi ■ que nous ne vous refuserez pas à la publication de
ms le Bulletin de M. Darboux, à qui je la donnerai,
LETTRE 1-30. .',<,
à moins d'avis contraire de votre part. Pensez-vous aux coupure
des équations modulaires? Permettez-moi d'espérer que vous ne
les oubliez pas, e1 veuillez agréer, mon cher ami, La nouvelle
assurance de ma bien sincère et cordiale affection.
J'ai écrit avant les vacances à M. Bosscha qui avail eu la bonté
de me demander si j'avais reçu le premier volume des Œuvres de
Christian Huygens, pour l'informer qu'il ne m'étail pas parvenu.
Pourriez-vous, si \<>ns en aviez l'occasion, faire savoir que la
maison de librairie qui doit me le remettre ne l'a point encore
fait.
130. - STIELTJES A HERMITE.
Toulouse, i3 octobre r888.
Cfiek Monsieur,
Je vous remercie bien vivement de voire lettre <[ui me fait savoir
que vous vous portez bien, cl quoi que von voudriez dire, je suis
certain que vous continuerez encore à exercer une grande influence
sur les progrès des Mathématiques. Ce que j'ai surtout appris de
vous, c'est cette conviction que la véritable nature des formules
que nous employons nous échappe encore bien soin ent et que rien
n'est plus digne d'intérêt que de réfléchir sur leur véritable nature.
Et que j'ai encore beaucoup à apprendre sous ce rapport; ma
formule
T(a) cosua = 1 -4- . . . — U(a)
a i . a -t- i
en fait foi. En effet, je la connaissais depuis 2 ou 3 ans, mais je
lécrivais ainsi
/ sca'xex dx = T(a) costi« -+- — v. p. /
-h r(i-a) J
x-aet \-x) dx
Je l'avais obtenue en cherchant i\v-< formules qui permettent
d'évaluer, avec une grande approximation, par une série semi-
convergente la transcendante
," dx,
- 0
dans le cas où t est très grand. C'< ivail que j'ai eu même
2.5o CORRESPONDANCE D'HERMITS ET DE ST1ELTJES.
l'intention un moment «1 insérer dans ma thèse. Mais c'est seule-
menl dernièrement, lorsque ce travail incomplel m'esl passé sous
les yeux, que j'ai reconnu la nature véritable du résultai que j'avais
obtenu. Il y a, Monsieur, un léger inconvénient à insérer ma
lettre dans le Bulletin; c'est qu'il doit y paraître prochainement
un autre article de moi, qui est déjà dans les mains do M . Darboux.
Mais j'ai repris mon travail sur / :r" '"' & '■' clx} et je pense en faire
un article pour nos Annales.
Dans l'article du Bulletin ('), dont je viens de parler, je fais
voir que l'intégrale générale de l'équation d Euler
il.r
7*
X = a„x'*-+- \a^xz
dy
W
Y= fl„7v'
4«ij
est
t -+- y
y
xy
'X
«r
«1
c/., — 2C
a g -+- c
«3
«3
"',
(c = const. arbit ).
\ otre expression approchée du coefficient c„ dans le développe-
ment 0(rt) = ÏC/,<7" m'intéresse beaucoup. Vous savez que, du
temps où j'étais astronome, j'ai gardé le goût des calculs numé-
riques et des formules qui peuvent servir utilement dans la pra-
tique. Je dois étudier un peu celle expression
r 1
•« + »
Je ne suis point du tout étonné de l'approximation avec laquelle
\ous avez représenté ainsi c,-..., au contraire, j'incline à penser
qu'on doit avoir ainsi une approximation bien plus notable encore.
J'ai vu que M. Hilberl vous a écrit une lettre (2) où il donne
(') Note des éditeurs. — Sur l'équation d'Euler (Bulletin des Sciences
mathématiques, 2' série, t. XII; p. 222-227; 1888).
(- ) .\olc des éditeurs. — Journal de Liouvillc, 4e série, t. IV; iSS*. K\tr.iir
d'une lettre de M. D. Hilbert à M. Ilermite.
LETTRE 131. -'i
une idée sommaire de ses belles recherches algébriques dans les
Mathematische Annalen. Ces recherches m'intéressenl beaucoup
et présentent quelques points de contael avec un travail que j'ai à
peine commencé, mais dont le I > 1 1 1 final es! de représenter, sous
une forme élégante, les intégrales générales du système d'équa-
tions différentielles hyperellip tiques, il est surtout importanl «le
voir clairement comment les constantes arbitraires entrenl dans
les formules. Le résultai de Jacobi {Œuvres, t. 11, p. i - » — <i suiv.)
laisse beaucoup à désirer sous ce point de vue. I>e résultai pour
l'équation d'Euler est un premier pas dans celte direction. La
formule de M. Lerch
_ , v i rx e-^*x~adx
vv ' l\i — a)J0 i + x
m'était Lien connue, elle se trouve sous une forme légèrement
différente dans le Traité de M. Schlômilch (t. II, 3e édit., p. 367)
/ ■— e~vdv = — =-^ / — e-'dt.
Mais il ne fait point de doute que M. Schlômilch n'avait point
envisagé cette formule sous le même point de vue que M. Lerch.
Veuillez bien agréer, cher Monsieur, l'expression des sentiments
respectueux de votre très dévoué.
131. — STIELTJES A II ERMITE.
Toulouse, le i4 octobre 1888.
Cher Monsieur,
Il m'a semblé qu'on devait obtenir la valeur de
— î— r
e~x(logx)ndx
avec une plus grande approximation, en suivant votre idée, que le
calcul numérique ne le faisait voir. En reprenant les calculs, je
trouve des formules et des nombres un peu différents. Je peux
■ »2 CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJES.
garantir l'exactitude du résultai suivant :
asymptotiquement
; Wn -+- \
; l"g; = n.
Pour
n = 18, ? =8, 139243 ...,
I expression approchée donne
0,00000000001101711 1.
lundis que
0,00000000000018] j
c^t la valeur donnée par M. Bourguet, mais les derniers chiffres 1 \
n sonl pas sûrs.
J'étais sûr d'avance que l'approximation devait être plus grande
que nos nombres ne l'indiquaient, car le rapport
c/t_! : Expr. approchée
doit tendre vers l'unité pour n = oo et il serait surprenant s'il était
I 18 Q
encore 1 - , = — pour n = 10.
1 ■>. l
J ai écrit un mot à M. Bosscha que je connais très bien, d était
professeur de Physique à l'Ecole Polytechnique lorsque j \ faisais
mes études (?) ; plus tard, tandis qu'il était directeur de l'école, j'y
ai remplacé pendant quelques mois un professeur malade.
Veuillez bien agréer, Monsieur, la nouvelle assurance de mon
entier dé\ ouemenl .
132. — HEU MITE A STIELTJES.
Paris, le i<> octobre i
Mon cher ami.
Votre lettre du i \ m'arrive bien à propos et j'espère
qu'une nouvelle demande de publication que je viens vous faire ne
souffrira pas de difficulté comme la précédente. V la séance d hier
académie, M. Camille Jord uu me demander un a
LETTRE 132. 253
pour son journal en y mettant tanl d'instances qu'il ne m'a pas été
possible de refuser; mais, pour tenir l'engagement qu'il m'a fallu
prendre, permettez-moi d'invoquer votre assistance. La modifica-
tion que nous avez introduite dans l'expression de cn i, donl l'ori-
gine cl la raison m'échappent entièrement, me semble extrêmement
intéressante à cause de l'approximation inattendue, inespérée
qu'elle permet d'obtenir. Aussi j'ai pensé ne pouvoir mieux
répondre au désir de M. Camille Jordan, comptant sur vous, mon
cher ami, qu'en vous adressant, si nous le voulez bien, une lettre
qui contiendrait le calcul fort simple, de l'application à
llCa-i = /
e~x \o£"x dx
de la méthode de Laplace et la faisant sui\ re de \ otre réponse con-
tenant votre beau résultat, avec des applications numériques qui en
font ressortir la valeur. Si, comme je le désire beaucoup, ma pro-
position nous agrée, j'en informerai sans tarder M. Camille Jordan
qui en sera enchanté, et je rédigerai sur-le-champ, en détail el
longuement mes calculs. Je dois aussi envoyer une Noie au Journal'
Américain ; en voici l'objet, et si ce n'était pas abuser de votre
complaisance, je serais extrêmement content de l'accompagner de
remarques de vous, s'il arrivait que la question vous intéressât
quelque peu. Vous savez que la quantité
ni (m — i) . . . ( m — n 4- i )
(m)n = —
i . 2 . . . n
est un entier divisible par m quand m est un nombre premier; j'ai
fait la remarque qu'il en arrive ainsi lorsque m est premier avec n.
Et plus généralement (m)rt est toujours divisible par v> S dési-
gnant le plus grand commun diviseur des deux nombres m et //.
Soit encore s le plus grand commun diviseur de (m + i) el //,
, N . r ih+i — n
(/;?)„ contient en tacteur
En vous remerciant bien de la peine que vous avez prise d'écrire
à M. Bosscha, et en vous priant de me faire don de votre article des
dx
Annales de Toulouse sur la différentielle — i que je veux rap-
procher de quelque chose que j'ai fait sur le même sujet, je vous
•»l CORRESPONDANCE I) HERM1TE ET DE SÏ1ELTJES.
renom cl l<', mon cher ami, l'assurance de mon affection bien sincère
el bien dévouée.
133. — STIELTJES A HERMITE.
Toulouse, le 17 octobre 1888.
Cher Monsieur,
Votre lettre me cause un peu d'embarras, \<>i<i pourquoi.
Comme le résultat du calcul de M. Bourguet ne me semblait pa9
satisfaisant, j'ai repris ce calcul, en calculanl aussi de nouveau
l'expression approchée de cn_t. Mais mon résultai
g n-l el-\
v X
; - V»
ne diffère pas «lu vôtre
ç/l
C,i-l
s/n + t
car. à cause <lf 11 = i log ç, «m a e" = ç^. Je me suis donc trompé en
d i s.i 1 1 1 que j'avais obtenu une autre formule. . .. le résultat < le mon
calcul numérique différant assez sensiblement de celui de Al. Bour-
guet, j'ai cru à tort qu'il devait \ avoir quelque erreur dans votre
formule; l'erreur était dans le calcul de M. Bourguet. Comme cela
(loi l cire, nu a. . .
liai — — =0 et ...(')
C/l-l
li mile zéro.
.l'ai fait encore le calcul pourra = 1 1 et \- :
n = 1 1, ; = 6,089 1 1 3 9
Valeur approchée. . 0,00000018993 )
Table I> 0,00000019 29} )
n = 17, | = 8,n8 "7 i 7
Valeur approchée . . 0,0000000000014171 )
Table B o,ooo< 00 0001 [2 \~ \
Du resl :. . . je \ais faire le calcul pour les huit valeurs
n = n , 1 1 , .... 1 s .
(') Un coin de la lettre de Slieltjes est déchiré.
LETTRE L33. 255
Il se pourrai! bien que la valeur approchée calculée pour n = iS
soit plus exacte que celle qui figure dans la table de M. Bourguet,
quoique j'ai beaucoup de peine à admettre que les nombres de
M. Bourguet puissent être en erreur de [oo unités - cela ne doil
pas être.
Maintenant, Monsieur, je me sens un peu coupable de vous avoir
don ik'' l'espoir de pouvoir vous être utile dans cette occasion. Vous
voyez qu'il n'en est rien. J'espère que nous voudrez bien m'ab-
soudre, si je m'engage à vous envoyer, dans quelques jours, un
Mémoire sur le développement de l'expression (' )
[1 — 2/'(cosm cosa' cosjf -+- sin u sin u' cosy) -+- r2]—1.
Je n'ai jamais rien publié sur cela que la courte Note dans les
Comptes rendus (1882). Ce travail me reste cher toujours, parée
qu'il a ('■[('■ pour moi l'occasion d'entrer en relation avec vous el avec
M. Tisserand. J'en ai remanié au moins vingt fois la rédaction, en
y ajoutant des tables assez étendues. Mais j'ai fini peut-être par
donner plus d'étendue à ces calculs numériques «pie cela n'est
raisonnable et la suite en est que ce travail reste toujours inachevé.
Mais je veux faire maintenant simplement un article théorique. Je
pourrai donner plus tard mes labiés dans les Annales de V Obser-
vatoire de Toulouse avec une courte explication; elles seront là
aussi mieux à leur place. Nous voudrez bien, n'est-ce pas, recom-
mander ce travail à la bienveillance de M. Jordan.
Je vous enverrai en même temps le résultat de mes calculs pour
n = 1 1 , 12, . . ., 18 dont vous pourrez faire l'usage que vous vou-
drez.
Je \ous renouvelle, Monsieur, l'assurance de mes sentiments
très dévoués.
P. S. — Je vous envoie en même temps ce que j'ai écrit sur — — ..
1 l J j/X
J'avais déjà rédigé la seconde partie, mais je crois qu'il sera pos-
sible de donner à mon résultat une forme beaucoup plus élégante
(analogue à l'intégration de l'équation d'Euler). Je me propose
(') Note des éditeurs. — Le Mémoire dont parle Stielljes a paru dans le
Tome V de la (\° série, p. 55-65, du Journal de Liouville (1889).
CORRESPONDANCE d'bERMITE ET DE STIBLTJES.
de trouver cela d'abord el cetl se fera attendre
encore un peu pour cette raison. En ce moment je n'ai pas pu
réfléchir sur votre théorème concernant (/>?)«.
134. - STIELTJES A ///./IMITE.
Toulouse, le 18 octobre i vvS.
Cher Monsiei r .
Le calcuJ numérique de votre expression approchée m a conduil
à un résultat surprenant :
Soil '•;, i votre valeur approchée de c*; voici alors le résultai :
c0 = (c0) xi ,o387,
Ci = (ci) xi ,o35 ">.
c2 = (c2) X I,o3l2,
C.3 = (C3) X I ,0277,
c4 = (c4) xi ,02 »9,
C5 = (cs) X ! ,0226,
Ce = (c0) xi .0208,
c- = (c7) x 1 ,0 1 9 '.
cj "i c8) 1 ,0179,
C9 = (Cg) X i ,Ol68,
c10 = (c10) x t,oi58,
Cji = (c11) X i,oi5o,
cn= (en) x 1,0142,
Ci3= (C13) x 1 ,oi3G,
c14 = (cu) X 1 ,OI28.
D'après Les valeurs données par M. Bourguet, on aurait
Cis = (cis) X 1 ,01 32,
ClC= (Cig) X 1 ,0054,
Ci7 = (c17) x 1 ,o663,
mais cela indique sans aucun doute qu'il s'esl glissé une erreur
dans le calcul à partir de c)S le vais reprendre le calcul de ct 3,
i7, ... d'après les données de M. Bourguet dans son Mémoire.
Si vous jugiez opportun de l'avertir, il pourrail peut-être faire ce
calcul (qui est vite terminé) mieux que moi. . ., carila vraisembla-
LETTRE 1 '■)'■'). ::■>-
blement fail Le calcul avec nu ou deui chiffres <lc plus qu'il n en a
donné.
Voilà certainemenl nn curieux résultat, que votre formule
approchée indique clairement une erreur dans les tables! !
Je travaille à mon Mémoire:
Votre tout dévoué.
Je crois qu'il sera bon de reprendre aussi le calcul de Ci 3 el r, ., . .
quoiqu'une erreur ne soit pas claireiiieul indiquée; r, ., paraît un
peu suspect.
135. — STIELTJES 1 HERMITE.
l'oiilousp, le 19 octobre 1888.
Ci 7. mais en supposanl
Cher Moksieuk,
Je viens de refaire le calcul des c0, .
que les valeurs des B;
r(# -+-*) = n-Biar-hB,»*-*-. ..,
données page 291 soient exactes. Voici les corrections don! onl
besoin, dans cette supposition, les valeurs des a :
c0 . .
0
\
Ci . .
- 24
c,0 . .
-H 128
c2 ..
-1-125
Cn • •
. —128
c3 . .
. — 134
C12 • •
. +128
c4..
-+-I34
Cl3-<
• —129 '
unités
cô ■
-i34
CU..
• +i^9 |
dernière décimale.
CÈ . .
-i-i33
Cifi . •
— i3o
c7 . .
— 133
C|6 • •
. -+-i3o
c8..
-t-i34
en .
• —'29
c8 ..
-i34
;
Après ces corrections, il vient
c0 =
(c0) X 1
,0387
Ci =
(Cl) XI
,o355
c2 =
(CS) X I
,o3i2
Cl =
(c3) XI
,0277
c4 =
(c4)X I
,0249
CS =
(C5) X 1
, 022G
C6 =
(c6)xi
,0208
C7 =
(c7)xi
,0192
t'8 =
(c8) x 1
,OI79
c9 = (c9) X I ,"i lis
Cio= (cio) x 1 ,01 58
cn= (en) x t ,oi5o
Cl2 = (C12) X I,Ol42
cis= (cis) x i,oi36
eu= (cu) x i,oi3o
Ci6= (Cis) X [l,OI2l]
cis= (ci6) X [i,oi45]
c17 = (cn) X [1 — 0,0095 I
Valeurs
qui
semblent
exigées
par la
Ancien-
marche
nement.
de la
1 ,0128
fond iiui.
I ,Ol32
I ,0125
1 ,oi54
I ,OI20
1 ,o663
I ,01l6
258 CORRESPONDANCE D H ERMITE ET DE STIELTJES.
Il \ a une amélioration, mais La valeur pourc15... reste légère-
mcnl erronée... el la même chose, à plus forte raison, pour c,r,
el <i:.
En adoptanl pour Cn le facteur i ,oi l 'i il vienl
O, OOOOOOOOI72] [1 ''1; 1 — . . . 1 701 J.
avec une erreur certainemenl inférieure à 1 unité (car le facteur ne
peul pas être en erreur de 0,0006, j estime).
La valeur de M. Bourguel esl
c,7 = o, . . . 1814 Valeur exacte : 172 1 Erreur : g3.
Après ma correction de — 1 29
C17 = o,. . . i685 Valeur exacte : 1721 Erreur : 36.
Lapplication de ma correction a donc diminué l erreur, mais
toujours la différence de 36 est un peu forte. Du reste, je me suLs
convaincu encore d'autre manière | en posant sc= — 1 dans la
série
Qi x 1 = >] >■;,.!•"
0
el en comparant avec la valeur exacte de 0( — 1 )] qu'il existe même
après mes corrections, des erreurs assez considérables. Je crois
qu'il reste encore des erreurs d'une centaine d'unités. La cause de
cela doit être que les coefficients B sont entachés d'erreurs de cet
ordre. \ ous voyez que déjà pour n = 18... ce n'est pas la table
qui peut juger de l'approximation de votre formule, mais récipro-
quement cette formule donne la valeur exacte et met en évidence
l'erreur de la table.
Mais ce qui vous fera plaisir (comme moi), c'est de voir avec
quelle fidélité votre formule représente les cn à partir de c0 même!
Pour 71 = 1, 2, ç est plus petit que n ; évidemment cela reste vrai
tant que n < e. Pour n = 2, ^ = n= e. Une autre fois, lorsque
j'aurai le loisir, je me propose d'interpoler et de prendre, par
exemple, /i = 3\: c„ , = =-. / (\osx)ne~T dx. Je ne doute
1 >> «_i r(/n-i) J0 K ° '
pas que le facteur ne tonifie entre
1 . o î 1 » el 1 .o>--.
LETTRE 136. 20$
Si, pour la comparaison de votre formule approchée, vous dési-
riez les valeurs numériques des (cfl), elles sonl à votre disposition.
Mais, à proprement parler, il me semble que le rapport cn '. (cn) mel
mieux en évidence la marche de l'approximation.
Voire sincèremenl dé\ oué.
136. — Il ERMITE A STIELTJES.
Paris, 19 octobre 1888.
Mon cheii ami,
Je viens vous remercier de votre Mémoire sur la transformation
linéaire de — ; j'aurais le plus grand intérêt à le rapprocher d'un
travail que j'ai fait l'année dernière pendant les vacances sur la
réduction de la même quantité à la forme canonique, mais d'autres
choses plus pressées m'en empêchent et j'attendrai d'avoir un peu
plus de liberté pour bien étudier votre analyse et vos résultats.
Recevez surtout mes remerciements pour les calculs numériques
que vous voulez bien mettre à ma disposition et qui me sont singu-
lièrement utiles pour justifier ma formule asymptotique de c„_,,
n'ayant pas réussi à ma honte, à mon grand dommage, dans mes
tentatives pour conclure, de la méthode de Laplace, une limite de
l'approximation obtenue. Je ne puis cependant m'empêcher de
croire qu'il y ait moyen d'y parvenir; voici un cas, par exemple,
extrêmement simple et facile qui, bien certainement, ne doil pas
être unique. Considérez l'intégrale
r x (U i.3... ■>. h — 1 -
/ (H- ^)" + l " »..4.. .'ïn ~i.
et faites
\ous aurez
1+** = *-■*■»:
dt
— = x(ex — 1 )
et, par conséquent, cette transformée
/.- _•
J = / e-"l'-x(ev"-—\ 1 ïdx.
>Go CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJKS.
Il suffît maintenant de remarquer que L'on a
ex = i -f- Te"-1,
puis
exi = i - ' :-
r),--
où 0 est compris entre zéro el I unité, ce qui permet 'I écrire
- (n
r
dx.
\w\ deux limites 0 — o et 0 = i . nous avons donc
L'intégrale proposée est évidemment comprise entre ces deus
quantités et l'on peut écrire
i.3.5. . .in — i _ i
2. \.6...in ~ V/T77m"j'
la quantité s étanl inférieure à -■ Que je serais content si celle
formule pouvait vous allécher et vous donner la tentation d'en
trouver une semblable pour c„_t !
J'ai immédiatement écrit à M. Jordan pour lui demander de
I millier dans son Journal votre Mémoire sur le développement de
i
|i — %r cosu cosu cosa7-i- sina sinu' sinj') - r-] 2,
el je lui ai assuré que rien au monde ne pourra lui être plus agréable
que d'avoir à sa disposition un travail important de votre part.
Votre méthode pour parvenir aux résultats de M. Tisserand est un
vrai bijou; en m'écrivanl pour la première fois lorsque vous me
l'avez adressée, muis m'exprimiez une sympathie qui a été bientôt
partagée, <|ui n'a fait qu'augmenter et que je garderai toujours. Je
n'attends pas la réponse de M. Camille Jordan, pour vous dire sans
tarder «pie je vous suis bien reconnaissant de la peine que \ous
allez prendre de calculer pour n = i i , 12, .... 18 la formule qui
donne <'n-\- 1>s'' vous préoccupez point de (m)lt; c'est peu de chose
comme vous allez voir. En désignant le plus grand commun divi-
LETTRE 137. '.>f)i
seur de m et n par o, on peut faire 8 = m. \ + /> . 15, A el l> étanl
entiers; multipliez maintenant les deux membres par
(m — \) ( m — ■>).. A m — n i i
vous en conclure/, immédiatement l'égalité
(m — \)(m — ■}.)...(!)> — n + i),
5 = (/»)„. A i /// i)„ |.B,
t . 2 ... 71
dont le second membre esl un entier E. On a donc, en multipliant
par m
(m)rt.o = m.E ou (m),i—— '-
6
et de même l'autre théorème.
Je vais maintenant corriger des compositions de baccalauréat.
En vous renouvelant, mon cher ami, l'assurance de mou affec-
tion bien dévouée.
137. — H ERMITE A STIELTJES.
Paris, dimanche (21 octobre 1888) (').
M
ON CHER AMT.
Je vous apporte ma contribution à la question en me proposanl
d'ajouter un second terme à l'expression asymptotique de cn_\.
Voici d'abord une remarque algébrique à laquelle conduit la mé-
thode de Laplace dont je vais faire usage. Soit
f /(*)
d.r
l'intégrale proposée en supposant que la fonction /(x) s'annule
aux deux limites a et b et n'ait, dans l'intervalle, qu'un seul maxi-
mum correspondant à la valeur x = £. En posant /(x) =/(£). e-ti,
puis x = £ -\- z, le développement en série suivant les puissances
(') Note des éditeurs. — Nous avons cru devoir fixer la dale de cette lettre
au ai octobre 1888 qui correspond au dimanche compris entre le 19 et le
22 octobre.
2Q2 CORKKSPONDANCE d'HEUMITK ET DB STIELTJES.
de s, el / donne, à cause de/ : - - o,
/+ : i , •
/ I H - h...
1 I . 2 /
( )n en I ire
->f , //',, , , /-a/ //'"2-+-//ff/,v- >/ :
et l.i remarque algébrique consiste en ce que, si L'on remplace /
par /". I»' coefficient de i'" se reproduit divisé par y nm. L'applica-
tion au cas de
f{x) = e~x \o%nx
conduil ;i un calcul prolixe et fatiganl auquel j ai renoncé; j'ai
préféré employer les coefficients indéterminés en posant
x = \ -t- U) t — <o' t- -h (.)" t3-+-. . .,
ce qui donne
ou plutôt
.1 e Mos"
- - \ ~ w
j = r Slos"| \/-.co( i - ;
Maintenant, j obtiens ces valeurs
, •> n ; 3to" >.//'' -f- <)//:i ; -+- il) «- ;'2 -f- CiJl ;•"' -4- •) . ; ''
2 | // ; i II ;
\ \ ant ensuite
i i
. n = y-iTz.n - <■
en négligeant dans l'exponentielle les ternies en — > on en conclut
la formule cherchée
SU -+-£ V 12// |
//' .|//:i; -+- II'.//-;- - 6/l£3-t- »£'
' | // ; // :
ou hien
i >//' -(|;i3; -i(i«'!'-'+6n^-r'i;;l
LETTRE l:5S. 263
Cette expression se simplifie el une réduction facile donne
C/j-1
/»-H
II I 2 /> -+- *) ; I "1
C'est ici que je viens implorer toute votre charité, pour savoir
m La quantité à laquelle j'arrn e
t/< > Il ; ", ; I
l + ^1$(« + ?.■■•'
<ui sensiblement, pour de grandes valeurs de l,
i
l H y
I 2 ;
se trouve confirmée ou démentie par vos calculs.
M. Jordan a dû vous écrire pour vous témoigner sa satisfaction
<le pouvoir publier le Mémoire dont vous m'aviez chargé de lui
demander l'insertion dans son journal. En attendanl votre réponse
cl \oiis priant de m'autoriser à publier tous \<>s nombres, dans mu
prochaine Note, je vous renouvelle, mon cher ami, l'assurance de
mes meilleurs sentiments.
138. — STIELTJES A HERMTTE.
Toulouse, 22 octobre 1S8S.
Cher monsieur,
J'avais considéré aussi les termes suivants de l'expression asymp-
totique de c„_i, votre résultat et le mien
e»-Ç T ra( 2 ».*-+- 7«£ -+-iof-) ]
; 2 \/n +■ \
sont parfaitement en accord, car
< II' — <)/C!; H- l(>/l2;- -4- Ô»;3-!- 2^*
24 «Çl/l + Ç )3
i n( -m- -h y n \ -f- m-- i
i2ft _ 24^(n -t- ç)3
(il semble qu'il y a une erreur dans la dernière rédaction de votre
Lettre).
>'i| CORRESPONDANCE d'hERMITE F.T DE STIELTJES.
\ oici maintenant la comparaison
n (în-+-n \
:)■ -
ik\Kn+\?
,,;s:
i,o5og
(i ï ">">
1 , 0 j 1 ">
, . i .
1 ,o3 [8
<>>:;
1 ,o3oo
02 [g
1 ,0266
0 > >t>
1 ,0 i3g
0 MlS
I .021 «s
0192
1 , 0200
01 71)
1,0186
II).
1 1 .
12.
I ;.
1 1-
I ') .
16.
17.
18.
_.:(<?»_,)■
24U"+?)'
i,oiG8
1 ,017!
1 .ni ', s
1 ,oi63
[ ,01 5o
1 , 0 1 5 4
r .ni [2
1 ,01 40
1 .m i6
1 ,oi3g
1,01 3o
1 ,oi3 •».
?
1 ,01 ■>-
?
1 , 0 1 2 1
1
1 ,01 iiT)
On ae peut pas exiger mie concordance plus parfaite.
J'ai simplement appliqué la formule (d), page 1 12 de la Tliéorie
analytique^
/^=6^[(t0a+K^ S?X - :' - >• n ^£). ■••]'
A étant l.i valeur maximum <l<\r pour ic = a,
\ logé— logj
( )r. posant .r = « H
h, je trouve
logô — logjK =
2 a
/1 *
A* _Aj>
3a2 i'r; ïa
A A*
A3 \3
/( L I II II- /l'y- Il » / /f /? - If \
2/1 \ 2a >"J i "y ' " \ '-'-a 3rt'2 4 aV
.1 /I* \ ' 2fl
I 1 _ h — \o%y — A0 A2 — A 1 h3
A 2
3 rt2
A../r
4«V '
A3A*-
A0=-(« + P),
-aS -4- ^82,
2 > '
A,=
;b>.
OU
p =
LKTTRE N5N. 265
(loin
1
v = (A0— \th + A,//'-'- A,/r< . . . | î.
Il ne reste qu'à calculer les coefficients de //-,//', ... dans les
développements de e3, e5, ... respectivement, el à substituer dans
la formule de Laplace. Le résultai définitif esl de celle Ci unie
Cn-l = r— ■ » +
f"*fini
(a-+-p;» (*+-p)6 (a+[i)'J "
P4 , 1*2, 1*3, • • • étant des polynômes homogènes en a el ($, 1'/, étant
du degré 4/>".
p
Je erois que, avec le second terme ^- — ■> on obtiendra c,, , à
1 ' (a -t- fi ;b
partir de /?=i8 avec cinq décimales exactes, etc. Je n'ai pas
terminé encore le calcul de ce terme avec P^ que je me sui> proposé
comme moyen de contrôle du calcul exael des cn que je vais cuire
prendre. Mais cela prendra du temps.
Je vous prie, Monsieur, de vouloir bien considérer qu'en de-
mandant si M. Bourguet ne voudrait pas revoir ses calculs, je
croyais encore que celte révision ne portait que sur les c/n non
sur les BH. Maintenant que je vois qu'il faudrait aussi revoiries B„,
cela deviendrait un travail bien plus considérable, et comme tout
porte en somme sur des quantités bien minimes, je n'oserais pas le
demander à M. Bourguet dont le travail ne perd rien de sa valeur
par ces petites incertitudes, et du reste il n'a, en aucun endroit,
donné une limite exacte de l'approximation de ses nombres. Dans
ces conditions, ne serait-il pas suffisant, si j'entreprenais moi-
même cet hiver le calcul de ces coefficients. Je demanderais alors
à M. Bourguet la permission de lui envoyer mes calculs pour les
comparer avec les siens. Les petites erreurs aussi bien de mon
calcul que du sien seraient alors faciles à découvrir et à corriger.
J'envoie, en ce moment, mon Mémoire à M. Jordan dont j'ai
reçu la lettre. Veuillez bien me croire votre sincèrement dévoué.
Vous pourrez faire l'usage que vous voudrez de mes nombre-.
266 CORKESPONDANCI lui I n Ml II: El DE S'I'IKI.T.l l S.
139. - HERMITE I STIELTJES.
■ | octobre 1888.
Mon cher ami,
\ ous a\c/. parfaitement raison, j'ai commis une inadvertance
en remplaçant ■>.//'-— ~ /> ; + • <>;- par (/i -\- ç) [in -+- 5£), c'est
un service que vous m'avez rendu de m'avoir fait reconnaître
mon erreur, et je viens vous en remercier ainsi que des applica-
tions numériques que vous avez bien voulu faire et dont je vais
me servir, dans un petil article destiné au Journal de M.Jordan.
\ os calculs en feront le principal intérêt, et j'espère, grâce à
s < m i s. qu'on ne verra pas s;m> quelque plaisir comment la formule
de Laplace donne, dans la circonstance, une approximation qu'on
ne pouvait vraimenl pas attendre. Conformément à vos intentions,
j'ai fait part à M. Bourguel de voire désir de lui communiquer
les calculs que vous vous proposez d'entreprendre pour la revision
des dernières décimales des coefficients B/i3 afin qu'il les compare
à ses opérations, ce qui donnera le meilleur moyen de remonter à
la source des minimes erreurs de ses Tables.
Lundi dernier, M. Bertrand m'a communiqué une lettre de
M. Bosscha, qui a eu également la bonté de m'écrire, au sujet de
l'envoi du premier volume des Œuvres de Christian Huygens.
.le nai point à regretter, mon cher ami, d'avoir eu recours à votre
bonne obligeance, et vous aurez rendu service à d'autres encore
qu'à moi.
Encore un mot sur l'application à la fonction Q(#) d'une belle
méthode de Laplace. Peut-être avez-vous vu, dans le Tome 90 de
d'elle, une lettre de moi à M. Schwarz, où je donne une expres-
sion analvtique de celle fonction dans laquelle figure la quan-
tité \\{x). M. Hjalmar Mellin (*), dans le Tome II des Acta, a
obtenu, en suivant la même marche, une expression plus simple, à
\dte des éditeurs. — Ueber die transcendante Funrtion
von Hjalmar Mellin (Acta mathematica, t. II, p. 23i).
LETTRE \'-V.K ''7
savoir :
(À = O, I, ! |,
où l'on a
- -r
>'/(-i- (i.
.1 1 <■< (i.r . t
>. -+- 1 i.(1 + î) i . 2 . i À ; i
c- ( ■• e*
J'ai remarqué que l'analyse employée parLaplace, pour retrouver
la limite supérieure de l'excentricité qui assure la convergence de
la série déduite de l'équation de Kepler
u = nt ■+■ e sin u,
s'applique très facilement à la suite R(#) et donne un résultai
simple; je me propose de vous en écrire aussitôt que j'en aurai
fini avec les irente compositions de baccalauréat dont j'ai aujour-
d'hui la charge.
Votre bien dévoué.
Pensez-vous poursuivre l'étude de la nouvelle transcendante
F(a) I
En revenant à cH_\, ou plutôt à l'intégrale
e-x log«a; d.r,
f
je ne puis m'empêcher de vous confier tout le chagrin que me
cause la substitution e~x= t; elle donne pour transformée
r
1 '«ft,
où la quantité sous le signe somme croît de zéro à l'infini, sans
maximum ni minimum. Que devient donc la méthode de Laplace?
De même encore, dans un cas plus simple
(«) = f log-«(lW
l68 CORRESPONDANCE d'hëRMITE ET l>K. STIELTJES.
je oe puis absolument comprendre commenl celle méthode se
trouve à la merci d'une substitution; en même temps, je me
demande s'il esl possible, par une substitution, de changer I inté-
grale
f F(a \dx,
où ta fonction F(.r) est croissante de a à b, en une autre où la
oouvelle fonction aurait un maximum entre les limites?
140. — STIELTJES A H ERMITE.
Toulouse, 27 oclobrc 1888.
( -III. 1; MONSI II I! .
\e connaissant pas I adresse de M. Bourguel | I indication de la
table des matières des Acta, professeur de Mathématiques à Paris,
me paraissant insuffisante), c'esl à vous que je >ui> dans la oéces-
sité d'adresser la lettre ci-jointe qui lui esl destinée. J'accepte
avec empressement son offre si gracieuse de m'abréger le travail
en m'envoyanl une partie de ses calculs. Nous avons eu ici seule-
ment les bacheliers qui aspirent au volontariat, le nombre est
restreint — cinquante pour les science^ et le^ lettres ensemble.
Mais c'esl la semaine prochaine seulement que commence la session
ordinaire de novembre ('c'est là une affaire bien plus considérable).
De vendredi, 2 novembre, au mercredi suivant, je serai à Auch
pour l'examen écrit. Ensuite, vient la correction des ('(impositions
1 I en avais cent vingt cet été, ah! l'agréable besogne! 1 et l oral.
Veuillez bien me croire toujours votre très dévoué et respec-
1 ueux.
141. II ERMITE A STIELTJES.
Paris, mercredi (29 octobre 1888) (').
Mon cheb \\n.
S' m réfléchi qu'il n'y a pas lieu de penser à vérifier par une
Vote des éditeurs. — ('.clic lettre n'esl pas datée; le jour où elle a été
écrite el le sujet paraissent en indiquer sûrement la date et la fixer au ay oc-
tobre 1888
LETTRE 141. 26g
application numérique le résultai < j 1 1 î m'a assez surpris <| u«- la
valeur asympto tique de R(«) coïncide avec celle de \. ■>.... x; on
ne peut, en effet, espérer obtenir un accord pour une valeur
médiocrement grande de x et, en supposanl seulement x = .'<». par
cvcinple, les nombres deviennent si grands que c'esl à \ renoncer.
Permettez-moi de vous indiquer mon calcul en vous exprimant
mon admiration pour la méthode < l< ■ Laplaec (jui esi vraiment mer-
veilleuse. Au fond, elle ressemble à celle qu'il emploie pour les
intégrales définies, il tant chercher, en effet, dans la série
dont les termes commencent par croître, le terme maximum à
partir duquel ils diminuent, en posant la condition
don I on I ire
nx _ ( n — 1
e" ~ e"-1
1 1
= ce H 1-
2 12 a?
Prenant n = x, ce terme maximum est
p = xx e~x ;
celui qui en est éloigné, de rang t, est ensuite
( .*• -w y _ T
ex+t
et l'on a
log T = .1 log 1 x -r / ) — x — /,
d'où
logT — log/; =a?log( H — I — t =
2 .?-
et, par conséquent,
T = y?t> 2 '".
Cette valeur est la même pour le terme de rang / qui précède le
maximum, de sorte que la valeur approchée de la série sera donnée
par l'intégrale
/
*?dt = p y '-"■<' = \/>-x -. e ■' .
CORRESPONDANCE D HBRHITE ET DE STIELTJES.
Il ne me semble pas que la méthode permette d'essaj er d'obtenir
une approximation plus grande; aussi, je m'en tiens à ce résultai
que je vous soumets, en vous demandant si vous croyez que l'on
puisse > \ confier. Je l'espère, mais en conservant quelques doutes,
. i \ .1 ii t reconnu des ras dans lesquels la méthode <le Laplace, appli-
quée de la même manière, donne une conclusion manifestement
fausse, -ans que j'aie pu voir à quoi tient que tantôt elle réussisse,
tandis que, dans d'autres circonstances, elle induit en erreur.
\ oici l'un de ces cas : il suffit de chercher l'expression asymp-
to tique du coefficienl de./-", pour/? très grand, dans la fonction de
Jacobi
6 | — I =i — -i q cos2.r -t- ig* cos.j;r -4-. . . -+- ( — i )" iq'1' cosinx.
Vu contraire, le calcul marche admirablement, lorsqu'on traite
la même question à l'égard des fonctions sn et en _' > •••,
<i le résultat qu'on en tire se vérifie complètement et facilement en
revenant aux expressions de ces quantités par une série infinie de
fractions simples.
Je vais rédiger ma Note concernant c,:_K pour M. Jordan.
lui nous renouvelant, mon cher ami, l'assurance de mes meilleurs
sentiments.
142. — STIELTJES A HERMITE.
Toulouse, 3 c octobre 1888.
Cher Monsii.i r, .
Je nous suis très obligé d'avoir bien voulu adressera M. Bour-
guel la lettre qui lui était destinée, pourriez-vous, peut-être, si
l'occasion s'en présente, me donner son adresse.
\ oici maintenant comment j'ai cherché à me rendre compte
numériquement de l'approximation de votre expression
i
| a, s '■>-./■' ' V '
LETTRE W'I. :>.- i
Mais, pour faciliter le calcul, je n'ai pas directemenl comparé
y.) à ( [i), mais d'autres expressions qui en diffèrent peu.
,1e remarque que (a) esi La valeur asymptotique «le
l'i x m / ir e " du
tu de
/ w c " du.
Q(x i
La différence T(x-+-\) — Q(x-\-\) csi inférieure à — > ce
x ' v - ' x -+- i
qui est tout à fait insignifiant ici.
D'autre part, je trouve un peu plus commode d'ajouter à la
série ((3) le premier terme — = - = a = 0,3678 79 ii- • ••
Il s'agit donc de comparer
\\(.r\ = ti- 2-r. a--1;- 3X. a3 -h \'.<i '•-...
à
Ql x -■■-{)= ! 11' <' " du.
• 1
ou, en posant f(u) = uxe~",
/(t )-+-/< 2 » -/1 '; i -t-/( [)-+- ..
à
« 1
Je pose successivemeni
a? = 1, 2,3-, 4, ...
cl, à laide de
0(.r + i) = « -t- œQ(x),
j'obtiens
Q(|) = «. Q(2) = 2«,
Q(3) = 5a.
Q(4)= '6a,
Q(5) = 65a,
• Q(6) = 32(W/,
Q(7)= «957«,
Q(8)= i3 700«,
CORRESPONDANCE D 11ERMITK II Dl ST1ELTJES.
D'autre pari . on a
R ( i ) = a : ( i — i
l; 2) = (a + a!):(i- a)3,
i; i a \<r-- a3):(i— a ■
l; ; i = (a -+- 1 1 a2-:- 1 1 a3-i- «'*):( 1 — a
\\ ', 1 (a 26a2-+ 66a3H 26a*-t- as):(i — a
1; 6) = (a -f- ô 7 <-/ - -r- 3<> > <7:i— 3oaa*-f- j-a* — o6 cm — a)7,
l; fr)=a— [Ri /. — 1 1]
oa
r\ idemment.
,1 ip|jticn> ainsi
1; 1 1 i:Qi ■>.) = 1. ''.i ;.
Ri 2 i:Q(3) = i,o83i,
R(3):Q(4)= 1,020 j,
R(4):Q(5) = i,oo38,
Ri ". i:Qi 6 1 i, 0005-6,
Ri 6):Q(7) = 1,00007g '
J'ai remarqué que. en posant a = — 1 dans les expressi*
( ' ) La convergence si extrêmemenl rapide vers zéro de
l'.'i)-Q(a)
Q(*> =0'"'""
R(2)-Q(3)
__)_ =0,083.,
Ri i)-Q(4)
Q(4)
R(4)-Q(5
Q(5)
= 0,0200,
o,oo38,
l; -,,_Q(6)
R(6)-Q(7) nn
-Q77)— =0;0000'9
donne lieu à considérer plutôt la différence
\\{x)-Q{x
En multipliant par Q(2), Q(3), .... qui sont approximativement égaux
LETTRE 1^2. 273
de R(i), R(a) on a
H 1 ■>. n) = o,
<i " " — 1
R( 2/1 — 1) = (— . i)«— - |î„,
2 //
Bi = -1 B.. == , ? I>, — ,- » ••> étant les nombres de Bernoulli.
J'aurais plusieurs remarques à faire sur vos dernières lettres,
à r(a), r(3),
R(i)-Q(2) = o,25....x S^;
Q(3)
R(2) — Q(3) 0,166... <
R(3) — Q(4) = o,ia3... x
R(4) — Q(5) = 0,095... x
R(5) -Q(6) = 0,069... x
R((i) — Q(?) =0,057... x
où, par exemple,
Q(7) _ P(7) _ e
r(3)
Q(4)
r(4)'
Q(5)
r(5)
Q(6)
r(6)
Q(j>
r(7)
(o<e<i).
const.
Il semble donc que R(^) — Q(.r + i) décroit à peu près comme -! Une
r(7) r(7) 1.2.3.4.5.6.7
donc que R(.r) — Q(,r + i)
belle formule à trouver qui explique cela.
const
D'autre part, T(x + 1) — Q(.r -t- 1) étant aussi de l'ordre — — > il semble plus
naturel de considérer R(.r) — V(x + i)
R(i) — T(2) = — 0,07., 3,
R(2)-T(3) =-0,0077,
R(3) -T(4) = + o,oo65,
R(4)— T(5) = + o,oo33,
R(5)-T(6)= ?
Sans continuer ce calcul qu'il faudrait reprendre avec plus de soin, il semble
(jue les fonctions
R ( X ) - - -+- — ; + — -1- . . . ,
e e- c
et r(jj-i-i) croissant avec une extrême rapidité sont telles que leur différence
décroit ou reste très petite.
Je ne peu\ m'empèclier de rappeler ici ce résultat déduit de la théorie des
'- I CORRESPONDANCE D UERM1TE ET DE ST1ELTJES.
mais je préfère réfléchir encore un peu. peut-être que je trouve
alors quelque chose de plus intéressant. Avez-vous considéré déjà
la question des zéros «le la fonction entière Q(#)?
Je M'iis renouvelle, Monsieur, L'expression de mes sentiments
bien dévoués el respectueux.
143. — STIELTJES A HERMITE.
Toulouse, r" novembre 1888.
Cher Monsiei b .
Hier soir, en réfléchissant encore sur vos formules, j'ai trouvé
l'explication de l'approximation
T ■>•<■ \r i*
r , r-n-. R ..n = - + — — - - — ^L _ ... .
En effet, en supposant x^>o, j'obtiens la formule
1 ■?* _ 3* 4*
e e- e3 ew
„, \ cos\ix -f-i) arc tan £9. t:1 cos [1 ./— 1 1 arc tan^ -,' -1
= T(x : 1—2 l- j-j-y '-—■_> ! .r+i
( .4--— 1 1 - (iÔ-^-HIj 2
l'iiskc -+- 1 1 arc t an- ;6 -I cos| x-i-i) arctansr8 — 1 ]
_j_2 L = ! — 2 1 5_ L_i_...f,
'■-1 >-t-l ^
(3<>-'2+- 11 - ( 64 ~2 — I) 2
en sorte qu'on a en première approximation
2 cos [1 .r — 1 1 a ic tan g2Tr]
R(a;):r(a?-i-i) = ]
1 j -- - 1
fonctions elliptiques
/ e-"-"- dx — / /( ;r ) c/j7 = - 1 / - >
.'0 «- 0 2 y a
. /-T -- -— ^
-/(o) +/(0-»-/(2) +...= -i/^i+ 2e "+2e «--•••■
Veuillez bien excuser la précipitation avec laquelle j'écris ceci, je voudrais vous
répondre avant mon départ pour Auch et, demain, je suis pris aussi par une
a fia ire.
Dès que je le pourrai faire, je reprendrai le calcul de R(^r) — T(x-r-i) avec
plus de soin pour x = 1, 2, 3, ....
LETTRE l'i'l.
Le cosinus, dans celle formule, explique bien les variations de
signe qui se montraienl en considérant l»(.r) — r(x-j-i).
J'obtiens celle formule à L'aide d'un résultai dû à Dirichlel
Vrt= - f /< i i cosnt dt,
- A0+ At+ A24- A3 + . . . =/(o) -+- a/( ait) + a/(4it) + a/(6it) -
Il n'y a qu'à prendre
/_
/(0= '■<■,• 2TC,
_2 r(a?-+- l) COsf(.« 1 ) ;i te I;ii^i ■> . // - )|
* » // ■ — — — :
Après quelques réductions, vous trouverez le résultai que je
viens d'écrire. Voilà un résultat qui vous fera plaisir peut-être cl
qui me dispense des calculs à faire.
J'ai voulu vous communiquer ceci encore. Comme chez vous,
ma première impression a été que l'approximation entre R(.r)
et r(jc-(-i) ne commencerait à se montrer que pour de grandes
valeurs de X, ensuite que le calcul numérique sérail très fastidieux.
Heureusement, je ne me suis pas contenu' de celle première
impression.
A otre bien dévoué.
144. - HE R MITE A STIELTJES.
Paris, 2 novembre 1S88.
Mon cher ami,
Je désire que vous trouviez, au retour de votre voyage à Auch,
l'expression de l'étonnement infini que vos calculs m'ont causé, de
la joie que j'ai eue et aussi de mon humiliation profonde d'avoir
accordé si peu de confiance à la valeur asymptotique de R(.r).
C'est dans un article du Journal de Borchardt, tome 90, page 33 1 ,
que vous trouverez l'origine de cette fonction, qui est définie ainsi :
R(x) = i h ... H h . . . ,
o-(i CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJES.
par conséquent, comme vous le faites dans Le cas de a = i, et qui
donne l'égalité
$x-i e-% (/t = $(!) R(X— ,) -{. - 1 £(a) R(a? — 2)
X'
(a? — i)(.r — 2)... (a; — 11 ) (1, „. .
1 . •'. . .a
où j ai posé
$(n)= f\n-ie-ld\= \- — + j^— - +...L/".
JL L n n-hi 1 . 2 ( n -+- 2 )
J'ai eu le torl de n'avoir point vu et de n'avoir pas dit que cette
relation a lieu pour a = i; voici ce qui m'a arrêté bien inutile-
ment. Ayanl fait
/ ir-\,,-i.(r. = y / ^x-ie-\d\ (n = i,2. :*,...!,
[tins
en posant dans le second membre £ = /m + Ç, j'ai eu crainte que,
dans le cas de a = i, pour le premier terme correspondant
à n = i, où entre l'intégrale
f
(ï-t-O^-'e-^Ç,
il n'ait pas été permis d'employer, sous le signe d'intégration, le
développement de la puissance (i-|-Ç)x-1, parce que développe-
ment, à la limite Ç = i, est divergent quand x — 1 est négatif.
Mais ma crainte n'avait pas de fondement, car le développement en
question conduit à la valeur suivante :
f ,, + rri, -:,/: = P(T) + ^^P(2)+ (a?~l)(a?~a)P(3)+...,
P(n)= '
« n + i 1 . 2 . ( n + 2 j
Or le second membre est une série toujours convergente; rem-
placez, en efiet, P(/i) par la quantité plus grande — et envisagez la
LETTRE 1V5. 277
nouvelle série, dont le terme général èsl
(x — 1 ) (x — 2 ) . . . ( x — n ) r
Un = ' - f
1 . 2 . . . n n
vous aurez
u„+1 _ (x — n — i).n
"n (ft + l)2
et la règle de Gauss montre immédiatement la convergence de la
série £//„ .
11 csl donc parfaitement permis de supposer a = i; mais,
l'expression ainsi obtenue
QO) = P, R(.r — i)-h^-^P2 R(a7 — 2)-i_...
ne m'apprend rien sur la différence Q(#) — R(a? — 1).
Vous seul, cher ami, par la puissance «lu calcul numérique, vous
avez eu l'intuition du mode d'existence de celle quantité; égale-
ment, je vous fais mon compliment d'avoir rattaché la question à
la comparaison cuire l'intégrale
f
_/'( II ) du
et la somme
/(I)+/(2)+/(3)+...,
mais que d'efforts à faire avanl d'atteindre ce but.
Mes sentiments affectueux et bien dévoués.
M. Bourguct, professeur à l'Institut catholique, demeure rue de
Rome, 55.
145. — //ERMITE A STIELTJES.
Paris, 3 novembre 1S88.
Mon cher ami,
Le résultat auquel vous êtes parvenu est magnifique, j'en suis
enchanté et je vous en félicite vivement. Permettez-moi de vous
demander d'en faire le sujet d'une Communication à l'Académie,
en vous engageant à donner les détails du calcul concernant la
détermination de l'intégrale définie A„ qui est loin d'être immé-
diate et me parait mériter d'être développée avec soin. Vous aurez
»-8 CORRESPONDANCE DIIF.HMITK ET I)F. ST1ELTJES.
fait, après Dirichlet, L'application la plus belle el la plus importante
de la relation célèbre qu'il ;i donnée dans sa démonstration de la
formule de Fourier et, en même temps, vous avez enrichi la théorie
des intégrales eulériennes dune relation d'un genre toul nouveau
qui ne manquera pas d'appeler l'attention de tous les analystes. Si
vous avez du temps de reste, je vous demanderais de refaire vos
calculs, en supposanl f\ i i = Lxe ~~. dans le but d'introduire, au
■ l'expression
,,' {ia)x (3a)x
• ' ea eia
qui esl aussi, pour a ^> o, une fonction holomorphe de la \ariable.
Je communiquerai à M. Bourguet votre découverte qui, j'en
sui> sûr, lui fera grand plaisir. En attendant de mhi^ faire part
de ce qu'il m'aura dit. je \ons renouvelle, mon cher ami, l'assu-
rance de ma bien sincère ail'ection.
146. — STIELTJES I HERMITE.
Toulouse, 1 1 novembre i ssv
( mil; Movsii.i m .
En rentrant à Toulouse, j'ai trouvé vos lettres qui m'ont l'ait
beaucoup de plaisir en m'apprenant l'intérêt que vous prenez à
cette formule I\(x) = T(.r -f- 1) (i -K • •)•
D'après votre désir, j'ai rédigé un petit article sur ce sujet,
j'espère que la nouvelle démonstration vous semblera satisfaisante.
Mais j'ai l'impérieux devoir de vous soumettre ce travail en aous
demandant si vous croyez opportun d'insérer dans le n° 1 votre
démonstration de la convergence pour a = i , et dans le n° 5, à la
fin, la manière dont vous avez obtenu d'abord la valeur asymplo-
tique de T(x -+- 1).
L'étendue de cette Note dépasse celle des trois pages des
Comptes rendus, croyez-vous qu'elle soit de nature à intéresser
les lecteurs du Journal de M. Jordan?
Je vous demande pardon de vous demander tout cela, mais je
ne pouvais pas emprunter directement à vos lettres ce que je
LETTRE 1V7. 27g
demande et, du moment qu'il fallait changer si peu que ce soit,
j'ai cru qu'il faudrait mieux vous soumettre la question.
Naturellement, vous pouvez changer toul ce qui vous semblera
nécessaire dans mon article on me le renvoyer en m'indiquant
les points à changer.
La transformation dont je fais usage est toul à fait analogue à La
méthode par Laquelle Riemann a trouvé d'abord La relation cuire
Ç(s) et Ç(i — s), mais j'ai cru devoir ajouter quelques développe-
ments pour montrer que la méthode esi parfaitemenl rigoureuse.
Veuillez bien toujours me croire, cher Monsieur, voire sincère-
ment dévoué.
P. S. — Je n'ai pu donner, dans le n" 2, L'endroit exact où
Eïankel a obtenu la formule en question. Notre bibliothèque ne
possède pas le Zeitschrift de M. Schlômilch. J'espère que vous
serez plus heureux que moi; les examens de licence et du bacca-
lauréat m'occuperont encore la semaine prochaine.
147. _ STIELTJES A HERMITE.
Toulouse, lundi soir, \i novembre 1888.
Monsieur,
Je viens de constater à notre bibliothèque que le Tome XI des
Acta matliematica contient un article de M. Lerch sur la fonc-
tion K(u\ x, s) = y ; Le résultat de M. Lerch comprend
0
mon résultat sur votre fonction K(./ ) el il n'y a aussi que de lé-
gères différences quant à l'exposition de la méthode qui est la
même. En tout cas, si mon article vaut encore la peine d'être
publié, il faudrait ajouter quelques mots sur ce qu'a fait M. Lerch.
Peut-être mon article fait mieux ressortir que tout cela dépend de
la formule fondamentale de Hankel
'.T(x)= . / ezz—xdx.
■XT.lJ
Votre bien dévoué.
280 CORRESPONDANCE Ii'llERMJTE ET DE ST1ELTJES.
148. — HERMITE A STIELTJES.
Paris, i'j novembre 1888.
Mon « in 11 wii.
La circonstance <[u<- vous avez été prévenu par M. Lerch, et
que vos résultats se trouvent dans son Mémoire mit la fonction
K.(w3 x, s), ne peut en quoi que ce soit changer mon sentiment sur
le mérite de mis dernières recherches. Je viens \ous demander
instamment de publier dans le Journal <!<■ I/. Jordan l'article
que vous m'avez adressé, étant assuré <[n"il sera lu sous la forme
que vous lui avez donnée avec le plus grand intérêt. En citant
M. Lerch, comme vous vous le proposez, vous lui rendrez service
et vous lui ferez plaisir; je suis en correspondance avec le jeune
géomètre et je sais combien il sera sensible à voir son Mémoire
mentionné dans un recueil français. Ce Mémoire, je dois l'avouer,
ni a passé -011s les veux, mais -ans fixer suffisamment mon atten-
tion, faute d'un certain relief dans la rédaction, el puis parce que
j'avais, en le parcourant, des préoccupations qui ne m'ont pas
permis d'y donner une suffisante attention. Mai- il y a autre chose,
je dois vous apprendre que M. Lerch lui-même a été devancé, il \
a quarante années, par M. Lipschitz, el que j'ai été chargé par
I éminent analyste de lui faire savoir qu'il a traité le même sujet el
trouvé les mêmes résultats. M. Lipschitz vient de m'envoyer son
Mémoire qui a paru dans le tome 54, i85n de (relie sous le titre :
i ntersuchung einer au* vier Elementen Reihe et. connaissant
maintenant ce que vous avez fait, je puis à peu près le comprendre
malgré l'allemand. Vous aurez donc au--i à lire ces recherche-,
afin de les mentionner. M. Lipschitz, d'ailleurs, a ayi avec grande
bienveillance envers M. Lerch. il m'a écrit qu'il se bornerait à
rappeler son ancien Mémoire et, sans faire aucune observation,
dan- un article sur le même sujet destiné au Journal de M. hro-
nech er.
On m'assure que le Journal de M. Schlômilch esl à la biblio-
thèque de l'Ecole Normale, j'aurai donc le moyen de rechercher
I article de Hankel que vous voulez citer: permettez-moi, pour
diriger mes recherches, de vous demander -i vous connaissez le
LETTRE 1V9. Ni
titre de son Mémoire, ou à pou près l'époque à Laquelle vous pré-
sumez qu'il a été publié.
En saisissant cette occasion pour vous donner la certitude que
de Paris on veille sur vos intérêts et, dans l'espérance que vous
n'êtes point par trop chagrin d'avoir été devancé par M. Lipschitz,
qui n'a pas d'ailleurs dégagé une corrélation concernant la fonc-
tion r(;r), je vous renouvelle, mou cher ami, l'assurance de mon
affection bien sincère el bien dévouée.
Dois-je vous envoyer le texte de votre article?
149. — STIELTJES A II ERMITE.
Toulouse, i \ novembre 1888.
Cher Monsieur,
Voici l'exacte vérité concernant l'article de M. Lerch dan- les
Acta. Le fascicule des Acta où se trouve ce travail, je l'ai entre les
mains, il y a je ne sais combien de mois. Je n'y ai jeté alors qu'un
coup d'œil et sans l'étudier à fond, les formules paraissant assez
compliquées. Aussi, dans mon esprit, il n'en restait que ce sou-
venir un peu vague qu'il s'agissait d'une généralisation de la fonc-
tion Ç(s) de Riemann. Mais, lorsque j'ai rélléclii à l'expression
asymptotique de votre fonction R(#), Vidée ne m'est pas venue
un instant qu'il pourrait y avoir quelque rapport avec le travail
de M. Lerch. Ce n'est qu'après avoir terminé mon travail et avoir
remarqué l'analogie de la transformation dont je fais usage avec
celle indiquée par Riemann pour obtenir la relation entre Ç(s)
et Ç(i — s), que l'idée m'est venue d'examiner plus attentivement
le travail de M. Lerch. C'est ce que j'ai fait lundi soir, après les
examens de la licence. Et j'ai \u alors immédiatement que mon
résultat doit être compris dans celui de M. Lerch, quoique je n'ai
pas encore fait les calculs nécessaires pou)- le constater effecti-
vement .
La généralisation de M. Lerch revient, en somme, à ceci qu'il
considère au lieu de
ax ( a ■+- 1 )* (a-\--i)x
R(x)= h- r1- h— ; — ■-+-....
v CORRESPONDANCE d'HERMITE ET DE STIELTJES.
série procédanl suivant les puissances de -■> une série procédant
suivanl les puissances d'un nombre quelconque de module infé-
rieur à l'unité el qu'il écrit sous la forme <■'■'' en supposant
x - 7 i'}. p > o.
Peut-être, -i au lieu de poser
on ;t\ ait posé
roc ~n -h li ~a-i-2b
-/ +J +...,
• « • h • it-hO
qu'on serait amené à introduire
ax (a-\- b)x (a -+- zby
R ./■ i - -f- -. ! —-. !-. . .,
(, i (, i -ii r i ■ :<>
ce qui réalise ce qu'il v a de | >1 us essentiel dans la généralisation
de M. Lerch. Mais le temps me manque en ce moment pour vérifier
ceci.
La comparaison de
(a --/>)'• ( a -h 9. b Ve
avec
Jf
// fe " '///
me fait supposer que la valeur asymptotique doit être alors ——, -
Si ces prévisions sont exactes, ne vaudrait-il pas mieux alors
refaire mon article en considéranl
a'- {a by
Je crois que oui, mais je ne pourrai rédiger mon travail que
dans quelques jours. Je \<>us le soumettrai alors pour y changer,
si cela \mis paraît nécessaire, quelques mots dans l'extrait de vos
Ici 1res qui y figurera.
J ai examiné, à Auch, un peu ce que vous m'avez dit de l'appli-
cation de la méthode de Laplace à certains cas où cette méthode
LETTRE 1Y!>. 283
donnerait «1rs résultats Inexacts. Je vous avoue que j'éprouve
quelque difficulté à l'admettre, dans le cas
r>K.r\
(-> - — I — i — :>. ij cos ■>. r ; •< y ■ cos i /• — ....
le coeRïcienl de x" se mel sous la forme
A— B,
et il me semble qu'il faut appliquer la méthode de Laplace aux
expressions A et B séparément. Si l'on trouve alors, pour A et B,
la même expression as\ mptotique (ce qui nie paraît liés probable),
on ne peut rien conclure, ou plutôt on peut dire alors seulement
(pie la valeur du coefficient devient très petite par rapport à A et
à B. Mais, dans le cas
I -f- > 1/ CCI- >./' > //'• CCI- j ./■ ....
le coefficient de ./" est
A -+- B,
et il me semble que la méthode de Laplace doit alors donner un
résultat exact.
J'ai remarqué que votre élégante1 démonstration de
i.3 5...(an-0 ' fQ< -[)
g ) a—\
- \ ya-l c ".' dy
2.4.6..
•2« \/iz{n + i)
s'applique aussi à
V(a)Y(,i) _ Ç"
r(a-f- n) ~J0 1
"-1 d*=r
1 -+-x )"-"' ,/„
•
(1 — .r = e> 1.
En posant avec vous
1 — e-y
= e-®J (o< 0 <i),
y
il vient, après réductions,
T{ n-+- a) = [n + (a- i)8]«r(«).
Votre très sincèrement dévoué.
'S'i CORltF.SrONDANCE DHERMITE ET DE STIELTJES.
150. - HERMITE I STIELTJES.
Paris, il) novembre 1888.
MnN (III l; \ \i i .
La détermination, par la méthode de Laplace, de la valeur
;i-\ mptotique de la série
i; i ./• i = > .
' ^^ ea+nb
lorsqu'on suppose x très grand, s'obtient facilement comme vous
allez voir. Observant que les termes vont d'abord en croissant pour
diminuer ensuite indéfiniment, on détermine le rang n du terme
maximum en posant la condition
(a-hnb)x \a-\- (n — i \b]x
ga-t-ub ,
On en t ire en simplifianl
a + nb Y=ch
[_ a -h ( n — i ) b J
et, par conséquenl .
- nh h h-
a -j- (n — \)b .'■ a x-
(I où
/, -J,-
a — - ( // — \ '/> x -+- . . . .
> i j. ,c
Négligeanl les quantités en -> je prends
b
a i il — 1)0 — x >
•>.
ce qui donne pour l'expression du plus grand terme
X =
Ceci posé, >oit T le terme de rang l avant le maximum, c'est-
à-dire
T = \a-L-(n — t)b]* m
, I i—t'h
m:
r
ii
X -t--
e -
LETTRE 150.
La condition a H- nb = x + - permet d'écrire
loirT = x Ior ( x 4- — bl
et «le là résulte
logT — logX = a? log
Développons le second membre en série jusqu'au terme en /'-'.
cl négligeant encore les quantités en —, on obtient simplemenl
b-t2
logT — lo<rX = ,
8 n -xx
d'où
T = Xe »*.
C'est la même expression qui s'offre pour le terme de rang t,
après le maximum et la valeur approchée de la somme sera donc
donnée par l'intégrale
\L
e 2x dx.
On trouve ainsi la quantité
h y ,—
- - W-ITZ.
V
b
. ■*" + -
be 2
Mais on a
- 1 = e V 2/ = e 2 2.»-
a? h | = e
2,
de sorte qu'en négligeant — elle devient simplemenl
i
.r' *e-x\/zTZ _ V(x -+- i)
Votre prévision est donc complètement réalisée; il en est de
même pour l'origine que vous avez eu l'idée de donner à la série
l\(#), généralisation de celles auxquelles j'ai été conduit en em-
ployant les décompositions suivantes {Journal de Cvelle, t. Si).
286 CORHESPONDANCE l)'lIERM[TE ET DE ST1ELTJES.
p. 333)
i // — o. i , •>.. . . .), (n = i, a, ">. ... i.
Mais, c'esl ce que vous-même vous ave/, déjà dû reconnaître, el
je ne m'y arrêterai donc point.
Mes sentiments de bien sincère affection.
151. — STIELTJES A H ERMITE.
Toulouse, 16 novembre 1888.
( '.m r, MoNSlEl i; .
^.près avoir vu le Mémoire de M. Lipschitz (C relie, t. 54, 1 8 ."> j ) .
j'espère. Monsieur, que vous ne me reprocherez pas trop, cette fois,
de ne pas suivre votre conseil. Il me semble préférable maintenant
de ne pas intervenir dans celle matière. Ce qui me décide surtout.
c'esl la circonstance que, d'après votre lettre, M. Lipschitz lui-
même se propose de revenir sur cette matière dans le Journal de
Crelle; je veux donc voir d'abord le travail de M. Lipschitz et je
doute fort qu'après cela il y ait encore quelque chose à dire sur ce
sujet. Nous pouvez donc détruire mon manuscrit et ce n'est que
pour vous que j'écris ici ce résultat
n '' (a -h h i ' ' n - ■> h \ '
• I :
R(ar) =
l; ■ ./• — 1 1 _ i Ç eat=-1J
|/i i~ij î — <
cl sous les conditions
O < a h. p. réelle x > I,
( a > o, b > o),
h Ri x — 1)
c
2
/ 2 ~ il \
os are tan g-: i~ -y
\ s b b)
V{x)
a ix tang
/ l6l!«V
LETTRE 151. 287
où le premier membre peul s'écrire
/ /•( / 1 rf/
/(0 = *J
I «-<
Il est quelquefois bien difficile à s'assurer si un résultai qu'on a
obtenu est nouveau ou non. Par hasard, j'en ai vu l'exemple que
voiei. Vous savez queM. Schering, de Gôttingue, a publié, dans les
Monatsber. de Berlin, [876, ce théorème
.m)=(-i),s
où ( jtjJ est le symbole de Legendre généralisé par Jacobi cl ;j. le
nombre des restes minima négatifs pour le module M des quantités
M — 1
a , 1 rt, Jrt, . . . , — a.
( Fo//- aussi ^4c£a math., t. 1, p. 166).
Dans le même Tome des Monatsber. M. Kronecker a exposé
alors ses propres recherches sur ce sujet et je crois me rappeler
qu'il dit avoir exposé ce théorème déjà dans un coins fait pendant
l'hiver de 1870.
Mais le théorème est dû en vérité à un géomètre anglais,
M. Morgan Jenkins, qui l'a donné, le 20 avril 1867, dans une
séance de la Société mathématique de Londres. [Voiries Procee-
dings de cette Société où se trouve sa démonstration). L'énoncé
de M. Jenkins est légèrement différent mais cela n'a rien d'essentiel.
J'ai mentionné ce fait il y a un an, je crois, dans une lettre à
M. Mittag-Leffler. Je crois qu'il en a averti M. Schering.
Veuillez bien agréer, Monsieur, l'expression de mes sentiments
dévoués et reconnaissants.
P. -S. — Je ne connais pas le titre du Mémoire de Hankel ; mais,
d'après une Note que j'ai trouvée dans les Math. Annalen,
t. XXXI, p. 455, il doit se trouver sans doute dans le Tome IX d\\
Zeitschrift.
288 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIF.LTJES.
152. — 1 1ER MITE A STIELTJES.
Paris, iN novembre isss.
Mon i iii i; LMI,
Je m'en ai pas encore fini avec les examens du baccalauréat, j'ai
demain une dernière séance à La Faculté des lettres, el puis à cette
besogne va succéder une autre d'une autre nature, il faut m'occu-
per de la rédaction d'un rapport dont je suis chargé, de sorte que
je ne sais quand je pourrai pour mon compte étudier le Mémoire
de M. Lipschitz qui me semble fort beau. Je ne puis assez vous
dire quel plaisir m'a fait votre équation que je préfère écrire de
cette manière
/ ■> t. a
COS arc 1,11m , — 1- -r
l; ./— M 1 \ h b
-r H- 2
H.ri b
tosfarctang g -4*5)
(62-+- i6tt2)2
\ «mis me permettrez pour le cas où vous auriez à l'employer de
nous indiquer comment la décomposition de l'intégrale
J ^ / :' -ie \d\,
en in nies de la forme
n — 1 ) b
a-t-nb
de sorte qu'on ait
J — J n -i- J [ — • . . -t- J n "+" •
conduit à la notion de la fonction
D . . a* ( a -t- b )*
R 1 .r = i- —/- -+-
J'observej à cet effet, qu'en posant £ = a + /?& + /. on a
LETTRE l.'i'i.
el que, pour toutes 1rs valeurs <!<• //, à partir de n = i , le déve-
loppement suivant les puissances de /, par la for le du binôme,
de (" \- nb \ t)x~l, donne une s < '• i • i < ■ convergente entre les limites
l = o, t = b. Il en seraïl encore de même pour // <>. sous la
condition a l>\ mais il est préférable d'exclure l'intégrale J0, en
considérant l'a différence J„ .!„ qui est l'intégrale
./.".
6
Comme \ mis allez, voir.
Soit
-i
nous avons
P0(« -H nb)*-1 + ' Pr| a - //A i'
i./- ■ I ) ..i./- — m) n ,
•I'
de sorte qu en posant
( « -i- «è )
rua?) = > ; — pour n = i,. 2, >. .
on obtient immédiatement
= P0Ria7)-H ^=ip, R(#-i;-+- (-r~')';r ~2)PaR(a- -■>,)-)-....
Changeons maintenant a en a — 6, afin de parvenir à I inté-
grale proposée J; ce changement reviendra évidemment à prendre
à partir de n = o, au lieu de n = i, le terme général de R(#), de
sorte qu'en modifiant ainsi la définition de R(.r), on a la formule
J = P0R(a7)-t- Pi - -R(ar — i)-h
Il n'y a donc pas à s'embarrasser des questions de convergence
et tout devient fort simple grâce à vous, à l'idée qui vous appar-
tient d'une décomposition de l'intégrale plus générale (pie la
mienne; mais n'est-ce point singulier qu'on parvienne par une
telle voie à l'extension de la fonction Ç(s) de Riemann!
290 CORRESPONDANCE D RERHITK Kl DE STIELTJES.
En \mis priant de me donner à I occasion quelques explications
sur votre procédé pour parvenir à la relation <|ui m'intéresse
beaucoup r(/i -+- a) = [/i -f- (a — i)0]flr(/n ci vous demandant
d'attendre que j aie | >l 11 s de liberté (tour revenir à L'application aux
séries 8| -) et 0t ( )> de la méthode <lc Laplace. je vous
renouvelle, mon cher ami. l'assurance tic nia bien sincère affec-
tion.
153. - STIELTJES A HERMITE.
Toulouse, dimanche matin ( ) > 23 novembre i8s8? ).
( .m 1; Monsieur,
Je -uis on ne peut plus touché de l'extrême bonté que vous
montre/ à mon égard. Mais M. Lipschitz étant le premier inven-
teur, je \cu\ voir il abord le travail qu il \a fane Insérer dans le
Journal 'h- M. Kronecker ; s'il n'y parle pas de l'application à
votre fonction R(#), je pourrais peut-être plus tard donner une
Note où j'appellerai l'attention sur cette application.
En faisant dans la relation
(1) li a -r- n ) = | /; — (a — 1 )6]a r(« ). o<0<i.
a = - el remplaçant n par n + 1
r ( n -+- - ) = \/n -+- 1 — z r ( n -f- 1 ), o < e < - •
2 2
Je vois que ce n'est pas votre formule mais prenons a = - et
remplaçons // par n -\ — > il \ient
r( n -t- 1) = v/n -^ s r ( n -+- - ) • 0 < s < - ,
z 1 . 3 . . . C "in — 1 1 /-
1 = \/n — £ — — - — — v't,
:>. . ï - . . •>- 11
ce qui est bien votre résultat qui est ainsi compris dans la for-
mule 1 .
Vote de l'éditeur, — Celte lettre non datée ne paraît pouvoir se rapporter
à une date autre que le • '> novembre 1S88.
LETTRE 1 '■>'•'>. 291
lui posant I -f- X = e" dans la formule
r(a)T(/i l
— = l ,/,
n) ./ 1 1 ■./•)" • "
on peul écrire sous deux formes différentes
T(a 1 r< n » f"° fer— 1 .*-> . . ,. ,
r(a + n) ,/0 V .7 /
Ayant
= e-«>r, o • w < 1 . e~y '
y y
.. . . , , r(// » ii n 1
on \oit, (I après la seconde tonne, que „, ' est compris entre
1 ' n r ( a -+- « ) '
les deux limites
r(«j
a 1 1 '
J' ya-lg-Ui+a-Dy dy = —
("
i/o "
ce qui donne la formule ( 1).
Mais voici une autre conséquence. D'après ce qui précède on a
ces deux formules
. . V(a)Y(n) /•- /! — c-r\a-i
r(a-t-n) J0 V 7 /
iAç1^_tf«-c«-t-i;== r'/er-^y ■ _nyd
r(a) r< » — « -t-i) _ C* (ey~ !\a_1
Développons
^v 1 \ a— 1
= 1 -+- Cj7 -f- C2K- -+- c3t^3 -+- .
on aura en même temps
1 — e—y 1 " - '
y
= I — C^-r-CoJ C3J3-h.
,,. CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE ST1ELTJES.
et, à l'aide de ces séries, on obtient
Y n <i il a a(a i a (a -4-1) (a -1-2) 1
(A) - = — 1 cp — c> — c3 - ... I ,
",
r(n a)
il a a a 1 1 a (a i)(«-4-2)
M Ci — — c, — c3-- ... ,
n ' /i « n •
r,. c2, ••• son! évidemment des polynômes en a.
Lorsque a esl un entier négatif « = — ///. il esl clair que la
série 5 esl finie el ainsi la formule est valable quelque soit n .
Ki. ilu reste, la relation
< n — i)( n — 2). . .(n — m)
/ Pi P
n"1 { \
permet de calculer la série indéfinie des polynômes l* de m ou
de a. Lorsque a esl un entier positif a ==-+- m, la formule (5) se
réduil à
P, P*
un -4- 1 ) . . . ( n -+- m — \) n "• \ n n -
et la série est convergente tant que mou1// > ni — 1 .
Mais pour toute autre valeur de a la série (5) est divergente
quel que m>ii le module «le //. Cela est évident ici, car la série
1 ^c,/ + cor2+ c3/:i — . .
n'est convergente que pour modjy < 2it; or. on a multiplié les
coefficients C par ces {'acteurs
^/. a(a — 11. a(a-r-i)(a — 2), ....
Les amicus analystes, après avoir établi la formule (5) pour
n = — //*
/ P, P.,
(n — i 1 ( n — 2 ) . . . ( n — m ) — n"< [ 1 h i "-—... ,
11 11- j
ont quelquefois pris le second membre, dans le cas que ni n'est
plus entier, comme définition d'une généralisation de la factorielle
1 // - 1 h n — ■> 1 ... 1 n — m i.
sans faire attention à la divergence de la série, ce qui explique
les résultats erronés auxquels ils ont été conduits quelquefois.
M. Weierstrass a fait voir d'une autre manière que la série (5)
.ETTRE 153.
î93
csi ion jours divergente i ibhandlungen ans der Functionen-
lehre, p. 2 \ \-i \\).
11 fait voir d'abord que si la série était convergente elle devrail
représenter nécessairement La fonction pour huiles les
1 V(n ■+- a) '
valeurs de n dont le module surpasse une certaine limite. Mais
cela est évidemmenl impossible, car en posanl
n = Re'î (ceci n'est pas le raisonnement de M. Weierstrass),
et faisant croître co de o à 2~, le premier membre revient à sa
valeur primitive, tandis que le second membre e>i multiplié
par e~ia-'K. Du reste aussi, en posant n= — m, m entier positif
suffisamment grand, on rencontre des contradictions.
"Niais quoique ces formules (4) et 1 5 | soient divergentes, ce
sont cependant les séries asymptotiques des premiers membres, et
elles peuvent servir aussi au calcul numérique lorsque n est grand
et positif.
J'ai vainement cherché (il y a quelques années) à établir une
théorie satisfaisante de ces séries divergentes. Voici encore une
remarque à leur égard. Je remplace 11 par — n dans le premier
membre de (5)
T(—n)
F ( — n ) T ( n-\- 1 )
rr
a ) r ( — n -+- a ) T ( n — a
X
n a
a
sin -( /; — a) T( n
n r(n-i-i)
/ — 1 1
[•{71 + I)
donc, d'après (4)
(5')
r(--i)
r(-
a)
SIM 7T( //
a)
On peut donc changer dans la formule (5) n en — n à con-
dition de remplacer ( — n)a par n" x -. — : — • On trouve un
1 ' l sin 7t( 11 — a )
résultat analogue lorsqu'on change n en — n dans la formule (4)-
Existe-t-il une formule plus générale qui embrasse les for-
mules (5) et (5') en même temps? Question qui parait extrê-
mement difficile. J'incline à croire que, pour pénétrer un peu dans
ces mystères, il faudra revenir d'abord à l'étude de la série de
m,, CORRESPONDANCE D'HERMITK ET DE STIELT.IES.
Stirling.
|ogr(a) (a - ] loga — a - log/îit -4- *^a),
B, Ba
■I" a
3.4-«2
M. Lipschitz a considéré le cas a imaginaire, mais partie réelle
de a -o; dans ma thèse j'ai trouvé qu'aussi lorsque a est pure-
ment imaginaire la formule reste applicable, mais j'ai observé
depuis longtemps que même lorsque La partie réelle de a est
négative la formule peul donner une grande approximation.
Supposons une coupure de o à — x. la fonction LogT(«) esl
uniforme alors fi j'espère qu'un jour on fera une théorie de la
série de Stirling qui montre qu'on peut remployer dans tout le
plan, seulement lorsque a s'approche de la coupure, le terme
complémentaire doit changer brusquement- La grande difficulté
ici, c'est de trouver une expression de
ou d(
[ r~ ei-t adt
<|> i a i ; / \0S — - — : •
' o
" 1 Tr- -,.)„-, -»»ï
qui donne la continuation de cette fonction à gauche de l'axe
des y. \ uns avez remarqué depuis longtemps dans le Journal de
Crelle (- ) la ligne de discontinuité de ces intégrales, qui est
cause que, quoique ces intégrales aient un sens pour partie réelle
a << o, on n'obtient pas ainsi la continuation (qu'on sait possible)
de la fonction.
Je ne suis pas sans espoir d'obtenir cette continuation à gauche
de I axe desy, mais même après ce premier succès il restera à voir
si l'expression obtenue se prête à la discussion de la série de
Stirling. Mais voilà la lin des vacances, mes cours vont re
c< nencer mardi et demain j'ai encore les bacheliers es lettres.
(') Note des éditeurs. T. '.i;'. p. in: 1882.
LETTRE 153.
Veuillez toujours me croire, mon cher Monsieur, votre affec-
tueusement dévoué.
P. S. — On pourrait faire usage «le la formule (4) pour dis-
cuter la variation de „ — > x varianl entre n et — n-\- i , // entier
1 ( x)
positif. Soit x = — n -+- a
i i — i )« simra .
I ^î-hi- a i,
r(-n + a)
i (— o»r(m-o . / a
sin-Tia x a a\ i -\ Ci -t-,
r i — « -+- a ) - \ n
En première approximation, on aura à discuter
n~a siriTra,
a variant de o à i. Annulant La dérivée, il vient
7rcot7m = Log/i ou — = Logra.
C'est précisément le résultat auquel vous êtes arrivé dans votre
lettre à M. Schwarz. (C relie, t. 90, p. 337.) Mais votre méthode
me semble plus élégante et rigoureuse.
Il me semble curieux qu'on peut passer de la définition
(a) r(a) = / ««-' e~u du,
" 0
supposant partie réelle a >• o, à une autre définition valable dans
tout le plan ainsi qu'il suit. Soit n un nombre positif qui croît
indéfiniment, on a
V( a) = lira / ««-' e~u du,
«- 0
ou bien développant en série
,„. „, ,. li e" e'1:l e3n
p r(a) = lime"« — - L^+-
L« « -t- 1 i.vi.(a-f-a) i.2.J.(a-+-3) _!« = «>
mais ((3) donne maintenant la définition de T(a) dans tout le
plan. En effet, en adoptant ( [3) comme définition, il vient à l'aide de
a -^ a -t- >.
1
a V(a) = lime^na-en)-+- \imenia+l>
« + l fl + 2 l.'i.(« + 3)
•I
2q6 CORRESI'ONDANCI D URRH1TE ET DE STIELTJES.
c'est-à-dire
a l't a) = l'i a — i).
Cette transformation montre que la définition (j3 donne une
valeur finie pour r(a), >i c'est le cas pour If a - m, mais tant
que partie réelle <•/.<». il esl clair que -/ el ((3 sonl équiva-
lentes. . .. Mais je crois que cette remarque peul «'ire à peine con-
sidérée comme nouvelle.
Votre méthode directe pour déterminer le rang du terme
maximum
(a -f- nb F
esl certainemenl préférable. Il esl probable < | ne Ton a imaginé la
méthode moins directe d'égaler deux termes consécutifs, pour
traiter certains cas où la méthode directe s'appliquerail difficile-
ment. Mais ce o est pas une raison pour faire usage «le celle ma-
nière détournée dans les cas où la méthode directe s'applique sans
difficulté. Siiriout dans le cas aciuel où le résultai e>i >i simple.
154. — Il ERMITE A STIELTJES.
2 '| novembre i xSs.
\lo\ CHER \ M I .
Votre dernière lettre si substantielle, si instructive m'a rendu
grand service.
Je donnerai dans mes leçons votre calcul qui e>i extrêmement
simple pour établir la relation
rCa-f- «) = [«-+- (a — i >H J ' ri n i.
que j aurai> bien dû voir même comprendre, comme cas particu-
lier, celle que j'avais envisagée. Et aussi votre procédé éléganl
I m ii n- établir l'égalité Y < 'f -^~ i) = a Y i a ) au moyen de l'expression
limite pour a infini de Y(a) par la quantité
)- 1
a -
,2. a — 2 i
Maintenant, voici une circonstance donl je dois vous faire part
et que vous nf pouviez poinl soupçonner. M. Bourguet a eu,
i.F.mtK |;i'i. ... ,-
comme \<>us, l'idée (!<• rechercher l'extension à toul le plan de
l'intégrale
i {"*. i adt
- I os — .
- ,'ti i e --' a2-t-«2
et m'a donné communication d'un travail étendu dans lequel il
expose sa méthode el ><'s résultats Son travail me semble
d'une grande importance, et je suis autorisé par lui à \mb en donner
communication, si vous le désirez. En même temps, j'ai mission
de nous informer qu'il désire se !<• réserver, et qu'il vous prierail
dans ce cas <lr garder la communication pour vous seul. C'esl
pendant les vacances el en cherchanl la solution d'une question
que je lui avais indiquée qu'il a l'ail la découverte. Ma question
était <l obtenir I expression qu'on connaîl d'avance, de la différence
(a -+- i) dt /*". i adt
. i ( a -+- 1 ) dt rx .
lou — — — / lu
'- i — e-**' ( a -+- 0* -t- *2 '
(a-i-i)2-t- t- J ' i — e-**' a! /-'
et vous verrez avec grand intérêt dans sou travail, de quelle ma-
nière il la traite et comment ensuite il arrive à l'extension de
l'intégrale, de l'autre côlé de l'axe des ordonnées. En attendant
que vous nie fassiez connaître, si je dois vous l'envoyer, je viens,
mon cher ami, vous demander pour moi, aide et protection en
vous priant de me tirer d'une angoisse analytique extrême. Votre
belle formule
R(x — i
) f
b
-0
l'IIS |
f ■JLtlTZ
arc tan g — -
>. n a - ,
n.o
d
conduit bien naturellement à supposer A inûni, en posant <li.
ce qui donne
H i ./• — i j /-«-t-30 C0S| arc tangaTT^ — i-a ';
IV)
r
</l
(H- <1C«Ç«)*
ou encore
R(j- — i) _ i /^ * <<>s( arc tang£ — «£)
r(.n
i Z^30 cos( arc tan«i ; — c/; i
y0 (i+^2)8
298 CORRESPONDAIS E H HERMITE ET DE STIELTJES.
( )f. il me semble que pour h infini, on .1
tandis qu'on reconnaît . -1 I on cent
f
vc Mi 1- ':--'/■ • P* cosqj; d\ Px \^\na\ d\
7- / r-l-I _r" / .r-t-i
I r>2 .A (i-:2) - Ja <>-:2>
que c'esl absolument impossible.
EflFeçtivement, pour x -\- 1 égal à un nombre pair .*/« et pour
n = 1 , 23 3 on se trouve en complet désaccord avec la for-
mule ilf M. Catalan, Journal de Lio avilie, t. V, p. 11 j.
■>. /" cosa£fl?| <?_ra r„. ,. ,
- / „— — - = I ( > // — [) + ni I (in — 1 ) -xa -+- . . . .
"Jo 0-ç2)"+1 [*T(»-i-i)]»1 J'
j'y change /? en /« +1). J'avais accueilli l'espoir d'aborder autre-
ment que M. Bourguet, dont l'analyse est d'ailleurs si remarquable.
l'étude des eoef'tieients du développement de — — - suivant les
puissances croissantes de la variable, j'espère encore avoir fait
quelque grosse méprise que vous reconnaîtrez, de sorte que votre
formule ne laissera pas échapper la conséquence que j'avais espéré
en tirer.
En vous renouvelant, mon cher ami, l'assurance de ma bien
sincère affection.
1.55. - STIELTJES A H ERMITE.
Toulouse, 26 novembre 1S88.
( aui; Mojvsiei 1: .
Quoique très occupé, je veux répondre immédiatement à votre
lettre, mais je dois d'avance implorer votre indulgence si sur cer-
tains points je ne peux pas mettre les points sur le* i.
En premier lieu, vous me ferez le plus grand plaisir en me
communiquant le travail de M. Bourguel et je ne manquerai pas
après l'avoir \ 11 d'adresser mes remercîments à I auteur. Je suis
LETTRE 155. !9g
curieux de savoir si les formules nouvelles se prêtent à la discus-
sion «le la série de Stirling; c'est, coin me vous le savez, le bul que
j'avais en vue.
Vous diies (|ue M. Bourguel n'est pas géomètre de profession,
mais je crois qu'aucun géomètre de profession ne serait fâché
d'à voie l'ait ce qu'il a fait, par exemple la belle démonstration d'une
Ion nu le de M. Weierstrass qu'il do il avoir donné dans son examen
de doctorat et que vous avez fait connaître dans voire lettre à
M. Mittag-Leffler (Crel/e, t. 91, p. 61).
Maintenant, Monsieur, j'ai encore à nous faire mes excuses ; je
crois bien qu'après avoir posé
ax ( a -h b V
R(x) = — H j^- -+-
j'ai écrit
/ ■>. Il T. J.llll ~
, ^ *> cos ( arc tang — ; ; — ) >
Hl.r- i ) V1 \ à b I
T(x)
4n27i2
62
au lieu de
•xn~ i an n
_ , •*> cos ( x arc tan<_
R ( x — i ) v< V h h
= 1 + 2 > — —;—
r(x)
4 n~2rJ
b*
0 < <t - b,
Partie réelle x > i .
C'est cette erreur qui vous a causé tant d'ennuis; en reprenant
avec la formule exacte vos calculs il vient
C* cos(.r arc tang? — a £ ) .„ ax_1 e~"
(') / — dt = *-T(xT'
K(a; — i) étant égal à ax~K c~a pour b = -+- oo.
La formule (I) qu'on obtient ainsi me semble très remarquable
et j'ai éprouvé un vif plaisir, en la trouvant ainsi d'après vos in-
dications; moi-même je n'avais pas songé à cela. D'après la dé-
duction il semble qu'on doit supposer
Partie réelle x > i , a > o.
Cependant il me semble que l'intégrale a un sens, en supposant
300 CORRESPONDANCE d'hERMITE KT DE STIELTJES.
seulement
Partie réelle x > o,
ei que I i doil subsister ><>us cette condition. Cela me semble bien
certain si par exemple .r e-u s 1 1 j > | > « > s « '■ réel. Mais voilà déjà un point
que je ae peux pas préciser en ce moment, faute de loisir.
M ;i i - j'ai observé que la formule I I a an rapport très étroit avec
mi autre résultat dû à Cauchy. Dans le Bulletin de DarbouxJ
p. 35, 16, 1 88 1 , il \ a un résumé d'un article de M. Schlômilch
i. \\l\. de son Zeitschrift, p. io3-io6; i ,>s ~ w ' - J'en ai pris
note. D'abord on emprunte à Cauchy ce résultat
. _ i o a négatif,
(II) / -r- : y dz= ' ;T
.' , (6-t-ia)* / -— - ak~le-ab a positif,
en prenanl a h i. M. Schlômilch déduit du résultat
rX '.,=/'
dz
p) J_x (!+H)
le développement
kn=- — / __[Log(n-i\s )]*<**■
2 tu i . a . . . n J_ i — i :■
< )r. si I on prend b = i et qu'on suppose A~ réel, la formule II
de Cauchy doit donner évidemment la formule (I) et encore cette
généralisation obtenue par l'introduction de b n'est pas bien
essentielle... il suffirait de remplacer ; par ' et a par ab pour
déduire de I |
-i x / ï
/ arc tan" ' — a ; I .
°i */ ax~x e-ab
^ ~ '" I
A
el c'est là précisément ce (pion déduit aussi de la formule de
Cauchy.
Vous voyez donc que M. Schlômilch a fail déjà, à peu près,
l'application au développement de = une vous aviez en vue,
11 ' ' I i .r) l
LETTRE 1 55. 3ûJ
mais il esl instructif de retrouver La formule de Cauchj de cette
façon.
Voici tnaintenanl une démonstration de cette formule de Cauchj
qui se présente à moi en ce momenl même. Partanl de
— = -- f
z-*ez dz.
remplaçons v par a s
a' ■-• i /•
7T, — : = — • / z xeazdz.
I ( .'■) 2 7U J_ ^ _oo
ou bien remplaçant ; par iz
ax-i _ i /' ea<~ dz
T(cc) ~ -m J (i z F
le contour d'intégration étant
Soit z = </ — bi, b étant réel positif
r(*)
2TÏ t/ (
eaiu du
b -+- iu )x '
le contour d'intégration étant maintenant un lacet entourant les
points bi et -f- oOj\
Mais si partie réelle x > i l'intégrale est nulle et l'étendant par
302 CORRESPONDANCE d'HERMITE ET l»i: STIELTJES.
des valeurs infinies de u telles <ju«- le coefficient de i n'esl pas
négatif. Dès lors, "il peul transformer le contour d'intégration de
manière à ni. tenir le résultai de ( lauchj
kf
<■"" du
I ./■ iiz J_m (b -+■ iu ■■
Mais cette transformation me semble bien exiger
Partie réelle ■>■ i .
tandis que la formule (I) semble vraie, en supposanl
Part ir réelle x o,
seulemenl je n'ai pas approfondi ce point.
J'avoue que je voudrais bien voir la démonstration que Cauchj
lui-même a donnée, il nie semble probable qu'il a été bien près
d'obtenir la formule
[•(*
= — ■ A- «
,lz.
s'il ne l'a pas obtenue effectivement.
Mais d'abord, je ne sais pas l'endroit où il doit avoir obtenu cette
belle formule, et ensuite je n'ai pas à ma disposition ici tontes ses
œuvres. Les anciennes éditions sont épuisées et j'attends avec
impatience la uouvelle publication de ses œuvres complètes.
J'ai ;uis>i quelque» doutes sur ! expression de kn par M. Schlô-
1 1 1 1 1 • - 1 1 : l'intégrale a-t-elle un sens?
Il \ a ici encore quelques points obscurs pour moi et peut-être
ne sera-t-iJ [>a> inutile de reprendre \oireidée et d'étudier l'appli-
cation de la formule t I ) au développement de — - — -■
En vous renouvelant, Monsieur, I expression de mes sentiments
respectueux, je suis toujours votre très dévoué.
P. S. - Je n'ai pas le loisir en ce moment pour rechercher si
aussi M. Lipschitz dans son Mémoire n a pas obtenu cette for-
mule I .'
LETTRE 156.
156 — HERMITE I STŒLTJES.
I * .1 ii - , i" décembre 1888.
Mon cheb Ami,
M. Bourguet m'a chargé de vous communiquer If Mémoire
qu'il m'a confié sur la théorie de l'intégrale eulérienne; nous le
recevrez par envoi recommandé ci j'ai l'espérance que vous le
trouverez digne de votre intérêt.
Vous aviez effectivement écrit dans votre lettre du i'i novembre
que j'ai sous les yeux
/ 1 11 T. 2 ll-ii ,
, _ cos arc tanjr— ; ;
b R(a? — i) _ v* h
'2
l'i x
j // ■'- -'■ \ 2
62
au lieu de
b R ( X — I )
/ 2 /lit a ntz a ,
cos 1 x arc lang — -. -. — )
T(x)
toutes les difficultés disparaissent maintenant, mais la conséquence
que je tire de la formule exacte en supposant b infini
izax~le-a /""cos (a? arc tanei- — ai-) ..
= / — -d%,
ne fait que reproduire la formule de Cauchy que vous m avez
indiquée, en y faisant b = i , k = x
L
eiaz (/z ■> nax-le-u
(î ■+- iz »■'• l'i x i
On a, en effet,
log( i -4- iz) — - Logi i-+-z*)-hi arctang-s,
ce qui permet d'écrire
, ,.,.- • ..rclaugc
{l-T-13)* ~ " ï'
(l -+-*»)«
'm,, CORRESPONDANCE I) IIIKM1TI 11 DB STIBLTJBS.
et, par conséquenl .
/•"*"" e'"z dz
I {\ — iz )
i
cosi az — x arctang s i
dz + i
sini <i z — x air tans ^ >
i s2)2 y_x (i + J
ei vous voyez que, dans le second membre, la seeonde intégrale esl
nulle
La première forme esl même préférable, par exemple, pou en
conclure immédiatement, au moyen d'une intégration par parties,
I équation
r. / - i. = ./i' v i.
M. Lerch m'a fait part d'une méthode -impie et élégante, pour
exprimer Qi a au moyen de la série généralisée de Riemann
A (a) =2
( (O -i- Il tl
(n = 1, 2, . ..),
que je vais vous indiquer, pensant quelle vous plana comme à
moi. M. Lerch prend comme point de départ cette relation
/./■
r ,, |Q [_«)= / g-»(x-n)ar«-i-J
Q(a) = / e-xxa~i d.r
et la i ransforme ainsi
X"0 g
! , 'i' .<•--- 1
.r"-' dr.
où m désigne une constante arbitraire. Puis il écrit
— X g— llll\X-\-\)
e«u+i)_j ^
g« ' • i | , ■ " -r^ ,■"
i . 2 . . . ( /i — i ;
en posaul
(/t = I, 2. 3, ... ),
*(/i) = / r-'c' r/7.
LETTRK 157.
On a ainsi
l(,/)(jtl""l=2<..a.. .(« — ,./ -Sïssôîzt-^
or, on trouve facilement que
la relation précédente devient donc
r(a)Q(i — a) =V - r(a-+-n — i),R(— a-f-n i)
.ai [ .3 . . . ( #1 — I )
= r(a)N (a -H #i — '2 )„_! *(n)iR.(— « — /t -+- i ).
El, en changeant a en i — a, on en conclut
Q(a)=V(— i^-^a — i)a_i«(n)Jl(a — #i) (#1 = 1,3,3, ...).
Ce résultat diffère un peu de celui que j'ai obtenu, en partanl
de la (K'composition que j'ai employée
/ xa~1e-xdx = > / xa-le~xdx,
(o + «/
en transformant les intégrales par la substitution x ■ — co + n#i -h £,
mais on le trouvera si l'on pose x = to + (n + i)#y — /, comme
vous le verrez immédiatement.
Mes sentiments affectueux et bien dévoués.
157. — STIELTJES A HERMITE.
Toulouse, 3 décembre 1888.
Cher Monsieuk,
Enlisant le travail si intéressant de M. Bourguet, il m'a semblé
que le point principal de son analyse revient à ceci
dx
^^ ., /*" g— tnnax
3o6
COKKKSI'ONhAM K 1) 1UHMITK ET 1)K STIELTJES.
( h-, par la considération de l'intégrale / — dz je trouve qu'on a
C ue~ku , rx eus a ,
; au = I -= au
.',. ' "J J0 k + u
// ic ri toujours):
du
on doit supposer ici paiiie réelle £^>o, mais les seconds membres
donnent la continuation dans loui le plan, excepté la coupure de o
à — x. On a donc
■1 f*1 .-in x <l.r
Un = /
X 2 // T. a
AdimzaJ0
En écrivant pour un moment
sin ./■ dx
x H- in- a
.1 ai
6 -t- r
i
lnl> — .r\ ' -ib{ib^x) 36(36 -+- a?)
-i [(i ' ' N " '
= 6~? ( 7
1
K! -^)-.]
M*HH]'
en désignant par <H#) la dérivée de Logr(^) et par
G = -4- 0,577. ■ •
la constante eulérienne.
D'après cela
(a) n(a)=- / —
^H]
efo\
Il semble que par une inadvertance il s'esl glissé quelque erreur
dans la formule en haut de la page i3 du manuscrit de M. Bourguet.
En effet, on devrait avoir
logr(a)= log
t. 1 i — a
LETTRE 157. /,,,-
: étanl inférieur à 0,01 ei o < a i. Mais cela esl inexact, en
ajoutant log«, on aurai I
logl (i-4- a) = log- - -+- s.
sinita
Cela n'esl pas vrai, cou une on le voit en posa ni a - o ou a =
,og(;/;) = ,„s(i^.
Mais ce ne sont là que quelques remarques qui se muiI pré
sentées d'elles-mêmes en parcourant le manuscrit et qui certaine-
ment n'auraient pas échappé à l'auteur s'il revient sur sou sujet.
En vous écrivant la dernière fois, je n'avais |>as eu le loisir
d'examiner à tète reposée quelques difficultés que j'ai signalées
moi-même dans ma lettre. Mais comme je vous avais par ma faute
causé l'embarras d'une formule manifestement fausse, je croyais
de mon devoir de vous en indiquer la cause le plus loi possible.
J'espère dans quelques jours pouvoir vous écrire sur les points
obscurs de ma dernière lettre.
Je vous renvoie ci-joint le manuscrit de M. Bourguel et, dans la
supposition que vous lui donnerez communication de cette lettre,
je lui exprime aussi tous mes remerciements.
En posant
rx sin u ,
o(x) = / au.
Jx u
une intégration par parties donnerait en partant de (a)
•l I I — X ) =
(i + .r)2 (2 -+- a?)2 (3 -h a?)2
mais la formule ({3) suppose que
s'annule pour x = o et pour #= -+-«>. Pour x = o cela a lieu
quel que soit «, mais je ne sais pas en ce moment si pour x = oo
3o8 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
cela est encore vrai, quelque soit a: naturellement a>(oo) = o,
mais tL| i -\ — ) devienl infini.
TV •■*-"
La manière dont œ x i s'approche do zéro pour .r = x> résulte de
la formule
C ue-"1 , rx e~*u du
— sin ./■ / du — cosa; / —
OÙ
r* ue~xu r , i
/ du < / ne-"' /lu — — ,
/* * g— a:« /*» i
/ rfu < / e~x" du = - .
cosa? . . .
i / = • • • terme principal.
Lorsque â! réel > o, <b| i- — ) devient infini comme log.z;
ainsi, dans ce cas, il n'y a pas de doute. Mais vous voyez qu'il
reste encore là bien «les recherches à faire.
\ euillez bien agréer, cher Monsieur, l'expression de mes senti-
ments respectueux et très dévoués.
P. S. — La formule ([3) étant exacte pour a réel et positif, il
resterait à voir seulement si l'intégrale conserve un sens pour
d'autres valeurs de a. Ce sera là peut-être plus facile qu'à étudier
•l ( i -r- — ) pour x = x.
>-a) r
Poura=-r-oo, au.(a)=— — / ? x)dx= . I y(x)dx=-zj
1 x ' -2 b JQ h • „ ' b
Ce i|in est exact.
158. - STIELTJES A H ERMITE.
Toulouse, le 3 décembre 1 888 (lundi soir).
< .m r Monsieur,
C'esl seulement en ce momenl <pi<' me parvienl votre lettre qui
,i dépassé IToulouse el revient ici par Cette el Carcassonne.
Il me semble bien curieux que votre méthode >i naturelle pour
obtenir l'expression de Q(«) à l'aide de A {a) conduit au même
LETTRE 158. iog
résultat que L'artifice de M. Lerch qui consiste à introduire le fa<
gu aM-lJ t
teur eu(x+\) _ , f'alls L'expression transformée de <v>.
Voici maintenant an résultat sur La série de Stirling donl j'avais
déjà un pressentiment ce malin. La formule
(«) f*(*)=-r~/ 9(a7)^'(i-t- - -)dx,
it*aJ0 ■ir.aj
o(x) = / . du,
J u
<]/ (a?) =
x'1 ( x -h r)2 ( a? -h 2 )2
étant vraie lorsque a est réel el positif, je remarque que L'intégrale
a un sens, quelle que soit la valeur de a (on doit exclure seule-
ment la coupure de o à — ce). En effet, x étant très grand, on a à
peu près cp (x) = — et, comme on a -j/( m -f- i) = <|/(w) — -r> il
suffira de montrer que
/ a? y \-.iita/
a un sens pour to = -f- oo.
Or, x variant de o à -(-oo, l'argument décrit une droite el en
iita
posant
— — = Re'f,
■i - a
R croit de o à -+- x>, ce restant constant. D'ailleurs s est compris
entre les limites ± tc. Or, il n'est pas difficile à montrer qu'on a
alors
modd/(Re'"<P) < — ,
K
OR. étant une constante (qui dépend de <p seulement de telle façon
que DM. croit au delà de toute limite lorsque o s'approche de rtic,
mais ici cp est constant).
Par là, on voit que
I <L'( ) dr < const. /
Jo x \iizaj J0
il.r
X- '
3io correspondance d'herhite et de stieltjes.
donc l'intégrale a un sens. Il ne semble pas douteux, d'après cela,
que la formule -j. représente [x| a) dans tout le plan.
Voici maintenant comment on peut en déduire la série de
Stirling. .!<■ remarque d'abord que
JC* e-xu /*" ue
— du - -in./' / du
donne
/ i 1.2 i ■ ' ■ ! ■ i \ . / i i . 2 . 3 \
cosa; -h -— î - ... — sinr ( — ; h...}.
Je pose maintenant
y1(x) = I cp (x) dx,
ç a? | = / ?i(#) "'•'■■
■ i
tp3 /■ i = / cp2| a?) t/a;,
J'obtiens ainsi une série de fonctions finies qui s'annulent pour
x = x, et 1 on trouve facilement
•:,i.r)= cos.r — 5" cp (a^).
2 c?2(a?) = — sin.r — a? qpj( a?),
3o3(^) = — cosa; — x<o2(x).
l<pk(x)= sina- — x <p3(x .
', -,..r)= cos^ — a? 04(0; .
p)= — sina-l - — ' -+-...)-+- cosa;
cosa1 / i
=
1.2 \
./•
2 1.2.5.4 sina?
-in.r / 1.2.3 1.2... 5 \ cosa?
: r^3 { -¥- -tï-+---;- 7773
cosa; / 1.2. 3. 4 1.2... 6 \ sina;
cosa; /
I .2.
3
a^3
1.2.3
• i
a;3
1.2..
. 5
a?3
1 . ■>. . .
.6
a; a--5 / 1.2
1.2.3.4V. x x3 j [.2.3.4
' 1.2
1.2.3.4
. ■'■■-'
x>
[ .2. i
1
.2. . .5
X'1
/■•
1.2 3.4
1
.2. . .6
x-
./•'•
1 . 2 . . . 5
:
1.2... 7
la loi étant évidente. En effet, les dérivées de cp., (a?) et de
cosa; — xo(x) sont identiques et ces fonctions s'annulent pour
x = oc. On raisonne de la même manière pour cs2(x), co3(:c), ....
LE T THE 158 3 I I
On voit maintenant aussi <|uc
<p(o) = =j cp,(o) =•+■ I,
cp2(o) = o,
tp8(o)= — -,
©4(0) = o,
05(0)=+ -,
Cela étant, une intégration par parties donnant
Y1Y 21T« (211 a)* (îltO)»»-' (27ta)2"J ?2"Y
et ayant de plus
on trouve que tous les termes intégrés s'annulent pour x = -+- 00,
ainsi
y ' T \ iizaj 3(-27ia)2 5(27ia)v
± ^"-"(.) |
(2/î — i)(2 7ta)2"-2
+ 7 1—r- I <?2n(&) <L<2«+»'( I-4-— -W.T.
(aica)*V0 r""v yY V airay
En exprimant enfin <j/(i), ^'"(Oî ••• à l'aide des nombres de
Bernoulli et substituant dans l'expression de logr(a), j'obtiens
toute réduction faite
logr(a) = ( a \ log« — a-+- - log(2Tr)
■ Bl l!" Ba -... + (—1)"-' ' D
1.2. a 3. 4. a3 5.6.«5 (2/1 — \)inaln-x
" 7T(2Tia^»+l J. r \ 2-«/
3i2 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
on bien
i.î.3...(în + i)
'^(^«^"./ *»»<*> 2* 7
, /, !I_ )
ll.l .
Quanl à la fonction tp2«i x . on a pour x très grand
i 2 /? — [)(?.«+ 2 1 1 2 /( — 3)1 2 /> — 4 i
./•
-]
[2/1 + 1 (2/î + l)i)» h 2 ) s » -+- 3)
; ; H-. . . I
J
Voilà donc, grâce au travail de M. Bourguet, une déduction de
la formule de Stirling telle que je l'avais rêvée. 11 ne reste qu'à
discuter l'expression de R„.
\ otre sincèrement dévoué.
P. S. — Soit b réel positif, il sera intéressant de calculer la
différence
p. I — b — e i ) — ;jl i — b — -. i l .
pour • positif lies petit. On connaît cette différence d avance.
G'esl un»' fonction discontinue de b qui change brusquement pour
b= 1. 2, 3, \
159. — ST1ELTJES A HE B MITE.
Toulouse, 1 1 décembre 1888.
ChEB MOASIEUR,
La manière dont M. Rronecker envisage le théorème fonda-
mental de Cauchy
f fiz)dz = o,
■ I
Monatsberitchte, p. 688; 1880, p. ;85 ; i885) me semble bien
intéressante. Pour lui. ci- théorème est un corollaire d'un autre
théorè qu'on peut énoncer ainsi qu'il suit :
Soit /(.r, y) une fonction de deux variables réelles. Suppo-on-,
que/ /• i i soil continue et finie ainsi que ses dérivées du pre-
LETTRE 159.
.;,.;
tnier el du second ordre dans un certain domaine I). Uors, si l'on
sail que les dérn ées
dx dy
sont uniformes dans le domaine D, on peul en conclure que f(x, y)
y
S^ D
c c
7)
0
JC
elle aussi est uni /orme dans le domaine D.
On dira qu'une fonction f(x, y) est uniforme dans le domaine D
lorsqu'on a
df(ar, y) = o,
L
l'intégrale étant prise sur une courbe fermée quelconque tracée
dans ce domaine.
En effet, considérons une courbe fermée G; d'après les hypo-
thèses, l'intégrale double
//
à*f
dx dy
dx dy ,
prise sur toute l'aire de C, a une valeur finie, qu'on peut calculer
soit en intégrant d'abord par rapport à x, soit en intégrant d'abord
par rapport à y.
Dans le premier cas, on obtient
dans le second
J J àxày J JlClày
JJ£id*d}'=-f{Sdx-
les intégrales simples étant prises sur le contour de C dans le sens
h'i correspondance d'hermite kt dk stieltjks.
direcl . < >u en déduit
f (*ldx+dldy)= f ,,f..r.
y ) — o, c. 0- F. D.
Le théorème de Cauch^ s'en déduit immédiatement. En effet,
<oil
f /( z } dz = / (P rfa; — Q rfj) -+- * /* (Q doc -+- P tfy i.
■ i «'(C) • c
Mais P dx — Qdy est une différentielle exacte et l'on peut
écrire
/' {Pdx-Qdy)= fdf{x.y).
Mais maintenant le théorème précédent s'applique, car
df(x.y) = p rf/(.r,/) = q
sont, d'après les hypothèses, des fonctions uniformes et finies ainsi
que leurs dérivées; donc f(x, y) l'est aussi et
/ (Pdx — Qdv)=/ df(x,y) = o\
de même, on aura
/ < Q dx -t- P <7> ) = / '/ - < ■'■• y I = o.
• c J<C)
\ oici une déduction de la décomposition en fractions simples de
(pic j'ai expliquée pour mes élèves, comme application des
e
théorèmes généraux de la théorie des fonctions.
Je considère la série
^) = Sti ' ~>
A* (log.s h- inici)2
qui est évidemment convergente. On constate d'abord que/(;) est
uniforme. Ensuite, il est facile à voir que si c- tend \ers zéro, il
en est de même de /"(.s). Et à cause def(z) =f( - ) on voit
LETTRE 159. 3l5
que z — -s) esl un zéro de I;i fonction. D'après cela, il e>t clair
que f{z) ne |iciit devenir infinie que lorsqu'un des termes de la
strie de\ ient infini, ce qui suppose ; = i . Et l'on ;i
■/',, + /0=n(„(l': m^
[ log( 1 -h h)]1 JU [log(i -f- A) + 2/iitip '
( n = ± i , ± 2, . . )
/(n-A)= _ + h_.
quantité finie pour A = o.
Donc la l'onction /(z) admet comme pôle double le poinl c= i
et n'en admet pas d'autres. Mais pour une fonction de celte na-
ture le nombre des pôles doit égaler le nombre des zéros et ainsi
les zéros z = o et z = oo sont des zéros simples. De toul ce qui
précède on conclut
{z—if
mais on a encore X = i , à cause de/"(i + h) — -^
Ainsi, on a finalement
i
(z — l)2 ,AJ (log 3 -t- 2 /ITCl')2
ou bien
d'où par intégration
-1 — =y( — ' — ^ — — -V
e i e" — i ^d\^ + 2«-t « 4- -2)1111 /
ou bien isolant le terme répondant à /i = o
i i i
■2
ez — t ea — i a z —mi \ z -+- >. niz i a-\-imzi
et pour a = o
_^_=_: + l+y/ Î_.__J_.) (n = ±I.±a|...).
e~ — i i z ***, \ z -r ■>- n -i ■> n-.i I
i i
— I
1 Z
■Et-4*— ■
3 1 6 CORRESPONDANCE D HERMITE ET l)E ST1KLTJES.
Je remarque qu'on pourrai i obtenir de la même façon la dé-
composition en fractions simples des fonctions elliptiques. Soit,
par exemple, la formule (votre Cours, p. 229, 3e édition)
En posanl
n*)=fs-j=dz, , ,
J0 %\fz(i — z)(i — k*z)
on a
z = sn2[F(^ 1],
et ainsi la formule ( 1) peut s'écrire
*- 2
1 _i_/
ou, en prenant la dérivée, il vient
- kl v^i''— -><■-***) = 2 [F(z)-Pty '
< h-, on pourrait établir cette formule directement en étudiant la
série qui ligure au second membre.
En posant
tp ( z ) = > — ,
on constate directement que o (s) change désigne lorsque z décrit
un contour fermé enveloppant les points o, 1, t= • Mais o(z)2 est
une fonction uniforme. Il est facile encore à constater qu'elle
s'annule pour z = o. 1, -.— • Et ensuite on voit qu'elle n'admet
pas de pôle autre que le point z = cc. Lorsque z s'approche de
z =cc, un terme et un seul de la série devient infini et il est donc
facile à voir comment se comporte <d(z) ou 's(z)'2, dans le voisi-
nage de ; = ce. On établit de cette façon la formule (2) d'où l'on
déduira ensuite facilement (1).
Cette méthode suppose seulement qu'on ait étudié la nature de
l'intégrale F( ' z) ou si l'on veut la fonction inverse sn2c. On doit
avoir poussé cette étude assez loin pour connaître toutes les racines
de l'équation
LETTRE 160. .',i-
En somme, cette méthode ne peul être considérée que comme
une vérification, mais elle me semble instructive néanmoins. Vussi
au fond je n'ai appliqué qu'une idée de Ricmaiin. l'uni obtenii
l'inversion d'une intégrale elliptique, il étudie d'abord cette inté-
grale, ensuite il étudie les fonctions H. En substituanl alors l'in-
tégrale dans la fonction 0 comme argument, il obtient une fonction
qu'il reconnaît être une simple fonction algébrique. Vous savez
qu'il a appliqué ce procédé synthétique à des problèmes bien plus
généraux. Mais, en somme, la marche indiquée plus haul esl pai
faitement analogue. La seule différence c'est que je considère une
série double au lieu d'une fonction 0.
Votre bien sincèrement dévoué.
160. — HE R MITE A STIELTJES.
Paris, i3 décembre 1 888 .
Mon cher Ami,
Votre dernière lettre du n m'a ravi et enchanté; je partage
entièrement votre sentiment sur les fonctions de deux variables,
et sur la manière dont il convient de caractériser qu'elles sont
uniformes dans un domaine, par la condition / df(x, y ) — o.
«A c )
Mais vous excluez les variables, comment donc procéder alors?
Votre analyse concernant la fonction /"(:;)—> —. : — —
est délicieuse, exquise, et je ne manquerai pas de la donner à la
Sorbonne. Elle me donne beaucoup à penser, et ce que je vais
vous en dire se sera certainement déjà présenté à votre esprit.
Les déterminations de l'intégrale F(z) = / = >
Jo v/(i_*«)(i-*«*«)
qui proviennent de tous les contours possibles d'intégration, sont
comprises dans les deux formules
F -h 4 m K -t- 2 n i K' ,
— F +(4m+ .?. ) K -4- i niK',
de sorte que la fonction
?l
~~ Z* ( F -+■ i m K -+- a ni K' )3 *•*
(F -+- |mK+ zniK' i:i jL* [— F -+-(4m -+- 2)K -h in i\\ ['•
3 1 8 CORRESPONDANCE d'hERMITE II DE SïIELTJES.
est certainement uniforme. Mais, en procédant de même avec L'in-
le de seconde espèce / , on peut sembla-
JB /(i- «»)(i-A»^) '
blemenl parvenir à une fonction uniforme; cela étant, à quoi
tient-il que la première soil une quantité si simple, et que la se-
conde -"ii archi-transeendante. L'équation qui s'offre sous votre
/. - z <lz
fo V/(,_^)(l_A-i-2)
solutii »ns, peut-être y aurait-il lieu de s en occuper avec soin. Mais
vos idées me paraissent surtout intéressantes et importantes si on
!«•- applique à l'intégrale abélienne de première classe
$z)dz
poinl de vue / = <> doit offrir une infinité de
1 v i — *«)(i-A**«)
__ Ç (a-H
1 >/
\/R(z)
où
li< z> = :■{ i — z)i i — kz){\ — lz)i i — [j.z i;
J1 ' j
' —
n
1
\dz
/R(.z
(a-t-p.3 /:
la fonction uniforme analogue à ï>(s) sera
/R(*)
*l> ■ ; | = 7[ F -r- 2m(i) -+- im'{k) -+- 27W"(X) -I- 2m'"((JL)]-P,
-+- 21 f— F — (2»l —DM )—'///'/- — ïot'i ) i + 2/nff'(fJL)] "P,
et, si Ton pouvait étudier l'équation F = o, il semble qu'on se
trouverait sur la voie d'une nouvelle transcendante qui se rappro-
cherait autant que possible des fonctions elliptiques, comme ne
contenant qu'une seule variable.
Mais j'ai d'autres devoirs pressants qui me détournent en ce
moment du calcul; je compte m'y remettre après le jour de l'an,
lorsque j aurai retrouvé ma liberté qui maintenant me fait absolu-
ment défaut, lu puis, les premiers froids m'ont enrhumé, grippé,
ce qui ne constitue pas des condition- favorables pour le travail.
En vous renouvelant, mon cher \mi. l'expression du vif plaisir
que j éprouve à recevoir communication de vos idées si intéres-
santes pour moi, el que je saisis au premier coup d'œil sans aucun
effort, et avec l'assurance de mes sentiments de la plus sincère
affecl ion.
LETTRK 161. 3 ig
161. HERMITE I STIELTJES.
Paris, m décembre
Mon cher Ami.
La formule de Gauss pour l'évaluation approchée des intégrales
définies m'a conduil à une question dont je me permets de vous
entretenir, dans l'espérance que peut-être elle vous suggérera
quelques remarques dont je serais heureux de profiter, cette fois
comme tant d'autres. Je considère deus fonctions que j<' suppose
pouvoir être représentées par ces développements
F(a? ) = A0-+- Ai x -+- A2a?2 -+-...,
f'x) = a0 -+- ctxX -t- a-2-r1 -\ ....
et je demande de déterminer m constantes à savoir
R, S, .... U,
/', 5, . . . , M,
de manière qu'on ait, en négligeant x-'1 et les puissances supé-
rieures,
F(x) = Rf(rx)-hSf(sx) -+-...+ \Jf(ux).
Vous voyez que c'est une généralisation de la relation de Gauss,
qu'on obtiendra si l'on suppose
f(x) = F'(x).
Le problème est déterminé, puisque l'identification donne m
équations
A0 = a0 (R -h S +...+ U),
A, =a, (R/- -t- S 5 +...+ Uu),
(Aj < A2 = a2 (Rr2 + Ss2 -+-... -t-U m2))
A2„_, = a2„_, ( R/-2»-» + S*2"-1 -+-■...-+- U z/2"-1 ) :
maintenant voici la solution.
J'envisage la fonction suivante :
A A, A,
o(x) = 1 H r -+-....
' a0 x at x a*x6
320 correspondance d'hermite et de stieltjf.s.
el je forme la réduite d'ordre // de son développement en fraction
continue On aura donc en développanl suivant les puissances
descendantes de la variable, la relation
II, .../■>=— -h- :— ■ -i r-ra -+-
Cela étant, je décompose en fractions simples la fonction ra-
tionnelle . . ' <i j'obtiens immédiatement la solution cherchée. En
admettant, «m effet, <pie \ =■ o n'ait que des racines simples et
posant
U R S U
^7 = h " K -.-h ■ 5
\ ./' — /• X — S X IL
la relation I B), donne les équations (A) en égalant, dans les deux
membres, les coefficients des termes en -> — > • • • > — — •
x x- '
Une conséquence de ce résultat esta remarquer, c'est lorsqu il
arrive que f(x) est une fonction rationnelle; en prenant alors,
pour la réduite y , la fonction elle-même, on a exactement cl sans
rien négliger
F(x) = Rf(rx) ■+- Sf(sx) -+-...-»- U/i u v).
En d'autres termes, -i la série a0-f- a( x -I- a..2x2-\-. .. est le dé-
veloppement d'une fonction rationnelle, la fonction
A o — A | x -+- A 2 x- -h . . .
s'exprime linéairement au moyen de la suivante :
Ao + Ai x + A, x% +
a0 "^ «i a.,
M. *** dont je viens de recevoir une lettre très intéressante, me
met dans un grand embarras au sujet de l'expression de Q(tf) par
la série 7 (tu + mii)xe~<ù~mu (m = o, 1, 2, ...). J'ai encore re-
cours, mon cher Ami, à votre bonne obligeance, en vous priant en
grâce de lire le post-scriptum de sa lettre que je vous envoie, et
de m'en dire votre avis. . . .
Excusez-moi si j'abuse de votre bonté et veuillez agréer la nou-
\ (die assurance de ma bien sincère affection.
LETTRE 162. 3 ' I
162. ST1ELTJES I HERMITE.
Toulouse, le a > décembi e i
Cher Monsieur,
Je vous remercie vivemenl pour la communication de votre
généralisation du problème de la quadrature de Gauss. En posanl
avec vous
F (ce i=2 A "'"'''
0
00
j\ x) = 7 a i i ■" moAx C R,
o
00
:i,n=y-î.7-«-' raod- < 1-5,,
_ a„ x
o
je remarque qu'en supposant
p < motl ; C 15,
: rtaiit un nombre quelconque inférieur à 15. et
mod x < p Ri,
les développements
/l z) = a0-+- atz -+ «oz?^-. . ,,
■ r, [ - \ = i» ^ + ^! !Î
' \z } a0 z a , s2
sont convergents tous les deux, en sorte qu'on obtient en inté-
grant sur un cercle d'un rayon compris entre o et R
— . / f(z ) cp ( - ) dz = A0x -+- A, a?2 -l- . . . == x F ( f).
On obtient ainsi une valeur finie de F(x ) tant que modx << pR,
et comme p peut s'approcher indéfiniment de R, j'en conclus que
le ravon de convergence de la série F(.r) est RR(, ce qui est bien
connu. En supposant, avec vous,
o(x)
V '
u
R
x — r
S
V
x — s
322 CORRESPONDANCE 1) BERMITE ET DE ST1ELTJES.
On a
X I : / /( -S) 1 h . . . CÙ!
>-i ,i ' \z — /•/• 2 — sa;
i f. , sa?*»+> e'./- \ ,
+ 5iîJ/(*)( ira +-iiïsr+-)^
c'est-à-dire
F(a ! - R/i /■./■ i S/i .%■./■ i -+-...
»2rtH-1 _l^
L fl.a+iaf'
Mais ce n'esl là qu'une lification de votre analyse el je ne
sais pas si elle permettra de pousser plus loin cette étude.
Les polynômes l el \ dépendent seulement des >.n premiers
coefficients du développement de ?(#), niais on peut changer
arbitrairement ces coefficients sans affecter le rayon de conver-
gence R,, et aussi, paraît-il. sans affecter d'une manière notable la
nature de cette fonction tpl x ). 11 semble donc qu'on ne peut rien
dire en général sur ces racines de V = o.
\ oici ce que je trouve en examinant la note de M. ***.
La série
1 q(i— «)=]S(atlTa)*vV(l -"-■"
1
esl convergente toujours en supposanl
11 0, w > 0,
et elle représente toujours Qi 1 — a I.
Quant à
(«) q(i— «) =2 (_ i,v~1 (" t-7* ) Pv S<I_a ~ v '■
1
comme M. *** le remarque, elle est convergente seulement pour
a < a»,
et elle représente alors Q| 1 — a .
La convergence de la série (1) est très facile à établir. En effet,
il esl clair aue
«t\ < e"
lettre 162. ; • ;
el lorsque x esl négatif il esl clair que
(lui -H u)a
*P(cc) < (oj -+- u)x > e-w-'»« =
<■'■>! C" — 1 ) '
iiinsi, le module d'un terme éloigné esl inférieur à
la série est donc convergente comme une progression géométrique
de raison ;'i peu près. Pour se convaincre qu'elle représente
toujours Q(i — a) il suffit de remarquer que si (1) est vraie pour
un système de valeurs m, oj, elle l'est encore en remplaçant to par
co+w. En effet, par ce changement le premier membre diminue de
Jp fO +11 pli
' e~x x~a d.r — I ey—ta~u(ui-hu — yr'dy,
(■) «-'o
il n'y a pas ici ombre de doute sur la légitimité du développement
/ l a Y
( w -+- u — y )-« = ( w -+- u )~a '
=2
yv-Htu -+- M)-a-v+i,
ce qui donne, enfin,
/* (0 """ " "--» / _i_
/ e~x x~a dx ~=2^\ )*v(ui + b)IHH'«"»-»,
pour la quantité dont diminue le premier membre de (1) en
changeant oj en oj -+- u. Mais il est clair que c'est là précisément
aussi la quantité dont diminue le second membre. Donc la for-
mule (I) est toujours vraie, mais en somme je n'ai fait que suivre
la voie que vous m'avez indiquée. Si M. *** indique oj -(-«>> i
comme condition de convergence, c'est qu'il doit n'avoir pas fait
attention à la variation des nombres <I>V<<<?" — Du reste, il est
clair, d'après ce qui précède, que la série converge à peu près
comme une série géométrique de raison > cela provient de la
° L OJ -I- u r
série i H — — (-• • • ou y a pour limite supérieure u.
r t,\ — u // •/ i
1-1 CORRESPONDANCE d'HERMITE ET DE ST1KLTJES.
\ près a\ oir établi
/ e-xx~a dx — ^ ( " ' ) *v(a -+- u )'-«-'' e-w-«.
il n'\ ,1 qu'à remplacer avec vous w par <o -h m, tu + 2 i^, ... el de
faire la sommation. Si l'on suppose, comme M. ***, a>o, tous les
termes sonl positifs, la convergence esl absolue et l'on peut
prendre les termes dans un ordre quelconque. On obtient ainsi
en toute rigueur 1 I ), mais le résultai subsiste <|uel que soit a. De
même, on \uii que (II) esl convergente pour u < co, la conver-
gence esl comparable à celle de 2, ( — ) ■•"
Quant aux expressions de R„. R',, il 0 y a pas de difficulté à
obtenir de telles expressions, en écrivant, par exemple,
1 m — u — y \~a = ( w
I- ■■ H...— R„)
avec un reste. 11 esl clair qu'on obtiendra ainsi une expression qui
montre la convergence de la série, \\n doit renfermer un fac-
// "
leur ( - — I L'expression de M. *** laisse à désirer sous ce rap-
u ' •
port . Peut-être a-t-il suivi sa méthode de déduction, et je remarque,
en effet, qu'elle présente des facilités pour obtenir R„, mais, en
faisant ce calcul d'une manière convenable, on doit arriver au
même résultai que tout à l'heure.
J ai rédigé provisoirement mes réflexions sur la fonction T et la
série de Stirling pour les reprendre plus tard plus facilement.
J'ose prendre la liberté de vous les envoyer avec la prière de
vouloir bien les donner à M. Bourguet lorsque vous le verrez. Si
vous avez le loisir d'y jeter un coup d'oeil, je crois que la déduc-
tion de la formule
logl r) = (*--jlog*-*+-log2* + -JJ ^— -log^-^
à l'aide du théorème de Cauchy
page 1 j. vous fera plaisir. On peut donc se dispenser de petits
LETTRE 103. 32.'
artifices dont on a besoin jusqu'à présent pour arrivera ce résultat.
11 reste à noter que, tandis que la véritable origine analytique de
l'intégrale
s:
du ,
loi
a?2-l- ul &\i — e
se trouve ainsi dévoilée, celle de L'intégrale
feaxîp
dx.
(votre cours), page 124, reste obscure.
Je suis un peu souffrant depuis quelques jours, c'est un mal
d'oreille.... Mais c'est la première lois que cela s'esl déclare'' chez
moi. Cela me donne un grand mal de tête et m'empêche de dormir.
La fin de l'année est si proche, que je vous offre déjà mes
meilleurs souhaits pour l'année prochaine.
Votre sincèrement dévoué.
P. S. — Je ne veux pas encore trop me plaindre de mon mai,
car c'est dans une insomnie que j'ai vu l'origine de l'intégrale de
Binet. Mais enfin, cela ne doit pas durer.
163. — STIELTJES A HERMITE.
Toulouse, 23 décembre, soir, 1888.
Cher Monsieur,
Je viens de taire une observation si curieuse que je ne peux
m'empècher de vous en faire part. C'est une application de mes
formules
2 r " x à .
( I ) / ( X ) = - / —z : dll ,
condition
«'(Ci
mi±=0,
(II) f(x) = -\ !"
condition
du .
I
\A*)\dz
3a6 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET 1)1. STIELTJES.
OÙ
f\ ui) — A + \'<i. /< — ui) = A — lî /.
I )'après la seconde, j'ai
■2 rx uB , (a -t- ui) = A -i- Bi,
-•', ' --«- f(a-ui) = A — Bi;
donc
(2) /•,« — ,,_ /', „ hî)+... = - / f-=^- : -)Brf",
mais de ni je tire en multipliant par dx et intégrant, si dans le
second membre il est permis de changer 1 ordre des intégrations,
(3) / /i a -¥ .'■ i dx — - / B du,
et, >i l'équation (i) qui suppose partie réelle x > o est encore
\ raie pour ./• = o,
> /*"B
i i /'") = - - / -rfu,
■ • ,i u
et ainsi ( 2 i peut s écrire
/(a -i- i)-hf(a -+-2) -+-...= / /(a —./•)— -/(") -■< / g2,M _ t •
C'est là une formule d'Abel, Œuvres, t. I, p. 38 en bas. Mais la
méthode précédente jette une nouvelle lumière sur ce sujet, la
méthode d'Abel manque de rigueur tout à fait.
II faudra voir aussi à rattacher aux théories de Cauchyla formule
sommatoire d'Euler et de Maclaurin. Ce sera possible probable-
ment. Lorsque M. Malmsten a publié son Mémoire sur ce sujet de
nouveau dans les Acta, la rédaction dans une Note faisait entre-
Noir l'espoir d'une extension de la formule aux variables imagi-
naires ( ' ).
I) après ce qui précède, je crois qu'il sera possible de démontrer
la formule à l'aide des méthodes de Cauchy, mais je ne crois pas
que I extension aux valeurs imaginaires existe. En effet, plus haut,
il fallait supposer
/'( a -+- ui ) = A -t- B i,
/ 1 a — ui i — A — Mi.
(') Voir Acta Mathematica, t. V. p. i.
LETTRE 164. 327
en sorte qu'on ;t réellement à faire avec les fonctions d'une variable
réelle, Aussi le théorème (l) par exemple ne s'applique pas lors-
qu'on prend pour f(x) une constante purement imaginaire. Le
second membre serait nul.
On peut, envisager (1) sous un nouveau point de vue en prenant
pour A une fonction réelle arbitraire de u telle que
1 i mi — =0 (u = 00; k < 1).
Uors l'intégrale existe et définit une fonction d'une variable
imaginaire ./', dont la partie réelle se réduit à A sur Taxe desy.
Veuillez bien agréer, Monsieur, la nouvelle assurance de mon
entier dévouement.
164. — HERMITE A STIELTJES.
Paris, 28 décembre 1888.
Mon cher Ami,
Veuillez agréer mes souhaits de bonne année que je vous
adresse de tout cœur, et en même temps mes vœux.
A mes souhaits de bonne année je joins mes remerciments pour
vos dernières lettres et surtout pour le résumé de vos éludes sur
la fonction T, que je vous demande l'autorisation de conserver
quelques jours avant de l'envoyer à M. Bourguet, à qui je l'ai
annoncé. J'ai le plus grand intérêt à le lire et à l'étudier, mais il
me faut du temps, ayant mille choses à faire en ce moment. Vous
savez sans doute que M. Bourguet conteste votre conclusion que
la série de Stirling est applicable dans toute l'étendue du plan,
même lorsque la partie réelle de la variable est négative. D'après
lui, la série n'est valable qu'à droite de Taxe des ordonnées et
voici le motif qu'il m'en donne. Supposons la relation
]{a)= -^ ...+ (_,)«-! Ë£ + R,
i.i.a 111yj.lL — 1 )«-"-'
et désignons par R/ ce que devient R lorsqu'on change a en — a)
On aurait évidemment
5 (a) -+- J(— a) = R-t- R',
i >x CORRESPOND ANC H d'hERMITE ET DE STIELTJES.
quantité qui dépend de I entier n, ce qui se trouve en contradic-
tion avec la propriété suivante, que M. Bourguel a découverte :
J(a) .1 — a i - - 2 logi i — <?2-«').
En attendant que vous ayez le dénouemeni de la difficulté, je
fais encore appel à votre bonne obligeance en vous priant de
m'expliquer ce poinl de votre lettre du 23 décembre, où vous
dites qu'en supposant que 11 >oii le rajon de convergence des
séries
l-i.ri =-.^A„X", f(x) =2««^":
et que la série
d i x) = y - - x "-•
soit aussi convergente pour mod < Ri, on peut en conclure, ce
qui est bien connu, que lilî, esl le module de convergence de
F (a?). Comment donc mon cher ami, par\ enez-> ous à celle con-
clusion? Commenl le l'aven de convergence de I ./ . que dous
supposons égal à R, devient-il ensuite lili, : comment, enfin, cette
conséquence est-elle bien connue?
Excusez-moi, je \ous prie, de ne pas apercevoir ce qui est clair
et évident pour vous, et plaignez-moi de ne pas avoir une suffi-
sante liberté pour me consacrer plus entièrement à l'Analyse.
Les résultats de M. ***. sur la convergence de> séries qui re-
présentent Q i — a), me causent beaucoup de surprise, et me
paraissent très dignes d'attention; grâce à vous, je vais pouvoir
les étudier à fond et m'en rendre bien compte.
Encore un mot sur la formule de Gudermann ; dans une de mes
leçon-, de cette année, je la tire de l'expression
.1 (a) = - / <"'■' — - dx,
■.' x (r — **)*■*
en remplaçant
i X^
par > ekx H i / — o, [2 /; — i).
i — - •' — i — c
La décomposition de la quantité e^a+kix— en
éléments simples donne I intégrale définie, immédiatement, et on
trou Vf1
JIIIISI
.1
[a) =
■?[(«
■4-*-+-
î)
log/i
-+-
— — )
a -h /. 1
(* =
0,
1,2, .
n — i ).
LETTRE 165. »29
il J (a -+■ n )
Avec la nouvelle assurance de mon affection cordiale h bien
dévouée.
165. — STIELTJES A HERMITE.
Toulouse, 29 décembre 1 s*s.
( .11 1:1; Mon si ki il ,
En \ous remercianl pour votre souhait de bonne année... je
peux vous dire aussi que mon mal ne paraît pas bien grave à mon
médecin. Cela doit être un abcès dans l'oreille qui se guérira avec
un peu de patience et de repos, niais c'est très douloureux; heu-
reusement, je constate déjà un mieux sensible.
Je suis très honoré que vous voulez garder un peu mon manus-
crit pour l'étudier et naturellement vous pouvez le garder pour
cela.
Maintenant, je répondrai encore succinctement à vos questions.
Dans la lettre du :^3, je dois avoir écrit
F (a?) =2 A „.?■",
f(x) = \ Ct„:cn, niod.r < H,
es ( x ) = > — - a?-"-1 , mod - < R 1 .
' -— a„ x
Ainsi je ne fais pas de supposition sur le rayon de convergence
de F(.r 1; m lis il suit de mon raisonnement que ce rayon e^t RR,.
Ce théorème, en ellet, doit être connu; si l'on a
\ a„xn, rayon de convergence R,
\b„x», » » R,.
Alors le rayon de convergence de
> a;ibnx"
CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJ1S.
est au moins III!,. Je crois que ce Lhéorème se trouve énoncé ex-
plicitement dans un Mémoire de M. Pincherle dans le Journal de
Brioschi. Mais la chose... esl bien facile à démontrer. Soient /■ un
nombre positif un peu inférieur à I». /■,... un peu inférieur à R^ ,
ries
sonl convergentes el même absolument convergentes.
vu^-i mi a que] que soit //
|a,r»|<P, li.rfKQ,
P, Q étanl des nombres Unis, d'où
\a„bn(rrt)"\< PQ,
ce qui montre que 2^anbnxn es^ convergente tant que x reste
inférieur à //,.... mais rr{ peut s'approcher indéfiniment
de m;,.
La remarque de M. Bourguel
J(a) -+- J(— a) = — log( i — e**«')
est parfaitemenl vraie; toutefois, il faut supposer, essentiellement
que le coefficienl de i dans a
esl positif, y ^> o : ainsi
x — 22TO» = [ — <?-2?w(cos j/?- h- i sin ■> />- |.
Lorsque a croit indéfiniment, il en esl de même de ^(autrement
un des points « ou — c< resterait toujours dans le voisinage de la
coupure, cas que j'exclus expressément ). lit alors vous voyez bien
que J(a) + J( — a) tend vers zéro. 11 n \ a pas de contradiction
avec mon résultat, donl je crois du reste «pie la démonstration est
inattaquable.
Veuillez bien agréer, Monsieur, la nouvelle assurance de mon
dévouement.
LETTRE !<><>. >3l
166. — HERMITE I STIELTJES (i).
Mo» CHEH \ \l I ,
L'élégance et la simplicité de votre analyse cachent certainement
un grand travail el il est difficile d'imaginer par quel enchaîne-
ment d'idées vous avez été amené à la considération de la quan-
tité m et à la suite «1rs loue lions que vous nommez J\ (x), f->(x), . ..,
\o> résultats sont excellents et, à ['encontre de tanl d'autres qui
avec un grand appareil de formules n'obtiennent presque rien,
\ous tirez de considérations extrêmement simples el faciles des
choses entièrement neuves <i du plus grand intérêt. En attendant
que j'aie quelques remarques à tirer de mes réflexions sur ce que
vous m'avez communiqué, permettez-moi de vous demander où
nous comptez publier ce que vous venez d'obtenir. M. Darboux
serait très content d'en enrichir les j. -innales de l' Ecole Normale,
et M. Camille Jordan vous bénirait de lui fournir de la matière
pour son journal qui en a manqué dans ces derniers temps. Je
devais lui fournir un article sur la valeur asjmptotique de Q(a),
mais mille occupations mont détourné de le rédiger, et ensuite
je me suis trouvé dans une disposition peu favorable pour le
travail, ayant éprouvé comme une sorte d'aversion pour l'Analyse
quime rendait tout effort comme impossible. Après m'èlre plongé
clans la lecture, j'en reviens peu à peu, et nombre de recherches
que j'avais commencées surgissent de leur sommeil et me re-
donnent quelque peu courage. Je relis votre correspondance et, au
moment ou j'ai reçu votre dernière lettre, j'allais \ous écrire et
vous chercher querelle au sujet de la condition que vous m'avez
formulée pour qu'une fonction f(x, y) soit uniforme dans un
domaine D, el qui consiste en ce qu'on a
/ df(x,jr) = o,
• (C)
I intégrale étant prise sur une courbe fermée quelconque tracée
dans ce domaine. Je vous avoue ne jamais m'ètre posé la question
(') Il manque sûrement une lettre de Stieltjes antérieure à cette lettre non
datée d'Hermile. (Note des éditeurs.)
332 CORRESPONDANCE d'HKRMITK ET DE STIELTJES.
en restanl comme vous dans le champ des valeurs réelles des
variables, la circonstance <!<•> déterminations multiples me pa-
raissant résulter en toute nécessité «le- valeurs imaginaires des
variables décrivant des contours fermés. Je vous demande donc
pour préciser et bien fixer mes idées, un exemple dans lequel -j;
et — soient uniformes dans le domaine I) nom' les valeurs réelles,
i est-à-dire, suivant moi, continues et a détermination unique, la
iomi ion / ./ . y ) ayant, an conl raire, des déterminations multiples.
Je demande, «mi pin-, de voir de quelle manière ces déterminations
diverses résulteront de ce «pic votre condition / d/(x, y) = o
• c
ne -tia pas remplie, lui allant plus loin el m'accusanl d'avance
d'avoir la vue trop courte, je réclame à cor et a en une fonction
échappant à votre condition et dans laquelle -4- et r- soient tou-
i i i ,,,,■ dy
jours continues el Unies à l'intérieur «le D. Ma requête a pour
origine el puni- cause ma tendance à faire résulter les notions
analytiques «le l'observation des faits de l'analyse, croyant «pic
l'observation est la source féconde de l'invention dans le monde
des réalités subjectives, tout comme dans le domaine des réalités
sensibles. Je m'arrête, mon cher ami, je vous ferais bondir m
j'osais vous avouer que je n'admets aucune solution de continuité,
aucune coupure, entre les Mathématiques et la Physique, <•! que
les Dombres entier- me semblenl exister en dehors de non- «i
en s'imposant avec la même aécessité, la même fatalité que le
sodium, l«' potassium, «•!«•.
Avee tous mes vœux pour la guérison complète de votre mal
d'oreilles, el en vous renouvelant l'assurance de ma sincère el bien
cordiale afïect ion.
167 . — STIELTJES A H ERMITE.
Toulouse, le i \ fé\ rier 1889.
( au 1; Moasi 11 r .
Le théorème sur les fonction- de deux variables réelles, d'où
M. Kronecker déduit comme corollaire le théorème de Cauchy,
s énonce ainsi :
Soit J\.r.y) une fonction réelle des variables x, 1 telle que
LETTRE 1<)7. 333
diins un domaine I.) à contour simple (j ai peut-être omis cette
condition qui est nécessaire ) les < I » ; t • i \ « '■ < • s partielles
<i.r dy
soieni finies et uniformes et admettent encore des dérivées finies
(qui sont alors uniformes aussi uatureliement), alors la fonc-
tion /'{■('- >') ELLE-MÊME EST AUSSI NÉCESSAIREMENT I NIFORME.
En effet, il s'agit de démontrer
/ df(x, y) = o,
nom- un contour fermé C à l'intérieur de I). Mais C forme la limite
entière d'une certaine aire qui fait partie de I), et pour cette
aire-là
,1 ,1 dx dy y
a une valeur finie, qu'on peut évaluer de deux manières en inté-
grant d'abord par rapport à x ou à y\ on trouve ainsi
/ — dy ou — / -j— dx (sur le contour C ),
J ày J J dx
et ces résultats étant égaux
/ dx dX^dy dy = / dj[T' y) = °' C' Q" F' IK
D'après ce théorème même il n'existe pas une fonction f(x, y)
non uniforme dans D et dont les dérivées partielles seraient uni-
formes.
Mais considérons un domaine D qui n'est pas à contour simple.
Si je considère un point P(#, y) dont les coordonnées polaires
sont /■ et 0, on ne peut se refuser à admettre comme fonctions
de x, y les expressions
J'( x, y ) = r cos - ').
La première est finie dans D..., mais elle n'est pas uniforme,
.11', CORRESPONDANCE D'HERMITE ET DE STIELTJES.
si P décril le contour fermé PQRP, fx.v augmente de >-.
Cependant, comme les diverses déterminations de /i./.r) ne
diffèrenl que par des constantes, vous voyez que les dérivées
partielles ; • {- sont uniformes dans D.
1 dx ay
La fonction "... est une fonction non uniforme il une autre
nature, ... elle admel deux valeurs qui se distinguent par le signe
seulement, etc.
Du reste, si !«•-> analystes n'ont peut-être ]>a> fait beaucoup
attention à ces fonctions réelles de deux variables non uniformes,
mais donl les dérivées partielles peuvent être uniformes (cepen-
dant cela seulement dans un domaine D qui n est pas à contour
simple), les physiciens (M. Helmholtz) en étudiant 1»' rn.ouvem.en1
des liquides ont été amenés aussi à reconnaître 1 existence de ces
fonctions dans le cas de trois variables ■'■ v- s (').
\ oici la généralisation t\\i théorème de M. kronecker pour le
cas de l'espace.
Si une Innrtion /'(.r, _r, z) admet des dérivées
d£ of df
dx dy Oz
qui sont uniformes dans un domaine D et admettent encore des
dérivées finies i du second ordre de f). alors la fonction / elle-
même es1 nécessairement uniforme dans D.
| i Voir le Mémoire d'Helmholtz inséré au t. 55 du Journal <!<> Crelle.
LETTRE 167.
Pour préciser :
On du que /'est uniforme dans I) lorsque
I df(x, r, s) = o,
l'intégrale riant pris*1 sur une courbe fermée à l'intérieur de I).
IVIais ce théorème n'est vrai que si l'on suppose «pu- le domaine I )
est clc telle nature que chaque courbe fermée tracée dans I) peut,
par un changement continu el sans sortir du domaine I). se ré-
duire à un cercle infiniment petit. Cela a lieu, par exemple, si D
est l'intérieur d'une sphère ou encore l'espace compris entre deux
sphères concentriques.
Mais cela n'a plus lieu si D esl l'espace à l'intérieur d'un tore.
Dans un tel cas, M. Helmholtz a remarqué l'existence de fonc-
tions non uniformes, mais dont les déterminations ne diffèrenl
que par des constantes, en sorte que les dérivées partielles sont
uniformes, tout à fait comme la fonction f(x, y) = 9 de tout a
l'heure.
Du reste, le même exemple peut servir; en posant
f{x, y, z) = 8,
8 étant la longitude du point (x,y, z), c'est-à-dire l'angle du plan
passant par Taxe du tore et du point (x,y, z) avec une de ses po-
sitions particulières.
11 est à remarquer que si Ion prenait la même fonction
dans le cas de l'espace compris entre deux sphères, cette fonction
ne satisfait plus aux conditions, car l'axe qui sert à déterminer les
longitudes passe alors en partie par le domaine D et en ces points 9
devient indéterminé y, ce qui n'arrive pas pour le tore. El, en effet,
comme je l'ai dit pour l'espace compris entre deux sphères con-
,-. ,• ., T • < 1 df df Ôf ■ <
cenlnoiues, le théorème a lieu et l unilormile de -;— , -f- , — entraîne
1 ' il./- Oy az
l'uniformité de f.
y et les dérivées partielles cessent d'être finies et con-
tinues.
J'ai pu perfectionner beaucoup ma méthode d'approximation de
336 CORRESPONDANCE D HERJMITE ET DE STIKLTJES.
l'intégrale
/ ;
»(«)
dx(l).
En effet, ma première méthode conduit à une expression
approchée avec Le tenue complémentaire
m*-m\. . .m-., Ja cp(a?)
fn(x) = /( x ) [ m - <p(a?)]2 [i "' i — <?< ./• ) |- . . . [ /«„_, - cp (a:)]2.
Je remarque que celle expression peul se mettre sous l<i forme
s*b e
R,, = / i— — (i -+- ./', D — ./ -, cp2 -H. . . -+- ./\, o" i- '/./'.
Dans ma nouvelle méthode, je considère directement celte ex-
pression qui est une forme quadratique de /,. .v2, ..., xn. Je
détermine xK vn parla condition que R„ soit minimum. En
posant
OR. „ = i — •' Vf — • ■ • — J n <?" :
les conditions sont
T /( x ) D)l n cp*- ' efcr ( * = i , -i n),
ou plus explicitement
i c„ — e, ./■ _..._c„ J?,»=0,
3) ( ' ' CA= f(x)yt<dx,
j ' -A
! C/j. ! -- c„ xx -+-. . .+ c2/,_! :r„ = o,
Le déterminant de ce système linéaire est positif et différent de
zéro, c'est en même temps le déterminant de la forme quadratique
définie et positive
/ f\ r \ œ ./■ ii ./■; — a^jcp — . . . — xnvfn— ' )2 </./■.
(') Ce passage se rapporte à la letnc de Stieltje? qui manque, signalée plus
liant. (.Xole des éditeurs.)
LETTRE 107,
Les Xi étiinl ainsi déterminés, on a
337
/ f(x)
cp(.r) T T
mais les termes avec xt: ...,xn disparaissent en vertu des rela-
tions (2) ; donc
*/(»).
3ïUn (/'■,
'/(*)
Soit donc
(4)
on aura
K„ ^ — (xtc0
t/.r H- .rj c0 -t- x-i Ci -+■ . . . -t- xn cn.
X h C/j_j j,
Ja <P<»
les équations (3) et (4) donnent
K„ =
o c,
c0 c
ct c
C-2/(-l
ce sera l'expression approchée par défaut. On doit avoir évi-
demment K„>-K„_,; et, en effet, en considérant la différence
K„ — K„_,, on arrive (à l'aide des relations entre les mineurs d'un
déterminant symétrique) à mettre K„ sous la forme
K„ =
k\ Aj_
b7+ b7^
A?,
C0 Cj
cn-
1
c„
Ctn-
-l
B„ =
B«-i B„
c2 c3
Soit
= i+*iip + A-2 =p2 ■4-. • • ■+■ *« T", R = /
S* «te,
338 CORRESPONDANCE u'ilERMITE ET DE STIELTJES.
les coefficients kK k„ étant arbitraires, on a
f l^Ù , § - DR „ ,2 ,/.r = R + R„ - 2 /* 4^ 3H „ S cl.r.
mais
/' ■' - - DR S rfr = / ^\ DR „ i i - / , n -t- . . . - k, cp" ) rf.r
donc
J„ ?(ar)
R - R„ = f l
(a?)
(S — OR „)2 dx> o,
montrant que R„ est réellement minimum.
D'après cela, si je considère
R„ = f li^l (l + Xl9 -+-... -h XaO^dx,
et
r1' t
R«-i= / ^y— .O^jrf +... + y„-ri"-1ï2dx,
il esl clair que
R«< /" 4^('+/i? + ---+/»-)f"1)!('-C?)!^)
C étant une constante quelconque. Mais si m et M sont les valeurs
extrêmes de m, et si je prends
G =
.M -f- m
le facteur (i — Cs)2 ne varie qu'entre o et ( — -J , dom
_ / M — m \ - _,
R«< ^ R,_iï
\ _>i -f- /«/
de même
M - m y Jfl <p(a?)
donc
limR„= o.
LETTRE 107. 33g
Un cas particulier intéressant est
?.( » — z — x,
z constante. Alors vous voyez direclemenl par les conditions (2)
que Nl,i ne diffère que par un facteur constant du dénomina-
teur ©„(#) de la fraction continue pour
/ — </«.
,/ X — u
donc
y./ ( z »
puisque, pour z — x = o, 011,, doit se réduire à l'unité. D'autre
part, la valeur de KH est
,/ <M a- ) ./ o (a:)
c est-à-dire
®tl\Z)J„ z — x
c'est-à-dire que Krt est simplement la réduite d'ordre n de la frac-
tion continue de
7w
f tel ix.
J z X
On voit par là que le terme complémentaire de la réduite
d'ordre n est Rw minimum de
/ - — : — [1-+- xx(z — x)-h...-+- x„(z — x)"]- dx.
Ja z — x
Tant (jue les limites a et b sont finies, la démonstration de
limR/i = o
s'applique et montre que la fraction continue est convergente vers
la valeur de l'intégrale. Le résultat relatif au terme complémen-
taire de la fraction continue est nouveau peut-être, il l'est en tout
cas pour moi.
3'|0 CORRESPONDANCE DllEinilTE ET DE STIELTJES.
Mais vous voyez qu il sérail intéressanl de prouver limR„= o,
même dans 1«' cas que . = o. < )n prouverait alors en même temps
la convergence il*1 la fraction continue dans le cas où la liniile
b = y~.. G'esl ce que, jusqu à présent, on n'a pu faire, en général,
quoique pour certains cas particuliers comme /(a;) = .rA ■ e~x la
convergence peut -<• démontrer par d'autres considérations.
\\;mi trouvé par ce <pii précède un nouveau point de vue . . je
\cii\ un peu réfléchir là-dessus avant de publier ces recherches
que je mettrai volontiers à la disposition de M. Camille Jordan.
J'espère que votre aversion pour l'Analyse passera. Sans doute
nu tel étal d'esprit, qui ne m'esl pas inconnu, est ordinairement le
résultai d'une Lrop grande fatigue.
Je vous renouvelle, cher Monsieur, l'expression de mes senti-
ments tout dévoués.
168. — HERMITE A STIELTJES.
Paris, i'i février 1889.
Moin cher Ami,
\ otre nouveau point de vue pour obtenir l'approximation de
rb f(x\
l'intégrale / •-.- dx constitue un très heureux et très grand
* ii . \
progrè>. votre analyse devient ainsi plus lumineuse et je ne puis
assez vous dire avec quel plaisir j'ai vu l'application que vous
faites au cas de 'j>(ûc) = z — ./\ en établissant d'emblée que
DÏL„= ^ ., '^n{x) étant le dénominateur de la />>""« réduite du
<P n ( z )
développement de l'intégrale en fraction continue. Personne, cer-
tainement, n'a obtenu ce résultat extrêmement remarquable, que
le terme complémentaire de cette réduite est le minimum de
l'expression
f ^^"[n-afi (* — *)-+-•■ .+-**<* — x)n]*dx;
* I
je ne sache pas non plus qu'on ait démontré que la limite soit
nulle pour n infini. Quand vous aurez rédigé le Mémoire que vous
LETTRE K)H. 34l
préparez sur celle question, ne pensez-vous p;is eu détacher cette
conclusion dans une Note pour les Comptes rendus.'
Grâce à vous, les ténèbres de mon <s| » ti 1 commencenl à se
dissiper au su j «I des fonctions de deux variables ei de la façon
dont il faut les définir en tant qu'uniformes, lorsqu'on envisage
seulement les valeurs réelles. Les exemples que vous me donne/,
en considérant l'angle polaire 0, el la quantité /cos-, comme
dépendanl de x el y sont extrêmement lumineux, el nous me
faites voir aussi très clairement comment l;i question se complique
lorsqu'on considère certains domaines à l'égard des fonctions de
trois variables.
En vous piiant de me rectifier si je fais erreur, je vous deman-
derai encore si l'on peut dire que la condition nécessaire el suffi-
sante pour que f{ x, y) soit uniforme, dans un domaine D à contour
simple, c'est que la fonction reprenne la même valeur lorsque les
variables étant supposées représenter les coordonnées d'un point
de D, ce point revient à sa position initiale après avoir décrit un
contour fermé quelconque contenu à l'intérieur de D. Puis, peut-on
en conclure que cette condition, remplie à l'égard de f(x,y), est
remplie nécessairement pour toutes les dérivées partielles? Ou
bien doit-on prendre pour définition d'une fonction uniforme
l'équation / df(x,y) = o pour un contour fermé G à l'intérieur
de D, en admettant que la fonction soit continue et finie à l'inté-
rieur de D?
C'est ce que vous faites à l'égard des fonctions de trois variables,
mais je resterai dans le cas de deux variables seulement, et alors
il me semble bien qu'une fonction doit être considérée comme
uniforme alors même qu'on admettrait, à l'intérieur de D, des
lignes pour tous les points desquelles f(x, y) serait infinie, et des
points isolés qui lui feraient prendre une valeur indéterminée -•
La circonstance qu'il existe de telles lignes et de tels points n'em-
pêche aucunement que la fonction reprenne la même valeur
lorsque les variables décrivent des contours fermés qui les ren-
contrent ou les comprennent, mais il faut absolument renoncer à
l'équation / df(x, y) = o dans ce cas.
I •
CORRESPONDANCE d'heRHITE ET DE STIRLTJES.
J'espère que vous comprenez bien que j'incline à trouver pré-
férable une définition qui s'applique au quotienl de deux fonctions
entières; en tout cas, je serais heureux de recevoir vos avi> sur un
sujel de si grande importance el auquel je n'ai, pour ainsi dire,
jamais songé jusqu'ici.
En vous renouvelant, mon cher ami, l'assurance de mes
meilleurs senl iments.
169
STIELTJES i HERMITE
Cher Mowsiei r,
Toulouse, iii février i^i|.
Il me semble qu'il existe peut-être un léger malentendu entre
nous concernanl la définition de l'uniformité d'une fonction réelle
de deux variables.
Dans les conditions où Ton se place de l'existence | en général i
des dérivées partielles, la valeur de
fd/(x, . i,
(jcay3)
étendue le long d'une courbe VIS. ne peut être que
el par là il est clair de due que
il fi ./.r i = o,
f-
sur mi contour fermé C, ou bien dire que /'(../■, i ) revient à sa
valeur initiale si I on parcourt la courbe C es! exactemenl la même
(diose, el cela indépendamment des singularités qui peuvent exister
ou non à l'intérieur du contour.
El il semble aussi clair que si f\ ., ■. yj e>i uniforme dans un
Certain domaine, cela entraîne nécessairement l'uniformité des
dérivées partielles. Mais, si Ton voulail insister sur une explication
là-dessus, je crois que l'on pourrait raisonner ainsi qu'il suit : Je
considère /i x, y ) et • . ' ' •
LETTRE 169.
3/i3
Faisons parcourir au poinl (#, y) la courbe ABCDA dont la
partie DAB est recti ligne et parallèle à Taxe des \.
On part de A avec des valeurs finies de
au point A (a?0, y0)
f(œ,y) -- I'
et de
df(x,y)
il.r
= Q.
Or la Videur de Q est
q = iim /^»-+-^ro)-/^», n)
A proprement parler, il faudrait prendre h positif, mais, d'après
l'existence même d'une dérivée partielle, on doit obtenir la même
valeur de Q, même en prenant h négatif.
Or, si l'on a parcouru le contour ABCDA, on revient encore
en A avec la même valeur P d'après l'hypothèse de l'uniformité.
Si donc on applique maintenant de nouveau la définition de la
dérivée partielle pour savoir ce qu'est devenue cette dérivée, on
obtient encore
f(xn-h/>, y^—fixo, "Ko)
Iim ' : ; — : >
identique avec la définition de Q. Sommairement, comme dans
l'hypothèse de l'uniformité, f(x, y) n'a qu'une seule branche, il
en est de même de toutes ses dérivées partielles, par le fait même
qu'une fonction bien déterminée n'admet pas plusieurs dérivées,
ou autrement : la définition des dérivées ne laisse pas place à une
ambiguïté.
Ainsi, il peut très bien arriver qu'une fonction soit uniforme et
admette cependant des singularités. C'est ce qui arrive, par
344 CORRESPONDANCE d'BERMITE ET DE STIEI.TJKS.
exemple, à l'origine (x = o, y =. o) pour les dérivées partielles de
cette fonction
j\.v,y) = e, par exemple *_ .
j"
Ces dérivées son! uniformes, mais discontinues à l'origine....
Ces exemples montrent que le théorème de M. Kronecker u'esl
pas une banalité.
Je vous avouerai que je n'ai d'abord rien compris au premier
passage où M. kronecker énonce son théorème. En effet, l'essence
du théorème es) d'affirmer l'uniformité de la fonction comme
conséquence de l'uniformité de ses dérivées partielles (sous cer-
taines conditions restrictives). Or, par inadvertance. M. Kro-
uecker a d'abord énoncé son théorème en comprenant, parmi les
conditions à imposer à /Y ./-,)-) V uniformité de cette fonction!!
Kl comme il esl très succinct, je me suis inutilement efforcé à
pénétrer dans le vrai sens de ces quelques lignes. C'est seulement
après la lecture de sa seconde Noir i Berliner Monatsb., 1 885,
p. 780) que j ai compris son idée. Il y redresse aussi l'inadvertance
qui s'étaii glissée dans son premier énoncé de 1880.
Il n'en reste pas moins vrai qu'on doit appliquer avec beaucoup
de circonspection certains théorèmes généraux sur les fonctions
de deux variables. J'en ai rencontré cet exemple. Soil
Vous verrez directement que sur le cercle de rayon 1 autour de
l'origine f(z) est purement imaginaire :
f(eiï) =— ùans-e.
Si donc je considère la partie réelle de f\ z
(l—.r ■,-— V-
j ai là nue fonction qui satisfait à
dx*- ~*~ ~dy- = °
et (jui s'annule sur le cercle C. Or, d'après un théorème général,
LBTTRE 169. '■ i 5
une ici le lonction cp ne |»ciil s'annuler sur un cercle (ou contour
fermé (|uelconque) sans s'annuler aussi à l'intérieur du contour.
Le théorème semble ici en défaut, mais la raison esl celle-ci : La
fbnelion <p(x,y) présente, au point ./ i} jy = o sur le cercle
une indétermination et l'on ne peut pas dire, à proprement parler,
qu'elle s'y annule. On peul s'approcher de ce point de telle façon
que cp tende vers une limite quelconque. Mais vous voyez qu'il
suffit de bien peu de chose pour mettre le théorème hors d'usage.
Il en esl de même pour le théorème de Gauss, que si sur une sur-
face fermée dans l'espace on a
?0>.r, s) = const.,
la fonction cp satisfaisant à l'équation de Laplace
à- cp d- cp à2 cp
ôx'1 dy'1 dz-
on a aussi, à l'intérieur de celte surlace,
cp = const.
Une simple indétermination sur la surface suffit pour détruire le
théorème.
Permettez-moi de vous demander, en terminant, un renseigne-
ment. Dans le Journal de Crellc, t. 40, p. 296, vous vous
exprimez ainsi :
« Ce qui précède indique suffisamment une infinité d'autres
conséquences analogues, qui toutes viennent dépendre de la
recherche difficile, d'une limite précise du minimum d'une forme
définie quelconque. Là-dessus je ne puis former qu'une conjecture.
Mes premières recherches, dans le cas d'une forme à n variables
de déterminant D, m'avaient donné la limite (4) [/& ', je suis
porté à présumer, mais sans pouvoir le démontrer, que le coeffi-
n — \
cient numérique ( 4 ) doit être remplacé par • »
Je demande : a-t-on été plus loin depuis et votre limite pré-
sumée — "' < l'a-t-on déjà établie rigoureusement?
V n -+- 1
3'|6 CORRESPONDANCE d'hERHITE ET DE STIKLTJF.S.
Dernièrement, j avais à considérer une question où il m'impor-
tait d'avoir la limite exacte, aussi petite que possible. J'ai cherché
mi peu partout, mais je n ai pas trouvé. Vous pourrez certaine-
ment me «lire ce qui en e>l .
\ euillez bien accepter, cher Monsieur, la nouvelle assurance de
mon entier dévouement.
P. S. — Je vous enverrai ^ms peu. d'après votre permission,
une Note pour les Comptes rendus sur la fraction continue
pour / / / .
170. — H ERMITE A STIELTJES.
Paris, ->i février 1889.
\ln\ i 111 1: \ m l .
Je u ai pas chez moi la collection des Wathematische tnnalen,
ce qui m'empêche de répondre avec une entière précision à votre
demande, je dois me borner à vous renvoyer aux Tables de
matières où vous trouverez, l'indication d'articles de M. Korkine
et de M. Zolotareff sur la recherche d'une limite précise du mini-
mum d'une forme quadratique définie. On a établi, je crois me le
rappeler, que ma limite présumée est inexacte, et l'on a
yn -+- 1
démontré 1 MM. Korkine et Zolotareff) que, pour une forme réduite
à quatre indéterminées, le produit A A, A., \:t des coefficients des
carrés satisfait à la condition A A, A2A3 ^4D. A cette occasion, j'ai
été en correspondance avec les auteurs, et je leur ai communiqué
une nouvelle méthode pour établir, à l'égard des formes ternaires,
la condition \ \, \ 2 2D, mais leurs principes me semblent plus
féconds et d'une plus grande portée que le mien.
Je vais réfléchir sur les choses excellentes de votre lettre concer-
nant l'uniformité des fonctions de deux variables; le cas d'excep-
tion offert par 's>(x, y) = , ' — mérite extrêmement d'être
1 • ■ (1 -+■ x )- -t- y-
signalé; j'en parlerai à Picard, à moins que vous ne désiriez vous
réserver la remarque que vous avez faite.
En vous renouvelant, mon cher ami, l'assurance de mon affec-
tion bien dévouée.
LETTRE 171. 3 17
171. — HERMITE A STIELTJES.
Paris, 3 mars 1889.
Moin cher Ami,
En revenant d'un bien triste voyage en Lorraine, où j';ii été
appelé par la morl d'un de mes parents, j'ai trouvé, dans le dernier
cahier du .Journal de M. Jordan, voire beau travail sur le déve-
loppement de
[R2 — 2 Rr cosu cos«'cos(.r — ce') -h sin u sin u' s\n(y — y ) -+- /,2]-i
que je lis avec le plus grand intérêt. Pour que vous n'en doutiez
point, permettez-moi de vous dire comment j'abrégerais un peu la
recherche de la formule (16), au moyen de l'identité élémentaire
x -+- y x — y
cos.r -+- cosy = 1 cos — cos — .
On a d'abord
T-hy\* ^ „A''(^+7)
2 COS - : \ 2 ( 'I )„ - ,- COS
ou encore, en changeant /• en n — 2/*,
[ x -+- y\n v' - s ( " ~ 2 /') (x -+- y )
■2 cos — — ^- ) => 2(n),. cos— — — — <
puis seinblablement
x — y\" V1 1 -, (n — is)(x — y)
2 cos — I = > 2( /£).,■ cos - — '—L'
Soit, pour un moment, a = /?. — 2/', b = n — 2s, il viendra en
multipliant
/ V^ , . , . a(x-{-r) b( x — y )
2" (cos x -4- cosjk)" = > !\(n)r(n)s cos — cos —
Cela étant, je change y eu — r, et j'ajoute membre à membre en
divisant par 2. On trouve facilement
a ( x -+- y ) 6 ( .7- — r ) « ( .r — y ) b (x -4- y)
COS : COS ■ : (- dis — ^— i COS :
2 2 2 2
a -h b a — b a — b a ~\- b
= cos — — x cos — — 7 + cos x cos — -y-
348 CORRESPONDANCE D'HERMITE ET DE STIELTJES.
< >ii ,i ensuite
de sorte qu'il vient, pour le développement cherché,
•>" i cosa? -+- eus y i" S?.(« \,.( n )s [ cos( n — r — s)x cos(.s — r \y
-t- cos(/i — /• — .s- )y cos(s — f)x\
où les entiers r el s parcourenl la série 0.1.2.... jusqu'à l'entier
contenu dans
Je ne puis assez vous «lire combien j'ai vu avec plaisir l'extrême
élégance et la simplicité de votre analyse, dans une recherché
difficile el profonde, qui conduit si aisément à un résultat impor-
tant et très caché.
.1 ai peu travaillé pendant ces dernières semaines. M'"e Hermite
ayanl été malade d'une bronchite quia donné quelque inquiétude.
mais dont elle est maintenant guérie, et je pense pouvoir me
remettre à l'oeuf re.
En nous priant de m'autoriser à annoncer à M. Jordan les
recherches que vous m'avez communiquées sur les fractions
continues, auxquelles j'attache un grand prix, je vous renou-
velle, mon cher ami, l'assurance de mes sentiments affectueux
el bien dévoués.
172. — STIELTJES A HERMITE.
Toulouse, 6 mars [889.
Cher Monsieur,
Je vous remercie vivement pour votre bonne lettre; veuillez
bien être assuré de la part que je prends au deuil qui vient de
nous frapper. Je vous prie aussi de vouloir bien me rappeler au
souvenir de Madame Hermite. Votre méthode d'établir le déve-
loppement de 2"(cos.z + cosjk)" est certainement ce qu'il y a de
plus simple. Je me rappelle que M. Tisserand, dans un de ses
LETTRE 172. 3^9
Mémoires, se serl aussi de la décomposition
x -t- y -T — Y
cos a" -+- cos y = •>. cos — cos — • ■ • >
mais sa méthode est beaucoup moins simple parce qu'il n'a [tas
eu l'idée heureuse de changer y en — y et de prendre la demi
somme. Mais cette transformation
air -h y) bix — y) air — y) bix -t- y)
cos — — cos — — — + cos — ^— cos *-!-
2 'l -2. -1
( a -f- b)x (a — b)y (a — b)x < <i ■- h \y
= cos - — — cos h- cos — <•<>- "i-
1 ■>. i. 1
est jolie et un peu cachée.
Je pense toujours aux fractions continues. Soit f\ u) une fonc-
tion qui ne devient pas négative et telle que
c/c= ! ukf{u) du (/i = o, 1, •?,, 3, ... 1,
ail une valeur finie. Alors pour x > o
( I ) / J <5T M = — - -+- . . . ± ZlZ I
J x -+- u x r2 .'•>< J .t"
11" /'( u ) ,
du.
( X -+- u
On a
c0 ^ c, " " C„ ^ Cll+i
et ce rapport -^ croît au delà de toute limite. La série (1) est
donc divergente, si l'on voulait la continuer indéfiniment; ce-
pendant. . . elle permet de calculer l'intégrale
fxf'( u ) du
avec une certaine approximation qui dépend de la valeur de x.
Mais je transforme la série
£0 _ £i_ Cs_ _
x x"- r*
35o CORRESPONDANCE D II ERMITE ET DE STIELTJBS.
en fraction continue
c
'
"\
i —
h.
alors tous les at-, 6/ sont positifs.
Les réduites d'ordre impair diminuent, une telle réduite est
toujours supérieure à I.
Les réduites d'ordre pair vont en croissant, une telle réduite est
toujours inférieure à I .
Donc les réduites d'ordre impair tendent vers une limite A, les
réduites d'ordre pair vers une limite B et
La fraction continue est convergente seulement lorsque
A= I = B
i même si elle n'est pas convergente elle permet de calculer I avec
une certaine approximation comme la série divergente ).
Soit Kn le minimum de
/ f(u)(i ■+- X\ a -+- x^u-^ . • ■ -+- xn «")2 ^u-
alors
K,< R2<R3<...,
donc
lim R„ = X. n = -x,
et A est positif ou nul.
« Pour que la fraction continue (2) soit convergente il faut et
il suffit qu'on ait
X = o. »
Dans le cas
/( u ) — a"-1 e~b'\
on peut calculer facilement
_ T ( a ) 1 . 2 . 3 . . . n
ba (a + i)(a + 2)...(a + n)'
LETTRE 172. 35 1
donc, dans ce ( :as
X =o et fraction continue; <<>>n<r t:rntc .
ainsi pour b = i
/' * u"- ' e~u , l'i c/ i
/ au =
pour a = i c'est le résultat de Laguerre dans le Bulletin de la
Société Mathématique de France. Mais Laguerre a considéré
seulement les réduites d'ordre pair qui donnent des limites infé-
rieures.
K étant égal à o clans le cas f{u) = ua~ie~bu, il est clair qu'on
aura encore ~k = o dans le cas
f(u)= ua-le-b" v(u),
pourvu que <f(u) reste inférieure à un nombre fixe, et la fraction
continue est encore convergente.
Mais la question difficile qui m'occupe encore est celle-ci : n'a-
t-on pas toujours "k= o?
J'incline à le croire en ce moment et je chercherai à établir ce
point. Voici encore un résultat
log r(a?) = ( x ) logrr — x H — \ogiv. -\- i(x),
J(a?)= — — -
1 . '2 . X 5 . 4 . Xe
On peut développer S(x) en fraction continue convergente
ai = i:r2' j(*) = a-l
a, = i : 3o, x H a*
- o . ^3
a3=iâ:iio, x H
a4=i95:37i, * + ?t__
a3 = ^ 999 : il 737, x "*" x-+-.m
, lésa, tous positifs
CORRESPONDANCE DHKKMI 1 i: ET DE STIELTJES.
ei celle fraction continue remplace avec grand avantage la série
de Stirling. Pour # i, J(i) = 0,081061.
La série. La fraction continue.
Val. app. Corr. Val. app. Corr.
o,o83 333 — o ,002 27 x o,o83 3 33 — 0,002 272-,
n.iiSoiil) + o,ooo 101 o,o8o645 0,000416,
O,o8l M'.t 0,000288 0,o8l I71 O,O0O II'»..
0,080 754+0,000 307 0,o8lOl(i 0,000 045,
0,081 o8l —O,000O2O.
Si une fraction continue telle que (2) où tous les a/, bt sont po-
sitifs est convergente pour x = p >■ o, alors elle est toujours con-
vergente tant <|ue ./' • o. Mais je dois réfléchir encore beaucoup
sur la question difficile que j'ai indiquée tout à l'heure.
A dire tout dévoué.
173. — STIELTJES A H ERMITE.
Toulouse, le i3 mars ii
Cher Mowsiei n,
En développant la série divergente
B, B2 B3
J(x)
1 .'i.x 3.4-«"3 5.G../';
en fraction continue convergente
J<>-)=
at = 1 : 1*2,
a-2 — 1 '. >o,
az = 53 : 210.
<Z; = 195 : 371 ,
ct5 = 22 999 : 2>. 737.
a 3
la loi des coefficients <■*,, r/2, . . . semble extrêmement compliquée.
Mais j'ai fait la remarque que la théorie de la fonction T fournit
aussi des exemples de développements en fraction continue de ce
genre, où la loi des coefficients est extrêmement simple. Soit
<K«) = 3s[iogr(a)],
LETTRE 173.
ci considérons les expressions
*=+(-rj-'KT)-'^
*-.-.[t(-±2)_t(--»)_to,
Les développements divergents sont
35 î
1Ï8"»
i i il) 272 7936
ju-1-.-L + i
lll) = - -
(( a* a" a
( les coefficients
1, 1, ">, 61, 1 835.
dans le développement de X, sont ceux que l'on rencontre dans I 1
1 > Oi , 108^
sec;r = 1 H : ,r- -4- — t a?» -+- — ; a?6 h 777- ar8 ....
•2 ! | ! (> !
8!
<i les coefficients
sont ceux de la série
tang^r = se ^
1 , 2, ili, 272, 79'3(),
l6 '>.72 . ~q36
/■•> _1_ — 1 -TM _(_ ' '
5 ! 7 ! 9 !
En développant en fraction continue, on obtient les expressions
extrêmement simples (et convergentes")
tt.li)
3*
m, =
5.C»
.;.', CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
Il me semble forl probable que dans le développement en frac-
tion continue de J(x) on a aussi, comme dans les fractions con-
tinues que je \ iens de décrire,
,. «71 , / I "M
uni — = consl. ! .= — — - 1 i a = -x. .
/i- \ îb /
( )ii peut directement constater la convergence <!<•-; fractions
continues -V et ill> à l'aide de ce théorème (dû à Stern et à Seidel).
{_ ne fraction continue
i
• ■
où les y. sont >- o, est convergente lorsque la série
:*! — a2-4- a3— a; — . . . ,
c>t divergente. Soit, en effet, Prt : 0« la niea,e réduite, on a
Qi = *i,
Q2 = a,22-i,
Qb = ^«Qrt-i -t- Q«-i]
donc
Ql<Q3<Qô<Q7<.---
Qi<Q*<Qi< <*•<•...
Or. on voit facilement que
Q2«-i> ai-H «3H-...-S- «2»-i,
(a)
( Qs*> ai(a2— av-, . . . - a,,, I
car <)j«_i se compose des termes oc,, a3, ..., a2w_, et d'autres
encore. De même, pour Q2«. Or, la fraction continue est
Q* Q, QtQî QïQs '" Q«-iQ«
mais si la série
*i -+- a2 -i- a3 -T- • • •
est divergente, il est clair d'après (a) que l'une au moins des quan-
LETTRE 173. y>->
tités <^2//_i Qi/,, ... croit indéfiniment et l'autre croît aussi.
Donc la convergence est manifeste. \u contraire, >i la série
ai H- a24- %i-h . . .
éiiiiL convergente, le produit (i -f- at)(i -f- a2)(i H- a3). .. le sérail
aussi et, à cause de
Q«< (i -+- a, )( i -h a2 !...(i -i- %a ),
on aurait
J i m 02,i — ! = A, IîmQg«= B,
A et B étant des nombres finis. Il est clair alors <|iic les limites <l<-
* 2« . . 'Itl-l
t? — et de
Q2« Q2«-i
diffèrent entre elles (eux), la différence «si — — .
x ' A Ij
A l'aide de ee théorème on reconnaît sans peine la convergence
des fractions continues (JU) et (i)!>).
Veuillez bien agréer, cher Monsieur, la nouvelle assurance Ac
mon entier dévouement.
P. S. — On peut écrire aussi
*-î [♦(Sf5)-*(£T1)]'
— ,_ï[t(--i)_t(--)],
a = i, '}(i)= — G, 'M - j = — G — 2 log?.,
eAo = 10g2,
log?. =
iG
la nleme réduite de la fraction continue pour log -2 est
[ii i ,
1 r - — 7 -t- . . . ± - ( ! )
•2 3 4 II
356 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
174. — HERMITE 1 STIELTJES.
Paris, i '( mars i ss..
Mon CHER \mi.
J'avais fait grise mine au développement de
Bi B2 .
•I {X ) = ! — -+-...,
i.2.a? > . | . a?»
en fraction continue, à cause des nombres énormes qui figurent
dans ai, a2, a3 mais vos nouveaux résultats m'enchantent. 11
me semble que 1 on a
C* . • , i / -x tana i '■'■
-„l, = / =i'ci.r(^a-'>/r et iJÎ) = - / 2 — e~ax dx\
«■ o o
ne doit-on pas supposer a __. i dans les fractions continues, pour
qu'elles convergent?
< )ù et quand publierez-vous [analyse qui nous a donné ces for-
mules si intéressantes et si nouvelles?
On m'a demandé un article pour les Mémoires de Bologne et
j'ai eu l'idée de le composer avec des applications de la méthode
iii i e • ii " ' ( " + b )"
de Laplace, a la lonction l\(.r) = \- ■ z h.-.; aux
coefficients du développement suivant les puissances de ./■. de
:-!)./•, de (-), (.r) et Ht (#), en dernier lieu à l'expression que
Laplace a traitée lui-même
e' T •■ -, '< ' — 2 '' ' ' ' '
— ■■ — ; l' -^ «
.( / — 1)2'-' [ l
— \)(i— î v'-'
pour avoir l'occasion d'abréger et de simplifier un peu sa mer-
veilleuse analyse. A l'égard de l\<./-\ je donne votre formule
/ in- ■Kin-\
. _, cos ( .rare tari"- — -. . —
b R ( r — i ) x-« b b )
, ,v
b
comme vérification, en disant qu'elle a été obtenue sous une forme
peu différente par M. Lipschitz et M. Lerch; mais j'aimerais bien
LETTRE 17V. 35j
que \ous ine disiez s'il ne serait poinl j u si <• de nous citer, <*t
disant (juc vous me L'avez communiquée.
Je vérifie aussi l'expression asymptotique du coefficient de xza+i ,
dans le développemenl de su./-, 11m esl ,-',,.,...._, , > par celle re-
11 1 lxf k 'yn+i '
marque bien facile.
Les pôles de sn.r étanl p = 2#K+ (26 -f- i)/K/, Le théorème
de M. Mittag-Leffler donne
K su ./• = G (x) -+-7 ( — 1 ia ( 1 1 ■ ) = A
^j \./— y> p p*J
OÙ il est aisé de voir que G"(jp) = o. Effectivement les dérivées
secondes de deux membres sont des fonctions doublement pério-
diques, donc G"(#) est une constante, et cette constante esl aéces-
sairemeul zéro, ces dérivées étant des fonctions impaires.
Celte relation donne, pour le coefficient de x-"+{ , l'expression
'- , la somme se rapportant à tous les entiers a et b. Or, il
y a deux pôles p = iK! et p = — i¥L' dont les modules sont égaux
et moindres que ceux des autres pôles, de sorte que, pour n très
1 -Il • 2( — 1)« - , ,
grand, on a sensiblement, puisque a =1 , .,,2/t+1 ; pour la valeur de
la somme A.
Mais tout moyen de vérification m'échappe pour H 1 (a:) et0,(x);
voici le calcul pour la première de ces fonctions.
La série
Ili(.r) = > 9, \J a11' cos — — (n = ï, o, 3, . . .),
^ * ■>. K
donne pour le coefficient de — 1— > l expression
' 1 . 1 . . . 2 ni l
1
(£)-;g-yp,
où les termes vont en croissant jusqu'à un maximum, pour dé-
croître ensuite indéfiniment. Je pose
f<n)=n*>» v'v"\
log/( n ) = 2 /n log « -K »
CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
puis
-un > nr.\\ im -.K
D/llog/(n)=— - .-_ el D*log/(n)=- — _ ^
l,i valeur de n qui donne le maximum •■>! donc
; /» k
ci | eu conclus
(î /// k "' — K'
-—ç^) —"h D*log/(/i) = — .
d'où
.1 \ ,inl ainsi
/4/nKV" -£t^!
/(» + ')= (ÎTk^j e_'"c '
l'expression asymptotique cherchée esl
a(— i i"1 / i m k\ "' . /7W i t. \ -'"
puis, plus simplemen I.
i.i... rm \wk') e '" y "k7 '
remplaçant 1.2...2//2 par sa valeur, je trouve enfin
/ e - \ >» / k
21 — I )"' -— i f — •
\ /n \\K J \ m ~ K
\ dus voyez que c'est assez simple, et surtout la racine m' rae.
11111 est, à fort peu près. - — ^— 7 ; il me reste à chercher si celte loi
1 l x 1 /;/ KK
de décroissement des coefficients s'accorde avec un théorème que
Poincaré a donné dans le Bulletin de la Société philomathiq lie.
Je ne puis assez, mon cher ami, vous remercier pour ce que vous
ni avez appris sur la convergence des fractions continues; j'ignorais
entièrement le théorème de Slern et Seidel qui est excellent et
m a fait le plus grand plaisir. En comptant que vous continuerez
de me faire connaître ce que vous découvrez chaque jour, je vous
renouvelle l'assurance de mou affection bien sincère el bien
dévouée.
LETTRE 175. 359
175. - STIELTJES A 11 ERMITE.
Toulouse, i5 mars i88f).
Cher Monsieur,
Après réflexion, je crois qu'il vaul mieux que mon nom ne smi
pas nommé à l'égard de cette formule
h lU.r — i)
-F(ïj-=I + ""
qui «si due, en vérité, à M. Lipscliitz. Celte formule montre de
la manière la plus simple que
.. ftR(j-i)
lim — - = 1 pour .r = x.
Mais voici une aulre formule qui met en évidence plutôt la.
différence K(x) — > T(-r + ') ou R(r) — jQ(x + 0
>- r^- = t- / 11* e-" du -+- - ar e~a
smd ea+llb bj 1
0
— i. I e~a(\/a*~+- b~*v?)X sin ( x arc tari£ 6»)
(a>o, 6 > o, ;r>o).
Elle se simplifie notablement dans le cas a = o,
(") 7' r~ = tTOt + i — 2 / -= (6M>rsin( -a- — 6« •
.— e"6 b / ^2"" — 1 V '>■ !
0 °
Il faut ici supposer toujours zr >> o ; pour x = o, il faut ajouter
au second membre - • La formule (I) est encore exacte pour x = o,
et cela explique, jusqu'à un certain point, pourquoi, dans (II), il
faut ajouter - lorsque x = o. En effet, en posant dans (I) x = or
le terme
-axe~a,
2
donne - e~a, ce qui devient - pour a = o. Mais si l'on pose d'abord
60 CORRESPONDANCE D'HERMITE ET DE STIELTJF.S.
<■/ = »). comme on l'a fait pour obtenir (II), ce terme -axe~"
disparaît complètement.
Ne comptez-vous pas traiter aussi dans votre Mémoire le cas des
développements de
1 1 ' o
( les cas semblent intéressants parce qu'on sait, a priori, que la
convergence a lieu tant que x rote inférieur à la plus petite des
deux quantités 2 k et i k et il e>t curieux de voir comment l'ana-
lyse opère ce choix entre k et k'. \ ous avez indiqué la solution
.le cette circonstance, qui peut paraître d'abord un peu singulière,
dans votre lettre à M. Konigsberger (C/el/e, t. 81, p. 222), mais
m' songez-vous point à établir les résultats que \011s y avez donnés?
Le- fractions continues que je vous ai communiquées pour les
fonctions
ç * e-„x r* a ,/u ., \ _
\e s _ e 1 / a
/' ex — e~x , /' au du 0. \
e~ax dx — / / \ = —
° V g s _ e i I a
2.3
je les donnerai dans le Mémoire cpie je prépare pour M. Jordan.
I \ considère, en général, la réduction en fraction continue de
) rii^idu= — £? — [Au)>o],
I a
<7i
/>S
i + -2i
et vous voyez bien qu'elles se rattachent à cette étude, f(u) étant
dans les deux cas
LETTRE 175. 36 I
(il y a encore à changer a en a2 et ;'< multiplier par a). C'esl aussi
on vertu d'un théorème général que je peux affirmer la conver-
gence de la fraction continue obtenue pour
C'est un exemple qui appartient au choix
/(in = u - log '
i — e-*nv"
mais, naturellement, on ne peut pas attendre que la loi des coei-
ficients de la fonction continue soit toujours simple. C'est précisé
ment en cherchant de tels exemples que j'ai trouvé ces résultats.
.!»■ remarque que la seconde fraction continue peut s'écrire
1
i
I
a -+-
i
2
i
>
i
i
- a -i- .
i
cl comme la série
a-\ — a -i- - a -\- - a -\-
1 i 4
est divergente, elle est convergente tant que a >■ o, la restric-
tion «^i serait inutile, il en est de même pour la première fraction
continue.
Mais vous voyez bien aussi que cette transformation
et
6i i385
16 9.7a 7936 35379*
a6 a~ «9 a11
donne implicitement une nouvelle manière de définir ces nombres
1 , 1 , 5, 61, ... et 1 , 2, 16, 272, . . . (nombres de Bernoulli).
MÔ2 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
\u>-<i. l'établissement de ces formules exige de nouvelles
recherches sur les nombres de Bernoulli qui me paraissent essen-
tiellement distinctes de tout ce qu'on a fait jusqu'à présent là-
dessus. Mais je suis occupé à simplifier mon analyse qui est encore
quelque peu informe, el je chercherai aussi s'il n'j a pas de
rapport avec les recherches antérieures sur ce sujet. La relation
découverte par Seidel il y a quelques années ne paraît pas être
liée à la réduction en fraction continue, mais j'ai lu que M. Stern
a généralisé les relations de Seidel, et il y a encore d'autres tra-
vaux là-dessus dont je dois prendre connaissance.
D'après les valeurs des fractions continues, on doit avoir
i 5 61
( a -r- i )3 ( a -+- i »5 ( a -t- i )7 (
16 -i-i 7936
a* <t~ a9
i38'>
ce <pii fournil le moyen d'exprimer les nombres eulériens i, i, 5,
6i, 1 385, ... par les nombres i, 2, 16, 2-2, ... (nombres de
Bernoulli, coefficients de la tangente) ou réciproquement. J'em-
ploie tous mes loisirs à travailler à mon Mémoire pour M. Jordan
et j'espère que dans quelques semaines je pourrai le lui remettre.
Veuillez bien agréer, cher monsieur, la nouvelle assurance de
mon entier dévouement.
176. — IIEIiUITE A STIELTJES.
Paris, 18 mars 1889.
Mon cher Ami.
Permettez-moi de recourir à votre bonne obligeance et vous
prier de m'indiquer quelle est, dans le Mémoire de M. Lipschitz,
la relation qui revient à celle que vous avez vous-même trouvée :
b R(t — 1) „ c . . . , •
— +-. = i-|-.,.. afin (iue ie puisse laire une citation bien
précise. Et puis, pour M. Lerch, dont le Mémoire traite le même
sujet, a-t-il obtenu également le même résultat? M. Lipschitz
doit faire une revendication de priorité, toute bienveillante,
M. Lerch n'a pas eu connaissance de son travail, s'étant confié à
LETTRE 17G. 363
un Mémoire de M. Hurlwilz sur une «| ucsl ion analogue cl dans
lequel les recherches de M. Lipschitz ne m1 trouvenl poinl men
tîonnées.
J'ai besoin de réfléchir sur vos équations (I) et (II) pour en
bien comprendre la signification; comme nous avez dû battre
l'estrade de tons côtés pour rencontrer cette formule!
J'avais songé de moi-même à ces nouveaux points de vue pour
l'élude des nombres de Bernoulli et d'Euler, auquel vous vous
trouvez amené; tout cela rendra extrêmement intéressant votre
prochain Mémoire sur les fractions continues, que j'étudierai avec
soin, vous pouvez y compter. Mais, en ce moment, je suis dans
le chagrin dune grande déception au sujet de la méthode <\r
Laplace. En posant
e,('.r) = X(-i)'»A,„.r2"'.
II, Cr ) = £(— i)"!By/,.r2'".
elle donne, de la manière la plus facile et la plus simple, les
valeurs asymptotiques
B„, =
ejK V" / K
jmKK'/ y unirR'
nKK'J y nnzK'
.4 ,n
d'où l'on lire, en supposant m très grand,
'"/t> — mn —
Viim= VA.,„.
Ces deux fonctions conduisent donc au même résultai pour la
loi de décroissemenl des coefficients que l'exponentielle
puisque
n ' e'" j' - w/n~~ e
C,„ = = : > doit )/l,m=— •
1.2... m ,„ + i m
Mais, à l'égard des fonctions semblables,
0(.ri = S(— i)'*A>mafl'*,
H(.r) = S(— l)"M!!v,t^2'"+I,
364 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
les nouveaux coefficients -l,„ ii ifi>m sonl représentés par des séries
.1 termes de signes alternatifs; ;i i n si on a, en désignant par a les
nombres impairs et par h les nombres pairs,
- m
(i)
1.2... 2'" ' '
( )r. la similitude d'expression des deux termes généraux b2mg
el <t-'"<i'l'~ a pour effet qu'on obtient la même valeur asymptotique
|)0ur La première série et pour la seconde. Par conséquent, -1„, a
une loi de décroissement plus rapide que Am et qu'on ne peut
obtenir par la méthode de Laplace qui ne donne qu'une première
approximation. Cette imperfection a bien été reconnue par Laplace
lui-même, dans La Mécanique céleste; il se tire d'affaire avec une
audace dangereuse dans Le cas qu'il traite, niais, pour le mien.
tout m'échappe et me manque, même l'audace, Quel dommage! La
relation
montre, comme vous voyez, <pie la loi de décroissement. pour le
carré (-)-(./•), peut se conclure de ce qui concerne St(x). mais je
dois renoncer faute de moyens, faute de ressources, à toute tenta-
tive pour parvenir à 0(.r) lui-même.
Je vous renouvelle l'assurance de mon affection bien dévouée.
177. — STIELTJES A H ERMITE.
Toulouse, 19 mars 1889.
Cher Monsieur,
\ (»us avez eu la grande bonté de me demander dernièrement
de détacher, du travail dont je m'occupe actuellement, une Note
pour les Comptes rendus.
J'espère que vous ne désapprouverez pas si. au lieu de cette
question du terme complémentaire d'un certain développement
en fraction continue, j'ai choisi un autre morceau traitant des
dérivées de sécz ci de tang.r.
LETTRE 177,
365
C'est parce que peut-être quelques géomètres, en lisant ma Note,
trouveront plus de plaisir à chercher une démonstration des rela-
tions que j'ai trouvées, qu'à lire plus lard cette démonstration dans
le Journal de M. Jordan. Suivant moi, celle démonstration esl
assez difficile à trouver.
Je vais indiquer comment les théorèmes sur les dérivées de sécz
et de langue permettent d'établir mes fractions continues.
En général, lorsqu'on pose
Oç nj «2
.r ./•■' ./■'■>
P\
7i
/':<
1 *
les p. <f s expriment ainsi
A„-,B„
Pn
V„H,
A0=B„ = i,
An =
a0 a y
«l «2
«n-l «il
'/,,
A 7+1 Ba.
A„ B„
B„ =
" i « î
K .> a -,
En supposant donc que les a/ soient les coefficients (\u déve-
loppement
v "»-T-"
^=«i \. > . . . ■>. n
o
ou du développement
V «„-r*-"+l
o
la difficulté se réduit à calculer les déterminants \„. B„. Mais ce
sont les déterminants des formes quadratiques
n — 1 n — I ii — ln — l
366 CORRESPONDANCE d'HERMITE ET DK ST1ELTJES.
et les valeurs des déterminants découlent immédiatement des
décompositions en carrés.
\in>i. dans le premier cas,
\„ — {a^bid. .)*= [o! 2! j !...(»« — a)!]*,
B„ = (rt,ô2c3...)2= [iï3! 5!...(a« - 1)!]*,
= [(an - «)!!«, ^ = [(2,1 - i)!]«, ^ = [<*»)!]»,
A/t_i B„_i \,j
/>„ = 1 in — 1 1-, y„ = 1 > 11 >2,
1 1 ') 61 1
./■ ,/-3 ./'5 ar1 1 :
Dans le second cas, on obtient de la même façon
\n = i!a!3!...(an — 1)!
|>„ = 1 ! 1 ! 3 !.. .1 ■> n) !
\
—-2- = 1 2 /i — 2 1 ! ( a « — 1 1 !
B„
(2/1 — 1): (an)!
B„-,
-^ =(an)!(art 4-i 1!
pn — ( 2/1 — 1)2/1, 7« = 2 «( 2 « -+- l),
I 2 16 272 _ 1
X X3 X5 X~ I . 2
2.3
Je crois que l'étude des dénominateurs des réduites de ces frac-
tions continues ne doit pas être négligée, niais, dans mon Mémoire,
ces fractions continues ne figurent qu'à titre d'exemples de la
théorie générale, et cette étude particulière m'entraînerait trop
loin et y serait peu à sa place.
Je ne sais, monsieur, comment je dois vous remercier el
LETTRE 177. 1<>7
m'excuser de la peine que je \ous cause; croyez bien à mon
dévoûment sincère (').
«0=1, / = sccj-[i |,
«1=1, /" = séca?[i -+- 2-z],
a2 = 5, fM = sécr [ 5 -+- 283 -4- >. j s! |,
«3= 6i, /t6) = sécr[6i -h 6623 + 1 3-20G- -4- 720 .z3 1,
<i4= 1 385, /<8)=séc.r[ [385 + 24 568.3-4-83 664«!+ 100800 3s-f- (o '<><>.
a^ = 5o 52 1 ,
^6=27702765, /' = séca? tanga?[i],
«7 = 1(J9 36o 98', /(3) = séca? tang./[5 -4-63],
«8= '9 5«)i 5i2 14 5, /'s) — séca: tang#[6i -4- 180 -3 -t- 120s2],
, /*l7) = séca? tan g. r[ 1 38 5 -4- 7 2663 -4- 10 920 32 -4- 5 o jo g1 J,
a6 — Gi2-4- 6622 + 1 32o2-h 7202, coef. de fr>,
a6= 5.1385 -t- 28.24 568 -+• 24.83 664, coef. de /<*> et de /«•>,
<z6 = 61 . 1 385 -4- 180.7 266 -1- 120. 10 920, coef. de /';,) et de f ■'■ ,
a-t= i3852-4- 7 2662+io9,to2-4-5oio2, coef. de/'7).
rt0=i, 'f = tanga-[i |,
«1 = 2, tp* = tanga-[2 -4- 2- |,
«2= 1 *3, cp'-*>= tanga-[ [6 + 40; -t- 24 -s2 J,
"3= 272, <p(6)= tang^-[272 -4- 1 232- -4- 1 680 32 -4- 720 33J,
«4= 7 986, 'iW= tanga-[7 936+ 56 3203+129 024-3s-4-i20 96033 — jo $203'' 1.
«5 = 353 792,
«6= 22 368 2JI), ©' =I-r- 3,
«-= 1 903 757 3 12, cp'" = 2 -4- 8 s -t- 6c2,
<f8 = 209 865 3/|2 976, Cû(5,= |6 -4- l365 -4- 24032+ I2023,
, c5<7)= 272 -t- 3 968 « -4- 12 0963* -t- i3 4 |0 33-t- 5 040 3*.
(,' ) Note des éditeurs. — La Note jointe à cette lettre a été communiquée
à l'Académie dans la séance du 25 mars 1889 (Comptes rendus, t. CVIII,
p. 60J-607 ).
Les valeurs numériques des coefficients des fW et tpW de cette Note n'ont pu
trouver place dans les Comptes rendus. Nous pensons utile de les reproduire à
la suite de celte lettre. Elles faisaient partie de la première rédaction de la Note
en question (voir lettre 179).
CORRESPONDANCE D'HRRMITE ET DE STIELTJES .
,,, , . i62 i. i- ï.a42, coef.deif • .
,,_ 1 . ,. ,- , 3.2. 1 2 ; 2, coef.de 9 -Ci de<f
ak s.8. i36 - j.6.a4o, coef. decp^et de-; •■
a. ..1 ;r>- , . - ',<>- - (i. r<<>-\ coef. de©'5',
,/8 = 1 .- 1, iii- ;."><"» ; > . . ; >. 129 0-24* h 7. 110960* -4- 9.40320-, coef. de e^8',
,/ ». . 3 968* -i- 4.120962 6- 13 44o2-4- 8.5oio2, coef.decpw,
a- [.272.7936 -3.1 23-2.56 3-20 5.i 680. i-ag 0-24-t-7.7-20.ru) 960, coef. deç>(6)eldes18
178. - STIELTJES A I1ERMITE.
Toulouse, if) niais i88<).
Cher Monsieur.
.a lormiiir
I y. 1 > 1
1 (t) j£d <■" ""
:>.n - ■> 11 -11 \
co? ( ./■ arc lang — -. — . — I
I,
6«
1 m - 1 1 1 > écrire
00 1- " ■: 'i r. 1 -
b *fr\ (a -+- nb)*-1 _ ^çi e
Y {x) Zà e"+"h ~ Zd / in~i' •'
d - * I ;
(b — m- i \J
0 — oc
M. Lipschitz pari de cette définition
Ve1ilTdv
_ [ A" -+■ (n - .r a \'
cl remplaçant i<-i
./• par o.
* • h>
a
par h-
7 par ./•.
LETTRE 178. 36g
vous voyez que le second membre de ( [3) esl
Or, L'équation (io) tic M. Lipschitz donne celte transformation
de la définition originelle de F
F(V, X, k,a)= =^r V c-»itl/w-cKA-Kr«(a7C)<T-l(n _(_ p )<*-!,
o
et en appliquant cette transformation à L'expression (y), on obtient
— -^— - "V e-(«+»« ( ,/ -h «6 )*- ' ,
r(a?) — ^
o
c'est-à-dire le premier membre de (jâ). Vous voyez que M. Lip-
schitz part t\u second membre de (a) ou (jii) cl retrouve le premier
membre. Nous avons parcouru le chemin en sens inverse.
M. Lerch pose d'abord (p. ip)
ne
diiw, X, s) = > ■
o
(je remplace sa lettre k par /?) et \\ suppose
o<(c<i, pailie imaginaire x > o,
ei
partie réelle .s- > i
(si mes notes sont exactes). J'avoue que cette condition relative
à s m'embarrasse cl me semble superflue, la supposition
x=p-hgi (q>0)
assurant déjà la convergence, quel que soil s. Aussi, pour retrouver
voire Ll(.z), je prendrai s négatif
ib \ ea v i a -+- nl> \r '
ex.. I a W \ e V
( o ) 9t ( T , ■ — , i — x \ — -, >
3jO CORRESPONDANCE D'HERJHITE ET DE STIELTJES.
Or, les équations (4) et (5) de M. Lerch sont
(ji 9C(w, x, s) = e-«tfr(i — s) . K(w, x, s) (p. 21),
-+■ «
■^^ g— inniiv
30
Donc, substituant
Dt' ( ir. .r. .v ) = — F ( I — 5 ) e-i"'U+2»vx) "V
g — ifïlUW
[2~/( .r -r- // ij'-s
— »
Appliquant ceci au premier membre de (o), on obtient
— ïnTli-
-Til I — » -i-l—l I ^—* /
— r(x)e
" 1 \
— ("i/iT.i — 6 )J
— »
ou bien, à cause de
1
1 > £
"/.»■
(-1)*
"+* * — 2 /; t: / T
-^( b — \>.n-i y
en égalant ceci au second membre de (S )
, i : = I ! ./• I />l-I >
^J ea+nb ^(b — imzi >•'
0 — "0
(<■ (|ui est la formule (,3).
Je partage votre chagrin de ce que la valeur asjmptotique de -l,„
dans
Q(x) = Z{ — i )'" -X/n.T-'"
se dérobe, tandis que celle de \w dans
ei(.r)= S(— l)»'AmX*'»
s'obtient sans difficulté. -Xm étant la différence de deux quantités
dont \m est la somme, et vu le degré d'approximation que donne
ordinairement la méthode de Laplace, je crois qu'il est probable
que le rapport -1>W : A,„ sera de l'ordre — ou, enfin, d'une puissance
LETTRE 178. 371
négative de m à exposant fini, en sorte que le rapport y/<Jl>OT
à y/A,« est sensiblement = 1 .
lime semble peu probable, en effet, qu'il y ait une compensa-
lion plus complète dans les deux parties de A>,n. Cependant, il faut
avouer que cela n'est qu'une conjecture toujours incertaine, et si
j'avais un peu plus de loisir, je serais beaucoup tenté de consacrer
quelques efforts pour trouver la vraie valeur asjmptotique de ^m.
Mais ce sera difficile, je crois, et, pour moi, il est absolument
inutile de m'occuper d'une question de ce genre si je n'ai pas le
temps nécessaire. Je ne réussis qu'en revenant toujours à la charge
et avec la volonté ferme de parvenir au but.
Je me suis aperçu que mes résultats relatifs aux dérivées de
sécr et de tang.r s'appliquent presque sans changement aux
dérivées de
sinain.r, cosama?, Aam.r
Je considérerai seulement
f — cosama?
et je pose
On trouve
z = k sin ani2.r .
/ =cnx[i],
f = sur dur [ — 1 J.
f" =cnx[—i-+-2/cz],
f" = sna? dn.r [ i -4- 4 k ■'- — 6/c ; ].
/( •• ) = c n x |H- 4 k 2 — ( 20 k -+- 8 k3 ) z -\- ■>. \ k '- z*],
fW = sn x ànx [— 1 — 44 k1 — 1 G k ■'* -+- ( Go k -+- 1 20 k3 )z — 1 20 k*~z- ],
fW = en x [— 1 — 44 k2 -f- 1 G k>
-4-(i82./c-f- i48/c3-H 3>.k> )z — (8io/l2+48oA-l)-:i-+- 7>.oA3^3J,
si je considère d'abord les dérivées d'ordre pair
/ = cn.#[i] =cn./[auJ,
/" = cna?[ — i-\-2.kz], — cn.r[ — al-\-blz'\l
fW — en, = ciij-[+ (t., — bi z -+■ c> z"- |.
/i6) = en x | — a3 + b3z +■ c3 z* — cl., z:i \,
37'2 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE ST1ELTJES.
i'ai
"1
cna: = «o— — x-
<•!
1 . < I.2.3./J
V > ", /.X;X/, —- t<>„\„ atX, - œ2X2 . . . i*
-+-(c2Xî-i-...)2
absolumenl comme dans le cas <l<' sécr. I )<■ même pour les dérivées
<l ordre impair. Ainsi, par exemple,
aB= (1+ (4 /«'- -1- 1 (>/■'• > - — *— t Go/. -- l'o/, :i 1- -î- 1 110 k2 f2,
ou si je pose, pour simplifier, 2À*=/,
as = 1 1 -4- 1 1 /- + /'♦ 12 -+- (3o£ -+- I ") /:; '" - I io /- )-.
a6= (i-t-n J2-t- /*)*-+- (91 l -4- "><i/3 — /■' )-— 1 710/- — ](>/♦ r2~ ( 90 13 12,
as — 1 - ()•>■< l* -f- 1 g23 /v -f- '47 /6 ■+- ^8,
a6 = i4-8 3<>3 /2— 5 i Ji") /'' — 1 j <>i<) /" + 1 oi3 /x -+- /10.
Ce sonl exactement les valeurs données par Briot et Bouquel
(p. \('>i) et qu'ils ont obtenues à l'aide de votre belle méthode.
Pour /. = 1 . on retombe sur mes premières formules qu'il étail
bien nécessaire de découvrir d'abord. Et voici maintenant comment
ma première fraction continue se dédouble
/ cos a m •; e~x" dz — —
• '. , !
9
1 6 X 2
j Aam-se-*- dz -
k*
4
16
36
LETTRE 178. 3".î
c'est-à-dire
cosam; = «„ — z1
1 . ' I . ■> :. 3 . t\
A a ni z = f/0 — z--{-
i . ». 1.2.3.4
«0
«! a2
i
a-
^3 ./.:,
X -j-
i
./•
4/c*
9
X
-+-. .
K
6, h.
i
X
/,-
a" -f-
^
./• +
9*1
Je n'ai pas encore considéré sinam.r, mais je vois bien (jue ce
cas exige une légère modification. Aussi, je n'ai pas encore réduit
les intégrales
/ cosam zc ■'-" dz. j iam^e- xz dz
à la forme
V:
ce qui est très essentiel pour moi. Mais tout cela va me donner
encore beaucoup de travail. En effet, j'étais assez satisfait de la
démonstration de mes théorèmes sur les dérivées de séc.r et <lc
tang#. Mais, si je voulais tenter une pareille démonstration pour
cn.r, dn.r, la chose serait bien possible, mais cependant très
pénible. Or, ces relations me semblent si simples que je ne peux
douter qu'elles ne soient L'expression de quelque fait analytique
également simple. Il faudra trouver cela.
Sachant que vous prenez intérêt à la loi des coefficients ai, hc
dans les développements des fonctions elliptiques, j'ai cru pou-
voir vous communiquer ces résultats. Vous voyez que, dans mes
recherches, je me suis rapproché maintenant du sujet qui vous
occupe actuellement, les valeurs asymptotiques des coefficients.
En vous remerciant, cher Monsieur, des bonnes paroles de la fin
\-\ CORRESPOMUNCK d'bBRMITE ET DE STIELTJES.
de votre leltre, je peux vous assurer que je tâcherai d'être toujours
digne de l'intérêl que vous voulez bien montrer pour votre dévoué.
179. — HERMITE I STIELTJES.
Mon CHER \mi,
Combien vous êtes i >< mi et complaisant de m'avoir fait profiler si
complètement de l'étude attentive que vous avez faite des Mémoires
de M . Lipschitz et de M. Lerch : le premier étant éeril en allemand,
je n'aurais pu parvenir à y voir ee que vous avez bien voulu
m'expliquer avec la plus entière et la plus complète clarté.
J'ai été enchanté des belles formules que vous m'avez envoyées
pour les Comptes rendus; votre article sera présenté à la pro-
chaine séance de l'Académie et j'espère bien que M. Bertrand ne
fera point difficulté pour son insertion. La commission du budget
a rogné de ioooofl', je crois, l'allocation accordée à l'impression
des Comptes rendus, qui s'élevait à la somme importante
de 80 ooo'r.
Vos expressions des dérivées successives de en x et les fractions
continues que vous avez découvertes pour les intégrales
/ cnze~xzdz, j ànze~x3d3
me ravissent; à coup sûr, personne au monde analytique n'a jamais
eu votre idée si heureuse, si ingénieuse de la décomposition en
carrés de vos formes quadratiques à un nombre infini de variables.
\ erriez-vo us inconvénient à ce que je mette ces résultats, vraiment
surprenants, sous les yeux de M. Darboux avec qui je m'entretiens
de vos intérêts? G'esl ordinairement le lundi que j'ai occasion de le
voir et de causer amicalement avec lui dans le cabinet de M. Ecr-
ira nd. qui, je saisis l'occasion de vous le dire, partage entièrement
nos sentiments à votre égard.
Soient F(j?) un polynôme de degré n qui n'a point de racines
réelles, et G(x) un polynôme arbitraire de degré n — 2; je nous
propose comme exercice pour \os élèves à la Faculté de démontrer
LETTRE 180. 375
que L'intégrale
j- /•"§&*»
esl mi invariant simultané des formes
r"(j) « r-^.(;;)-
Celte minime question vous montre que j'ai repris mes leçons à
la Sorbonne; je me propose cette année de donner la méthode de
Laplace pour la convergence des séries qui représentent les coor-
données elliptiques, avec quelques petites simplifications dont
vous m'avez suggéré la principale. Vous m'avez fait remarquer
que la série proposée étant Hun, si Laplace pose la condition
un — u,i-\-> c'est uniquement parce que, dans son cas, l'équation
est plus simple que Dnun= o qui est la vraie au fond.
Etant ainsi fixé par vous, je raisonne en employant la dérivée,
après avoir préalablement formé l'expression asymplotique de un\
on abrège de cette manière les calculs, et la méthode prend une
apparence plus régulière.
Quelle désolation, quelle humiliation lamentable de ne pouvoir
mordre sur 0(j?) et H (a?) qui sont si voisins de ©i(.r) et H,(jc)!
Vvec mes plus vives félicitations, mon cher ami, pour vos nou-
velles découvertes et l'assurance de mon affection dévouée (').
180. — STIELTJES A H ERMITE.
Toulouse, 22 mars 1889.
Gheli Monsieur,
Votre lettre m'a engagé à faire la Note ci-jointe que je vous
prie de substituera celle que je vous avais d'abord envoyée et qui
est, en effet, un peu longue. Celle-ci étant plus courte, trouvera
plus facilement grâce.
(') Xote des éditeurs. — La lettre, non datée, semble s'intercaler naturelle-
ment entre celle du 19 et celle du 22 mars 1889.
3^6 CORRESPONDANCE lÙlERMITE ET T)E STIEI.TJES.
La formule pour le >m am csi
f
e •mii am z dz
./.->4_(l + /,2)_: _±±L-A
> j- >
a?â-t- 5-(i + A-*;— ..
Les polynômes qui figurent dans le développement de sinam.r
sont décidément plus difficiles à obtenir que ceux qui figurent
dans les développements de cosama; et de Aam.r. C'est ce que
m mis avez trouvé aussi.
Je ne vois aucun inconvénient à ce que vous parliez à M. Dar-
boux, ou à qui que ce soit de vos amis, des recherches scienti-
fiques (pu m'occupent.
Votre exercice sur l'intégrale / p . dx sera, je le crois, un
peu difficile pour mes élèves, mais je verrai (').
Ce qui manque surtout à la vie des facultés de province, ce sont
les bons ('lèves. Les meilleurs que nous avons sont naturellement
les boursiers d'agrégation, mais ces pauvres ^iis onl à subir un
concours bien redoutable et l'on ne peut pas trop leur reprocher
qu'ils tiennent exclusivement à leur programme et ont peu d'in-
clination à s'occuper d'autres choses. Quant aux autres, ils se
contentent presque exclusivement d'être reçus licenciés, et encore
est-il matériellement impossible de traiter toutes les matières du
programme dans un cours d'un an, à raison de deux leçons par
semaine. 11 ne faut pas oublier qu'il n'est pas possible de laisser
de côté les premiers éléments comme on peut le faire à Paris,
cai- enfin, ils ne savent pas prendre une dérivée et il faut le leur
apprendre.
Aussi, peut-on consacrer, par exemple, deux ou trois leçons au
plus aux fonctions d'une variable imaginaire. Et cette année
j avais à expliquer à quelques-uns de mes élèves qui, après avoir
obtenu la licence, aspiraient à l'agrégation, le théorème de Cauchy
| ' ) Note de M. Stieltjes. — Je ne suis pas sur s'il y en aura un qui saura ce
que c'est qu'un invariant.
LETTRE 181. '>77
ci deMmede Kowalewski sur les équations aux dérivées partielles!
Naturellement, il fallait l»ien leur donner d'abord quelques leçons
Complémentaires sur La théorie des fonctions.
Mais voilà bien des jérémiades qui ne changeront rien. Il faudra
beaucoup de temps et surtout d'esprit de suite dans la direction
de l'enseignement supérieur pour relever le niveau scientifique
des facultés de province.
Je veux réfléchir de temps en temps un peu sur la valeur
asymptotique du coefficient Jl»,„ dans le développement de (r)(x).
Mais je crois bien qu'il faudra suivre une méthode toute différente
de celle de Laplace.
Veuillez bien accepter, cher Monsieur, la nouvelle assurance <lr
mon entier dévouement.
181. — If ERMITE A STIELTJES.
Paris, 32 mars 1889.
Cher Ami,
Je vais risquer une tentative bien hasardeuse pour avoir la
valeur asymptotique des coefficients de &(x) et de H(.r), voie!
mon point de départ.
La méthode de Laplace pour obtenir la valeur approchée de la
série
S =/(l) -^/( :>.)+..■'/(''> -+-••••
dont les termes vont d'abord en augmentant jusqu'à un maximum
pour décroître ensuite indéfiniment, a été appliquée par lui au cas
où la fonction f(n) se compose d'un produit de facteurs élevés à
de grandes puissances, et c'est ce qui arrive dans les exemples que
j'ai traités. Remplaçons L'entier n par une variable #, l'analyse de
Laplace revient simplement à prendre pour valeur approchée de S
l'intégrale / f(x)dx, et à déterminer cette intégrale par la
" 0
méthode donnée dans la théorie des probabilités. La fonction f(x)
étant supposée nulle pour x = o, x = ce et avoir un maximum
unique pour x = £, on pose
/(*)=/(Ê)e-'5,
3j8 CORRESPONDANCE d'bBRMITE BT DE STIELTJES.
de sorte que la nouvelle variable / croît de — x ;'i + ce. Dans le
cas où f{x) est de la forme [F(.r)]", la valeur de dx s'obtienl
sous forme il une série en t, et contenant les puissances succes-
sives de -—» ce qui permet d'atteindre une approximation qui
y n
augmente quand n croît. En négligeant-—» on trouve la formule
/"7(*>d*=/<Ê)i
2^/"U)
/< : »
G esl de là simplement que se tire I application si importante à
la convergence des séries qui représentent les coordonnées ellip-
tiques et aussi toutes mes applications. \ ous direz que mon
audace ne connaît pas de bornes, et je ne vous contredirai certai-
nement point, mais, plutôt que de ne rien faire, je me propose,
en partant de l'expression
(î)'
- t.. m = — ï '- ( S «2 m „aï _ v /, 2 ntgh
i . i . . . i m
• I évaluer chacun des termes par les intégrales
■ X r» 30
^ i <r ,->» ,f""- d.r et ^ ( ■>./■ H- l )-'"«/ - ' '%/./■.
• (I '0
traitées comme le fait Laplace. Je prendrai un terme de plus.
j emploierai le terme en— — dans le développement <le <lx. suivant
\ //'
les puissances de /, et puis, va comme je le pousse, advienne que
pourra.
Le luxe en côtoyant la misère la rend plus sordide, plus humi-
liante, je considérerai les séries doubles ^/(m, /?), où la fonction
de deux indices croit aussi jusqu'à un maximum pour décroître
ensuite, qui s'offrent comme coefficients de xmyn dans les déve-
loppements des 0 à deux variables.
Et, comme Laplace dans les probabilités a étendu sa méthode
aux intégrales doubles
/ / f{x,y)dxdy,
LETTRE 18'2. 379
je prendrai son résultat pour valeur approchée de la série, à
l'aventure !
Que pensez-vous, clans voire sens analytique intime, de la
tentative?
Votre bien affectueusement dévoué;
182. - STIELTJES I HERMITE.
Toulouse, 23 mars 1889.
Cheii Monsieur,
Je veux répondre par quelques mots à votre lettre. Probable-
ment, vous avez vu aussi qu'il n'est (pas) besoin d'aucun calcul
prolixe pour évaluer les intégrales
/ (•>..*• )?'"fjr4-'-' dx = 2*'«-i / y" ïe-toydy (a?2 = j),
«Ai • 0
/ (ix-\-\)imq(ïx+i)'- dx = 22'"-1 / y"' -c-'*"ydy
J Y2
"0
q = e-«,
dont la différence est, par conséquent,
1
2ÎIM-1 / y 2,,-WM,/,.,
1 0
cela donnerait donc une destruction bien complète dans la diffé-
rence
Za-'" qa° — Y>b-mqb*,
mais il paraît bien difficile de dire si l'on peut s'y fier. Cependant,
après y avoir regardé de plus près, je relire formellement l'opinion
émise précédemment que la destruction des termes dans la diffé-
rence se bornerait aux termes principaux et, par conséquent,
-r-^ décroîtrait comme — ou — y
Am m mk
J'admets maintenant comme probable un contrebalancemei.l
des termes d'une manière plus complète, quoique j'hésite cepen-
38û CORRESPONDANCE d'HERMITE ET DE STIELTJKS.
dant à admettre le résultat
i
ri »_!
' 0
Pour savoir avec quelle approximation on peut poser avec vous
ï.a-'" r/"" = / i '.ry^i'q'' ■'' <■/./•,
il semble naturel, en posant
/(.r) = ( '../■ (-"'y'"'-'.
de recourir à la formule d'Euler
h[f(a)-+-f(a ■+■ h) -{-... -h f (a -h n — t h)]
r1'
= f(x) dx — ~ li I ./'< b) -- f\ a i|
* a
\f{b) -f\a)\
I . 2
B,//>
i . •>. . 3 . 4
[f"(b)-f"(a)]
( b = a *- n h ),
en prenant /? = :c, b = yi. a = o, // = i .
\ mis voyez que f{b), f'{b). f'"{b) s'annulent, de même que
./>),/'"(«), ••••
Or, | ai remarqué, dans mainte occasion, que si cela arrive el
que l'équation d'Euler semblerait ainsi donner l'égalité complète
entre la série el l'intégrale, la vraie différence décroit très rapide-
dement. Comme exemples, je citerai ici le cas de voire fonc-
tion R(#), la relation
r i — / _— 47I~
/H - +e-*î+e-(2*)s+e-i3/')2-!-... =/rë( - h- e *2-t-e **+..
et il v en a encore quelques autres, dont voici la plus simple
i i i v1 'r
- 7 ~% ; — r-,'
LETTRE 18u2. 38
bien
00
- h v^ li
- = h > ■ r7 i
>. >. — 1 H- /t2/<-
*i7C
c'est-à-dire, pour f(x\= ;>
*[^/(o)-h/(A)-t-/(aA)+/«3A)-t-...] =/"^
2 71
+ 00
271
«2 A — I
pour zhoo, /(*/■) s'annule avec loules ses dérivées.
Admettons donc qu'on a d'une manière très approchée, en effet,
v tfim qa* = ! , 2x)imq*x* d.r.
En prenant
f(x)= (•>../• ■;- 1)-"' ç<**+ 1|5,
la formule d'Euler donnera
ZbZmqbi= f /'( .?• i <Lr 4- ~
niais les termes suivants, avec /'(o), f"f(o), .... renferment des
puissances positives de plus en (dus élevées de //?, et le degré
d'approximation nous échappe complètement.
Je crois que, pour avoir une solution rigoureuse de la question,
il faudra trouver des transformations analytiques, mais cela ne
sera pas aisé du tout. On ne sait même pas si *%m est toujours
positif; il se pourrait bien que la vraie valeur approchée renferme
un terme périodique qui change désigne comme dans la différence
6R(a? — i) ,
— ^ — ' ■
V(.r)
Je crois que l'application aux séries doubles
^ /'( m , n )
«pie vous proposez donnera des résultats exacts el est légitime.
38'2 CORRESPONDANCE li'lIKIt MITK El DE STIELTJES.
J'ai plusieurs fois *'■ x ;» 1 1 1 «'■ des intégrales doubles d'après la méthode
de Laplace et avec un succès complet.
\ otre bien sincèrement dévoué.
183. — HERMITE I STIELTJES.
Paris, >j mars 1 889.
M
:MOJ CHEK
M. Darboux, à qui j'ai communiqué vos charmantes formules
(li développements en fractions continues, en a été aussi enchanté
que moi; nous vous prions ii>n> deux de vouloir nous fournir la
liste complète avec le> indications des recueils, de toutes vos publi-
cations mathématiques, nous aurons à en faire usage. M. Bertrand,
j'ai le plaisir de \011s le dire. n'a fait aucune difficulté à l'insertion
dan- le> Comptes rendus de votre dernière Note. A os remarques
sonl excellentes et désolantes, je me les étais faites déjà en grande
partie et. dans ce que je vais écrire, je n'aurai garde de dissimuler
lotit ce qu'il y a de hasardeux et d'obscur à prendre pour valeur
approchée de la somme
Si ix — 1 >-'"'/ "- ' H :
I intégrale
/ (ix — 1 i'2"' y - ' ' </.'■.
Quel dommage, car le développemenl suivant les puissance
descendantes de m que vous ramenez au calcul de
./"■
»
s'obtient très facilement -.1 m -> recourir au procédé de Laplace.
On a . eu effel .
/'"' , / • «•> w' \
/ .,■■»- U'- ■'■(/./•= w'"r'-<" 1 ; ; h...).
. f m m ( ni -+- 1 ; m(m -h i ) ( ni -t- •>. ) /
IVlais voici de bien autres difficultés à l'égard des fonctions 6
LETTRE 18'l. 383
à deux variables. Il s'agit d'obtenir la valeur asymptoiique pour ///
cl // très grands de la série double
va2«« 1,1,1 e-\ga* + M«i> + kir-) (a,b = o, 1,2, ...),
question en apparence toute semblable à celle tics <-) elliptiques,
or il s'en faul du toui au tout; la fonction de deux variables
où (i?", h, fx) est une forme définie positive, passe par deux maxima !
Par conséquent, tout s'effondre, il devient impossible d'appliquer
la méthode de Laplace qui suppose essentiellement un seul el
unique maximum.
El, en même temps, voyez comment se révèle la singularité
pleine de mystères des fonctions de deux variables. Deux maxima
comportent un minimum dans leur intervalle, s'il s'agit des fonc-
tions d'une seule variable; rien de pareil pour deux variables; que
peut-on entendre, en effet, par un système/? et q de valeurs inter-
médiaires entre a el b, a' et b' !
En vous demandant d'avoir la bonté de me rappeler el de me
dire où Dirichlet a donné la formule importante dont vous aviez
>i habilement tiré une démonstration de l'égalité de M. Lipschitz
je vous renouvelle, mon cher ami, l'assurance de tout mon dé-
\ ouement.
184. - STIELTJES A H ERMITE.
Toulouse, i.j mars 1889.
Cher Monsieur,
La vraie démonstration de mes propositions concernant la
décomposition en carres de certaines formes quadratiques est si
excessivement simple, qu'il est vraiment humiliant de n'y avoir
pas songé tout de suite.
;s', CORRESPONDANCE d'hERMITE ET 1>K STIELTJES.
Je considère les dérivées d'ordre pair àef(x)= séc#, s= lang2,r
if = s«V./-i rt0),
f" = séc»l '/) - Aj c '.
i séc»< ^o- A.. 3 — c» ss l,
/' « = séc » ( rt3 -f- 63 c - r, c- ! — d3 z3 ),
V ««#*"
sec» = 7 -•
— 1.1... (in)
D'après le théorème <!<■ lavlor
1 , ■ , ■ , , /■ lrl m ,r c
mci x -+- h) -+- sec( » — h) = / — — / -\ — 5— - J • -r ....
•>. ' 1 . 2 1.2.3.4
nu bien, «mi substituant les valeurs (i),
(3) | séci ./• — /( 1 — séci ./■ - h)]
séc» (
a04-
«i
1 . '
4- a»
1
//.'•
. >. i. 1
séc» |
f
A,
h9-
1 . >
- A, •
1
h>
I.2.3. i
-('•C./' |
f
[.2.3.4
Mais
- | séci » -4- À) + séc( » — /m|
séc.r séc A séc» séc //
i — tang2» tan g2 // 1 — ; tang2 //
= séc» -('c/m 1 — z tan g2 A -+- s- tang4/? - c:i lang6 h
il où, par comparaison avec 1 3 i.
, , h*- h>
sec/i = c{, - <7(
1 . ■». 1. 2. >. j
ec«tang2/i = A, — - A_,
séc A tane' h
- J.2.J.4
Co :
D'après cela, en se rappelant que 2 = tang2.r, on voit que le
LETTRE 18k. 385
second membre de ( 3 ) peut s'écrire
f x* .>■• Il h? A- !
1.2 t.2.3.4 ' • ' [.2.3.4 J
+ [ *■ ê, ; + **ïxb ■*-•••]><[ b'Tk+l"x^ï7i -*-••]
+[ •■tï!b+-],<[ c'dx4+--]
-+- »
tandis que le premier membre est
-Y — —, — d(x-*-hyn+(x-hYni
2 — 1.2... (an) l
0
soit i -\- A= n, en comparant de part et d'autre le coefficient
de x'2th-k, on trouve immédiatement
( 4 ) «n = (lia/- -+- bt b/( -+- Ci c/c 4- • . •
et, en particulier,
(5) an = «?+ 6|-+- c?-+-. ... c.q.f.I).
Le théorème sur les dérivées d'ordre impair s'obtient par la
considération de
- [séc(a? -t- h) — séc(.r — h)\
et, avec de légères modifications qui se présentent d'elles-mêmes,
le même raisonnement s'applique aux autres cas des fonctions
tanga™, sn.r, cn.r, Anx.
Je viens de voir que, dans le Tome 79 du Journal de Creile,
M. Stern, dans un Mémoire sur les nombres eulériens, a dé-
veloppé aussi les dérivées de sécr, ( )> en introduisant
11 ' \ ex -+- e^x )
des polynômes en tang2^c, ( — —) • Il a considéré les mêmes
nombres «/, bi, a, ... que moi, mais les relations (4) et (5) lui ont
25
386 CORRESPONDANCE d'hERHITE ET DE STIELTJES.
échappé. Il se borne à discuter les relations entre les a/, l>i. <•/. . . .
qui résultenl du calcul de proche en proche des dérivées, d'où il
tire diverses conséquences relatives aux nombres eulériens, etc.
Dans le Tome 88 du même journal, il considère aussi les déri-
vées de tangue; mais ici. au lieu <l introduire des polynômes en
i m- - ./•. il nit nul h il des polynômes en >iii-'.r. C'est là, je suppose,
la cause que les résultats <pi il obtient ne présentenl |>as une ;m,i-
logie complète avec ceux de ><ui premier Mémoire. S'il avait aussi
introduit ici des porj nomes en tau--./-, je ne cloute pas que l'ana-
logie n'eûl été c plète.
Mais, réfléchissant sur l'application aux fonctions elliptiques,
je me suis aperçu que, >i. < la us mon cas, on emploie le théorème
de l'addition, on pourrait, par une légère modification, déduire
ce théorème par des considérations analogues.
Cependant, après avoir ainsi retrouvé le théorème de l'addition,
j'ai vu que celte démonstration est exactement celle qu'Eisenstein
a donnée (dans ses Mémoires réunis, avec une Préface de Gauss,
p. i55-i 58).
Au lieu de recourir à la formule d'Euler, j'ai eu l'idée, pour
voir avec quelle approximation on a
\ ,,'-mqa'— ! (•±T)-'nC]>v° (l.r.
V l/lm gb> — i (-2x^1 |î/n (J-'~i: <l.r.
■"* «/»
de me servir d'une formule d'Abel (Œuvres, t. I, p. 38),
■: a) hlf(fl-fl) + 5(«+2)+...
f<° ,i r" dt r©(a-t- ti) — v(a — ti)~]
= •-../• i dx tp(a) — 2 / -— - ■ ~ •
La démonstration d'Abel n'a pas Ar rigueur, mais, récemment,
j'ai retrouvé cette formule et vu qu'elle est applicable sous cer-
taines conditions. Ces conditions, du reste, je ne me les rappelle
l>as distinctement en ce moment.
Dans le premier cas, il y aurait égalité absolue, mais, dans le
second cas, on est amené à une intégrale qui n a pas de sens. Tout
cela me parait indiquer que le problème de trouver la valeur
LETTRE 185. )X7
asymptotique de
^ a-'» (/"■ — V b-'" (j1''-
est extrêmement difficile. Dès que j'aurai un peu de loisir, je me
propose de voir si, en attribuanl à </ mie valeur fixe, celle expres-
sion ne change pas de signe en donnant à m des valeurs «le plus
en plus grandes. Cela ne m étonnerait pas, et serait une nouvelle
preuve de la difficulté de cette question.
,)e\oiis renouvelle, cher Monsieur, l'expression de mon entier
dévouement.
185. — HERM1TE A STIELT.IES.
Paris, 28 mars 1889
M<>\ cher Ami,
Vous avez le don des démonstrations simples et élégantes, et je
ne puis assez vous dire avec quel plaisir j'ai vu l'analyse (pie vous
m'avez communiquée dans votre dernière lettre. J'achèterais bien
volontiers, au prix d'une humiliation plus grande que celle que
vous exprimez, de trouver de telles choses. Vous vous êtes ren-
contré avec Eisenstein, qui tenait beaucoup à sa démonstration
algébrique du théorème de l'addition des fonctions elliptiques,
ainsi qu'il me l'a dit lui-même quand j'ai été le voir à Berlin
en i853, et vous n'avez point lieu de regretter une telle circon-
stance.
Vous vous êtes bien facilement rendu compte, sans doute, de
ce que je vous disais, que la fonction
^2//t y2n g — ( g.r2-t- ïhxy+ky*)
a deux maxima, ce à quoi j'étais bien loin de m'attendre, et aucun
minimum, ce qui tient à la nature méphistophélique des fonctions
de deux variables. Il me faut, par conséquent, renoncer à obtenir
la valeur asymptotique que j'avais espéré trouver en opérant
sur B(j7, y) comme sur (à(x). J'ai repoussé aussi comme une ten-
tation dangereuse et périlleuse de chercher l'intégrale définie
J=/ / e-^+thxy+W) dxdy,
qui aurait donné facilement, en ditlérenliant par rapport aux
388 CORKESPONDANCK D'hERHITE BT DE STIEI.TJES.
constantes, la quantité
/ / ximyîne-lg.r*+*h.r} *y*\ doc dy.
•il
Je m'en tiendrai donc aux applications de la méthode de Laplace
que j'avais eue en \ ue tout il abord.
Permettez-moi de rappeler à votre souvenir la fonction Z> s) qui
m'a donné occasion de citer vos recherches dans une leçon à la
Sorbonne.
M. Jenssen a donné une relation intéressante qui esl indiquée
dans le Bulletin de M. Darboux
( .s- — I ) ri s i = i — V i - i |VCv(5 — i)v ( v = 1 , 2, 3, . . . ),
où l'on a
v( log/l)v-1
Cv
> ' *-'■ — i \\os(n -+-i)lv-t-(loe/i)v (re = i,a, 3,
i . 2 . . .v m^ l l) \
Elle n est pas difficile à démontrer, mais je doute qu elle four-
nisse l'expression définitive de la fonction de liiemann; en tout
cas, elle esl utile, l'auteur en ayanl tiré lc> valeurs numériques
dc-< premiers coefficients cv, résultai auquel j'attache beaucoup de
prix. Permettez-moi, lorsque I occasion s'en présentera pour vous,
de vous demander de m'indiquer, au point de vue de l'Arithmé-
tique, la conclusion du Travail de Riemann, qui est en allemand
et que je n'ai pu lire. Mais que cela ne vous détourne point de
ce que \ous faites en ce moment où vous obtenez chaque jour de
nouveaux et excellents résultats: il arrivera certainement que vous
vous sentirez recherché par l'Arithmétique et naturellement vous
reviendrez à la l'onction Ç(s).
En attendant, mon cher ami. la liste de vos publications, je
nous renouvelle l'assurance de mon affectueux attachement.
186. — STIELTJES A HERMITE .
Toulouse, i<i mars 1SS9.
Cher Monsieur,
La formule de Dirichlet se trouve dans son Mémoire fondamental
Sur lu convergence des séries trigonométriques, dans le Tome 4
LETTRE IN6. 389
«lu Journal de C relie. M. Lipschitz obtienl aussi de cette manière
sa transformation ri j'emprunte à lui cette citation, que je ne peux
vérifier 1 les trente premiers volumes du Journal de ('relie ne se
trouvent pas dans noire bibliothèque), mais je n'ai pas le moindre
doute quant à son exactitude. Quanl aux séries 0 à deus variables
et les expressions
V* "V almbïne--(gam-+îhab+kb>)
*^^4 (a, b = o, 1, 2, . . .),
K(./-, y) = ar2wj,2«e-(g.r»+2/wy-+-Ày>)
n'ya-t-il point de votre part une légère inadvertance? 11 me semble
que F(.r, r)ne passe que par un se ul maximum, pour les valeurs
positives de x et y, bien entendu. C'est probablemenl à cette
dernière condition que \ous n'avez pas eu égard.
Je considère, pour x > o, y >■ o, z > o, la fonction
où ax--\-. • ■= '? est une forme définie positive.
Il est clair qu'il y a, au moins, un maximum; il me semble
qu'on peut établir ainsi qu'il suit qu'il n'y en a qu'un seul.
Les conditions du maximum ou minimum sont
1 ' '; 1 i^ a u
- — I02 r = — — ax — Cj v — o^z = o,
1 ■>. OX X
(i) —logI< = - — Cix — by — axz = o,
2 dy y
— logF = - — b[X — axy — cz — o.
Ce système, nous le savons, admet au moins une solution (en va-
leurs positives toujours). Mais, s'il en admet plusieurs, il est clair
que ces solutions répondront toujours à de véritables maxima,
car la forme quadratique
•2. \ dx
se réduit à
-.logFJX*.
— <p(X,Y, Z)- -\î-\y«~- '±Z*.
1 x* y^ z-
Admettons, pour un moment, qu'en dehors de la solution
x = 3?0, y = yo, z = z„, F = M'o,
390 CORRESPONDANCE d'hERHITE ET DE STIELTJES.
M(1 étanl le maximum absolu, il y en ail une
.?■ = .Tj.
y = y\-.
<iù M 1 ' M„ est mi second maximum.
( lonsidérons les surfaces
l'i ce, y, z) = consl ..
on plutôt la partie 'le l'espace où I' ./•. r. c ) const.= G. Tant
que C>M0j il n'3 a pas de partie réelle de la surface. Faisons
décroître constamment C Pour C = M0, nous avons un point isolé
x = .r0, y =1,1. ^ = z0. Pour (î = M0 — //. la surface est fermée
el enveloppe le point M0. \ mesure que C décroîl ainsi, la partie
de l'espace <m'i F >» C s'étend ainsi.
Lorsque C = Al, . la surface se compose :
1" D'une surface fermée enveloppant Mn:
2 D'un point isolé M,(.r,, y,, z{) en dehors de la surlace
fermée.
C décroissait toujours, le point M, aussi se trouvera enfermé
dans une nouvelle surface fermée et, C continuant à décroître, les
deux parties séparées de l'espace où F^C vont nécessairement
s'unir en un point I'. Il est clair que, dans ce point P, point sin-
gulier d'une surface F = consl., les équations (1) sont satisfaites.
Mais, de plus, ce point I' n'est pas un maximum, car, en se dépla-
çant d'un côté ou de l'autre, on peut faire croître ou décroître F.
.Mais, comme nous a\ons vu que tout point satisfaisant à (1) est
nécessairement un maximum, il v a ici contradiction, l'hypothèse
d'un second maximum est inadmissible. Donc, à moins qu'il n'y
ail un \ ice caché dans ce raisonnement ( et j'avoue que je ne le vois
pas I, <>n peut affirmer que la fonction F n'admet qu'un seul maxi-
mum pour les valeurs positives des variables, et le même raison-
nement s'applique a un plus grand nombre de variables. L'on se
LETTRE 187. 3g I
trouve bien dans les conditions nécessaires pour l'application de
la méthode de Laplace.
Il me semble <|iie le raisonnemenl précédenl est exact; cepen-
dant, je ne suis pas tout à fait sur et j'espère que vous me ferez
part de vos objections, si vous en avez. . ., l'opinion de M. Picard
me sérail aussi très précieuse.
J'espère pouvoir vous envoyer dans quelques jours la liste de-
mandée; si je n'ai pas voulu remettre jusque-là à \<>us répondre,
c'est à cause de ce que vous m'a\ie/, demandé concernant la for-
mule de Dirichlet.
Votre sincèrement dévoué.
187. — HERM1TE A STIELTJES.
Paris, ier avril 1889.
Mok CHER A\n,
J'éprouve bien de la difficulté à suivre les considérations rela-
tives à l'hyperespace, ce sera donc l'avis de Picard et non le mien
que vous aurez sur l'idée originale que vous me communiquez
pour établir l'existence d'un seul et unique maximum de la fonc-
tion
m n n
- + - + _+. ..-cpO*,^ *,...),
lorsqu'on suppose un nombre quelconque de variables. Dans le cas
de l'espace réel et relatif à trois variables, votre raisonnement,
contre lequel je n'élève aucune objection, me semble extrême-
ment ingénieux, et je ne vois guère comment on pourrait s'en
passer à moins de se jeter dans un océan de calculs.
Pour le cas des équations
m , n ,
— = ax -\- by, — = bx -+- c y,
x y J
je crois préférable de joindre à l'ellipse
m -+- n = ax% -+- ibxy -+- cy-,
celle-ci qui représente deux droites
an x--\- b(n — m) xy — cm y"1 = o.
392 CORRESPONDANCE IMIKItMlTF. ET DE STIELTJES.
< > 1 1 voit, eu effet, que les droites sonl réelles et que les coeffi-
cients angulaires sonl de signes contraires; par conséquent, l'une
d'elles se trouve dans les deux régions où les coordonnées sonl de
mêmes signes, c'est celle qui donne, par son intersection avec
l'ellipse, la solution unique en quantités positives à laquelle cor-
respond le maximum, taudis que l'autre droite se trouve dans les
deux angles des coordonnées où elles sonl de signes contraires.
Je me suis aperçu trop tard. hier, que l'intégrale
/ / e-(«-r*H tbxy+cy ■ dx dy
s'obtient immédiatement au moyen du procède' élémentaire qui
consiste à poser jr = pcoscp, j^=:psin<p, l'intégration pouvant
s'effectuer immédiatement par rapporl à p. Mais, voici nue autre
question sur laquelle j'aimerais bien avoir votre a\i>. C'est une
application que je pense donner à mon cours de la formule
Ji
dt
A/-+B 2V/\B
Soient
A =1 — aa? H- a \fx- — 1 , B = 1 — %x — a \j ' x- — 1 .
ou aura
AB = 1 — %ax -+- a2
et de là peut se conclure l'expression de Jacobi des fonctions X«.
Soit, d abord
ce
/ = tan»-,
/
dt 1 f% dy
A sin2 - -H B cos2-i
2 1
dw
( A -+- B ) — ( A — B ) cosi
et, par conséquent,
1 — 2 ax -+- a2 J 1 — a ( x
do
v/i — iux — %- Jn 1 — a ( x -+- s/x2 — 1 cos es )
Voici maintenant mon raisonnement. Supposons x réel et
LETTRE 187. 3g3
moindre que L'unité; j'observe que le module de
X -t- \/x'2 — I cosep,
ayant pour valeur x2 sin2 cp f-cos2<p, estaussi inférieur à L'unité. Il
est donc permis de développer, suivanl les puissances croissantes
de a, la fraction sons Le sit; ne d'intégration; ce qui donne sur-le-
champ
(x -+- y'x'1 — i cosep)"' rftp,
sous la condition admise et, par suite, quelle que soit la variable.
Soient, en second lieu,
A = x — a. — \/ x'1 — i , I! = x — a -h y x1 — i ,
d'où encore
AI» =i — i%x -t-'a- ;
on a maintenant
A -t- B — ( A — B) cosep = i\x — a -+- \Jx- — i cosep),
d'où
/ 1 — i a x -+- a2 J0 x — a -+- \/x'2 — i cos cp
Cela étant, je suppose x réel et supérieur à l'unité. L'expres-
sion x-\-\Jx2 — i cosep, étant aussi grande qu'on le veut, je puis
me servir de la série
=2
x ■+- \Jx- — i cos cp — a -^ {x -+- s/ x- — i cos cp )""
et j'en conclus l'expression de Laplace
rfcp
In = o, 1,2, ...)
(x -+- \/x* — i cos<
M. Laurent a donné une méthode ingénieuse que M. Jordan a
reproduite dans le deuxième volume de son Cours d'Analyse,
mais qui s'allonge pour une question secondaire, la détermination
de signe; sauf l'obligation de prendre successivement x < i et
x >> i qui me contrarie un peu, la marche que j'ai suivie me
semble facile.
'"il CORRESPONDANCE 1)1111! MI 1 E ET DE STIELTJES.
C'esl au mois de juin que non- Irions usage de la liste dr v©s
publications; il n'\ a donc pas urgence, cependant, il peut se pré-
senter telle circonstance où il nous sérail utile de l'avoir plus
tôt; achevez-la donc, mon cher ami, -i vous avez c lencé, et
envoyez-la moi. En vous renouvelant I assurance de ma bien sin-
cère affection (' ).
188. - HERMITE I STIELTJES
Paris, i avril r86
Mo.N CHER Ami.
\ otre détermination de I intégrale
/il e-^dxdydz
m a fail If plus grand plaisir, jamais je n aurais réussi à découvrir
cl à introduire I aire S du triangle sphérique qui vous en donne
une expression >i élégante; je pense que nous ne vous opposerez
l>,i- à ce que votre analyse soit publiée dans le Bulletin et je suis
assuré d'avance que M. Darbous lui fera le meilleur accueil. Je
lui donnerai lundi la liste de vos travaux que vous m avez envoyée,
mais je ne vous réponds pas qu'il ne demandera pas que vous \
ajoutiez l'indication des articles do Comptes rendus; en tout cas,
vous apprendrez dans quelques mois l'usage que nous en aurons
fait et (pii ne sera pas pour vous rire désagréable.
(') Note des éditeurs. — Il manque une lettre de Stieltjes dans laquelle il
donnait une démonstration île la formule due à -M. Hermite
/•" rx arccosf ",= )
/ e r . dxdy = - ya^L,
<b(x, y ) = ax-+ 2 bxy — cy-,
démonstration qui a été publiée dans le Bulletin des Sciences mathématiques,
>' série, i. Mil. e8 partie, p. 170-172.'
Il manque aussi une lettre de .M. Hermite à laquelle la lettre perdue de Stieltjes
répondait. Comme le montre la lettre 188, elle contenait une démonstration de
la formule écrite plus haut.
LETTRE 189. 395
J'accepte avec empressemenl el une grande reconnaissance,
comme un témoignage d'amitié auquel je suis bien sensible, votre
offre de collaboration [tour une seconde édition du premier volume
de mon Cours d\ inalyse. Il 5 a quelques années, lorsque M . Bou-
(|uci esl tombé malade, je l'ai remplace pendani le premier semestre
à la Faculté, ce qui m'a donné l'occasion de revenir sur le calcul
différentiel en changeant bien des choses de ce premier volume.
Ce scia à employer pour une nouvelle édition et, si vous le voulez
bien, nous commencerions l'entreprise aus vacances prochaines.
Ne nous bâtez pas et prenez votre temps pour le Mémoire <lc
Riemann; en ce moment, j'ai d'autres choses qui m'occupent et,
si intéressant qu'il soil pour moi, je préfère attendre à avoir plus
de loisir pour m'en occuper.
Une autre fois aussi, je vous parlerai de l'expression de Ç(s)
de M. Jenssen. Ce malin, en donnant les expressions de Jacobi
et de La place pour les fonctions X„, j'ai vu que j'avais bien inuti-
lement pensé à la convergence des séries suivant les puissances
de a, la convergence n'a rien à faire ni à voir dans la question,
puisque a est indéterminé et peut être supposé aussi petit qu'on
veut.
Vous pouvez ainsi juger combien je suis sujet à commettre des
inadvertances, c'est ce qui nie fait attacher tant de prix à votre
amicale assistance pour la revision de mon premier volume où
elles ne manquent point.
A.vec tous mes remercîments, mon cher ami, et en vous renou-
velant l'assurance de mon affection la plus dévouée.
189. — ST1ELTJES A HERMITE.
Toulouse, 3 avril 1889.
Cher Monsieuk,
Ce n'est pas grand'chose que je peux dire sur votre déduction
des intégrales qui représentent \„, mais, puisque vous y tenez,
je ferai de mon mieux.
Il me semble qu'après avoir obtenu
(O
1 — HX^r-V.1 J l —
/1 — J.01.X -h a.'1 J 1 — a (a? -+- sj x- — 1 cosep)
3g6 CORRESPONDANCE d'bERMITE ET DE STIELTJES.
il n'est pas nécessaire de faire aucune supposition concernant la
valeur de x el qi pourrait raisonner ;iin>i. Quelle que soit la
valeur de x | réelle ou imaginaire i, on pourra toujours donner au
module <l<' oc une valeur tellement petite qu on .lit constamment
mod % \x -+- \/x2 — i cos » ) < i
et alors
/ r =7 a"(.r -+- \fx- — r cos«p >"
I — x\x -+- v .r2 — I cos © ) ■* ^
0
et. par conséquent,
X,t = - / \x -+- ^x- — i coscp)" dv.
Mais, à I égard de cette formule (i), il faut remarquer que, à
proprement parler, on doit bien indiquer la valeur du radical
ambigu \\ — aaa-' + a-. Quel que soit ./•, la formule est exacte
pour a = o en prenant le radical -f-i, et c'est là la raison (pion
obtient ( 2 ) sans faire aucune hypothèse relative à x.
Mais supposons ./ réel et supérieur à i ,
x -+- <^x- — i cos o
restera toujours positif et si, maintenant, nous supposons aussi
a réel, positif et très grand, \ou> voyez directement que l'inté-
grale e>i négative; ainsi, au lieu de (i), il faudrait écrire
r71 rf»
\f \ — -2'j.x -^ y.'1 J i — oc(x -t- \/x2 — 1 cos<p)
On suppose a assez grand pour que, constamment,
moda(j -+- \/x'z — i cosep) > i
et, développant alors suivant les puissances descendantes de a, on
obtient
(3)
: - 1 r d'r
J0 [x-t-s/x1 — i co- -
M. lis, si nous avons dû supposer ici X > î . cela tient à la cir-
constance suivante.
LETTRK 189. 397
Si l'on se place au poinl de \ni' Le | » I m s général, on a
(3') X„ = ±ir"
11 J0 (.r + ^-icostp)"^
et il faut prendre le signe supérieur ou inférieur selon que La
partie réelle de x est positive ou négative. Dans le cas où La partie
réelle de x esi nulle, L'intégrale n'a pas de sens. C'est ce que
remarque aussi M. Jordan.
Voici comment j'ai cherché à rattacher ce résultat à votre mé-
thode.
D'abord une remarque sur voire pdinl de dépari
rri
dt
B 2 \/AB
J'observe que
. f°° dt
est une fonction uniforme (dans un tel cas, il serait peut-être plus
précis de dire bien déterminée) admettant la coupure de o à — 30.
En posant donc
z = r.e'fK
il faut faire varier /• de o à -+- 00, 9 de o à rt it, mais 6 ne doit
jamais franchir ces limites db it. Mais, pour B = o, on a
/(«) = - 7=.
2 V S
ys étant réel et positif. Donc on aura, à cause de la continuité,
généralement
2/4(cos.i 6 -+- i sinjO)
En somme, dans la formule
2 y z
l'argument de \J z varie entre ± -■> c'est-à-dire la partie réelle
de \Jz est positive.
898 CORRESPONDANCE D'eERMITE ET l>K SïlELTJES.
^insi, j'écris
dt
A*2-t-B /Tj
!A1/a
et il faut prendre ici le radical l/-. avec un tel signe que la partie
réelle >oii positive. De même, dans la formule
I
1 A — B ; (À — B ) cos tp ^
i/I
Si. maintenant, je prends avec von-;
l A — 1 — j. ' .r — \J x- — 1) = 1 — -/.;.
-, I
) B = 1 — % \x -H /a?2 — j) = 1 — — ,
je vais supposer d'abord # quelconque mais moda assez petit pour
([ne B et A soient sensiblement = 1 . alors on obtient la formule (1);
le radical étant aussi sensiblement 1 et, de là. la formule (2).
Mais il est un peu plus difficile d'obtenir > l ou mieux. (3').
Remarques préliminaires. — Les parties réelles de
A. = p H- qi et de r- = % J
onl même signe.
Donc, le> parties réelles de
; = x — y/.r- — 1 et de £ = x -+- y x- — i
Ç
oui même signe et ce signe sera aussi celui de la partie réelle de
et riicore (en supposant co réel) de
a? -t- ya? — 1 c<>s ta = ; sin2 -(f + r cos- o.
On voit par là que x -\- \}x2 — -icosœ ne peut s'annuler (jue
lorsque x est purement imaginaire.
LETTRE 1 ÎS1>. 399
Cela étant, je reviens aux formules | {) el (5).
Je suppose ./• (| uclci hkj ne, seulemenl pas sur l'axe des V de
sorte que sa partie réelle ;iii un signe déterminé qui sera ;uis>i le
signe de la partie réelle de c <■! de = • lin suite, je suppose le module
de a très grand, <lc sorte qu'on ;i sensiblement
et ainsi, dans la formule (4), on a sensiblement
/B /7
V A = V*
et comme il faut prendre le radical te] que la partie réelle soit
positive
'B
\A
où il faut prendre le signe supérieur ou inférieur selon que la
partie réelle de x est positive ou négative. Il en sera de même dans
toutes les formules suivantes.
Le second membre de (4) est donc sensiblement
t|
si donc y/i — aax + a2 est pris avec un tel signe que ce radical
est sensiblement = a (on suppose moda très grand), il vient
, T* , = f -
1 — '!aj+a2 / 1 — a
v/i — -iaa? -+- a2 / 1 — a.(x -r y/-*'1 — ' coscp)
Nous avons remarqué déjà que x + \/x'2 — reoscp ne s'annule
pas; en supposant donc moda suffisamment grand, on aura con-
stamment
moda (a? -1- \/x- — 1 coscp) > 1 .
Il est permis alors de développer, suivant les puissances des-
cendantes de a, ..., ce qui conduit directement à la for-
4oo CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
mule(3')
x„=±i f*7 =â
71 Jo (.r-t-y/a?2 — i cosœ)" '
Je vous demande pardon de ces longues et minutieuses consi-
dérations donl le fond se trouve aussi dans le Livre de M. Heine;
il n'\ a que de légères différences de forme. Naturellement, on
pourrait aussi considérer votre seconde substitution
Si l'on suppose x très petil (pour développer ensuite comme
vous suivant les puissances croissantes de a), on a sensiblement
A-t B-J. ,/f^
( signe H- ou — , selon le signe de la partie réelle de x) et le second
membre de ( {) est sensiblement
;, ;,
doue, ^i \ i — >■ 'J-i: + a- est sensiblement = -f- i , un a
v/i — nj + a- / .
a? H- \/ir'2 — i cos cp — a
et développant suivant les puissances croissantes de a (ce qui est
permis, puisque x-\- y'x- — i cosœ ne s'annule pas), on retrouve (3').
Mais je dois terminer cette longue lettre qui aura déjà mis à
l'épreuve votre patience.
\ euillez bien toujours me croire votre bien dévoué.
lJ. S. — A l'appui de la demande que je vous ai faite dans
ma dernière lettre, je ferai observer que vous avez dû corriger les
épreuves de bien des Notes que vous avez présentées en mon
nom à l'Académie et que ce ne serait que juste si je vous rends
un service analogue.
LETTRE L90. 4.O I
190. — HERMITE A STIELTJES.
Paris, '1 avril [889.
( <HEK A M 1,
Ce n'est pas tout à lait une inadvertance niais peut s'en faut; en
tout cas, c'est une négligence que de n'avoir pas fail attention que,
dans la formule de Laplace,
■■>=Lfi-
do
cos© y/ x'1 — 1)"
le second membre doit être pris tantôt avec le signe -(-, comme je
l'écris, et tantôt avec le signe — , ce dont Laplace s'est, je crois,
peu inquiété. La méthode tirée de la considération de l'intégrale
définie
Ç °° rit t.
me semble rendre bien compte de cette circonstance.
Revenant, en effet, à l'expression pins générale
r+x dt
J_x G*»+aH*H-K'
où G, H, K. sont des constantes réelles on imaginaires et repré-
sentons les racines du dénominateur par
— H ■+- i /GK — H* — H — i /GK — H*
z0-— — , Zl-— —x-
Si l'on admet que dans z0 le coefficient de i soit positif, on a la
valeur
~ A («0 — «1 ) _ t/GK — H9- '
tandis qu'il faut prendre
J = —
v/GK - H 2
si le coefficient de i dans cette même quantité est négatif. C'est,
en effet, la conséquence de l'expression générale de l'intégrale
26
!\02 CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJES.
/ f(t)dt par a/-ï. où ï est la somme fies résidus de f(t)
pour les seuls pôles < j n i soient au-dessus de L'axe des abscisses.
En appliquant cette règle an cas particulier de
dt -
Ar2 + B
v/AB
où A = x — a — \x- — i . B = x — a + y/x2 — i : vous voyez qu'il
faut prendre, dans le second membre, le signe 4- on le signe — ,
suivant que le coefficient de i dans
*Vi
■?.a.x -*- x-
r — a — \ x- — 1
esl positif ou négatif, ou encore suivant que la partie réelle de
y/ 1 — 2 a x — a'2
./• — a — y .?•'- — i
est positive ou négative.
Cela posé, j'envisage le cas de x infinimenl petit, puisque je
dois faire le développement, suivant les puissances croissantes
de a, de
i
./■ — cosœ \ x- — i — a
Il suffit alors de considérer la partie réelle de -—= ou
x — \/:T2 — I
encore de X + sjx- — i . Soit donc
./• — iy — \A x -+- iy r- — r = X -t- i Y.
L'équation \ — o donnera la limite de séparation des régions
du plan où X est positif de celles où X est négatif. Or, on a
X = ix — \/(x -t- iy )- — i -i- /(.r — iy i'2 — [
et l'équation
2 x -+■ \/{x -+- iy i- i -h \/( .r — iy )- — i = o
se réduit, en faisant disparaître les radicaux, simplement à x = o.
C'est la conclusion donnée par M. Jordan; mais qu'il est peu
LETTRE 191. I" '•
agréable et |>eu honorable de faire disparaître les radicaux comme
font les derniers des (''colins! En tout cas, La remarque est, je
crois, à faire dans mon premier ou mon second volume.
En attendant votre avis, croyez toujours, mon cher ami, à mon
bien sincère attachement.
M. Sonine, professeur à Varsovie, ;i trouvé une forme nou-
velle du reste pour la formule sommatoire d'Euler et celle de
Stirling.
Dans celle dernière, au lieu du terme complémentaire
0 . H ., [
il obtient
m o < 9 < -
,n{-in — ii .r1" ■'
> m >.n — i) {ce -h 0)2"-1
\ ous verrez son article dans les Comptes rendus de la prochaine
séance.
191. — STIELTJES A HE R MITE.
Toulouse, 5 avril 1889.
Cher Monsieur,
Je ne peux assez vous exprimer le plaisir que vous me faites en
acceptant mon offre de vous aider à la correction des épreuves
dune seconde édition de votre Cours, et je ne pourrai m'occuper
plus utilement pendant les vacances, car les terribles chaleurs, à
Toulouse, ne permettent point un travail un peu difficile.
C'est vous qui m'avez appris quelque chose sur les intégrales X„ ;
sachant ce qu'a fait là-dessus M. Heine, je n'ai pas pensé à faire
mieux; votre méthode à lever l'ambiguïté du radical dans la for-
mule / - — r =r me semble bien préférable. La seule chose dans
, ' A t- -t- B '
o
ma lettre qui pourra vous avoir été agréable c'est la méthode
simple (de M. Heine) de reconnaître que les parties réelles de
\i p -r ~ \/x-
ont toujours même signe et s'évanouissent simultanément.
\n\ CORRESPONDANCE d'hKRMITE KT DE STIELTJES.
\ \ rai dire, je ne s;n> pas si ce que je vous ai écrit sur I intégrale
III er-*tdxdy
a été rédigé avec assez de soin pour être imprimé. Si vous croyez
qu'il suit préférable < j 1 1 < • je refasse une uouvelle rédaction, je mus
tout disposé à la faire.
L'expression «In reste de la formule de Stirling de M. Sonine
est bien jolie. Il y a quelque temps, j'ai trouvé une démonstration
(pour ainsi dire s\ nt lié tique) de la l< >i ni n le
h >g l' i a l — ( a ) log a — a + - log! lit) -4- J (a
(jui me semble assez curieuse, étanl fondée sur votre notion de
coupure dune intégrale définie el votre formule pour la différence
des valeur- d'une intégrale définie aux deux bords de la coupure.
Mais, comme cela se rapproche un peu des recherches de M. Bour-
guet, je ne veux pas publier a vanl lui.... \ussi. la détermination
de la constante - logl •>.- > qui figure dans la formule s'obtient plu>
royalement dans ma méthode que d ordinaire.
\\ant rédigé à peu près cela cl sachant que vous donnez dans
votre cours la théorie de la fonction l\ je vous offre ce que j'avais
écrit là-dessus, ce qui, bien entendu, ne vous oblige nullement à
le lire ni à me le renvoyer; vous pourrez détruire ce manuscrit,
car je ne songe nullement à le publier.
Je suis toujours entièrement abîmé dans mes fractions continues.
Mais ne faudrait-il pas publier en même temps dans le Bulletin
votre premier calcul de
/ / e-(rt*M-26.>r+cyS| dxdy
par un développement en série. C'est là une méthode, peut-être
moins simple que de poser ./ =pcos'J. y— osinO, comme vous
l'avez remarqué..., mais elle pourrait bien s'appliquer à d'autres
cas.... C'esl ce que je dois laisser à votre jugement, .le joins
seulement la lettre qui contient votre calcul.
En \ous renouvelant, Monsieur, l'expression de ma vive grati-
LETTRE 19-2. !"•>
tude pour avoir bien voulu accepter mon offre, je suis toujours
\ ni ic très dé\ oué.
192. — HERMITE A STIELTJES.
Pai is, 8 avril i88g.
\l<>\ CHEB \MI,
Je viens de donner à M. Darboux voire détermination de l'inté-
grale III (T*t dxdydZ) dont la rédaction m'avail paru excel-
lente, sans <|ne j'y aie trouvé un mot à changer. Mais, pour plus de
sûreté, M. Darboux \<>us enverra les épreuves à corriger, ce qui
\ous permettra de l'aire les changements i|iie nous jugerez à propos.
Ai-je besoin de \ous exprimer avec quel intérêt j'ai lu la brillante
esquisse de la théorie de la fonction logr(a) que vous m'avez
envoyée! Je dois, la semaine prochaine, partir de Paris pour passer
en Lorraine, dans ma famille, le temps des vacances de Pâques;
c'est de là que je me propose devons écrire ce qui pourra mètre
suggéré par l'étude attentive de votre théorie si neuve et si origi-
nale. C'est aussi pendant ce temps que je voudrais rédiger à tête
reposée, comme vous l'avez à Toulouse en province, plus facilement
que les malheureux Parisiens, les applications de la méthode de
Laplace dont nous nous sommes entretenus. Mais je suis bien
malheureux en ce qui concerne %{x) et H(#); il faudra me borner
à l'indication bien hasardeuse qui consiste à prendre un terme de
plus dans l'approximation de l'intégrale définie qui n'est, hélas,
qu'une approximation de la série à évaluer. Ce qui adviendra de
ma tentative sur 6(.r, y), je ne sais, mais je ne vous cache pas
que j'ai peu de confiance dans le résultat, à cause de l'expression
assez compliquée qu'on trouve pour le maximum de la fonction
<g2/llyïn g— («.«•2+26.(>'+<'jf';i>
\ mis serez donc, mon cher ami, pendant les grandes vacances,
mon collaborateur et mon associé pour une œuvre dont je serai à
profiter seul ; j'accepte votre concours et, je vous le ré pèle, de grand
cœur; sans vous, le courage m'aurait manqué et je n'aurais pas
4o6 CORRESPONDANCE D'tlERMlTE ET DE STIELTJES.
entrepris cette seconde édition si nécessaire pour qu'après moi je
laisse un Ouvrage élémentaire moins incorrect.
En vous renouvelanl mes remercîments et l'assurance de mon
affectueux attachemenl .
M.
193. — HERMTTE 1 STIELTJES.
Paris, 12 avril 1889.
CHER \mi.
Ne soyez poinl surpris si ma correspondance esl un peu inter-
rompue, un nouveau deuil de famille m'oblige de partir en
Lorraine.
Je ne sai> poinl au juste quand je serai de retour à Paris.
Pour essayer de me distraire, permettez-moi de \01is duc com-
ment, à la leçon que je devais faire demain et que je ne ferai pas.
je me proposais de donner les deux formes du terme complémen-
taire de la série <!<• Stirling.
Après avoir obtenu
r-
1 ,, ■ ' - (/./■.
ou
- p) = a 7 — ; , „ , ( n = 1, 2, 3, ...),
ce « 1 1 1 1 permet d écrire
J
je pose
Il \ icnt ainsi
- V
/ •te" • d.r
f" >.e"x dx /"" ae*"T-ï d\
. '_ r'1 -+- \ n "- -"■ J_ nrA\- -f- ci-
el, en changeant ç en — ;
.0 ., —t j»
LETTRE 19'*. 4<>7
Cela étant, !<• dé> eloppement loe( 1 — e--7^) = — N . donne
immédiatement
,0alog(i — e-«*Ç) ,6
Je vous renouvelle l'assurance de mon affectueux attachemenl
194. — STIELTJES A HERMITE.
Toulouse, i5 avril i.S.Sj.
Cher Monsieur,
Je vais vous présenter quelques remarques très élémentaires :
c'est votre grande bonté qui me fait espérer que vous les ac-
cueillerez avec indulgence.
Il y a quelques mois, vous m'avez fait remarquer que le coeffi-
cient du binôme (m)H est divisible par ., d étant le plus grand
commun diviseur de m et n. Donc (2«)B, terme constant dans le
développement de ( x H — ) > est un nombre pair. Mais je trouve
que ce nombre est aussi divisible par n -+- 1 . Voici quelques
exemples :
n. (2/*)„. (2«)„:(n + i).
1 2 1
2 6 2
3 20 5
4 7° <4
5 252 \l
6 924 1 >•>.
7 3432 429
C'est ainsi qu'il suit que j'ai été amené à cette remarque. Je
\oS CORRESPONDANCE 1)111 IUIITF. KT DF. STIELTJF.S.
considère la fraction continue
Il esl clair que la réduite d'ordre h a cette forme
x'>-i -4- a x"-'A -+- b .r"-5 — . . .
x" ■+- a'xn-2-+- b'x"-'*-^. . . '
a. h. ...: a', b', ... élant des entiers. Donc, par La division, on
soit que, dans le développement suivant les puissances descen-
dantes «le x
F= ^ — — h— — ....± X" qr...
tous les A/ sont des entiers.
Mais
F _ y/a?2 -f- 4 — -y _
d'où Ton tire sans peine.
A„ = i.
A„ = ( in |M .
n. -+- i
.le n'ai pas cherché une démonstration purement arithmétique.
J'ai commencé par dire que (p.ri)n est pair. mais, pour savoir au
juste quelle est la plus haute puissance de i qui divise (2 /?.)„, je
calcule les nombres
„-k(2). „=>(?). —^(a). ....
et j'ai la règle suivante :
Si, parmi les nombres
n, n |, //■>. /? ).
(dont le dernier est i) il y en a À" qui soient impairs, alors 2* est
la plus haute puissance de a qui divise » 2/î ■„.
D'après cette règle, si je suppose n = 2* — i , j'aurai
ni='2ie—l — \. n-i= ■iK'-- — i. .... /2/,-i = 21 — i;
LETTRE 19k.
4og
donc, dans ce cas, •>.*= n + 1 est La plus liante puissance de 2 qui
divise (î/i)n, c'est-à-dire le nombre A„ est impair. J'ajoute que
Ions les autres nombres A„ sont pairs.
En effet, d'abord si n est pair, A„ l'est aussi parce « | u<> 1 2 n )n esl
toujours pair. Je n'ai doue qu'à considérer le cas où n est impair
niais point de la forme 2* — 1 .
Ainsi, on aura
n — ir m — 1 ,
m étant impair et au moins égal à 3. Cela étant, on a
nt = ■>.''- l m — 1 ,
n-> = a''-2 m — 1 ,
pair et d 2.
Donc, dans la série
") "i- "2,
il y en a au moins / + 1 qui sont impairs, savoir les /• premiers et
le dernier. Donc, si is est la plus haute puissance de 2 qui divise
(2n)n, on a
s 1 r -+- 1 et n -4- 1 = 2'' m ;
donc Aw est pair.
Voici une curieuse génération des nombres A„. Je forme le
Tableau suivant :
0 1
6
9 10
1
■2
2
5
5
9
5
i4
'4
42
I
I
3
4
'4
28
48
27
1
i
6
20
i
1
7
8
1
r
90
75
4io
COIIRFM'i'MuMH I) HEIOIITE KT DE STIELTJES.
il après la règle suivante : Soit la colonne verticale à l'en-tête
ci avant
pai
on en déduit
n — i
x-t- p
P - Y
ï - r>
A-l
I
/; impair
/* -4- I
a
P + «
Y+P
i + l
i
\ ous voyez figurer dans la première ligne horizontale les
LETTRE 194. 4 ' '
nombres A„, mais ce <]ui est plus curieux 1<' voici : Prenez la
somme des carrés des nombres qui se trouvenl dans une colonne
verticale, on retrouve la série
i, i, >-, "), il, 4'»., i32, >'\>\), i i '■:<>, |SC)>. 16796,
= A0, A], A2, Aj, Av, A:;. A,,. \7, A8, A,,. \, .
Mais ce n'est là qu'un cas 1res particulier d'un autre résultai
que j'ai obtenu en considérant ce problème.
Etant donnée une fraction continue
F = c"
'•1
Ci
Cs
en déduire le développement
__ An Al A a . h. H
F = — H r — • ■ • -+- — l )" —r^ZT -+"
J'ai été surpris de voir qu'il restât encore à trouver quelque
chose sur un sujet aussi élémentaire.
On s'assure aisément que Aw est une fonction entière homo-
gène de degré n + 1 des quantités c0, ci: ..., cn, les coefficients
étant entiers et positifs.
La solution que je propose est renfermée dans les deux
théorèmes suivants :
Théorème I. — La forme quadratique
0 0
est égale à
c0 [ a0 X0 -4- a, \ 1 -+- a2 \ 2 -+- a3 \3 -+- . . . ]2
+ c0c,c,[[31\1+ p2X2+ p3X3 -+-... ]2
-+- c0 c, c, c3 c4 f y2 \2 -+- Ys X3 -H . . . ] 2
-I- C0 Ct C.,C:iCtC5C6[ 03X3-(-. . .]-
! I ' CORRESPONDANCE DHKKMITK ET DE STIKLTJES.
Théorème II. — L'i forme quadratique
est égale à
7 7 h-i+ki-i XjXa
c.Ci | a0 \n — *i X, -+- a, X, — X3X3 — . . . J2
-4-CoC,C2C3| 3,\,-t- 3o\»-f- 33\:, — ...]2
-1- c0 f'i c2 c3 c4 c3 [-;.;> X2 + -;:i \ 1 — . . . |'2
Les coefficients
%\t y.i. y.,.
Ph p2i pSi
Y»- Y»i
(qui tir sont pas les mêmes dans les deux théorèmes) peuvent
être considérés comme connus, on les calcule à l'aide de relations
récurrentes d'une grande simplicité.
En effet, si je forme le Tableau suivant :
(T,
Ci Ci-hC»
c
ÎH-CiC2
Cl
+c,+c3
1
C'j— (j-;- 2C! C2— <j r . Cf -+" 2Cf C2 -H Ci C| -+- Ci C-2 C%
C\ -+- c2-f- C3-)- C4
cf-i-c|-7-3Ci C2-H2C2C3-l-C§+C3Ct
Ci -r- Co H- C3 -i- C4 -+- C3
LETTRE 194.
ï ' 3
(I après la loi sm\ ante
on déduit
n -+- ï
a -+- c-2 !S
? -+- c4y
T -+- cr, o
X H- C„
I
impair
on déduit
n + ï
C! a
c3^ + a
c5Y -+- p
c,s_2 X -+- A:
C„,l + 1
i
(14 CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJES.
Cela étant, si j'écris à part les colonnes de rangs pair et
impair
(1
2
i
6
8
*o
«1
'xi
*3
«»
Pi
h
P.
p*
Ï2
Y:*
Y*
§3
84
£,
1
:;
,')
7
a„
«,
X->
<*s
Pi
h
Pa
Y2
Va
83
j'ai, dans le premier cas. les coefficients qui figurent dans le
théorème 1. dans le second cas, les coefficients qui figurent dans
le théorème 11.
Si, dans les deux théorèmes, je ne considère queles termes avec
les carrés des variables, j aurai
A,, = < |,
A, = r,,,^.
A2 — '■„(■] — C0Ci r,.
A3 = CoCil cj + c2 I2 — '■-,<-, '_.'■;
A; = '■„''•] -H r,r, |2_,_ Co Cj C2 I Ci — C2 — C3 r — C0C, C2C3C4,
A5= c0c, (c\ - : tc1c2-4- c2c3 -
— CoCiC2C3| C, — C2-+- C3-f- Ci )2-+- C0C, c.r ,, , , .,.
Vous \ovez que si l'on a poussé le Tableau (1 1 jusqu'à la
colonne n on peut écrire immédiatement les valeurs de A0,
A, \„.
Mais vous voyez bien maintenant comment mes recherches sur
les fractions continues m'ont amené, de la manière la plus natu-
LETTRE 195. I l5
relie, à considérer ces nombres -4,,= (2/1 )« dont j'ai voulu
vous entretenir.
En vous renouvelant, cher Monsieur, l'expression de mon
attachement bien sincère et très dévoué.
195. — HERMITE 1 STIELTJES.
Flanville, par Noiseville (Lorraine), 17 avril 1889.
Mojn cher Ami,
\ otre lettre, qui m'intéresse vivement, me parvient en Lorraine
où j'ai été appelé par un deuil de famille, comme je vous l'ai écril
avant de partir. Je m'empresse de vous informer que, dans l'un de
ses nombreux Mémoires dont je pourrai, s'il est néeessaire, obtenir
l'indication en m'adressant à lui-même, M. Catalan a obtenu la
propriété du coefficient binomial {'in)„ à laquelle \<>u> avez été
conduit. De quelle manière l'a-t-il démontrée, je ne le sais, mais
voici la mienne. Considérant, en général, l'expression
m (m — 1 ) . . . ( ni — n -+- 1 ;
( m )n = - —,
1 . 2 . . . n
je désigne par 0 le plus grand commun diviseur de m -+- 1 et /i, et
je pose la relation
0 = (m + i)A + «B
où A et B sont entiers. Cela étant et après l'avoir écrite ainsi
0 = 1 m — n -h 1) A H- (A -t- B ) n,
je multiplie les deux nombres par le facteur
m ( m — 1 ) . . . ( m — n -+- 2 )
1 . 2 . . . n
ce qui donne facilement
nu m — [)•••( m — n -+- 2 ) &
— — — — 8 = ( m )„ A -+- ( m )„_, B.
En représentant par E le second membre qui est entier, on a
4l() CORRESPONDANCE d'hERMITE II DE STIELTJKS.
(lune
i m 1,0 = (m — n — i)E.
1)1 Il I
cl vous voyez ainsi que i m •„ esl divisible par - — ^ — — • Soit
ni = ' //. les entiers ■> . // — i el n son! premiers entre eux, o = i ei
le coefficient (2/i)w est effectivement < li visi ! >le par ji-|-ij mais
votre méthode, tirée d'une identité algébrique, est puisée à la vraie
source des plus importantes propriétés des nombres. Je vois avec
infiniment de plaisir combien vous avez heureusement profité du
rapprochement si original el dont personne n'avait jamais eu l'idée
(\<- la décomposition en carre- des formes quadratiques à \]n nombre
infini d'indéterminées avec la théorie des fractions continues algé-
briques. Le Mémoire auquel vous travaillez sera extrêmement inté-
ressant, on se rappellera peut-être en vous lisant, qu'autrefois, il v
a bien des années, les fonctions" V, Vt, V2, ••• du théorème de
Sturm, qui onl pour origine un développement en fraction con-
tinue, ont été .iiis-i rattachées à la décomposition en carrés d une
forme quadratique, mais ces questions sont maintenant si loin de
moi, qu'il me faudrait pour v revenir un effort que je n'ai pas le
courage de faire. Et puis je vais tacher de rédiger les applications
de la méthode de Laplace dont je dois faire un article pour
l'Institut de Bologne. En comptant au besoin sur vous, mon cher
ami, pour ce travail si quelque chose survient qui me fasse obstacle,
je vous renouvelle, avec mes félicitations pour tout ce que vous
venez de rencontrer, l'assurance de mon bien affectueux atta-
chement.
196. - STIELTJES A HE H MITE.
Toulouse, 22 avril 1889.
Cheii Monsieur,
Vous avez parfaitement raison, parmi quelques Mémoires de
M. Catalan, que je possède grâce à l'obligeance de l'auteur, se
trouve un article Sur les nombres de Segner. M. Catalan désigne
par Tn le nombre de manières dont un polygone convexe de
n côtés peut être décomposé en triangles au moyen de ses diago-
nale-. L'on a T.-, = 2. Ts = 5. Tc= 1 \. ..., ce sont précisément
LETTRE I9G. \\~
les valeurs tic Â.2j A:î, A-,, ..., el il doit y avoir lu -dessus des articles
dans les Tomes III etTV(ire série) du Journalde Liouville.
Je reviens un instant sur mes formules
(I) ) ) A/+/,.X/X,,. =c»(«o,ii^o+«o,iX1+a(),2X2+...)'-
-+- (•„f1c.,(aMXI+ ai]2X2-4-. . . i-
-I- C0 Ct C-i C.t Ci ( (7.,,, \ o -I- . . . I-
(II) 22A''+X'+lX/X/,'= coCi(/>o,oXo+6o,iX,H- 60,îX2-H. . .)*
h- c0clc2c3(6i)1 X,-t- 6i,2X2-t-. . .)2
-4- C0 C'i C'o C3 C4 C5 ( 62,2 X2 ■+- . . . Y2
pour remarquer que leur vérification est, pour ainsi dire, immé-
diate.
En effet, supposons que, par le développement des seconds
membres, on obtienne
22a'.*x*x* et 22PaXi"XA'
je dis d'abord que l'on a
En effet,
*/, /«-m = Co#o,j«o,/.-m ■+■ CoCi^a^j-a^A+i-l-. . . .
?/,/. = c0 c, è0,j60, a- H- c0 ci c2c3 6, ,,-6i,a- -f- ...
mais les lois de récurrence sont
6o,«= «0,«+ C2Oi,n,
&i,» = «i,«-+- c4a2)W,
O, „ = Cl-ii, -H Ci; rt:ji„,
et
«1,/j-m = 60,rt-+- c3 /;,,„,
a2i„ , i = A,,,, -+- cg62)„,
«3,«+l = 6-2,/; + C763i„.
1 l S CORRESPONDANCE D'iIERMITK ET DE STIBLTJES.
Exprimons donc les a0 *+l |>;h' les //t,^ et les b0 t par les a0 /, ... r
on aura
k/,*+i = c0a0,«(ci6o,A-) -+- CoC1c2ai,»(èo)A-+- Cj^i.â)
-+- c0 C^Cjr, Ci a2j( bu/c-h C-ab.2J;) ■+-.-..,
P/.A = c0Cibo^(a0liH- c2aui) -+- c0CiC2c36l,A(ai),-l- c4a2,,)
H- CoC^oCaCiCj^;,,/,! «2,, -H c6a3,,-) -t-. . . .
L'identité de ces expressions est manifeste.
Il esl clair qu'on a pour la même raison
donc
a<\A-)-i = a«'+l,A,
d'où il est facile de conclure que l'on a généralement
lorsque
i -+- /.' = r -+- s.
On voit par là qu'il existe effectivement une série de quantités
A,,. A] . A;. A.î.
qui satisfont identiquement aux relations (I) et (II).
Ce point établi, on connaît aussi les valeurs des déterminants
P« =
A, ... A».
^•«-1 ^2n-
et l'on en conclut que la série
Q.=
A, A2
A„ . .
A.2/1 1
A0 A] A 2 A3
X x'2 X6 X*
donne la fraction continue
'■:<
LETTHE 196 .4 19
Vous voyez que celte vérification est bien simple, m;iis j'ai été
conduit ù ces formules par l'examen attentif de certains cas parti-
culiers, principalement ceux que j'ai indiqués dans les Comptes
icn dus dernièrement.
Mais je vais montrer maintenant que l'on peut se dispenser de
considérer La forme quadratique
22A/+/,'+iX'X/"
à condition d'écrire La fraction continue sous une forme Légère-
ment modifiée.
On a, en effet, aussi
à.q A[ Ag ^ ^ Ço
X X'1 X3
X -+- cr
CaCi
X -+- C-2 -+- C3 —
X -t- C\ -h Cs — .
la />""ie réduite, ici, est identique avec la (2/?)"""' réduite de La
première fraction continue.
D'autre part, d'après l'algorithme, on a
««,»•+! = CfH-Cg-K ..-+- c2„+),
en sorte qu'on peut énoncer cette proposition :
L'identité
VV A/+*X/X* = EofX + ajXj-t- a2X2 -(-...]*
+ ei[X,-HptX, -+-...]*
+ £2[X2 + ...]2
entraîne cette autre identité
■^o_AJ,AJ_:Ai_|_ _
37 a?2 ^:i ic*
a?-t-Y3— fV
J'ai pensé aussi comme vous qu'il doit exister certains rapports
entre mes formules et les recherches sur le théorème de Sturm et
420 CORRESPONDANCE d'hERMITK ET DR STIELTJKS.
sur votre méthode pour trouver le nombre des racines réelles,
basée sur la considération de certaines formes quadratiques. Ces
deux méthodes, si différentes au premier abord, ne le sonl cepen-
dant pas pour le fond, je crois. Mais, en ce moment, je n'ai pas
toutes les facilités puni- étudier ce sujet, la bibliothèque étanl
fermée pendant les vacances.
Veuillez bien me croire toujours, cher Monsieur, votre profon-
dément dévoué.
197. _ H El! \llïi: I STIELTJES.
Flanville, 25 avril 1889.
Mo\ CU Kl! A. Vil,
Il me semble qu'il n'y ait plus rien à ajouter au dernier théorème
que vous m'avez communiqué; 1 identité
^A,-+tX,X,,= £0(X -j-a1X,-H...)2+s1(X1-i-p2X2^...)2-^...)
d'où \ ous concluez
Am) Ai A2 _ eq
x -r1 x:< s, :en
x -+- a 1 —
X ■- fS2 — «!-!-.._
constitue un résultat définitii et que je juge le couronnement de
vos recherches. Ce n'est point du premier coup que vous y êtes
parvenu, mais vous n'avez pas à regretter vos efforts; il 11 y a cer-
tainement rien dans les nombreux travaux dont les fractions con-
tinues ont été le sujet, de notre temps, qui approche de votre beau
théorème. Le point de vue sous lequel nous vous êtes placé est
entièrement nouveau et, quand j ai, autrefois, touché à la question
eu m'occupant du théorème de Sturm, c'est d'un autre côté que je
me suis dirigé, comme vous allez voir, par la remarque suivante,
qui esl d'ailleurs >au^ portée. \ ous savez qu'en posant
\ = 1 x — h m X — b ) . . . ( x — / ),
si l'on envisage la forme quadratique
F = — — (X -+- aY-h. . .)«H l—r ( X - 6Y + . .)* + . . .,
LETTRE lî>7
421
qui esl une fonction symétrique des racines, !<■ nombre des carrés
rsi égal ;m aômbre des racines réelles moindres que .r, augmenté
du nombre des couples «les racines imaginaires, lu si Ton pose
F = V A,-,/ X, \/, (i, /> = 0, 1 , i, ...), Ai)A= A/,.,,-,
les coefficients de ces carrés sont lu suite des déterminants
Aq.O y-' -^1
A 0,0 *1,J
■^2,1 '^1,1
Généralisons en remplaçant la forme F par celle-ci
1 p
— ■ ( X -+- aV -h . . . )■- H r (X ■+- 6Y-+- ... )2 H- ... - ft>
el soit
v
y. = y a
V <£.* -
AB(a- by-
(x — a) (x — b)
Ao,
A,,
V, _ yi ABG(a-6)Mff.-c)2(6-c)2 _
V ~ ^ (x — a){x — b)(x — c)
J'observerai que les quantités A0, A,, A.,, ... ne changent point
en remplaçant dans <t> l'indéterminée X par
X - ./Y — x* L — . . . ,
ce qui donne la transformée
A
2
Cela posé, soit
| X -+- ( a — x ) Y -4- ( a * — x 2 ; Z -+- . . . | « = 0 .
Vous voyez ensuite que tous les autres coefficients sont des.
polynômes entiers en x, et de l'expression sous forme de cléter-
I • '
minant
CORRESPONDANCE I) HK.R>IITE ET DR STIEI.TJES.
£=*,-,=
y,
V
Pu,.
Pl,0 ''l.l
■<».;' • 1
Pl.l-Hi
'/ • 1,0 * l-Hl,
P«-
résulte qu'on peut écrire, en désignanl par G et H des polynômes
entiers,
V,
c'est-à-dire
Y=GV'
V,= GV,
II.
H\.
Mais peut-être \ audrait-il mieux employer, au lieu de la forme 0,
cette autre transformée de #, pour laquelle les quantités A, sont
les mêmes que dans F,
7 — ■ rX-H(ar — a i\'-h (x — a )2Z -H. . . ]-.
-~ x — a
Les coefficients s'expriment alors parles sommes des puissances
\\.r — a )"' = S,,.r'" — mx S, a-'»-1 -+- />/2S2.r"' ■* —
Encore un mot au sujet de l'intégrale / f(x)dx et de la
méthode de Laplace, qui consiste à poser f(x) = f(a)e~r' lorsque
f{x) n'a qu'un seul maximum pour x = a.
En posant F(x) = i / log'-j- — , cette équation devient F(#) = t,
avec la condition de x = a pour / = o. Ne convient-il pas de
remarquer que la valeur de x sous forme de série en t se tire de la
formule de Lagrange pour la résolution de l'équation x = a-\- t '-d(x),
- •> lorsqu'on fait, après la dinerentiation,
— i . i . . . n ' l
x = a? Il suffit, en effet, de poser — =F(x) pour obtenir la
proposée.
En vous informant que je serai de retour à Paris dimanche, je
vous renouvelle, mon cher ami, l'assurance de mon bien affectueux
attachement.
LETTRE lï)H. 4^3
198. — STIELTJES A HERM1TE.
Toulouse, •>-] avril 1889.
Cm: 11 Monsieur,
Il y a certainement des rapprochements ;'i faire entre mon travail
et les travaux classiques sur le théorème de Slurm et sur votre
méthode. La forme quadratique
F= — - — (X0-4-«Xi-t-a2X2 + ...)2
x — a
1
x — b
(X0H-ôX1-+-6*X2-f-...)2
est aussi de cette forme particulière j A^X/X^-, le coefficient
de XjX*. . . dépendant seulement de i -f- k ", et je remarque encore
que le point de départ de mes recherches est la recherche du
minimum d'une intégrale
rf du . . „ , ,
[i -+- ai(x — u ) -h a-2(x — a)2 H-. . . -t- an(x — u)n\ au;
f
J x — u
c'est peut-êti'e aussi à rapprocher de l'expression F. Mais nous
voilà à peu près arrivés à la fin des vacances et, mon travail ayant
pris plus d'extension, il me reste encore beaucoup à faire.
Je ne crois pas me tromper (mais je n'ai pas en ce moment la
bibliothèque à ma disposition) si je me rappelle que votre remarque
sur l'application de la série de Lagrange au développement de x
suivant les puissances de t ayant f{x) = f(a)e~l* se trouve déjà
dans l'exposition même de Laplace de sa méthode.
Voici une curieuse identité algébrique que j'ai rencontrée che-
min faisant. Parmi mes fractions continues est la suivante :
n
e~x* dz
j 2 | CORUESPONOANCE D HKRMITK ET 1)F. STIKLTJES.
pour a = i . 2 . on retombe sur les deux premières que j ai obtenues,
cette formule est même renfermée dans une autre où figurent deux
paramètres a el b.
Mais je prends a= — n. n étant entier et positif, alors
(»)„ (n)i // i: I n ),,
x -+-
2'
2 ( /l — I )
3(n — a)
Je ne crois pas que ce soil facile à démontrer dune autre façon.
II me faudra encore beaucoup de travail pour coordonner les
résultats que j'ai obtenus et surtout pour m'assurer qu il n en reste
pas d'autres qui m'auraient échappés, de manière à avoir un
ensemble à peu près complet.
En vous renouvelant, cher Monsieur, I assurance de mon entier
dévoûment, je suis toujours votre très reconnaissant.
199. — HERM1TE A STIELTJES.
Paris, 5 mai 1889.
Mok cher Ami,
J'ai donné dernièrement, dans une leçon, pour origine à la série
de Gudermann, qui a beaucoup attiré votre attention, l'intégrale
r° ,e'(t — i)-t—>. ,
J = / eat— —- — - dt.
En employant l'identité
1
= 1 -+- e' ■+■ . . .-+- eK
on obtient, en effet, une somme de ternies représentés par l'inté-
grale
s:
» «'('-»>-«-»..._
= («+,+i"«'^
LETTRE 199. 425
avec un terme complémentaire
/ e[a+"H 7TT-, x dt
qui reproduit La quantité J en > changeanl a en a-\-u. Comme
on ;i J=-— , où z est -< 1 , le terme complémentaire a pour
limite supérieure et devient nul pour n infini, ce qui
1 \>(a-\-n) ' '
démontre la convergence <le la série
2[(«-H*+i)l0g('.+ Ji-Jt)-.] (A = Of. ,»,...)■
Je suis peu satisfait de ee que dit M. Serret dans le second
volume de ses Leçons, pour démontrer directement cette conver-
gence. Il me semble nécessaire, en restant dans le cas de a réel et
positif, d'employer le développement
»<*<. + ■*■) = *— g + g- jc-To*)* (0<,)
qui donne pour limite supérieure du logarithme la quantité
On trouve facilement
a -+- k -r - ) log ( 1 -+ — T
■>,/ \ a ■+- k
i2(a-t-£)2 6(a-+-ky
d'où une somme de deux séries convergentes, pour limite supé-
rieure de la série proposée.
Vous m'avez bien surpris en m'apprenant que la forme quadra-
tique
V ' (\-f-a\'-+-a*Z+...)2
_ x — a
appartient au type 7 Ai+aX,-Xa, dont vous avez le premier reconnu
426 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
l'importance; il en esl de même évidemmenl de celle-ci
7 - — [X-r-cr — aX)L-\-(x — a)*Z-H...lî,
_- t — a
dont j'ai fait aussi usage. Mais y aurait-il Lieu, pour l'Arithmé-
tique, de distinguer ces formes, et intérêt de chercher, ce qui est
encore une question d'Algèbre, les substitutions qui conduisent
a t\r^ transformées de même genre 7 A!i+klL'i X^".'
En vous renouvelant, mon cher ami, l'assurance de mon hien
affectueux attachement .
200. — STIELTJES A HERMITE.
Toulouse. 7 mai i SS9.
Cher Monsiei r .
Me sentant un peu fatigué, et aussi ,1 cause de mes conférences...,
j'ai dû interrompre, pour une dizaine de jours, mon travail, mais
je compte bien le reprendre bientôt.
\ oici une petite remarque, sans aucune portée d'ailleurs, que
j'ai faite sur un passage de La Théorie analytique de I" chaleur
dont nous devons une si helle édition à M, Darboux.
Fourier, pour obtenir le développement
1 = a cos.r -f- b cos'i.r -+- c cos 5x — dcosyx — . . . ,
pose x = o dan9 cette relation et dans celles qu'on en déduit par
des différentiations successives, il obtient ainsi
1
=
'/
—
b
■+•
c
-+-
d
— . . . .
0
=
a
—
3-
b
-h
5-
c
■+-
7:
•d
-t-...,
0
=
a
■+-
V
•b
-t-
3'
■ c
-t-
7*rf
—
0
=
a
+
3«
b
-+-
5«
C
-+-
y6d
H-...,
n de ces équations lui donnent les n premiers coefficient- et,
posant ensuite n — oc, il obtient
4 / 1 1 . 1
1 = — ( cosa? cosia? cos 5 a? — - cos 72* — . . . .
" j a 7 /
LETTRE 200. 4^7
Il es1 clair que cela reviem à déterminer une expression
cb„ (./:) = rt| cos.r '/-, l'ns'ir ... o „ rosi >. /> — 1)37
par La condition que le développemenl de »«(#) soii de cette
forme
( )r, je remarque que l'identité
(2isin#)2"-' = (e'x— e-t>)î«-i
donne facilement
(sin^)2" ' = A„
(il— I ) ( rt — 2 )
sina sin3j" -t-
n 5 a? — ... ,
A„ =
3.5.7. . .(2/1 — 0
4.6.8. ..(-2/1)
On en eonclnl
Jf ( sina?)8"-1 dx
II
1 ( n — 1 ) ( n — 2 )
= B„— A„ cos.r — „ cos3.r 4- -. <'"s ">•''
[_ 3 n -+- 1 5(n + i)(ft4-2)
■■]■
/* * , 2 . 4 . 6 . . . ( 2 n — 2 1
«/„ 3. 5. 7. ..(2/1 — 0
et il est clair qu'on aura nécessairement
A„ f 1 n — 1 _ 1 (n — 1 >(n 2)
(1) œrt(ar) = -— cos2a? — T cos3^+ j - — -cos5:r — ... .
■ ' B„ [ 3 n + i 5 (n-+-i)(n-t-2)
(2) 1 — <p„(a?) = / (sin.r)2" -1 dx \ I (s\nx)i"-i dx.
«A «-Ai
11 est facile de constater l'identité de (i) avec le résultat de
Fourier, on a notamment
A„ H2.52. ..(an — O2 .. A„ 4 .
— - = : et Iim-^r- = - (n = oc).
B„ (32— 1)(5*— 1).. [(an — i)2- i| B„ ir
A l'aide de (2) il est facile de démontrer qu'on a
lim[i — ©„(#)] = o (/i = co)
I !» CORRESPONDANCE IMIKUMlïl ET DE STIELTJES.
tant (|u on suppose — " << x <i-\- - • En effet, ><>it
1 / i >'\n.f |2" l dx
• 'o
t'\ idemment
C„+,< sin2.r.C„ et Bw+1 = — B„;
2 /* + I
«lune
I — - m i ' ■'■ I Cn-t-i . 0n . / I \ . ,
— = ,r I i-— <' ( H SII1J./'.
i — œ I. ., i B„ V, m '
Donc ce rapport i — '?n+i(&) '. ' — 'fn(&) restera inférieur à un
nombre fixe X compris entre sin-./1 el i. pour <\r< valeurs sufli-
samment grandes de /i, d'où
lim [ i — cp„ (x)] = o (n = se).
Kn faisant croître n indéfiniment, L'équation (1) donne donc
i = I cos;r — - cos3.r — - cos \x — . . . I
•1 2
Pour établir ce résultat en toute rigueur, il faudrait montrer qu'en
posant
b = cos y — - cos3x -+- 7 cosja? — . . . ,
c, i « — i [ (« — i)(n — 2)
b = cos.r cos3^ -+- = cos 5x — . . . ,
i n -+- i 5(/i-+-i)(re-t-2)
on a
liai (S — S') = o (n = oo).
Ce n'est pas difficile, mais peu intéressant. J'ai écrit un petil
article sur ce sujet pour les Nouvelles Annales ('). On peut
obtenir d'une façon analogue le développement
i i . i i . „
- x — - sin 7.x si n Ax ■+- - sin bx —
a 2 4 t>
— - <X <-+- "•
(') A'ote des éditeurs. — L'article a paru dans le Tome VIII, page '172, de la
3e série des Xouvelles Annales de Mathématiques.
LETTRJ5 201. I SQ
Soii d'abord
6„lr) = a, siii').,r •-... a„ si n '2 tt#
avec la condil ion
'|/„(.r) = x -+- /„.x'2"+'h- /<„, !•'•-" ' :1 -+-
On obtient <lw( a?) en remarquant que
ij; „(./■) — a?
ne diffère que par un facteur constant de
/ ( sina?)î,J </.r
\ euillez bien agréer, cher Monsieur, la nouvelle assurance de
ion sincère dévoûment.
201. — U ERMITE A STIELTJES.
Paris. 10 niai 1889.
Mon cheu Ami,
Vous ne pouvez pas douter du plaisir que j'ai eu à lire votre
ingénieuse et élégante analyse et vous voudrez bien recevoir mes
compliments pour ce que renferme d'entièrement neuf l'équation
on(x) = 1 -+- knxin-\-. . .; n'y a-t-il point là quelque écho éloigné,
quelque réminiscence des fractions continues? Maintenant, je
viens faire appel à votre charité en appelant votre attention et vos
observations sur la façon dont je présente la méthode de Laplace
sur le développement des coordonnées elliptiques (Mec. cél., t. V,
Supplément). Je raisonnerai de préférence sur l'anomalie excen-
trique au lieu du rayon vecteur; on a alors la série
eJ" _
u = t ■+■ e sin t -+- .
1.2... m.im— '
m'"-1 sin mt — m\ (m — -i)'"-1 sin ( m — 2 ) /
-I- m-2 ( m — 4 )'"_1 sin ( m — \)t — ... ;
'(3o CORRESPONDANCE D'HRKMITE ET DE STIELTJES.
cette quantité Tm a pour maximum
U,„ = mm—1 — mil m — ■> . t'"-1 — m^i /// — j )"'-' -+- . . . — »iui /// — 2(jl)
/H— 1
, ... ./>? ....... .
UL etanl I entier contenu dans — et il s ag-it <i obtenir, pour /// lies
grand, la valeur approchée de— — -: c'est-à-dire de la
11 1.1... m — 1 ) >"l~l
série
S =/(o)-K/(i)-i-...+-/(r) -+-... + /({*),
en posant
mr{ m — >r !'" '
/ ( f ) = ; —
^ v 7 1.2. . .m.im->
J'introduis dans ce but, au lieu «In nombre entier /•. une
variable x\ je fais pour cela
x
r(a? + i)r(m — x ■+■ i)
De cette manière, une valeur approchée de S esl donnée par
I intégrale définie / f(x)dx, qu'il s agit dévaluer elle-même
«A
par approximation.
Admettant, comme le dit Laplace, que les termes de la série S
vont d'abord en croissant et qu ds ont un maximum après lequel
ils diminuent; je cherche ce maximum en posant f'(x) — o. Les
expressions asjmpto tiques de T(x -+- i ) et r(//* — x -\- 1) me donnent
d'abord
l"(x) %(m — i) . .
( A ) ■—;. — -( = — log.r -+- lo
I 1)1 - x)
/(x) ■>■'• — m ix -2{x — m)
Je néglige les deux derniers termes; je remplace - ' par
et je trouve, pour déterminer le maximum, l'équation de
•ix — m
la Mécanique cri es te
= loi
qui admet une seule racine x = ç = o,o83 oj m. Cela étant, je dis
LETTRE '201. 43 1
qu'aux limites x = o, x = jjl, les quantités
/(S) /(O
sont Tune et l'autre très petites. On a, en effet,
,/'( o ) _ / m y»-' ng-n)
et la valeur E = o,o83 07 m montre que le l'acteur ■=—- décroît,
' ' r ( m -+■ 1 )
quand m augmente, bien plus rapidement que n'augmente la puis-
(ffl \ ni— 1 fi u)
:=(i. 2. ..)'"'• Quanta lLFT^: c est zer0 ou
— — — . mais celle remarque a peu d'importance,
r(fjn- i)T(m — fx-t-i) l r '
comme vous allez voir. La propriété de la fonction /'(./) de n'avoir
qu'un maximum entre les limites de l'intégrale conduit naturelle-
ment à employer, pour obtenir cette intégrale, la méthode du
calcul des probabilités en posant
/(*) = /(£)*-"■
Soient t = — g et t = -\-h les valeurs de t qui correspondent
aux limites x = o et x = u., nous aurons
/ J\x)dx = fK\) e~»dt.
Cela étant, si l'on se borne à employer le premier terme seule-
ment de l'expression de dx, qui est i / — *{ , dt, ce qui donne
la Quantité
on observera que l'intégrale définie tend, avec une extrême rapi-
dite, vers sa limite / e~r' dt = \Jtz et en diffère fort peu, même
pour des valeurs médiocrement grandes des limites g et h] de
sorte qu'on obtient, pour l'expression approchée,
J = v^/(0\/-^
|32 CORRESPONDANCE d'hERMITE II DE ST1ELTJES.
Observez maintenant que l'équation (A) donne, en négligeant
i > i
les termes en = et -
i ( a Ç — m )» \ ( m - \ ) \( m — \) (»Ç - m )* '
on en conclut
. /— , . i '" - 2S)/t(/n- \ i (je)'"(;n — 2; i"'
m \l m i / 2it v//»3 :*< "> — ; )»>-%
Faites comme Laplace ; = m ta, cette quantité devienl
i [ e ( i — 2 tu ) 1 '"
~~ 2 v .-///'• I aw(i — w)1_w I
ou plutôt en représentant par K. comme fait, je crois, M. Tisse-
rand, la hase des logarithmes népériens
i r E(i — •>.(.) t
~ 2 i/ïï i/JH* |.2co(r-oj)i- "» J
•
La règle de eomergence lim \. J << i nous donne dune la conclu-
sion de la Mécanique cri este
Tout à vous bien affectueusement.
202. — STIELTJES A 11 ERMITE.
Toulouse, 12 mai [889.
Cher Mojvsiet r.
En écrivant ma dernière lettre je n'avais pas encore reçu la vôtre
du 5 mai, qui ne m'est parvenue qu'avec un grand retard (c'est
que dans un moment de distraction vous l'avez dirigée à Paris au
lieu de Toulouse) d ainsi elle a fait un petit loin- en passant par
Lyon.
J'ai lu avec la plus grande attention votre analyse pour trous «t
(') Note des éditeurs. — Voir, au sujet de celle formule, la lettre 202.
LETTRE 203. J33
l'expression approchée du maximum du coefficienl de em dans le
développement de L'anomalie excentrique, el je ne vois pas ce
qu'on pourrait y changer. Je crois qu'il > a seulement quelque
inadvertance dans les formules suivantes :
(„ j = •s/h/»— »^g=l> . ««p»—»- ■
il me semble qu'il faut multiplier l'expression i a) par \ et écrire
2(£e)'"(m — i\)m
\l->. t. \/~m? £S(m — Ç )"1-^
et, en posant \ = ni to,
. _ _ y. e(i — a tu) 1 '" a E ( i — a u> ) " '"
_ /^ s/ mi L '^w( i - w )>-w J fay/HC* '[^"('-w)'-».,
La condition de convergence est alors, e étant l'excentricité
lime y J *C ' 5
2 u>'° ( i — ai j1 -w
h ( 1 2(D)
c'est le résultat de Laplaee.
Mais, pour plus de sûreté, je dois vous prier de vouloir bien nie
contrôler à l'égard de ce facteur i que je mets au numérateur au
lieu du dénominateur, on se trompe si facilement.
J'aurais encore à vous parler des formes quadratiques du type
/■/.^M^' •%■* ; mais j'aime mieux attendre encore un peu pour
approfondir cette matière.
Votre sincèrement dévoué.
203. — STŒLTJES A H ERMITE.
Toulouse, i3 mai 1889.
Cher Monsieur,
Voici un post-scriptum à ma dernière lettre. Laplaee donne à
peu près
u> = 0,08307, e — o.66lp,5.
28
,,; I CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJES.
Je me rappelle que Les auteurs qn i se sonl ensuite occupés de
cette question (Cauchy, Serret) donnent des valeurs Légèrement
différentes de e; |<' u'ai |ia> >ous la main leurs nombres, mais
M. Schlômilch (t. 11 tic son Traité) donne
e = 0,66*2742 {ce = 1,199678).
Pour faire disparaître ces différences, j ai entrepris le calcul; les
résultats suivants sonl ;m>>i approchés que cela e>i possible avec le
uombre «les décimales écrites
■ ■'•+[
Liiuai. transe. : loe nrp. = 2.X.
./• — 1
x =-t- 1 3 1 99 678 i>4<> 2 ")~ 7 3 i
M = -H 0,083 22.1 720 I99 "> = (x I I I '/■,
e =-4-0,6627434193492 = \/xx — 1 .
J'ai cru que si vous donniez les valeurs de 10 et de e, mieux
vaudrait donner les valeurs exactes.
Voire dévoué.
204. - HERMITE A STIELTJES.
Paris, 1") 111.11 1889.
Monsieur,
Les noies que vous m'avez confiées sur les intégrales eulériennes
contiennent celle équation
3. 4. a3 5.(>.a5
Seriez-vous assez, bon pour me dire si elle vous appartient?
Je remarque qu'ayant
r Ve '■' ■ — <■■>
logr(a) =j^ e,_, -(«-ije-'j
il.r
« + 51
a e
</./■
LETTRE '20V.
',.;:>
on en <'<>i
iclul
B r(a)
L ea — i
g-*7
I \ </r
a?
Joignant à celle équation la suivante
i . / ' / eax — ex \ dx
- loga = / —
2 8 . A 2 / X
loi
cl retranchant membre à membre, il vient
r(a-t-|) i, /'° / \ e«*rfar
loga = / /
4-1
;2 eax dx
Y [a i
loga = / /
+ e2
formule dont se conclut votre développement,
Une remarque maintenant; on a
donc
-n(-,X
ix e1- -+- e
cos — =
2. 2
(m = i, 3, 5, . . .) ;
n
m2 t:2
puis, en prenant la dérivée logarithmique
M:
x--\- rn'n-
e- -+- e -
Changeons encore x en - et l'on aura
i e- — i
Tx ~£
= y i
^à a?2-+- j /n'2Tz'2
ce qui nous conduit à la nouvelle expression
,0 4eaxdx
^i C t\e"x dx
£à J_ .r- -+- 4 /n- 7T2
I'1' CORRESPONDANCE DHKRMIii; ET l>K STJELTJES.
... ■ini-'z . .
>oii maintenant x = — • on trouve ainsi
a
^ r aeim™. <l\ _ i r Sa d\
en posanl
Or on a
i 3
-[log(i -+- e-rt) — log(i — e2*? )].
Votre série a «lune le même caractère analytique que celle de
Stirling; en l'arrêtant à un terme de rang quelconque, le reste
est moindre que le terme suivant; mais vous aurez sans doute déjà
\u tout cela.
En vous renouvelant, mon cher ami, 1 assurance de mon affec-
tueux attachement.
205. — STIELTJES A H ERMITE.
Toulouse, 16 mai 1S89.
Chek Monsieur,
Je ne me rappelle pas avoir vu quelque part explicitement lu
formule
, r( « -f- j ) 1 .
loe — = - log a — ... ;
F(a) 2 8
cependant on ne peut pas, à proprement dire, la considérer comme
nouvelle, puisqu'elle résulte immédiatement, en retranchant les
formules (09) et (58) du Mémoire de Gauss Sur la série hyper-
géométrique {Œuvres, t. III, p. i5>. ). car
l°gJ]Y*- ;) =iogr^-»-iJ, logJJ(i5)=logr(Z)H-logz.
Mais je considère cette formule sous un autre point de vue. Soit b
un entier positif, on a
log r ( a -\-b ) — log Y ( a ) = loga(a -+- 1) ... (a ■+- b — 1)
= b loga -+- 2, I°§ \ l ~ ) '>
LETTRE '205. \ ■'}-
donc en développant suivant les puissances descendantes de a, el
en introduisant les fonctions de Bernoulli (j'adopte la notation
de M. Jordan, t. Il, |>. 1 02),
( A ) log
1 » -1- 2" H- . . . -K 6 — 1)» = 1 . 2 . 3 . . . n <p«( 6 ) ;
r ( q -t- & )
r(a)
»i(6) tpî(ô) i.2.tp3(6) 1 . ■>.. >.-fi ( l> )
= O lOil </ -+- - — f- ;
J'ai supposé ici b entier el positif, mais en ayant recours aux
intégrales définies qui représentent logT(«+ b) et logT(a) \011s
verrez aisément que le développement ... est valable sans cette
restriction. Toujours est-il remarquable (pie, lorsque h est entier
(positif ou négatif), la série est convergente lorsque a est suffi-
samment grand; ainsi la déduction précédente montre bien (pie
pour b entier positif la série est convergente tant que a >• b — 1.
Lorsque b n'est pas entier la série est divergente quelle que soit
la valeur de a, comme cela arrive, par exemple, pour b = - ... ce
qui donne précisément le eas particulier mentionné plus haut.
Vous voyez que cette supposition, b entier positif, fournit un moyen
simple pour retrouver la formule.
On
a
généralement
<p« ( 1 -
-6) =
(-
-!)"-'(
donc
(B)
r ( a -+- 1 -
loar —.
8 r(a)
-b)
= (i-6)l
0g<2 -+-
?i(6)
a
-+■
a-
1 .2.(03(6]
ce qu'on pourrait trouver aussi directement en supposant encore 6
entier et positif.
La combinaison de (A) et (B) . . . donne
r 1 . r(a-l- b)Y(a + 1 — b)
(L) 2S F(«)r(a)
= Mogq 1 ?l(6) l I-J-CP3(^) [ i.2.3.4.y5(fe) | ^
•2 r/ a3 a5
v ' 2 & F(a-M — 6) \ 2/ 5 a2 a*
j38 CORRESPONDANCE D HK.HMITK Eï DE STIBLTJES.
Supposons maintenant o<6<] D'après les propriétés
connues des fonctions o vous verrez que dans ces séries i C) et (D)
les termes sont alternativement + et — et elles ont même carac-
tère que la série de Stirling; en s'arrêtant à un terme quelconque
l'erreur est moindre que le dernier terme.
Si nous introduisez le> intégrales définies pour logr, \<>u> trou-
verez, en développant, les formules par intégrales définies des fonc-
tions de Bernoulli dont vous avez traité dans le Journal de
Crelle{<).
Les séries (C) et (D) ne donnent pas de fractions continues
simples, mais les séries obtenues en prenant les dérivées par
rapport à a donnent des fractions continues élégantes. Pour les
écrire sous leur l'orme la plus simple, je remplace (t par ->
i ï "t- b - , ï — b » ,
b oar ? donc ï — b par Vlors on a
1 > r 2
, / a -+■ ï -I- b \ , l a -+- 1 — b \ ib
22(22— A2) _
3» Ci*— b"-)
(C)
a — i •
^\ J°~
X~~b \ ->'l(" )
•i
2
I — 6*
2 / *W
a
1 —
62
a
9_62
3 a2 -
n2 [( 2 n — ï )2 -
4(9 -&)
, , 4(^3-62)
4+ 5a«-+-..
-62]
n2|(-2« -f- i)2 — 62]
(•2/? -t- Ij«2-f-. .
• ï
Si dans (D') on suppose b entier, ou dans (C) b entier impair,
on retombe sur de simples identités algébriques, car d'une part les
fiai lions continues se terminent brusquement, et d'autre part les
(') Ce que je dis ici se rapporte aux formules analogues à la formule de
Schaar dont je vais parler à la fin de ma lettre.
lettre 206. i3g
premiers membres, en vertu de
<\l (X -+- I ) = <!/ ( T ) -\ • ,
sont aussi des fractions rationnelles. Cette circonstance me fail
soupçonner que ces fractions continues représentent toujours, en
supposant, a et h réels, les premiers membres, mais je ne l'ai
démontre rigoureusement qu'en supposant — [<6 + i. Mais ce
qui résulte surtout de mon travail c'est la parfaite justesse de votre
idée de faire dépendre les propriétés des fonctions de Bernoulh
de leurs expressions par les intégrales définies.
Je dois ajouter que pour discuter ... les séries ..., il semble
indiqué de recourir à des formules intégrales analogues à la
formule de Sckaar dans le cas de la série de Stirling. C'est
ce qu'on peut faire dans le cas de log ^^ * > ainsi par exemple
i i s> r(a) ' '
<\>(x-\ hM — 4* ( x ^ b)
du e-27t« si n ( 2 6 ir )
X'2-h W2 I -+- 2 g-2"" C0S('2Ô7T) -t- e-*11"
Dans le cas de la fonction logT il doit y avoir sous le
signe / ? je crois, un log, mais le temps me manque en ce moment
pour chercher la formule, voulant vous faire parvenir cette lettre
aussitôt que possible, à cause des Mémoires indiqués de M",e de K.
sur lesquels vous voudrez demander peut-être l'avis de quelques
personnes plus compétentes.
Veuillez aussi, pour cette raison, m'excuser .... Je vois bien
que j'ai écrit une lettre un peu embrouillée. Croyez-moi toujours
votre très dévoué.
206. — HE RM/TE A STIELTJES.
Paris, 16 mai 1889.
Mon cher Ami,
M'autorisez-vous à donner dans ma leçon sur les intégrales
eulériennes, que je rédige en ce moment pour ma nouvelle édition.
.',',,, C0RKESP0NDANC1 d'HERMITE ET DE STIKLTJES.
votre beau résultai que j'énonce ainsi. •• En posanl
alog( ,__e«iu6)d£
I I
a*+?
. \l. Stieltjes a démontré que pour une valeur imaginaire quel-
. conque a = \\<"'>. où l'angle 9 <•-! compris entre les Limites — -
* et + -. on a
2 H - 1
mod J i n ) <
// i 2 H — I )2 COS* !
Je vous ferai remarquer que, pour aréel = R, votre formule
donne
J ( a )< — ' h — — J >
i ■>. a 1 1 \a- — a )
tandis qu'on a la limitation un peu plus étroite
J ( a )<
1 2 '/
\ aut-il la peine de dire que
, r(fln-l) . / , i \
— loff/ n-
— lOg 1
I
+ — bH
log | i
îa-r'i/i— i/ 2 </ — 2 /' — i
où s esl positif <i <C i .
Encore tous mes remerciments, mon cher ami, el 1 assurance de
ma bien sincère affection.
207. — STIELTJES A H ERMITE.
Toulouse, 17 ni.ii 1889.
Cheb Monsieur,
En réfléchissant sur ce que j'ai griffonné hier soir, je sens le
besoin de m'expliquer plus clairement afin de vous épargner la
LETTRE '201. \ | I
peine de débrouiller cette lettre trop confuse. Je reprends donc la
formule
en exprimanl les fonctions logT par la formule
dx
■ „ / x /' " r <'~x — e~ax 1 dx
et
/• °° , dx
on trouve en posant
/•« e-a;
/ 2
e "•'• dx I <r - ' -h e y - — e2 — e 2
i i
'o
Maintenant, je vais supposer
sons celle condition
^r_ ;]''_!_ e~( ' 2)' 2 ^, (_,,/. j,r,.(, s(26 — [)/.-
i,. _],. /■ ' — x'1 -^- f\ k- tz-
!2 — e 2 i
i i
- .»•
e "2 -i- e
i,. a? ~i T2-\- 4«21T
e- — e 2 i
ce qui donne
J = / 2 e-a.t dx > —r-nr~ ~ '
1
ou pour
x— -ik-y,
rx dy v^ ( — 0A cos(-i6 — i )Xr7t — r . ,
J = / — - — > —, '- e—lak^y.
Or
' I / ON ' . I o
- Iog(i -+- ir cosa -+- r2) = r cosa r2cos .«a -+- - z-3 cas 3 a -h. . . .
'l i •'. CORRESPONDANCE D'nKRMITE KT DE STIEI.TJES.
En posanl
on trouvera facilement après quelques réductions
Il suffit de remarquer que la fonction
i — 2e-2<"Ir cos(2Ôir i + e-'+aT-y
esl toujours i. donc son logarithme ^o, pour voir que la série
obtenue par le développement de J a I*1 même caractère que la
série de Stirling; posanl ay=xi
i /*" a dx . Ti — 2e_21u cos ( 2 6 tc ) -l- e-4*"!
~^TtJ0 «24-tf2 °g[~ (i — e>-2-*^ — J
fii développant
« i ./- a?4 . , :r"2"
«--H.T'1 « a' aa
du obtient par comparaison avec la série
'Ox(b) i.2.<p3(6)
H- . • . ,
a a ;
1.2. . .(2n)«jp2rt+1(6)
= ' / ^2" lOC ; ^r 7 cte
(o^ftli),
doù vous vo^yez que »2n+<(^) a lin signe constant dans l'inter-
valle (o, i) et que sa valeur absolue croît de o à -» décroît de - à i ,
en repassant parles mêmes valeurs. Cette valeur de »2«+i(^) do*1
revenir au fond à celle que vous avez donnée dans le Journal de
Crelle, t. 79. Pour b= - on retombe sur la formule nuise trouve
2 ^
dans votre dernière lettre.
La formule de décomposition dont j'ai fait usage est une consé-
LETTRE '201. \ i 3
i| Mince de
eaz | v^ 2^ cos(2«A:tt) — 4 /> ^ sin ■.>.«/ t . . ^
= h > ; (O < il < I ).
e»— i «Ai z2-MÂ-2ir2
Voici un système complet de formules
ehx -+- e~bx i v^ ( — i)*a.r cosbkiz , ,, , ^
î
— — = >(— 0*-1 — ; — y-r- -i<6<+ij.
e* +e~* AT .7-2 -+- ( /C - I )2 7l2
e6a_e-6a: ^, aa. sjn ( £ _ 1) /, -
— ■ = > (— 0A'_1 r^ -I16-+I).
e^+e^ ^ ^2_,_ (x-_ 1)2^2
i
11 y a naturellement une formule analogue pour le développe-
ment de
Pu/ +6)
">g r
r(a-i-i — 6)
\ otre très dévoué.
P. S . — Je viens de recevoir votre lettre et je m'empresse de
répondre. A uns me faites beaucoup d'honneur en voulant insérer
mon résultat dans \otre Cours, seulement j'ai obtenu la limitation
plus simple
a = Re*8 (— ic < 6'<+ %),
iniHiJ(a) < t— >
12R cos2f 8
ce qui, pour le cas a réel positif, donne
J(a)< — •
C'est donc cette limitation
1
inod J ( a) <
12 R cos2!1
que je vous prierai de mentionner.
',',', CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIKLTJES.
\ oici la démonstration
Pi v) dx
I a i
>
x -+- a
P(a? + i) = P(x), P(a?)=i— x (<><.r<i;
r -i- a
ce qui donne la série de Gudermann
J(a)=2l[(a + /, + l)]og(a^^I)-i],
mai> aussi
i
' x — n
/ — dx=l — dx — /
Jn x-ha Jn t - a Jn + ±
d.r.
En posant dans la première intégrale x = n +jk, dans la
seconde x = n -f- i — y. il vient
i
/" + ' n ■+- i — .?• /*« A- ( i — 2 .x )2 dy
a -+- x ' X ~~ X ('i-+-jKH-a)(yi-M— y -+-«)'
,(a>=É./V
(i — lyydy
/0 ( « -t-y -+- a) i /i -r- i —7 — a )
( )n a
(n—y-h a)(/i— i — y-h a) = (/n- «)(« -4- tf-t- i) -1-^(1—7);
(loue, dans le cas c/ réel positif,
1
J ( a ) < / (i-îv)2 dv 7 ; >
0
c'est-à-dire
J (a) < — •
1 2 </
Mais suit
a = Ré*® (— - <0 <-h tc),
/* — t— jk et /i -r 1 — jK sont toujours réels et positifs; or, lorsque b
est réel et positif,
mot! ( b ■+■ a) = v/(6 •+■ R)2 cosHG -H (6 — R)2sin2|0,
modi b — a )> (6-t- R) cos£0.
LETTRE U20H. Il'
Ayant ensuite
i
iniiilj rt s 7 I ~i 71 — '
' 4dJ mod(n -\-y-*-a)(n-\r i — y -+- " i
ii
il vient
i
•« {(' — '*.y)%dy
)<1 J « < - i— X / n~T7 Ti^ »
c est-a-dire
modJ(a)< — 1— J(R)
cosHG
et a fortiori
mod .) ( cm
î-iRcos- : 0
Il va sans dire que cette limitation se rapporte à la continuation
analytique de
dans le cas où P. H. a serait négative
208. — HERMITE A STIELTJES.
Paris, 20 mai 1889^
Moin cher Ami,
Je suis on ne peut plus satisfait de votre méthode extrêmement
ingénieuse et élégante, pour obtenir la limite
... 1
mod J ( a) <. -j— •>
12 R cos2£6
et je la reproduirai textuellement dans la leçon sur les intégrales
eulériennes de ma nouvelle édition, leçon que j'ai refondue entière-
ment.
Les formules que vous m'avez aussi communiquées pour le
développement de
! . r ( a -+- b ) r ( a -+- b — 1 ) 1.
2 & r2(a) 1 °
sont très intéressantes, et vous pensez quelle attention je donne à
i'|i. CORRESPONDANCE D'HERMITE ET DE STIELTJES.
\ otre expression :
(— i)«-» /*" , , i — e-'-i ■,;,,-. h - -,■.-'
1 •'•••' " ?" • ' ( '' > = ,- J x X'-H l°8 (l_e2ï:.t-;2 - ^
(|u il me faudra bien étudier et rapprocher de mes anciens résul-
tats sur Les fonctions de Jacob Bernoulli. Me proposant de faire
avec mon cours lithographie de la Faculté, le deuxième Volume
de mon cours imprimé de l'Ecole Polytechnique, je réserve ce
travail pour un autre moment, en- maintenant j'ai vraimenl plus
d'ou\ rage que je n'en peu \ faire.
209. — STIELTJES 1 HERMITE.
Toulouse, 'i mai 1SS9.
Cher Monsiei r .
lin parlant sur le Mémoire concernant les anneaus de Saturne
j'ai ajouté à la fin une remarque qui n esl pas à sa place là. 11 s'agit
en effet de ce que Mme de K. a fait, non de ce qu'elle n'a pas fait.
Donc en vérité, la remarque que -.1 méthode ne suffit pas à une
démonstration rigoureuse de la forme annulaire d'équilibre est
hors de propos ; tel qu il est, ce Mémoire est très intéressant
et peu dé géomètres et d'astronomes auraient pu le faire. Cepen-
dant il aurait eu, âmes yeux, un mérite beaucoup plus grand
encore si l'auteur avail eu l'idée qui a conduit plus tard M. Poin-
caré à une démonstration rigoureuse de l'existence d une forme
d'équilibre annulaire. Mais il faut qu'il y ait de l'or et de la
monnaie, aussi ce Mémoire est loin d'être le plus important que la
Science doit à M'"e de K. J'ai remarqué, il y a bien longtemps,
que l'idée de M. Poincaré se trouve aussi, sous une autre forme
cl appliquée à une question toute différente, dans un Mémoire
de Ki-eniann sur le iuou\ eiuent d'une masse fluide de forme
ellipsoïdale.
Je comprends à merveille que vous êtes surchargé de tra\ ail. Moi
aus>i. je ne peux pas travailler beaucoup en ce moment car mes
conférences pour les boursiers d agrégation me donnent beaucoup
LETTRE 210. H 7
à faire et c'est un travail dont je ne suis pas bien sûr qu'il portera
«les fruits. Le programme de «cite année, la théorie des équations
aux dérivées partielles, est bien vaste el bien difficile pour des
jeunes gens (|ui, en somme, ne peuvent pas encore avoir l'esprit
assez mûr pour ces choses-là.
Il faudra bien que M. Gylden se console, el je crois qu'on
pourra toujours reconnaître que ses méthodes constituent un pro-
grès sur les anciens procédés de Laplace et de !><■ \ errier. Je sais,
du reste, par M . Callandreau qu'un astronome allemand qui a étudié
à Stockholm les méthodes de M. Gylden avait acquis la conviction
de la divergence des séries.
Croyez-moi toujours votre sincèrement dévoué.
00
P. -S. 7 -s'mnx — — - — -, o<a?<27r;
Jmd II 2
1
x = o = infiniment petit ;
„V^ i > ~ — o ' C" sinj* , tc
0 > — ^ sin no = = / dx = - •
M rt 0 î . /„ x :>.
210. — H EH MITE A STIELTJES.
Paris, -M mai 1889.
Mon cheb \\n,
Je viens encore vous dire tout le plaisir que m'a fait votre
analyse relative à la limitation du module de J(a). J'abrégerai un
peu en remarquant que le terme général de la série de Gudermann,
(a-\-n-\ — ) log ( 1 H ) — 1 , est donné par l'intégrale,
rl ± —x
/ — dx .
J0 n -+- a -+- x
Je continuerai, comme vous le faites si heureusement, en
écrivant
/ — - — dx = / dx -+- / — -
J n -4- a -+- x J n -\- a -r- x .h /H-
— ■ dx,
148 correspondance d'bermite et de stieltjes.
puis, -i I on i.ni ./■ = i — y «laiis La dernière intégrale,
. ' // — (/ - , ' \ n — a — x n -+- a -t- i — .r /
({ — 3" )l I 23?) il i
JÇ i j p)(i ■»./■ | ,/./■
( n ■+• a -t- .r )< « — <v i
'
ce <|in esl s olre expression.
Maintenant, permettez-moi d'appeler votre attention sur La
ioriu u le
i
J(a)=y /"V-i^ ^ )<**
(|iii nie semble lié- intéressante. \ \ aurait-il pas heu d exprimer
par DxlogT(a + x) et D^logl^a — x) La série
i-*)y( — ' )■
1 j — \n — a — x n — a — 1 — x I
Une circonstance bien douloureuse me préoccupe et contrarie
mon travail; j'ai dernièrement appris que M. Halphen était sérieu-
sement malade d'un rhumatisme articulaire, et vendredi dernier j'ai
été le voir < liez lui à ^ ersailles. Je l'ai trouvé extrêmement changé,
pâle, amaigri, La voix faible; il m'a accueilli avec une émotion
singulière; nous avons longtemps causé, et de clioses intimes.
. . . En le quittant, j'ai remarqué qu'il avait la main brûlante, je
me suis senti inquiet : hélas! hier j'ai appris qu'il était atteinl d'une
pneumonie double, que sa \ ie était en danger
.lirai demain après ma Leçon a\ ec la crainte d un affreux malheur:
il a -ix enfants dont le dernier est âgé seulement de deux ans!
\ mi- avez dû lire son Traité des fonctions elliptiques; c'esl
L'immense travail qu a demandé cet Ouvrage qui lui aura coûté la
vie. il aurait dû mettre cinq ou six ans à le faire. Le troisième et
dernier \ olume qu'il a entrepris, étant déjà malade, l'a mis à boul
de forces; il succombe à la tâche; je vous écrirai ce que j'appren-
drai demain.
Encore une fois, mes bien sincères remercîments, et la nouvelle
assurance de mes sentiments d'amitié dévouée.
lettri -212. i4g
211. — STIELTJES A HERMITE.
Toulouse, • i mai i 38 ..
( Îheb Moin si i.i i; ,
Les mauvaises nouvelles que vous m'avez données de la santé de
M. Halphen m'ont fait beaucoup de peine: je viens d'apprendre,
hélas! que vos inquiétudes n'étaienl que trop fondées el que
M. Halphen esi mort à»é de {5 ans seulement. C'esl une perte
immense et irréparable. J'admire énormément ses deux premiers
volumes sur les fonctions elliptiques; quant au troisième il fallait
avoir une audace bien rare pour songer seulement à l'entreprendre
et l'on ne trouvera pas un autre géomètre qui pourra le remplacer
pour celte lâche. Mais vraiment cet exemple me confirme dans mon
idée cpie \ous, savants de Paris, nous travaillez trop
Cela suppose une puissance de travail dont je ne peux pas
bien me rendre compte. Je connais trop vos sentiments pour savoir
que vous êtes profondément affligé; le sort de sa malheureuse
femme est bien cruel.
... La seule consolation pour nous c'est de savoir qu'il laisse
une œuvre durable et qu'il a donné le plus noble exemple de travail
et de probité. Je m'associe pleinement à votre tristesse.
\ otre dévoué.
212. — STIELTJES A HERMITE.
Toulouse, 28 mai 1881).
Cher Monsieur,
bn travail urgent (rédaction d'un rapport annuel sur l'état de
l'Observatoire de Toulouse) m'a fait remettre pour quelques jours
de répondre à quelques questions qui se trouvent dans nos deux
dernières lettres. Comme nous le remarquez, on peut écrire, au
29
45o
lieu <le
CORRESPONDANTE II HKRMITE ET DE STIELTJES.
'<-)-/2M
-i- a — x /( — a -i- i — j*
r// .
J(a)= / f- ./• ) | ii a — i — a?) — ty(a-\- x)] dx,
• h \ - /
: x i - T-iogr(af).
Déjà, en 1886, j'avais rencontré pour J(«) des intégrales avec
la fonction <jj sous le signe / > par exemple, aussi
1 ' /** -'"•'' I 1 ; X \
• 11 L
c
rf-r,
G = < > . . > — >... ei «es intégrales sonl valables dans tout le plan
excepté la coupure de o à — yz. Mais je n'avais pas réussi alors à
en déduire la formule de Stirling, ce qui n'est pas difficile pourtant
et j'avais complètement perdu de vue ces expressions, jusqu'à ee
que le travail de M. Bourguet m'y ait ramené.
Voici une remarque d où l'on peut déduire directement la for-
mule
1 — >.e~'2~y cos'iby -+- e~'*T,-y
1 r(a-t- b)r(a^-i-b)
(A 1 — log
; -i " Y(a)T(a)
1 1 1 f"° a dy \
= - tO£,r<7 / tOg
2 >-Jo a* -h y* ■ l 11- e-- -
(o£è£i),
soit l> une constante réelle el posons
/, x 1 = IVr — A. fi./ — 1 — b).
Je dis que lorsque // est réel on peut exprimer modf(uî) par
les fonctions élémentaires. En effel
hhkI y'i «i 1 = /r(6 -+- «7; T(i — b -+- ai ) r(6 — ai) r(i — è — ai),
s
r(è — ui)T(\ — b — ui ) = —. —^ - ,
-m - 1 // — ai)
I' A — ui) \( 1 — b -+■ ai 1
«in-( è — ai 1
LETTRE "21*2. |5 l
d'où
iu(Miy'( ni) = — — ;
\/s\m:(b -+- ui) sin7r(6 — ui)
or
/j si 11 Tz(b -+- Ut ) si 11 71 ( A Ut) = 2 ( COS 2 1t Ut — COS 2 6 7")
= e2""-" -t- e- 2Tt" — 2 c< >s ' b -,
mod /*( ut) -
\/e'2mi -+- e~2""-" — 2 ros 2 6 ~
\ oiis voyez donc qu'en posant
#( a?) = - log loga-,
2 &[ r(.a?;r(-r) | 2 5 '
«m peut exprimer directement la partie réelle de 3(yî) en suppo-
sant^ réel «m l'on trouve alors
1 . 1 — 2 e-27Ir cos2Ôy -+- e-4'1"'
Og • ; — : ,
4 8 (1 — «-««y)*
où vous voyez la fonction sous le signe / dans la formule ( \ ).
lu l'on peut en conclure directement cette formule (A) à l'aide
d'une formule déduite de l'intégrale de Gauchy
/•( ; )
f(x) = : / (lz,
' 2 7T l J Z — X
(pie j'ai donnée dans le cahier de mes Noies, sur la fonction T,
pour en déduire la formule de Binet
1 f"° x dy . j 1
3(x)=- / — — *--— loff( —
( )n peut obtenir d'une façon analogue la formule
(B) llog,1^^,
; 2 6 T ( u -t- r — b )
/, i\. 1 z'0" Kf/K T e-*«r sin(267t) 1
= — [b log« — j -^ — : — arc lang ^—\
2/ TtJJj a'2-!-/2 [i — e-2"rcos2Ô7r|
(o<iii),
1 . ■ • • • 11 r ( b -+- 1 « ) , 1 .
en remarquant une la partie imaginaire de loa — — - — ; — ^s obtient
1 ' r °r(i-6 + «j)
facilement. Les formules (A) et (B) conduisent à des expressions
des polynômes de Bernoulli (pion peut transformer par une intê-
I 5 ! CORRESPONDANCE d'hERMITE 11 1)F. STIELTJES.
gration />"/■ parties dans celles que Elaab ri vous «ml données. Le
développement de ( l> ) donne
i r(a b , . i . =??(&) i .-2.3.041 A 1
- os ,— = [ à — us a — - — ! ....
la série divergente ayanl les r 1 1< - 1 1 1 < - -^ propriétés que lit série de
Stirling quanl au terme complémentaire.
Je «lois vous remercier encore beaucoup de donner ma limita-
tion <le modJ(rt) dans votre Cours. Je crois, en effet, que cette
limitation a quelque importance aussi pour la théorie de la fonc-
tion r en 1^ ('• 1 1 «'• 1; : I . Comme je l'ai montré dans le cahier de mes
Noies, on peul en déduire rigoureusemenl la formule de Bmei en
se servant de la formule de Cauchjj rappelée toul à I heure, et
j'avoue <|ne j'attache quelque intérêt à cette déduction. Veuillez
bien me croire toujours
\ otre 1res dé\ mie.
213. HERM1TE I STIELTJES.
Paris. 1] mai 1889.
Mo» CHEB \ \l I .
Les formules (A) et 1 lïi sonl ;mssi délies qu'elles sont nou-
velles; vous les mettrez certainement dans un travail d'ensemble
qui réunira tous les résultats auxquels \01is êtes parvenu sur la
fonction V(a) et fera un excellenl Mémoire.
J'ai été obligé de m'arracher de ce sujet [tour me jeter tête
baissée dans les fonctions elliptiques que j enseigne maintenant , et,
comme il m est difficile de réfléchir en même temps à deux choses
différentes, je m exilerai, si vous le permettez, l'effort à faire pour
vaincre la force d'inertie,' en vous demanda ni s'il ne corn ient point
de donner à l'intégrale
S(a) = j
ci ./■ — •> ) — x — 1 ,
(■'■' doc
■>..r- 1 <•■' — 1 )
une coupure en faisant ax= l. ce qui donne
e" ( t — ia) — t — >.fi , ,
J(a)= / — j2-. r e'dl.
■>. t1 \ e"
LETTRE 2DÎ. \ 5 i
... - . . , / . 2/im
la condition e"= i conduisant a = >.ii.i~ ou a — - — > nuiis
voyez que, it prenant des valeurs positives el négatives, lorsque
/ varie de zéro à — x, on obtienl pour coupure toul I axe des
ordonnées.
C'esl dune le même résultai qu'avec l'autre expression si dif-
férente
(0 5(a)= - — si- •
71 . /(i rt ' -H /2
Puis-je dire ensuite que votre limitation
raodJ(a) <
' I2RC0S2^6
esi valable dans toul le plan, nonobstant celle coupure, qui se
retrouve dans l'expression
= r(i--*)Y( — [ ■ — )
J \'i I — \ « -i- a H- x n -+■ a -+- i — r /
dx ?
C'esl ce que, sans trop réfléchir, je conclus en lisanl dans votre
avant-dernière lettre : « Jl va sans dire que cette limitation se
rapporte à la continuation analytique de(i) lorsque la partie réelle
de a serai i négative. »
Dois-je comprendre que vous faites celle extension, ainsi qn il
parait naturel, au moyen de la relation
J( — a) = — J(«)
va laquelle conduisent les deux expressions de J(cM.'
Samedi dernier, après ma leçon, j'ai été à\ cisailles voir Halphen,
pour la dernière fois, sur son lit de mort. J'ai eu avec M'"e Halphen,
qui contenait son désespoir en retenant ses larmes, un entretien
dont je ne pourrai jamais perdre le souvenir. La présence à côté
d'elle de madame sa mère, qui est de Nancy, et m'a parlé de ma
famille qu'elle a connue, a fait un peu diversion; j'ai tenté, en
parlant du mérite éclatant de son mari, de donner la seule conso-
lation qui fût en mon pouvoir, et un intime ami, M. Collet, qui a
corrigé les épreuves >\n Traité des fonctions elliptiques, m'a écrit
(>l CORRESPONDANCE D HIHMITK El DE STIELTJES.
que ma visite n a\ ml pas été entièrement inutile, mais que c'est peu
de chose! Sunt lacrymœ rerum etmentem mortalia tangunt.
I .n vous renouvelant, mon cher ami, I assurance de toute mon
affection.
214. — HERM1TE A STIELTJES.
ii mai iS8|j.
Je m'aperçois à I instanl que
i
=r(--*)2i — ■ - )
J ■> ' ^i < n — a ■+- x n -+- a -t- i — x j
il.i
a pour coupure la partie négative de l'axe des abscisses, comme
vous le ( 1 1 1 es . el non point, comme je viens par inadvertance de
\diis l'écrire, l'axe des ordonnées.
Il y a là matière sérieuse à réflexion; la formule ci-dessus ne
donne aucunement, comme les intégrales définies,
J(— a) = — J(a).
Commenl donc en définitive, obtenir l'extension à toul le plan
de J(a)?
215. — STIELTJES A H ERMITE.
Toulouse, le > juin \ 889.
Chek MonSIET. 11,
Nous trouverez un peu pins loin un petit résumé des formules
nouvelles de la théorie de la fonction Y. qui vous scia utile peut-
être lorsque vous reviendrez sur celle théorie; pour le moment, il
suffira de remarquer que la formule
logT(a) = / a ) loga — n n — log 2ir-+- J(a)
1
défînil évidemment J(«) comme fonction non uniforme de a.
M. us supposons une coupure de o à — x et prenons J(«) réel
lorsque a est réel et positif. Mois, grâce à celle restriction de la
nia relie de la variable, .1 a est | ail iliciellemenl ) un il orme et a une
valeur déterminée dans toul le plan 1 excepté, il esl vrai, les points
LKTTKE '215.
...»
de la coupure où, à vrai dire, il y a deux valeurs selon que l'on
arrive en ce point par un chemin tracé dans la partie supérieure
dx
ou inférieure du plan). C'est cette fonction J(a) qui esl donnée
par
i
r«) j(«>= nL--)y,( — ! ! — )
J \ 2 / ~è \ n . -t- a -+- x n + a + i-a;/
et à Laquelle se rapporte la limitation
mod J( Re'**) <
Quant à la formule
[2 RcosH8
(1)
Jl
a) = - /
11. J.
alog(i — e^)
a2 -+- *2
rf*,
elle n'est exacte qu'en supposant I*. R. a > o et, pour éviter toute
équivoque, il vaudrait peut-être mieux écrire
(!')
il / a2
a loch — <?***'
cfr,
où il faut prendre le signe -f- ou — selon que la partie réelle de a
est positive ou négative.
Si l'on adoptait (i) comme définition, on aurait
.1 ( a ) — — J( — a).
Mais, comme vous l'avez remarqué, l'axe imaginaire est une
coupure et des deux côtés on a, en vérité, deux fonctions diffé-
rentes dont l'une n'est pas la continuation analytique de l'autre.
Ici, comme d'ordinaire, par continuation analytique il faut entendre
cette continuation parfaitement dé le nui née qui se fait, d'après
M. VVeierstrass, par la série de Taylor ou, d'après Riemann, par
l'équation
a = x -+- yi,
. d /( a ) _ d f(a)
dx dy
Toute autre méthode conduit à l'arbitraire. Donc il ne convient
'i'(f) correspondance imikhmitk bt de stiki.tjks.
pas d'adopter i i I comme définition générale, il faul la borner au
cas I'. R. a >> o ou, ce qui revienl au même, la remplacer par i i \,
La continuation analytique (d'après Weierstrass) de la fonction
qui e>i définie pour
P. i;. n > o
par I i ntégrale
i r «log(i — e'2i
- J a>- -r- t*
(Il
esl précisémenl La fonction J( a) telle que je l'ai définie en com-
mençant, <i <|in esl donnée par (a).
Il sérail facile dé continuer analytiquemeni cette fonction i(a)
en traversant l<i coupure; pour cela, il suffil de calculer La diffé-
rence des valeurs de J(«) sur les bords de La coupure. Mais alors
elle cesse d'être uniforme.
.1 ai vu avec plaisir votre transformation
g- (x — -i) — x- > i>K,.i/r (P. R. a>o)
ix*(e*—i)
1/ \ /
J(a) = # — i't ,lt.
,-' i i — 2a) — / — ici
I >ans la première, on doil supposer P. R. a >> o pour que I inté-
grale suit convergente; il est curieux de voir que, dans la seconde,
celle restriction s'annonce par l'existence d'une coupure.
Sait-on, Monsieur, si le Tome 111 du Traité de Halphen est
irréparablement perdu ou ^ 1 1 avait préparé du moins nue partie
pour 1 impression déjà ?
A-t-on déjà démontré que la constante eulérienne
G =• <>. >y7 2 1 5 66 i 9. . .
est un nombre incommensurable? Je pense «le temps en temps à
cela, niais je n'ai pas encore trouvé une expression de C qui
pourrai! conduire à i\ne démonstration, cependant, je dois exa-
miner encore quelques expressions obtenue- récemmenl el qui me
semblent donner une faible espérance. Mais peut-être que je perds
ma peine à pure perte et la chose est-elle déjà démontrée.
Mais ma principale occupation esl d'achever el de perfectionner
LETTRE -215. ]■>-
iiKin travail sur les fractions continues; pour n \ pas renfermer
trop de choses un peu disparates, je le scinderai <'n deux parties :
l'une plutôt algébrique, tandis que, dans la seconde, je m'occupe
de la question de con\ersence surtout. Ces fractions continues
représentenl ordinairement des fonctions dans toul le plan, excepté
une coupure comme J(a \.
Je pense passer les vacances près de ma famille en Hollande.
c e>i plus de quatre ans que je n'ai pas vu ma famille et ma le m me
éprouve aussi un grand désir à revoir ses parents. Cela n'entravera
en aucune façon noire travail, la Haye esi même plus près de
Pans que Toulouse ( onze heures en chemin «le fer an lieu de seize
heures). Je pourrai même travailler là-bas plus à mon aise qu ici
où les grandes chaleurs sont vraiment accablantes, el les enfants
aussi en souffrent beaucoup. Nous me savez être toujours votre
très dé\ oué.
P. -S. - - Les intégrales définies dans la théorie de la fonc-
tion l'(#), qu'on a considérées jusqu ici presque exclusivement,
ne sont valables que sous la condition
P. R. a > o.
Il n \ a qu'une exception appareille pour la formule île Binel
.1,
>i log(l ^ t'-71' ) dt
a2-t- f1
mais \ous avez remarqué que, à vrai dire, ce n'est là qu'une
illusion. L'intégrale représente (\r> deux côtés île la coupure deux
fonctions différentes, l'une n'est pas la continuation analytique de
l'autre.
(1 est M. Bourguel qui a d'abord obtenu des intégrales définies
qui permettent de franchir l'axe des y. Il obtient une formule que
j'écris, après un léger changement de variable,
,, V^ /"* dll / SU) -2/111 u .
m J<«; = y / - (- — )>
*dj0 u H- a \ ht. )
elle représente la fonction J(«) dans toul le plan avec la coupure
de o à — x; c'est la fonction J (a) telle qu'elle a été définie plus
|58 CORRESPONDANCE d'hERMITE KT UE STIELTJES.
haut. I ne autre forme « I « - cette formule de M. Bourguet est celle-ci
/*" P ( u ) ,
J(a)= / du;
J0 u-ha
ici
1
esl évidemment nue fonction périodique
P(m+i) = P(m)
et, dans l'intervalle i <>, i ): on a
i
. P ( « | = - — M .
2
Cette accoude forme (2) se décompose immédiatement dans la
formule de ( îudermann
1 f' p,"> j i'1 p(") /
J 1 « 1 = / — du — / du -+-...,
J0 u-ha Ji u — a
(3, ,(.).2[(.H..H-I)l.g(î±^±l)-.].
C'est celle seconde forme (2) qui me paraît la plus importante
et la plus fondamentale; il en résulte aussi directement la différence
des valeurs de J(a) aux bords de la coupure, d'après votre for-
mule.
La formule de Gudermann (3), déduite de (2). permet natu-
rellement de continuer la fonction i(a) en traversant la coupure
el met ainsi aussi en évidence le vrai caractère de J(«) et montre
qu elle admet une infinité de valeurs selon le chemin de la variable,
si l'on fait abstraction de la coupure.
Peut-être que je me déciderai à rédiger el à publier ce que j'ai
fait sur ce sujet.
J'ai besoin de ces formules pour taire voir que la série de Stirling
est applicable dans tout le plan. Cela a toujours été mon but prin-
cipal et qui m'est propre.
LETTRE 211). '| ■">«)
La démonstration de la limitation
iimmI J(« ) <
12 H cos2-i9
csi le premier pas et le plus important dans cette direction.
216. — H ERMITE A STIELTJES.
\ juin 1889.
Mon c.HEii Ami,
Un mot seulement, à la hâte, pour vous remercier de votre der-
nière lettre qui jette une vive lumière sur tous les points que vous
touchez. Je ne puis assez nous dire quel travail et quelle peine
\011s m'épargnez et comme sous avez le don de me sortir de mes
anxiétés et angoisses analytiques.
Pensant avec vous aux fractions continues, avez-vous remarqué
(pie dans
/'" <■■'■( T — 1 ) — X — l ,
Ma) — / eax dx
J ->.x^(ex—\)
- est la première réduite du développement de ex '? Peut-être
y aurait-il lieu d'étudier
Pe*— Q
/
a?2" (g-*-— 1)
eax dr
où ^ serait la réduite d'ordre n.
\ l'égard de la constante d'Euler, je crois pouvoir vous assurer
qu'aucun oui humain jusqu'ici n'a même sondé le mystère de son
irrationalité. Ce serait donc une grande et belle découverte de
démontrer que C est incommensurable, mais d'où a pu donc venir
un rayon de lumière sur une question si cachée, si profonde?
J'apprends avec grand plaisir que nous passerez les vacances, avec
votre famille, en Hollande, et que vous me permettrez de vous v
faire parvenir les difficultés et les peines, les pressantes invocations
à votre bonne assistance que vous accueillez avec une bonté que je
sens bien vivement.
En vous renouvelant l'assurance de mon affection bien sincère
et bien dévouée.
CORRESPONDANCE d'HERMITK ET DE STIBLTJES.
217. — HERMITE I STIELTJES.
Paris, lundi ( ' ).
Mon i mi i; \ m i.
l'eml a ni la séance de ] académie, permettez- moi de vous envoyer
un mol «m couranl pour vous dire que je -m^ sorti des fonctions
elliptiques el revenue la fonction l"{ci).
.1 .h entièrement refondu mes leçons: | ai cru devoir exposer les
propriétés fondamentales, il abord comme tous les auteurs en par-
lant <le la définition ordinaire, puis une seconde fois en partant
de la définition de Gauss et traitant alors de I ( n ) comme fonction
analytique. Enfin, je consacre une dernière partie à l'étude des
r • i i i- ■ - i i i > • I" ' "
diverses intégrales dennies iim se présentent dans la théorie, ,
loi; T i u . .1 i ii i. pour ilon n er votre belle analyse qui conduil à la
limitation de mod J a pour a = H e1'1, el enliu / xb '(i — /• " '>/./•.
pour en tirer les applications que vous connaisse/ du théorème de
M. Mittag-Leffler.
Dans ma leçon sur les coupures, je parlerai de la coupure de
J(«) et de la substitution <l une autre coupure à celle-là, par le
lait de la transformation que vous avez obtenue de celte intégrale.
C'est là un résultat qui m'intéresse vivement et qui m'a surpris;
je crois bon d'appeler l'attention sur cette circonstance si remar-
quable que nous avez rencontrée.
\ bientôt, mon cher ami, une lettre moins décousue el en vous
renouvelant I assurance de mes meilleurs sentiments.
218. — STIELTJES A HERMITE.
l'i m louse, 12 juin 1 88g
CfciEK Mon su. i r,
\ mis considérez, sans doute, connue I un des résultats les plus
importants de la théorie de la fonction T ce théorème dû à
(') Note des éditeurs. — Ceite lettre n'est pas datée et nous avons beaucoup
hésité à la mettre à la place qu'elle occupe, en la rapportant au lundi io juin 1889.
LETTRE *2I.S. 46 J
l'i a i '
M. Weierstrass, une ., — est une fonction liolomorplie dans tout
le plan.
actuellement, ce théorème s'obtienl presque immédiatemenl si
l'on prend pour poinl de dépari le produit infini de Gauss <i
d'Kuler. Mais, comment faut-il l'obtenir en prenant pour définition
l'intégrale définie
l'(«) = / ,r'-'r '• il.r 'l
•i,
Si, avec M. Prym, on pose d'abord
P(a)= / x"-^e ■' tl.r. Q(«) = / *"-*,• ',/./'.
on obtient
r ( a ) =
ez a -+- i i . •>, i a -f- 2 ) i . 2 . 3 ( a -+- 3 )
-4- c0 -h c , « -h c2 «-' -H f3 a:i -+- . . . ,
cl l'on en conclut que V(a) est une fonction uniforme qui admel
seulement les pôles simples o, — i , — 2, . . . . C'est là certainement
déjà un résultat notable, mais cela ne suffit pas encore pour obtenir
le théorème de M. Weierstrass.
Dans ce but, il faudrait démontrer encore que Y (a) ne s'annule
pou?' aucune va/eu?- finie de a. Ce point établi on pourrait con-
clure immédiatement que i '.T(a) est une fonction entière, mai>
comment le faire?
Il est vrai qu'on peut tirer ce résultat, que V{a) ne s'annule pas,
de la relation
(i) IV) r(i — a) = 7^—
et, comme l'a fait remarquer M. Bourguet, cette formule montre
aussi directement que
I sitlTTC?
r(i-a)
T(«)
est une fonction entière. Mais en prenant pour poinl de départ
l'intégrale définie, la démonstration de cette relation (i) est assez
difficile.
J'ai été amené ainsi à chercher si l'on ne pourrait pas tirer
|ti> CORRESPONDANCE d'hKRMITE KT DE STIELTJES.
directemenl de la définition
l'irti- / e~xxa ' dx,
la conclusion que \\ a > ne s'annule pas. tanl que a reste fini.
Je remarque d'abord qu«- si I on avail
r i « I = o pour a = a -+- pi,
on aurait aussi
r(a-4-i) = o, r(a-r-2) = o,
ci. évidemment, p ne peut pas être nul. ensuite avant
/ t(i~ ' e- •*■ dx = o ,
' ci
on aura aussi
/ xa~y e kx dx = o,
• o
/r étant un nombre positif quelconque, donc pour <? = a -+- fit
/ xa- ' cosi p Ioga? ic_/ra; cfcc = o,
Ji a?a_1 sin ( 3 logœ le-** ûfcr = o,
o
et ces relations doivent rester vraies en remplaçant a par a +
// étant un entier positif quelconque. Je pose maintenant
' ' ' = I I v ' — xe ' '
o
C'est là une fonction entière qu'on peut développer
•.ii./- 1 = 7 cn '"'
o
cl l'on devra avoir maintenant
/ a?«- l<p(x) sin((3 \ogx)e~kx dx = o,
OC
car en remplaçant o(x) parN r„./" tous les termes sont nuls. De
LETTRE 218. ',»>.'
même, il faudrait avoir
/ x*+n-l<p(x) sin(3 loga?)e kx dx = o,
// étant un entier positif quelconque. Mais cela peul s'écrire
(A» / a?«-|-"-1ç(a?) sin(j3Ioga?)e-**</a7
-+- / .ra+"-'<f ( a? ) sin( 3 lo^.r ic-'- ■<' dx = o.
Or, la première intégrale aune valeur absolue inférieure à
./'
,ra+"-1 dx
<i tend, par conséquent, vers zéro lorsque n croit sans Limite. Et
dans la seconde intégrale
/ a?a-t-'i-i « ( ,r ) sin( S logar)e-A;C </r,
le produil
cp (x) sin( 8 log.r )
a un signe constant ( — ), car cp(.r) change de signe en même temps
que sin([j log.c). Donc, évidemment, cette seconde intégrale a une
valeur négative dont la valeur absolue croit en même temps que n.
Vous voyez que l'équation (A.) implique contradiction, donc T(rt)
ne s'annule pas et- est une fonction entière.
J'ai dû introduire la constante positive k pour parer à une
objection qu'on pourrait faire à ce raisonnement. En effet, ce
raisonnement serait en défaut si l'intégrale
Jf x*- -« <p (a?) sin( 8 [ogx)e-/cx dx
n'avait pas de sens. Mais je remarque que la valeur absolue de v(x)
est inférieure à
2 71 \ / 3 7t
(i -f- x)\i -+- x e ? / \i-\- xe * / \i -t- xe
|ti| CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
ci h fortiori à
où / — i e '' f- e ''
;>
Il est clair par là qu'en prenanl /. >> / le-~ intégrales que j';ii
(i msidérées oui bien un sens.
J'ajoute qu'évidemment dans les développements
= y*je„X", - r ) = 2_ir„T-'.
e,, esl supérieur à la valeur absolue de c„.
Je me fonderai sur cette remarque pour détruire une autre
objection qu'on pourrail faire el qui consiste en ceci. Il est bien
\ rai < j 1 1 < ■
/ ./-*-1 cp i ./■ | sin| '} loga? l e~'< ' dx
' o
;i un sens, mais est-il bien sûr <|ue celle intégrale soil égale à
2, f .ra-'c„./'" — i ■ i. c fj In- ./• i e ■■'■■' ,/., .
ii
et, par conséquent, nulle comme je l'ai supposé?
Pour écarter le doute, je pose
o(x) = C0 ,{.r ...-- e„„, ./"'-l — R„,
et j obtiens
/ a?* _1«p| .r i si n i p loga; i e~kx dx
. .,
= / x*-lR„ sini p loga:)e-*a rfa-
« ii
= lim / x%~ l R„ sin(P \ogx)e~ kx dx.
" = « • ,,
< )r. en posant
S„ = e i, .r" — e/M , .r"-'-' - . . . .
la valeur absolue de Rw est inférieure à S„. doue la valeur absolue
de
/ ar» ' R„ sini fJ lu-./- 1<— '•< dx
«-Ai
LETTRE 1>1N.
',<;:>
est inférieure à
Mais on a
/ a:*-1 S„ e~kx dx.
• o
/ .r^-1 S« e~kx dx = I .r*"1 e/x— \—lx —
1.2. .(« — t)J
c'est-à-dire
/ x* ! S«c /"' efo? = r(aj
a /
a(a-+- i i /'-
{k — l)* k* i />■*-+-" i.2 /•*• -
7.( 7. -i- i ). . .(a -+- « - i ) /"-
!.'....(// I )
Or, on a ce développement convergenl
(k — /)* X* i Â*+'
a ( a -+- i ) /-
lim ( / a?«-» S»e-*A"rfar) = o,
« = <*>\J0 l
et à plus forte raison
lim / a?»-'R/lsin(pioga-)e ** d> = o.
Il me semble qu'après ces explications, ma démonstration est à
l'abri de toute objection.
Je \(mis parlerai une autre fois du nombre C; certain résultat
rencontré dans mes réflexions sur les fractions continues me donne
quelque espoir. Mais je dois d'abord rédiger un Mémoire pour nos
Annales, conçu depuis bien longtemps, mais que j'ai laissé tomber
dans l'oubli. Et, ensuite, il me faudra terminer mes fractions
continues. Je regrette beaucoup que faute de loisir je n'aie pu
examiner encore, d'après votre idée, l'intégrale
I
0 Pex—Q
eïx(ex j)
eax dx.
Q
étanl la réduite d'ordre n de ex. La vie est bien courte pour tout
, pour
ce qu'on voudrait faire. Veuillez nie croire toujours votre bien
dévoué.
3o
466 CORRESPONDANCE d'hermite El DE STIELTJES.
219. - STIELTJES A HERMITE.
Toulouse, i3 juin 1889.
Cher Monsieur,
En vous écrivant hier, j'ai oublié de il ire que le fait que V a) ne
s'annule jamais, peut se tirer non seulement de la relation
r ( a ) r (1 — a) = t. : -i ti 1 - (/ 1.
mais encore de l'expression de logr(a) par une intégrale définie.
On voit que logT(rt) a une valeur finie tant que la partie réelle
de a est positive. Mais il ne me semble pointant pas inutile d'avoir
une démonstration directe, malheureusement elle est un peu déli-
cate; je crains qu'on ne puisse la simplifier beaucoup.
J'ai réfléchi autrefois sur la fonction holomorphe
Q(.r) = / ii' le~u du.
.('-
et je voulais savoir si elle admet des zéros ou non. Dans le dernier
cas. on pourrait la mettre sous la forme r<i-r), (-j(x) étant encore
holomorphe. Mais je viens de m 'apercevoir que l'équation
Q(T) = 0
admet certainement des racines. Ces racines sont imaginaires, du
reste, car tant (pie r est réel Q(#) est réel et positif.
Pour le démontrer, je vais supposer que Q(#) = o n'admet pas
déracine, vous verrez que cette hypothèse conduit à une absurdité.
L'équation
Q(.T) = - -h(T— l)Q(.r— n
montre que Q(i) = —■> mais aussi que. dans notre hypothèse,
l'équation
Q(*) = J
n'admet qu'une seule racine x = i. En effet, si l'on avait encore
Q(a ) = - (a différant de 1),
e
LETTRE 219. 467
on en conclurait
Q(« — 1) = o contre l'hypothèse.
Cela étant, je considère la fonction
<,(.'■) =Q( !-+.«*).
C'est encore là une fonction holomorphe, et, d'après ce qui
précède, les équations
{{(.r) = 0,
n'auraient aucune solution, Çj(#) serait donc une constante d'après
le théorème de M. Picard, niais, cela n'étant pas vrai, il est certain
que l'équation Q(.r) = o admet des racines.
Si le nombre des racines de
Q(a?) = 0
était fini (x = x{, ..., xn)i l'équation
Q(*) = i
aurait seulement les n -+- 1 racines
I, I-t-3"!, l-(-a?2) •••» i-\-.r„.
Or, est-il possible, (-J(x) étant une fonction entière, «pie les équa-
tions (/(#) = a, §(x) = à aient toutes les deux seulement un
nombre fini de solutions? J'en doute, et alors on pourrait conclure
que Q(x) = o a un nombre infini de racines ( ' ). Mais il y a là évi-
demment matière à beaucoup de réflexions.
Je n'ai jamais trouvé à la Bibliothèque le volume des Annales
(') M. Picard (Annales de l'Ecole Normale, i" série, t. IX, 1880) a démontré
le théorème suivant :
Si les équations
F(z) = a
P(*) = ô
ont chacune un nombre limité de racines, la fonction entière V(z) se réduit
à un polynôme.
\GB CORRESPONDANCE I) IHIOIITi: Kl DE STIELTJES.
qui contienl le Mémoire de M. Picard, mais je ae peux pas rester
ainsi sans le connaître.
\ otre très dé\ oué.
220. Il Eli MITE I STIELTJES.
Paris, i ") juin i^sm
Mo\ ( 111.1; \ \i l .
Vos recherches sur Q(#) m'intéressent extrêmement et j'ai
précédemment suivi avec le plus grand plaisir le> diverses étapes
de votre démonstration que la fonction r(<y) n'a poinl de racines.
Mais comment se peut-il que vous n'ayez pas à la bibliothèque
le volume des .Annales <|ui contient le théorème de Picard ! Je
vais lui demander s'il pourrait vous envoyer un exemplaire de son
I ravail .
l'en h cl lez- moi de vous demander votre avis sur cette manière de
présenter l'application du théorème de M. Mittag-Leffleraux fonc-
tions doublement périodiques.
La formule générale pour les fonctions f( x) étant
/<.>=g(.)+2[<^é=5:)-f.(.)].
il convient, pour cette application, d'envisager en particulier, en
les réunissant dans un même groupe, les pôles qui >e trouvenl à
I intérieur il un parallélogramme formé avec les périodes a et b et
,iu somme! arbitraire. Je les nommerai pôles principaux pour
abréger, et en désignanl l'un quelconque par p. tous les pôles
de f(x) seront représentés par p-\-ma-\-nb. Cela posé, soit
v(x) la fonction rationnelle ayant pour uniques discontinuités les
pôles principaux, et telle que /(x) — '^<./) soit finie pour toutes
les valeurs x ==/>• Il esl clair qu'on pourra écrire"
f(x) = G(r) + V[8U + ma ■+■ nb ) — F//lf,t(a?)],
\:,,i,u étanl un polynôme auxiliaire tel que la somme étendue à
tous les entiers m. n représente une série convergente. Je remar-
querai que la somme des résidus relatifs aux pôles principaux
LETTRE 2*20. 46g
étanl nulle, on a, en développanl suivanl les puissances descen
(huiles de .'',
G II
o(x) = — H -t-
1 X2 X*
Je conclus de là que la valeur asympto tique de la dérivée tp (x)
•>. G ,
<■ lîtnl > la somme
./•■•
\ cp'( a? -t- ma ■+- nb )
représente une fonction analytique et, en plus, celle fonction esl
doublement périodique, aux périodes a el l>. d'après sa compo-
sition.
( )n a, par conséquent,
f (x) = G -4- ^ cp'( x -t- ma -4-/16),
C étanl une constante, el il vient en intégrant
j\x) — /(£) = C(x — \ )-+-^[o(;r •+- ma -+- nb) — cp(| + /»« ■+- «A )].
\ ous voyez que l'intégration a conduit, pour le second membre,
à une série convergente. Ecrivez, en effet,
cp(a? -4- ma -4- nb) = o(x — \ -1- \ -4- ma •+■ nb)
— ? ( \ "+" m<7 "+" "^ )
+ X (a? — i; ) tp' \\ -4- m« -+- nb -4- ô(a? — £)] ;
vous voyez que le terme général s'exprime par la dérivée, donc, etc.
En particulier, pour /( r ) = /> - sn-.r, on peul prendre a = 2K,
On reconnaît ensuite liés facilement que la série
m^ y(x -4-/> -+- im K -4- im'iK')- (£ -4-/? -+- -imK -+- 2m'iK')! J
ne change pas en changeant le signe de ./ et Ç ; il sul'lil pour cela
de remplacer/?? par — /?? et /??' par — 1 — m' dans le terme général;
donc C = o et l'on a
/Wsn2.r — sn2£)
-2'
[x -4- 2 m K -t- ( 1 m' -4- 1) i'K' |- [ ij -h ». m Iv -t- ( 2 />»'-(- 1 ) i k |- \
'|-d CORRESPONDANCE d'HERMITR F.T l)F. STJEI.TJES.
C'esl de là que je lin' 1rs expressions <!<■ S(x |, 9, (.r), H(.r)
ei M,i ./ sous forme d'un produil de facteurs primaires.
En vous renouvelant, mon cher ami, I assurance de mon afifec-
i ii m bien <l<;\ ouée.
221. — STIELTJES I III. Il MITE.
Toulouse. i6 juin 1889.
Cher Monsieur,
Que je vous plains de I ingrate besogne qu on vous demande !
Mais parlons plutôt d'Analyse. Il me semble que votre analyse
pour la décomposition des fonctions doublement périodiques ne
laisse plus rien à désirer. L'expression asymptotique de rf(&)
G .
étant — > il est évident <iur la série
/•- '
^ cp ( x -+- ma + nb ) — ©(£ -4- ma — nb )
esl convergente, de même que
7 ©'( ./• — ma — 11 h 1.
— '
\piv> liien des recherches, le tome des Annales rie l'Ecole
Normale de 1880 se retrouvera bien. On saii <lu moins à qui on l'a
prêté, il \ a quelques années déjà, mais je ne l'ai pas encore.
Je -dis surtout bien aise d'apprendre par votre lettre que M. Pi-
card a déjà démontré que le nombre total des racines de (-j(x) = a,
(,'(./•) — b ne peut être fini, ce que je ne sa\ai- pas. Mais, dans le
cas que M. Picard aurait encore un exemplaire de son Mémoire
pour me l'envoyer, je lui serais, en effet, infiniment obligé et vous
voudrez bien lui exprimer toute ma gratitude. Voici une remarque
que vous avez faite peut-être déjà. Dans votre Cours de la Sor-
hnii ne 1 3e édit., p. 68 l, la formule
s = y< 1/» — n(/» ■+-•>. )...(m-4- w — i) xm
>_ (n + i)(B + 2)...(2n + m — 1 )
LETTRE *2*21. \~j l
vous sert à démontrer que ex esl incommensurable lorsque x esl
entier. Ne vaut-il pas La peine de remarquer <pi on démontre aussi
de cette manière que, tant < 1 1 m - ./ e^i commensurable, >'■' ne I esl
pas. \iusi, [ogx esl incommensurable pour # = — ■ En effet, sup-
p B / P \
posons x = —> c = t u|> pourra supposer .# = — > o , on aura
1 9 A V 9 /
B»Mn(f )-*»- n,(f)-T£^i8'
le premier membre est un entier, le second membre esl toujours
positif el tend vers o pour // = ao, donc contradiction.
Mon adresse à la Haye sera toi Balistraat, mais je ne peux
pas encore déterminer l'époque où je partirai, car la Faculté ne
s'est pas encore réunie pour parler de la session du baccalauréat.
En tout cas, ce sera probablement dans les premiers jours d août
seulement.
En réfléchissant sur la constante eulérienne G, il me semble
presque qu'on pourrait arriver à démontrer l'incommensurabilité
en parlant de
G= r(-L--e-*)ÏZ
el des propriétés des intégrales définies de la forme
Ae-«' Be~Px
I
) dx.
Mais c'est une recherche qui demandera beaucoup d'efforts et
que je réserve pour les vacances. Quoi qu'il en soit, si cette route
est obstruée..., je perds aussi la confiance dans mon idée première.
A l'égard de celte question des zéros 'de Q(#), j'ai toujours été
frappé par un passage de la correspondance de Gauss et de Bessel.
Gauss dit que si la fonction entière / dx admet une racine,
elle en admet nécessairement une infinité et, plus tard, il a calculé
effectivement l'une des racines. 11 affirme aussi la décomposition
en facteurs primaires (la fonction de genre zéro ou un, il associe
les facteurs provenant des racines conjuguées). Tout cela a-t-il été
bien démontré? \ présent, cela parait encore bien mystérieux.
Je prépare un petit Mémoire pour nos Annales où je rencontre
\~ >. CORRESPONDANCE D'bERMITE ET 1)1. STIELTJES.
la formule
III
I I " ' • osira — — i 1 — h. .. — Ci a
" I . a -+- I [ . 2 . a -H 2
analogue à
r(a)= — ...-t-Q(a),
a i . <-/ -t- i t . a a -t- 2
<ii a i es! une fonction entière qui peul s'exprimer par
I
Y . I > . / CI.7
Tu —a)
tanl que la partie réelle de a est inférieure à l'unité, A vaut
< | ( (( -~ i j = ^ — a(${a),
il ensuil encore que <i i <i ) a une infinité de z<;n>>. mais ici <>u voit
immédiatement qu'il y a une infinité de racines réelles
C,'(n = e,
Ç(i) = o,
0(3) = e,
g(4)=_2e,
Je pourrai mentionner alors <-n passant la propriété de Oi./-
(1 avoir un nombre infini de zéros aussi.
Croyez-moi toujours votre bien dévoué.
222. - STIELTJES A HEHMITE.
Toulouse, 19 juin 1889.
Chfiî Mon s 11:1 1; .
N'est-ce pas abuser de votre bonté de vous demander de vouloir
bien présenter à 1' académie, pour les Comptes rendus, la petite
note ci-jointe.
Vous savez que j'ai travaillé longtemps sur cette matière, mais
j'en ai assez en ce moment et j'éprouve le besoin de penser à
LETTRE 223. ',;.!
d'autres choses. C'esl pour ne pas courir le risque de perdre toute
ma peine que j'ai rédigé celle Note ( ').
Mille remercîments pour le Mémoire de M. Picard, c'esl sur
les théorèmes de M. Picard que je veux réfléchir, .le crois
que, pour son premier théorème, la démonstration fondée sur la
fonction — est la plus naturelle, mais je veux tâcher cependanl à
obtenir une autre démonstration, avec l'espoir qu'elle se prêterail
plus facilemenl à la généralisation donnée par le théorème du
Chapitre II.
Votre 1res sincèremenl dévoué.
223. — UERMITE A STIELTJES.
Paris, 29 juin 1889.
MojN" CHEli A.MI,
La Noie que j'ai présentée à I Vcadémie est excellente; peut-
être pourrait-on rapprocher «le votre résultat celle propriété du
développement d'une fonction quelconque F(a?), au moyen des
dénominateurs i^„ des réduites F(#r) = /.AnQ^, qu'en posanl
*(a?) = A0Qo-HA,Q1-4-...-t-AnQn,
r1'
l intégrale / [F(cr) — <!>(./•)]- f(x) dx est un minimum, c'est-
à-dire qu'elle a une valeur plus grande si l'on remplace <!>(./•) par
tout au Ire polynôme du nyeme degré.
Mais il me faut absolument renoncer ;i l'Analyse; en ce moment
je commence la lecture des ouvrages élémentaires de Lacroix.
Arithmétique, Géométrie, Algèbre, pour lâcher d'en tirer quelque
chose à dire dans mon rapport.
Il parait qu'on ne pourra pas imprimer plus de 80 pages du
troisième volume de l'Ouvrage d'Halphen, quelle perle pour
I analyse !
En vous- renouvelant, mon cher ami, l'assurance de mes meil-
leurs sentiments.
( ') Xote des éditeurs. — La Note citée a p>ur titre : Sur un développement
en fraction continue {Comptes rendus, t. CVIII, p. 1297-1298; 24 juin 1889 |.
CORRESPONDANCE 1) HERMITK ET DE STIELTJES.
224. - STIELTJES I HERMITE.
Toulouse, ier juillet 1889.
Cher Monsieur,
En nous remerciant vivement, je ne peux m'empêcher de dire
quelques mots sur un résultai que je viens d'obtenir. Je s;iis que
vous êtes profondément engagé dans d'autres lectures, mais je
plaide les circonstances atténuantes parce qu'il s'agit d'un sujet
(îui nous ;i occupé ci intéressé beaucoup il y a quelques mois. Du
reste, \011s pouvez remettre à plus tard la lecture de ce que je vais
écrire, imiis je peux vous assurer que c'est presque aussi élémen-
taire que les livres de Lacroix, etc.
Il s'agit de l'expression asynipto tique des coefficients de ./ " dans
le développement de 0(a?) et de (-), (x).
Pour simplifier un peu l'écriture, je pose
Xn = e~a -+- 4" e~'*a -+- 9" e-9<< -H ... -H kïn e~k%a -4- . . . ,
\|i>„ = e-« — 4" e~'*a -+- 9" e"9« — . . .± &2" e~kia =p
J'obtiens comme il suit les valeurs asymptotiques de -l>„ et iii»,,.
Le logarithme du terme
étant
in logX: — /.-«,
le maximum de ce terme, en considérant k comme variable conti-
nue, a heu pour
2 n .
-— — 2 ka = 0, k =
k
et la valeur du maximum est
Soient maintenant k = ktn- î. o^e<i, k, étant entier et
positif. Je calcule la valeur du terme k'\" e~kut dont le logarithme
est
2 n log( k — e) — a(k — e)2
LETTRE 22 ï. 1 7 ~>
in , . .. . ., .
~rz < ' t a îi i i iiliniiiiciii petit, | ai asymptotiquemenl
I )c là je conclus
Xn= ( - ) e~n\e- î^+r^iE + '^+rî"^^'^,..
\ Cl /
_4_e-2fl!e !)»_,_ e-2«(e-2)-_h...]j
l)b„ = (— i)*.-' ( -V'e-»[e -2«es— e ->«(«+i)»_|_c-«««e+i)»4-. . .
_ g-2«(£- H*_j_ g -2«(S «)*-+-...].
En effet, j'ai remplace ainsi les premiers termes (ceux dans le
voisinage du maximum) par leur valeur asymptotique, quant à
< <u\ d'un rang éloigné de ceux-là, ils sonl à peu près négligeables.
( )r si je pose
f(Z) = e-*--s-4-e-^(- + l)5-t_e-*(: + 2)-_f.e-/l- 3 + :tt"- + ...
+ r*(i-l|-+ï -A(s-2)»_|_e-*(a- 1)» + ...,
■2/(j, 4*) -/(*,*) = *<*,*).
On a. d'après la théorie des fonctions elliptiques,
f(z)= l/j\\-h'îe '' cos'iizz -h 'ze f< cos.\tzz -\- .
d
g(z) = -ii/j\e iA costzz -><- e '*k cos3-^ -+-. . . J ;
îe
*-(s)V'l/n
i H- 2 e 2 " cos 2 ti£ + 2 e 2 " cos 4 tce
— 9
-t- ie -" cos 6 tîc
tib« = (— i)*i_1( - ) e_"t/— \<?~8" costlï -+- e 98"cos3tc
TC2
-25 —
e 8" cos )-£
••).
\~h CORRESPONDANCE DHERMITE ET DE STIELTJHS
c est-à-dire
*— (^)vV^[i_H2e L cos(2it\ -
• ~* /—
4-26 2a COs( i - 4/ —
La méthode de Laplace aurait donné pour .i„. yr r/'o/.v, seule-
menl le terme
/ n \ " _n Pk
' a ' " \ •*«
d donne ainsi un résultai qui ne me semble pas exact, mais sim-
plement approché. J'ai vérifié la valeur de i)b«, dans un certain
nombre de cas, n variant de ~ à i5 et à 27, l'accord est parfait,
mais I analyse est ->i simple que cela ne salait presque pas la peine.
\ otre très dévoué.
225 . — HERMITI-: A STIELTJES.
\l
Paris, 2 juillet 1 ^x 1
(in CHER
Jttl ,
Votre analyse est un petit chef-d'œuvre; «'Ile donne, je crois
bien, le seul et unique exemple où la méthode de Laplace soil
complètement éclairée et complétée. Que je voudrais donc bien
pouvoir projeter quelque lumière sur La relation suivante, dans
laquelle je la résume, lorsque la fonction fi-'') est supposée n avoir
entre a et b qu 1111 maximum pour x = ç
/(•a)+/(a + 0
/<*> = v^/«)t/-$|
Vous me permettrez de publier toute votre lettre dans l'article
destiné à Bologne, et dont j'ai dû interrompre la rédaction à mon
grand regret. Après a\oir appliqué la formule précédente au déve-
loppement des coordonnées elliptiques, puis aux fonctions ellip-
LETTRE 2'2(). \~~
tiques sn.r, <n.'\ dn.r, elle viendra bien à propos pour offrir une
analyse approfondie à propos <!<■ ©(#), M ( ./• i. lie
\ mes félicitations, je joins, mon cher ami, celles de Darboux,
au suie! de votre article sur les fractions continues.
226. — HERMITE I STIELTJES.
Paris, 22 juillet 1889.
Mon cheb \\i i .
Permettez-moi de vous demander >i nous voudriez vous joindre
à moi pour corriger les épreuves de la partie, malheureusemenl
bien courte, du troisième Volume du Traité <l<>s fonctions ellip-
tiques d'Halphen que sa famille se propose de publier. M. Aron, le
beau-père de Halphen, a demandé à M. Camille Jordan de se
charger de ce soin. M. Camille Jordan s'est empressé d'accepter,
mais en réclamant mon adjonction pour ce qui concerne la multi-
plication complexe, et moi, mon (lier ami, je sollicite la vôtre,
pensant que les notations d'Halphen vous sont connues et familières
et qu'il ne vous déplaira [pas] de concourir à une publication que
les géomètres accueilleront avec reconnaissance.
Et je suis toujours à rédiger le rapport sur l'enseignement
mathématique de la Sorbonne qui arrive à sa fin. Je ne sais encore
s'il sera imprimé, mais dans ce cas et quand vous le verrez, je
réclame votre indulgence, il n'est pas brillant.
En vous renouvelant, mon cher ami, l'assurance de mes senti-
ments bien dévoués.
FIN DU TOME PREM1EK.
PARIS.— IMPRIMERIE GAUTHIER-VILLARS,
28427 Quai des Grands -Augustins, 55.
University of California
SOUTHERN REGIONAL LIBRARY FACILITY
305 De Neve Drive - Parking Lot 17 • Box 951388
LOS ANGELES, CALIFORNIA 90095-1388
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(ALFRED HWHER)
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